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6.2立方根
考点一、立方根
立方根：若一个数的立方（三次方）等于 a,那么这个数叫做 a 的立方根（三次方
根）
若 x 是 a 的立方根，则说明 x 3 = a。a 的立方根记为3：a ,读作“三次根号
3 a
a”。
根指数
被开方数
开立方：我们把求立方根的运算称之为开立方，它与立方运算是互逆的。
（1） 8 的立方根：√ 3 8=2 （2）- 64 的立方根：√ 3 −64=−4
技巧归纳：
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。题型一：立方根的概念
1．（2022秋·七年级统考期末）关于平方根与立方根知识，下列说法正确的是（ ）
A．如果一个数有平方根，那么这个数也一定有立方根
B．如果一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根
C．平方根是它本身的数只有 ，立方根是它本身的数也只有
D．如果一个数有正负两个平方根，那么这个数也有正负两个立方根
2．（2022春·河南周口·七年级统考期中）下列说法正确的是（ ）
A．0的立方根和平方根都是0
B．1的平方根和立方根都是1
C．﹣1的平方根和立方根都是﹣1
D．0.01是0.1的平方根
3．（2023春·全国·七年级专题练习）下列说法正确的是（ ）
A．负数没有立方根 B． 的立方根是
C． D．立方根等于本身的数只有
题型二：求立方根问题
4．（2022春·安徽亳州·七年级统考阶段练习）已知 ，则 的值为（ ）
A．5 B． C．25 D．
5．（2023春·七年级课时练习）若a的算术平方根为17.25，b的立方根为 ；x的平方根为 ，y的立方
根为86.9，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021春·安徽马鞍山·七年级校考期中）已知4m+15的算术平方根是3，2-6n的立方根是-2，则 =
（ ）A．2 B．±2 C．4 D．±4
题型三：立方根的实际应用问题
7．（2023·全国·七年级专题练习）一个正方体的体积是 ，另一正方体的体积是这个正方体体积的 倍，另一
个正方体其表面积是（ ）
A．48 B．96 C． D．
8．（2023春·全国·七年级专题练习）随着张吉怀高铁在2021年建成通车，昔日饱受交通制约的湘西州，也迎来了
便捷的现代化快速交通．在湘西州花垣县，还有一个现代化的交通大工程——湘西机场正在建设．建设机场多余
的土方呈圆锥形，土方的底面直径为100米，高度为50米．现在用卡车将土方运送到15公里外的垃圾池进行填平，
已知垃圾池是规则的立方体，并且土方刚好填满垃圾池．请问垃圾池的底面边长大约是多少米（π取3）（ ）
A．50 B．60 C．70 D．40
9．（2023春·七年级课时练习）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形
状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数．若每个小立方块的体积为216cm³，则该几
何体的最大高度是（ ）
A．6cm B．12cm C．18cm D．24cm
题型四：算术平方根和立方根的综合问题
10．（2023春·七年级课时练习）已知， 的平方根是 ， 的立方根是3，求 的算术平方根
（ ）．
A． B．12 C．13 D．
11．（2023春·全国·七年级专题练习）已知2的平方等于 ， 是27的立方根， 表示3的平方根．
(1)求 ， ， 的值；
(2)求多项式： ．12．（2023春·全国·七年级专题练习）本学期第六章《实数》中学习了平方根和立方根，下表是平方根和立方根
的部分内容：
平方根 立方根
定 一般地，如果一个数x的平方等于a，即 ，那 一般地，如果一个数x的立方等于a，即 ，那
义 么这个数x就叫做a的平方根（也叫做二次方根）． 么这个数x就叫做a的立方根（也叫做三次方根）．
性 一个正数有两个平方根，它们互为相反数：0的平方 正数的立方根是正数；0的立方根是0；负数的立方
