文档内容
§10.3 随机事件与概率
课标要求 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与
概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简
单随机事件的概率．
知识梳理
1．样本空间和随机事件
(1)样本点和样本空间
样本点：随机试验中每一种可能出现的结果称为样本点．
样本空间：由所有样本点组成的集合称为样本空间，常用Ω表示．
(2)随机事件
一般地，如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个非空真子集，而且若试
验的结果是A中的元素，则称A发生，否则，称A不发生．
2．两个事件的关系和运算
含义 符号表示
包含关系 A发生导致B发生
相等关系 B⊇A且A⊇B
并事件(和事件) A与B至少一个发生 A∪B或A＋B
交事件(积事件) A与B同时发生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A与B不能同时发生 A∩B＝∅
互为对立 A与B有且仅有一个发生
3.古典概型的特征
(1)有限性：样本空间所包含的样本点个数是 ；
(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性大小都 ．
4．古典概型的概率公式
假设样本空间含有n个样本点，如果事件C包含m个样本点，则由互斥事件的概率加法公
式可知P(C)＝ .
5．概率的性质
性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；
性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；
性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A＋B)＝ ；性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝ ；
性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件 A，因为∅⊆A⊆Ω，
所以0≤P(A)≤1；
性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A＋B)＝ ．
6．频率与概率
(1)频率的稳定性
一般地，如果在n次重复进行的试验中，一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的概
率，而且，试验的次数越多，频率与概率之间差距很小的可能性越大．
(2)频率稳定性的作用
可以用频率f(A)估计概率P(A)．
n
常用结论
1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件
互斥是对立的必要不充分条件．
2．若事件A，A，…，A 两两互斥，则P(A＋A＋…＋A)＝P(A)＋P(A)＋…＋P(A)．
1 2 n 1 2 n 1 2 n
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的．( )
(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．( )
(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．( )
(4)若A＋B是必然事件，则A与B是对立事件．( )
2．一个人打靶时连续射击两次，与事件“至多有一次中靶”互斥的事件是( )
A．至少有一次中靶
B．两次都中靶
C．只有一次中靶
D．两次都不中靶
3．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于 160 cm的概率为0.2，该同学的身
高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )
A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8
4．(2022·全国乙卷)从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选
的概率为________.
题型一 随机事件的关系
命题点1 随机事件间关系的判断
例1 (1)(多选)(2023·大连模拟)有甲、乙两种报纸供市民订阅，记事件E为“只订甲报纸”，
事件F为“至少订一种报纸”，事件G为“至多订一种报纸”，事件I为“一种报纸也不订”，下列命题正确的是( )
A．E与G是互斥事件
B．F与I互为对立事件
C．F与G不是互斥事件
D．G与I是互斥事件
(2)(多选)某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，
则下列结论正确的是( )
A．A⊆B
B．A＋B＝∅
C．A＋B＝“至少一次中靶”
D．A与B互为对立事件
命题点2 利用互斥、对立事件求概率
例2 某商场的有奖销售活动中，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1 000张奖券为一个
开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二
等奖的事件分别为A，B，C，求：
(1)1张奖券的中奖概率；
(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
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命题点3 用频率估计概率
例3 (多选)某校为了解学校餐厅中午的用餐情况，分别统计了食用大米套餐和面食的人数，
剩下的为食用米线、汉堡等其他食品(每人只选一种)，结果如表所示：
总人数 食用大米套餐人数 食用面食人数
1 000 550 260
假设随机抽取一位同学，记“中午吃大米套餐”为事件M，“吃面食”为事件N，“吃米线、
汉堡等其他食品”为事件H，若用频率估计事件发生的概率，则下列结论正确的是( )
A．P(M)＝0.55 B．P(N)＝0.26
C．P(H)＝0.19 D．P(N＋H)＝0.65
跟踪训练1 (1)从装有10个红球和10个白球的罐子里任取两球，下列情况中互斥而不对立
的两个事件的是( )
A．至少有一个红球；至少有一个白球
B．恰有一个红球；都是白球C．至少有一个红球；都是白球
D．至多有一个红球；都是红球
(2)某工厂有四条流水线生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的0.20,0.25，
0.3，0.25，这四条流水线的合格率依次为0.95,0.96,0.97,0.98，现在从出厂产品中任取一件，
则恰好抽到不合格产品的概率是________．
题型二 古典概型
例4 (1)(2023·湖北省十一校联考)在“2,3,5,7,11,13,17,19”这8个素数中，任取2个不同的数
则这两个数之和仍为素数的概率是( )
A. B. C. D.
(2)(2023·秦皇岛模拟)某学校为了搞好课后服务工作，教务科组建了一批社团，学生们都能
自主选择自己喜欢的社团．目前话剧社团、书法社团、摄影社团、街舞社团分别还可以再接
收1名学生，恰好含甲、乙的4名同学前来教务科申请加入，按学校规定每人只能加入一个
社团，则甲进街舞社团，乙进书法社团或摄影社团的概率为( )
A. B. C. D.
思维升华 利用公式法求解古典概型问题的步骤
跟踪训练2 (1)(2023·济南模拟)从正六边形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角
形是直角三角形的概率为( )
A. B. C. D.
(2)(2024·茂名模拟)从1,2,3,4,5中任选3个不同数字组成一个三位数，则该三位数能被3整除
的概率为( )
A. B. C. D.
题型三 概率的综合问题
例5 某省高考目前实行“3＋1＋2”模式，其中“3”指的是语文、数学、外语这3门必选
科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这2门首选科目中选择1门，“2”指的是考生需
要在思想政治、地理、化学、生物这4门再选科目中选择2门，已知某大学医学院临床医学
类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少1门．
(1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合该大学医学院临床医学类招生选科
要求的概率；
(2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，且三人的选择互不影响，求这三人中恰有两人的选科组合符合该大学医学院临床医学类招生选科要求的概率．
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跟踪训练3 为了备战2024年法国巴黎奥运会(第33届夏季奥林匹克运动会)，中国射击队的
甲、乙两名运动员展开队内对抗赛．甲、乙两名运动员对同一目标各射击一次，且两人命中
目标与否互不影响．已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为.
(1)求甲没有命中目标的概率；
(2)在两次射击中，求恰好有一人命中目标的概率．
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