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§10.1 计数原理与排列组合
课标要求 1.理解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.2.理解排列、组合的概
念.3.能利用计数原理、排列组合解决简单的实际问题．
知识梳理
1．两个计数原理
(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第 1类方案中有m种不同的方法，
在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步
有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝________种不同的方法．
2．排列与组合的概念
名称 定义
排列 按照__________排成一列
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素
组合 作为一组
3.排列数与组合数
(1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有______________的个数，用符号
________表示．
(2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有______________的个数，用符号
________表示．
4．排列数、组合数的公式及性质(1)A＝________________________＝____________________(n，
公式
m∈N*，且m≤n)．
(2)C＝＝____________(n，m∈N*，且m≤n)
(1)0！＝________；A＝________.
性质
(2)C＝1；C＝C；C＝____________
常用结论
1．排列数、组合数常用公式
(1)A＝(n－m＋1)A.
(2)A＝nA.
(3)(n＋1)！－n！＝n·n！.
(4)kC＝nC.
(5)C＋C＋…＋C＋C＝C.
2．解决排列、组合问题的十种技巧
(1)特殊元素优先安排．
(2)合理分类与准确分步．
(3)排列、组合混合问题要先选后排．
(4)相邻问题捆绑处理．
(5)不相邻问题插空处理．
(6)定序问题倍缩法处理．
(7)分排问题直排处理．
(8)“小集团”排列问题先整体后局部．
(9)构造模型．
(10)正难则反，等价转化．
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)在分类加法计数原理中，某两类不同方案中的方法可以相同．( )
(2)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件
事．( )
(3)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( )
(4)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )
2．(多选)下列结论正确的是( )
A．3×4×5＝A
B．C＋C＝CC．若C＝C，则x＝3
D．C＋C＋C＋C＝64
3．(选择性必修第三册P5例3改编)书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本
不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从书架上任取1本书，不同的取法种数为
________，从第1,2,3层各取1本书，不同的取法种数为________．
4．将4名学生分别安排到甲、乙、丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生
参加，则不同的安排方案共有________种.
题型一 计数原理
例1 (1)如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在
一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数
是( )
A．60 B．48 C．36 D．24
(2)用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有( )
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
(3)如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形ABCD
内部为“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成)，给△ABE，△BCF，
△CDG，△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色，且相邻区域(即图中有公共点的
区域)不同色，已知有4种不同的颜色可供选择．则不同的涂色方法种数是( )
A．48 B．54 C．72 D．108
跟踪训练1 (1)某生产过程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看，现从甲、乙、丙等6
名工人中选出4人分别照看一道工序，第一道工序只能从甲、乙两名工人中安排1人，第四
道工序只能从甲、丙两名工人中安排1人，则不同的安排方案共有( )
A．24种 B．36种 C．48种 D．72种
(2)用0,1,2,3,4,5,6这7个数字可以组成______个无重复数字的四位偶数(用数字作答)．
(3)某学校有一块绿化用地，其形状如图所示．为了让效果更美观，要求在四个区域内种植
花卉，且相邻区域花卉颜色不同．现有五种不同颜色的花卉可供选择，则不同的种植方案共
有________种．(用数字作答)题型二 排列组合问题
例2 (1)(2023·济宁模拟)为了强化学校的体育教育教学工作，提高学生身体素质，加强学生
之间的沟通，凝聚班级集体的力量，激发学生对体育的热情，某中学举办田径运动会．某班
从甲、乙等6名学生中选4名学生代表班级参加学校4×100米接力赛，其中甲只能跑第一
棒或第二棒，乙只能跑第二棒或第四棒，那么甲、乙都参加的不同棒次安排方案种数为(
)
A．48 B．36 C．24 D．12
(2)(2023·新高考全国Ⅰ)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8
门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______种
(用数字作答)．
跟踪训练2 (1)(2024·温州模拟)学校高三大理班周三上午四节、下午三节有六门科目可供安
排，其中语文和数学各自都必须上两节而且两节连上，而英语、物理、化学、生物最多上一
节，则不同的课程安排有________种情况．
(2)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，
要求服务队中至少有1名女生，则共有________种不同的选法(用数字作答)．
题型三 排列组合的综合应用
命题点1 相邻、相间问题
例3 (2022·新高考全国Ⅱ)甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站
在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有( )
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
命题点2 定序问题
例4 (2023·扬州模拟)花灯，又名“彩灯”“灯笼”，是中国传统农业时代的文化产物，兼
具生活功能与艺术特色．如图，现有悬挂着的6盏不同的花灯需要取下，每次取1盏，则不
同取法种数为________．
命题点3 分组、分配问题
例5 (2023·湖南新高考教学教研联盟联考)某高校计划在今年暑假安排编号为A，B，C，D，
E，F的6名教师，到4个不同的学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中B，D必须安
排在同一个学校．则不同的安排方法共有( )
A．96种 B．144种 C．240种 D．384种
思维升华 求解排列组合问题的6种主要方法
直接法 把符合条件的排列数直接列式计算优先法 优先安排特殊元素或特殊位置
把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意
捆绑法
捆绑元素的内部排列
对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相
插空法
邻的元素插在前面元素排列的空当中
对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定
定序问题除法处理
序元素的全排列
间接法 正难则反、等价转化的方法
跟踪训练3 (1)(多选)已知A，B，C，D，E五个人并排站在一起，则下列说法正确的有(
)
A．若A，B不相邻，则共有72种不同排法
B．若A不站在最左边，B不站在最右边，则共有72种不同排法
C．若A在B右边，则共有60种不同排法
D．若A，B两人站在一起，则共有48种不同排法
(2)(2023·聊城模拟)某综合性大学数学科学学院为了提高学生的数学素养，开设了“古今数
学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求每位学生从大
一到大三的三个学年内将四门选修课程全部修完，且每学年最多选修两门，若同一学年内选
修的课程不分前后顺序，则每位学生共有________种不同的选修方式(用数字作答)．