质 根是0；负数没有平方根． 根是负数．
【类比探索】（1）探索定义：填写下表
1 16 81
x
类比平方根和立方根，给四次方根下定义：______．
（2）探究性质：①1的四次方根是______；②16的四次方根是______；③0的四次方根是______；④
______（填“有”或 “没有”）四次方根．
类比平方根和立方根的性质，归纳四次方根的性质：______；
【拓展应用】（1） ______；（2） ______；（3）比较大小： ______ ．
一、单选题
13．（2023春·全国·七年级专题练习）下列各式中运算正确的是（ ）A． B． C． D．
14．（2023秋·山东烟台·七年级统考期末）用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如下，则
计算结果为（ ）
A． B． C．0 D．5
15．（2023春·七年级单元测试）计算： 的值为（ ）
A． B． C． D．
16．（2022秋·山东青岛·七年级校考期末）下列说法：①负数没有立方根；②如果一个数的平方根是这个数本身，
那么这个数是1或0；③一个数的算术平方根一定是正数；④ 的算术平方根是 ，其中不正确的有（
）
A．①②④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
17．（2023春·全国·七年级专题练习）类比平方根和立方根，我们定义n次方根为：一般地，如果 ，那么x
叫a的n次方根，其中 ，且n是正整数．例如：因为 ，所以±3叫81的四次方根，记作： ，
因为 ，所以 叫 的五次方根，记作： ，下列说法不正确的是（ ）
A．负数a没有偶数次方根 B．任何实数a都有奇数次方根
C． D．
18．（2023春·全国·七年级专题练习）已知代数式 与 是同类项，那么 的值为（ ）
A． B．1 C． D．0
19．（2023春·七年级课时练习）已知一个正方体的体积扩大为原来的n倍，它的棱长变为原来的（ ）
A． 倍 B． 倍 C．3n倍 D．n3倍
20．（2022秋·山东东营·七年级东营市东营区实验中学校考期中）下列说法正确的是（ ）
A．一个数有立方根，那么这个数也一定有平方根B．一个实数的平方根与它的立方根相等，这个数是0
C．一个正数的立方根与平方根同号
D．一个数的算术平方根与它的立方根相等，这个数是0
21．（2022秋·山东泰安·七年级统考期末）计算与求值：
(1) ；
(2) ；
(3)已知 、 都是实数，且 ，求 的值．
22．（2023春·全国·七年级专题练习）已知 ，求 的立方根．
23．（2022秋·浙江温州·七年级校考期中）图1是由27个同样大小的立方体组成的魔方，体积为27
(1)求出这个魔方的棱长．
(2)图2是这个魔方的一个面，图中的阴影部分是一个正方形，求出阴影部分的面积及其边长．
一、单选题
24．（2023·全国·七年级专题练习）已知a，b满足 ，则 的立方根是（ ）
A．1 B． C． D．0
25．（2023春·七年级课时练习）一个长、宽，高分别为50 、8 、20 的长方体铁块锻造成一个立方体铁块，
则锻造成的立方体铁块的棱长是（ ）
A．20 B．200 C．40 D．
26．（2022·全国·七年级专题练习）若实数 ， ， 满足 ，则 的立方根是（ ）
A．8 B． C．4 D．
27．（2022秋·浙江杭州·七年级杭州外国语学校校考期中）下列运算中错误的有（ ）个① ② ③ ④ ⑤ ．
A．4 B．3 C．2 D．1
28．（2022春·广东韶关·七年级校考期中）如果 ， ，则 （ ）
A．2.872 B．28.72 C．287.2 D．2872
29．（2022春·内蒙古鄂尔多斯·七年级统考阶段练习）已知一个正数的两个平方根分别是 和 ，求这个
数的立方根．（ ）
A． B．10 C． D．100
二、填空题
30．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）64的立方根是____________；若 ，则 ______________.
