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训练 34 随机事件的概率与古典概型
一、单项选择题
1．(2023·桂林模拟)甲、乙两人各进行1次射击，如果两人击中目标的概率分别为 0.8和
0.4，则其中恰有1人击中目标的概率是( )
A．0.32 B．0.56 C．0.44 D．0.68
答案 B
解析 恰好有1人击中，表示甲击中乙没有击中或甲没有击中乙击中，这两个是互斥事件，
根据相互独立事件和互斥事件的概率公式可得
P＝0.8×0.6＋0.2×0.4＝0.56.
2．(2023·泰州模拟)为了强化安全意识，某校拟在周一至周五的 5天中随机选择2天进行紧
急疏散演练，则选择的2天恰好是连续2天的概率是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题意，某校拟在周一至周五的5天中随机选择2天进行紧急疏散演练，
可得样本点的总数为n＝C＝10(个)，
其中选择的2天恰好为连续2天包括的样本点的个数为m＝4，
所以选择的2天恰好是连续2天的概率P＝＝＝.
3．飞沫传播是呼吸系统疾病传播的主要途径，已知患者通过飞沫传播被感染的概率为，假
设甲、乙两患者是否通过飞沫传播被感染相互独立，则甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫
传播被感染的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 ∵患者通过飞沫传播被感染的概率为，
∴患者不是通过飞沫传播被感染的概率为，
∴甲、乙两患者都不是通过飞沫传播被感染的概率为×＝，
故甲、乙两患者至少有一人是通过飞沫传播被感染的概率为1－＝.
4．(2023·新余模拟)据中国汽车工业协会统计显示，2022年我国新能源汽车持续爆发式增长，
购买电动汽车的家庭越来越多．某学校为方便驾驶电动汽车的教职工充电，在停车场开展充
电桩安装试点．如图，试点区域共有十个车位，安装了三个充电桩，每个充电桩只能给其南
北两侧车位中的一辆电动汽车充电．现有3辆燃油车和2辆电动汽车同时随机停入试点区域
(停车前所有车位都空置)，请问2辆电动汽车能同时充上电的概率为( )A. B. C. D.
答案 D
解析 记事件E＝“2辆电动汽车能同时充上电”，先从B，i∈{1,2,3,4,5,6}中任选一个车位
i
给第一辆电动汽车，有C种选择，再从不与第一辆电动汽车并列的剩余四个车位中找一个
给第二辆电动汽车，有C种选择，最后从剩余8个车位中随机选取3个安排燃油车即可，所
以P(E)＝＝.
二、多项选择题
5．已知事件A，B满足P(A)＝0.6，P(B)＝0.2，则下列结论正确的是( )
A．P()＝0.8，P()＝0.4
B．如果B⊆A，那么P(A＋B)＝0.6
C．如果A与B互斥，那么P(A＋B)＝0.8
D．如果A与B相互独立，那么P()＝0.32
答案 BCD
解析 对于选项A，P()＝1－P(A)＝0.4，P()＝1－P(B)＝0.8，故选项A错误；
对于选项B，如果B⊆A，那么P(A＋B)＝P(A)＝0.6，选项B正确；
对于选项C，如果A与B互斥，那么P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8，所以选项C正确；
对于选项D，如果A与B相互独立，那么P()＝P()P()＝0.4×0.8＝0.32，所以选项D正确．
6．某次数学考试中有一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对
的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分”．已知某选择题的正确答案是CD，且甲、
乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是( )
A．甲同学仅随机选一个选项，能得2分的概率是
B．乙同学仅随机选两个选项，能得5分的概率是
C．丙同学随机至少选择一个选项，能得分的概率是
D．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是
答案 ABD
解析 对于A，甲同学仅随机选一个选项，有A，B，C，D四种情况，能得2分的有C或
D，有2种，所以能得2分的概率是＝，故选项A正确；
对于B，乙同学仅随机选两个选项，有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种，能得5分的
情况为CD，只有1种情况，所以能得5分的概率是，故选项B正确；
对于C，丙同学随机至少选择一个选项，选一个选项，有A，B，C，D共4种情况；
选两个选项有AB，AC，AD，BC，BD，CD共6种；
选三个选项有ABC，ABD，ACD，BCD共4种，
所以共有4＋6＋4＝14(种)情况，
能得分的有C，D，CD共3种情况，所以能得分的概率是，故选项C错误；
对于D，丁同学随机至少选择两个选项，选两个选项有 AB，AC，AD，BC，BD，CD共6
种；选三个选项有ABC，ABD，ACD，BCD共4种，所以共有6＋4＝10(种)情况，能得分
的有CD共1种情况，所以能得分的概率是，故选项D正确．
三、填空题
7．(2024·皖西联盟模拟)若从集合{1,2,3,5,7,8,10}中任选一个元素，则这个元素是奇数的概率
为______．
答案
解析 集合{1,2,3,5,7,8,10}里共有7个元素，其中4个是奇数，故所求概率为.