31．（2022春·广东江门·七年级统考期末）一个正数 的平方根分别是 与 ，则 立方根是______．
32．（2022春·安徽亳州·七年级统考阶段练习）已知某个数 的平方根为 和 ，且 的立方根为 ，则
______.
33．（2023春·全国·七年级专题练习）已知a，b为两个相连的整数，满足 ，则 的立方根为
_________．
34．（2023春·七年级课时练习）若 是 的算术平方根， 是 的立方根，则 的值为__________．
35．（2023春·全国·七年级专题练习）正方体 的体积是正方体 的体积的 倍，那么正方体 的棱长是正方体
的棱长的 _____倍．
三、解答题36．（2023·全国·七年级专题练习）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力
题：求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速地求出
计算结果吗？请你按下面的步骤试一试．
第一步：∵ ， ，且1000＜59319＜1000000
∴ ，即59319的立方根是一个两位数．
第二步：∵59319的个位数字是9，而 ．
∴能确定 的个位数字是9．
第三步：如果划除59319后面的三位数，得到数59，而27＜59＜64．
∴ ，可得 ．
∴59319的立方根的十位数字是3．
∴59319的立方根是39．
根据上面的材料解答下面的问题：
(1)填空：1728的立方根是一个______位数，其个位数字是______；
(2)仿照上面的方法求157464的立方根a，并验证a是157464的立方根．
37．（2022秋·浙江杭州·七年级校联考期中）求代数式的值：
(1)已知 ， ，求 的值．
(2)若 是 的立方根， 的绝对值是5，且 ，求 的值．
(3)已知代数式 的值为6，求代数式 的值．
38．（2022秋·甘肃兰州·七年级兰州十一中校考期中）先化简，再求值：
(1) ，其中 ， ；
(2)已知 ，求 的值．
39．（2023春·全国·七年级专题练习）已知 的立方根是4， 的算术平方根是5，c是9的算术平方
根，(1)求a，b，c的值
(2)求 的平方根．
40．（2023·全国·七年级专题练习）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出 的立方根？他进行了
如下步骤：
①首先进行了估算：因为 ， ，所以 是两位数；
②其次观察了立方数： ；猜想 的个位
数字是7；
③接着将 往前移动3位小数点后约为50，因为 ， ，所以 的十位数字应为3，于是猜想
，验证得： 的立方根是 ；
④最后再依据“负数的立方根是负数”得到 ，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的
立方根也互为相反数；反之也成立．
请你根据小明的方法和结论，完成下列问题：
(1) = ；
(2)若 ，则 ；
(3)已知 ，且 与 互为相反数，求 的值．1．A
【分析】根据平方根以及立方根的定义解决此题．
【详解】解：A根据平方根以及立方根的定义，一个数有平方根，则这个数非负数，这个数一定有立方根，那么A
正确，故A符合题意．
B.根据平方根以及立方根的定义，一个数有立方根，则这个数可能是负数，但负数没有平方根，那么B错误，故
B不符合题意．
C.根据平方根以及立方根的定义，平方根等于本身的数是 ，立方根等于本身的数有 或 或 ，那么C错误，故
C不符合题意．
D.根据平方根以及立方根的定义，一个数有正负两个平方根，则这个数正数，但这个正数只有一个立方根，那么
D错误，故D不符合题意．
故选： ．
【点睛】本题主要考查平方根以及立方根，熟练掌握平方根以及立方根的定义是解决本题的关键．
2．A
【分析】根据平方根、算术平方根，立方根以及特殊数的平方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正
确解答前提．
【详解】解：A.0的立方根是0，0的平方根也是0，因此选项A符合题意；
B.1的平方根是±1，1的立方根是1，因此选项B不符合题意；
C．由于负数没有平方根，因此选项C不符合题意；
D.0.1是0.01的一个平方根，因此选项D不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查算术平方根、平方根、立方根，理解平方根、算术平方根、立方根的定义是正确判断的前提．
3．C
【分析】根据立方根的定义分别判断即可．立方根：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．
【详解】解：A负数有一个立方根，故该选项错误，不符合题意；
B选项， 的立方根是 ，故该选项错误，不符合题意；
C选项， ，故该选项正确，符合题意；
D选项，立方根等于本身的数只有 和 ，故该选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题的关键．
4．B
【分析】根据平方的非负性和平方根的非负性即可解得．【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ， ．
∴
故选B．
【点睛】此题考查了平方和平方根以及立方根，解题的关键是根据非负性列出等式即可解得．
5．A
【分析】根据平方根、算术平方根和立方根的定义求出a、b、x、y的值，再找出关系即可．
【详解】解：∵a的算术平方根为17.25，b的立方根为-8.69，
∴a=297.5625，b=-656.234909．
∵x的平方根为±1.725，y的立方根为86.9，
∴x=2.975625，y=656234.909，
∴ ．
故选：A．
【点睛】本题考查了对平方根、算术平方根和立方根的运用．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的
定义．
6．C
【分析】利用算术平方根，立方根定义求出m与n的值，代入原式计算即可求出值．
【详解】解：由题意可得：4m+15=9，2-6n=-8，解得： ，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义．解题的关键是掌握平方根、立方根的定义．如果一个
数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根，也叫做a的二次方根，其中的正数叫做a的算术平方根．如果一个数
x的立方等于a，那么这个数x就叫做a的立方根．
7．B
【分析】根据正方体的体积求得棱长，进而得出其表面积即可求解．
【详解】解：∵一个正方体的体积是 ，另一正方体的体积是这个正方体体积的 倍，
∴另一个正方体棱长为 ，
则其表面积为 ，
故选：B．【点睛】本题考查了立方根的应用，求得另一个正方体棱长是解题的关键．
8．A
【分析】根据题意得：垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积，求出圆锥形土方的体积，即可求解．
【详解】解：根据题意得：垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积，
，
∴垃圾池的底面边长大约是 米．
故选：A
【点睛】本题主要考查了立方根的应用，明确题意，理解垃圾池的体积等于圆锥形土方的体积是解题的关键．
9．D
【分析】由每个小立方体的体积为216cm3，得到小立方体的棱长 ，再由三视图可知，最高处有四个
小立方体，则该几何体的最大高度是4×6=24cm．
【详解】解：∵每个小立方体的体积为216cm3，
∴小立方体的棱长 ，
由三视图可知，最高处有四个小立方体，
∴该几何体的最大高度是4×6=24cm，
故选D．
【点睛】本题主要考查了立方根和三视图，解题的关键在于能够正确求出小立方体的棱长．
10．C
【分析】根据平方根，立方根的定义即可得到x、y的值，最后代入 求解，再计算出其算术平方根即可得到
答案．
【详解】解：∵ 的平方根是 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ 的立方根是3，
∴ ，
∴把x的值代入解得：
，
∴ ，
∴ ，∴ 的算术平方根为 ，
故答案选：C．
【点睛】此题考查了平方根，立方根的概念，解题关键是根据定义判断出一个非负数的算术平方根，借助乘方运
算来寻找答案．
11．(1) ， ， ；
(2) ．
【分析】（1）根据平方根和立方根的性质，列式子，求解即可；
（2）将 ， ， 的值代入求解即可．
【详解】（1）解：由2的平方等于 ， 是27的立方根， 表示3的平方根可得
， ，
解得 ， ， ；
（2）解：将 ， ， 代入 ，可得
．
【点睛】此题考查了平方根、立方根的性质以及有理数的有关运算，解题的关键是理解平方根、立方根的性质，
正确求得 ， ， 的值．
12．【类比探索】（1）依次为： ， ， ；一般地，如果一个数x的四次方等于a，即 ，那么这个数x
就叫做a的四次方根；（2）① ；② ；③0；④没有；一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次
方根是0；负数没有四次方根；【拓展应用】（1） ；（2） ；（3）．
【分析】类比探索：（1）类比平方根和立方根给出四次方根的定义，并进行计算填表；