8．魔方，又叫鲁比克方块，是由匈牙利布达佩斯建筑学院的厄尔诺·鲁比克教授于1974年
发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋同被称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔
方(如图所示)可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正
方体切开所得．现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称
为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到
边缘方块的概率为________，抽到的是中心方块或边角方块的概率为________．
答案
解析 沿等分线把正方体切开，得到27个同样大小的小正方体，1面有色的小正方体有6个，
2面有色的小正方体有12个，3面有色的小正方体有8个，所以恰好抽到边缘方块的概率为
＝.抽到的是中心方块或边角方块的概率是＋＝.
四、解答题
9．某校近几年加大了对学生奥赛的培训力度，为了选择培训的对象，今年5月该校进行了
一次化学竞赛．现从参加竞赛的同学中，选取100名同学并将其成绩(百分制，均为整数)分
成五组：第1组[50,60)，第2组[60,70)，第3组[70,80)，第4组[80,90)，第5组[90,100]．得
到如图所示的频率直方图，观察图形，回答下列问题：(1)求a的值，并求这组数据的中位数(中位数结果保留两位小数)；
(2)已知分数在[50,60)之间的男生与女生的比例为3∶2，从分数在[50,60)内的同学中随机抽
取2人，求这2人均为男生的概率．
解 (1)由题意得10×a＋(0.020＋0.030＋0.025＋0.020)×10＝1，解得a＝0.005.
设该组数据的中位数是x，则10×(0.005＋0.020)＋(x－70)×0.030＝0.5，
经计算，得x≈78.33，故该组数据的中位数约为78.33.
(2)第1组人数为100×10×0.005＝5，则男生3人，女生2人．
将男生记为a，b，c，女生记为A，B.从这5人中随机抽取2人的情况有(a，b)，(a，c)，
(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，共10种；
被抽到的2人均为男生的情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种．
故被抽到的2人均为男生的概率P＝.
10．为了使房价回归到收入可支撑的水平，让全体人民住有所居，近年来全国各一、二线城
市打击投机购房，陆续出台了楼市限购令．某市一小区为了进一步了解已购房民众对市政府
岀台楼市限购令的认同情况，随机抽取了本小区50户住户进行调查，各户人均月收入(单位：
千元)的户数频率直方图如图，其中赞成限购的户数如下表：
人均月收入 [1，3) [3，5) [5，7) [7，9) [9，11) [11，13]
赞成户数 4 9 12 6 3 1
(1)若从人均月收入在[9,11)的住户中再随机抽取两户，求所抽取的两户中至少有一户赞成楼
市限购令的概率；
(2)若将小区人均月收入不低于7千元的住户称为“高收入户”，人均月收入低于7千元的住
户称为“非高收入户”，根据已知条件完成所给的2×2列联表，并判断是否有99%的把握
认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关．非高收入户 高收入户 合计
赞成
不赞成
合计
附：临界值表
P(χ2≥x) 0.1 0.05 0.010 0.001
0
x 2.706 3.841 6.635 10.828
0
参考公式：χ2＝，
n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)由直方图知，人均月收入在[9,11)的住户共有50×0.06×2＝6(户)，其中有3户赞成，
3户不赞成．
设事件A为“所抽取的两户中至少有一户赞成楼市限购令”，则由古典概型概率计算公式
可知P(A)＝＝.
(2)依题意可得，2×2列联表如下：
非高收入户 高收入户 合计
赞成 25 10 35
不赞成 5 10 15
合计 30 20 50
提出假设H：“收入的高低”与“赞成楼市限购令”无关．根据2×2列联表中的数据可得，
0
χ2＝＝≈6.349<6.635，
所以没有99%的把握认为“收入的高低”与“赞成楼市限购令”有关．