（2）根据四次方根的定义进行计算填空，归纳出四次方根的性质即可；
拓展应用：根据定义求一个数的四次方根，通过将数进行四次方以后进行比较大小即可．
【详解】类比探索
（1） ， ， ；表格中数据依次为： ， ， ；
类比平方根和立方根的定义可得：一般地，如果一个数x的四次方等于a，即 ，那么这个数x就叫做a的四
次方根；
（2）①1的四次方根是： ；②16的四次方根： ；③0的四次方根是：0；④ 没有四次方根；
类比平方根和立方根的性质可得：一个正数有两个四次方根，它们互为相反数；0的四次方根是0；负数没有四次方根；
拓展应用
（1） ；（2） ；
（3）∵ ，∴ ．
【点睛】本题考查类比探究类问题．类比平方根和立方根得出四次方根的定义和性质是解题的关键．
13．B
【分析】根据平方根、算术平方根及立方根定义计算即可解答．
【详解】解：A. ，故本选项错误；
B. ，故本选项正确；
C. ，故本选项错误；
D. ，故本选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了立方根，算术平方根及立方根定义，掌握平方根和算术平方根的区别与联系是解答本题的关
键．
14．A
【分析】根据题目中的运算程序，可以计算出式子的运算结果．
【详解】解：由题意可得， ，
故选：A．
【点睛】本题考查计算器—基础知识，解答本题的关键是明确二次根式的副功能键是立方根．
15．C
【分析】根据绝对值以及立方根的定义进行化简，之后运算即可得到答案．
【详解】解： ．
故选：C
【点睛】本题主要考查绝对值以及立方根的定义，掌握绝对值以及立方根的定义是解题的关键．
16．B
【分析】根据立方根、算术平方根、平方根进行判断即可．
【详解】解：①负数有立方根，说法不正确，符合题意；
②如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是0，说法不正确，符合题意；
③0的算术平方根一定是0，说法不正确，符合题意；④ 的算术平方根是 ，说法正确，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平方根即若 （是非负数），则称是数的平方根、立方根若 ，则称是数的立方根，
算术平方根即平方根的正的，熟练掌握定义是解题的关键．
17．D
【分析】利用n次方根的定义逐项判断即可解答．
【详解】解：∵任何实数的偶数次都是非负数，
∴负数a没有偶数次方根，
∴A选项的结论不符合题意；
∵任何实数a都有奇数次方根，
∴B选项的结论不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴C选项的结论不符合题意；
∵ ，
∴ ，
∴D选项的结论符合题意，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了方根的意义，理解并熟练应用n次方根的定义是解题的关键．
18．A
【分析】根据代数式 与 是同类项，求出m，n的值，再计算 即可求解．
【详解】∵代数式 与 是同类项，
∴ ，
∴ ，
∴
故选A．
【点睛】本题考查同类项和立方根的知识，解题的关键是根据同类项和立方根的定义进行求解．
19．A
【分析】设正方体的原体积为1，则此时原棱长为1，再由扩大后的体积求出扩大后的棱长，然后比较即可．【详解】设正方体的原体积为1，
根据正方体体积公式可知此时原棱长为1，
体积扩大为原来的n倍后，体积为n，
此时棱长为 ，
棱长变为原来的 ，
故选A．
【点睛】本题考查了正方体的体积公式和求一个数的立方根，解此类题时可先对一个未知量进行假设，从而简化
过程．
20．B
【分析】根据平方根，算术平方根和立方根的定义判断即可．
【详解】解：A．任何数都有立方根，而负数没有平方根，故错误；
B．一个实数的平方根与它的立方根相等，这个数是0，故正确；
C．一个正数的平方根有正数和负数，而一个正数的立方根是正数，故错误；
D．一个数的算术平方根与它的立方根相等，这个数是0或1，故错误；
故选B．
【点睛】本题考查了平方根，算术平方根和立方根的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键．
21．(1) 或
(2)
(3)9
【分析】（1）利用开平方即可解答；
（2）利用开立方解答即可；
（3）根据算数术平方根的非负性，解出x的值，求出y的值，根据乘方的法则求出答案．
【详解】（1）解：
或 ；
（2）
；
（3）根据题意得： ，
解得： 且 ，
，
，
.【点睛】本题考查的是平方根、立方根的定义，算数术平方根的非负性，乘方运算，掌握上述知识是解题的关键．
22．
【分析】根据算术平方根和完全平方的非负性求出 ， ，带入求值即可得到答案．
【详解】解： ，
， ，
， ，
，
的立方根为 ．
【点睛】本题考查了算术平方根及完全平方式的非负性，有理数的乘方，立方根的概念，属于基础题，熟练掌握
非负性与相关运算法则是解题关键．
23．(1)3
(2)5；
【分析】（1）立方体的体积等于棱长的3次方，开立方即可得出棱长；
（2）根据魔方的棱长为3，所以小立方体的棱长为1，阴影部分由大正方形的面积减去四个三角形的面积即可；
开平方即可求出边长．
【详解】（1）解：
∴这个魔方的棱长是3．
（2）∵魔方的棱长为3，
∴小立方体的棱长为1，
∴
∴阴影部分的边长是
【点睛】本题考查的是立方根及算术平方根在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据立方根求出魔方的棱长．
24．C
【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性求得a、b值，再根据立方根的定义求解即可．
【详解】解：∵ ，且 ， 。
∴ ， ，
解得： ， ，
∴ ，∴ 的立方根是 ，
故选：C．
【点睛】本题考查算术平方根和绝对值的非负性、立方根，正确求得a、b值是解答的关键．
25．A
【分析】先求出体积，再求立方根即可．
【详解】解：∵铁块体积是
∴锻造成的立方体铁块的棱长为： ，
故选：A．
【点睛】本题考查立方根的应用，会求立方根是解题的关键．
26．C
【分析】利用非负性求各未知数的值即可．
【详解】解：∵
∴ ，
故选C．
【点睛】本题主要考查非负性的运用，能够利用非负性求出数值是解题关键．
27．A
【分析】根据算术平方根、平方根、立方根的运算，直接计算即可．
【详解】解：① ，①错误，
② ，②错误，
③ ，③错误，
④ ，④正确，
⑤ ，⑤错误，
运算错误的有4个
故选：A
【点睛】此题考查了立方根、算术平方根与平方根，熟练掌握立方根与平方根的定义是解本题的关键．
28．B
【分析】根据根号内的小数点移动规律即可求解，立方根的规律为，根号内的小数点移动3位，其结果的小数点
移动一位，小数点的移动方向保持一致．【详解】解：∵ ,
∴ ．
故选B．
【点睛】本题考查了立方根的应用，掌握小数点的移动规律是解题的关键．
29．C
【分析】根据一个正数的平方根有两个，且互为相反数，求出a的值，进而确定出这个数，求出这个数的立方根
即可．
【详解】解：根据题意得：3a＋2＋a＋14＝0，
解得：a＝−4，
∴这个正数是 ，
∴这个数的立方根是 ，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了立方根和平方根定义，根据题意求出a的值，是解题的关键．
30． 4
【分析】根据立方根和平方根的概念即可求解．
【详解】∵
∴64的立方根是4；
∵
∴ ；
故答案为：4，
【点睛】本题考查立方根和平方根的概念，解题的关键是掌握概念，正确求解．
31．4
【分析】根据一个正数的平方根有两个，且是互为相反数，可求出a的值，进而求出x的值，则其立方根可求．
【详解】由平方根的意义可得： ，
解得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：4．
【点睛】本题考查平方根的意义，求一个数的立方根等知识，掌握一个正数的平方根的特征是正确解题的关键．
32．【分析】根据平方根的性质，得出 ，根据立方根的定义得出 ，继而求得 的值，代入
代数式即可求解．
【详解】解：∵某个数 的平方根为 和 ，
∴ ，
∴
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了平方根与立方根综合，掌握平方根与立方根的定义是解题的关键．
33．3
【分析】根据夹逼法求出a，b，算出 ，即可得到答案．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∵a，b为两个相连的整数，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为3．
【点睛】本题考查二次根数的估算及立方根的定义，解题的关键是用夹逼法求出a，b．
34． ##
【分析】根据算术平方根的运算求得 ；根据立方根运算求得 ，进而得出结果．
【详解】解： 是 即4的算术平方根，
，
是 的立方根，
，，
故答案为： ．
【点睛】本题考查平方根与立方根运算，读懂题意，准确表示出 与 值是解决问题的关键．
35．
【分析】设正方体 的棱长是 ，正方体 的棱长是 ，根据题意得出 根据立方根的定义得出 ，即
可求解．
【详解】解：设正方体 的棱长是 ，正方体 的棱长是 ，
依题意得：
∴
即正方体 的棱长是正方体 的棱长的 倍.
故答案为：
【点睛】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题的关键．
36．(1)两；2
(2)a=54
【分析】（1）根据上面的材料所给的方法确定1728的立方根的位数及个位数字即可.
（2）仿照上面材料所给的方法先确定a的位数，再确定个位数字，再确定十位数字即可求出a的值.
【详解】（1）解：∵ ， ，且1000＜1728＜1000000
∴ ，即1728的立方根是一个两位数．
∵1728的个位数字是8，而 ，
∴能确定 的个位数字是2.
故答案为：两，2
（2）解：∵ ， ，且1000＜157464＜1000000
∴ ，即157464的立方根是一个两位数．
∵157464的个位数字是4，而 ，
∴能确定 的个位数字是4.
如果划除157464后面的三位数，得到数157，而125＜157＜216．∴ ，可得 ．
∴157464的立方根的十位数字是5．
∴157464的立方根是54．
即a=54
经过验证
【点睛】本题主要考查了学生的阅读理解能力，能够读懂材料并能熟练计算1-10的立方是解题的关键.
37．(1)5
(2)
(3)3
【分析】(1)把 ， 代入代数式计算，即可求得结果；
(2)首先根据题意可求得 ， ，再由 ，即可求得x、y的值，再代入代数式计算，即可求得结果；
(3)由题意可得 ，据此即可解答．
【详解】（1）解：把 ， 代入 ，得
；
（2）解： 是 的立方根，
，
的绝对值是5，
，
又 ，
，
；
（3）解： ，
，
．
【点睛】本题考查了代数式求值问题，求一个数的立方根及绝对值，熟练掌握和运用代数式求值问题的方法是解
决本题的关键．
38．(1) ，1或(2) ，6
【分析】（1）先去括号，再计算整式的加减，然后根据立方根、绝对值求出 的值，最后代入计算即可得；
（2）先去括号，再计算整式的加减，然后根据 可得 ，最后代入计算即可得．
【详解】（1）解：原式
，
，
，
，
或 ，
解得 或 ，
当 时，原式 ，
当 时，原式 ，
综上， 的值为1或 ．
（2）解：原式
，
由 得： ，
则原式 ．
【点睛】本题考查了整式加减中的化简求值、立方根、一元一次方程的应用，熟练掌握整式的加减运算法则是解
题关键．
39．(1)
(2)
【分析】（1）根据立方根的概念和算术平方根的概念进行求解即可；
（2）先代值计算，再根据平方根的定义进行求解即可．【详解】（1）解：∵ ，∴ ，∴ ；
∵ ，∴ ，∵ ，∴ ；
∵ ，∴ ；
（2）把： 代入 得：
，
∵ ，
∴ 的平方根是： ．
【点睛】本题考查平方根，算术平方根和立方根，熟练掌握平方根：一个数 的平方是 ， 叫做 的平方根；算
术平方根：一个非负数 的平方是 ， 叫做 的算术平方根；立方根：一个数 的立方是 ， 叫做 的立方根，
是解题的关键．
40．(1)
(2)3
(3) ， ； ， ； ，
【分析】（1）根据题目中给定的方法进行求解即可；
（2）根据两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数，进行计算即可；
（3）根据立方根的性质，立方根是本身的数为 ，进行分类讨论，再根据两个数互为相反数，则这两个数的立
方根也互为相反数，进行计算即可．
【详解】（1）解：因为 ， ，所以 是两位数，
因为 ；猜想 的个位数字是9，
接着将 往前移动3位小数点后约为117，因为 ，所以 的十位数字应为4，于是猜想
，验证得： 的立方根是 ；
最后再依据“负数的立方根是负数”得到 ；
（2）解：∵ ，
∴ 和 互为相反数，
∴ ，
∴ ；故答案为：3．
（3）解： ，即 ，
∴ 或1或
解得： 或3或1
∵ 与 互为相反数，即 ，
∴ ，即 ，
∴ 时， ；
当 时， ；
当 时， ．
