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训练 36 概率与统计的综合问题
一、单项选择题
1．设随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝mk(k＝1,2,3)，则m的值为( )
A. B. C. D.
2．设0<P(A)<1,0<P(B)<1，则“P(A|B)＋P(|)＝1”是“A与B相互独立”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层．内层为亲肤材
质(普通卫生纱布或无纺布)，中层为隔离过滤层(超细聚丙烯纤维熔喷材料层)，外层为特殊
材料抑菌层(无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层)．国家质量监督检验标准中，医用口罩的过滤
率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过
滤率X～N(0.937 2，0.013 92)．若生产状态正常，有如下命题：
甲：P(X≤0.9)<0.5；
乙：X的取值在(0.93,0.943 9)内的概率与在(0.937 2，0.951 1)内的概率相等；
丙：P(X<0.9)＝P(X>0.974 4)；
丁：记ξ表示一天内抽取的50只口罩中过滤率不小于1.001的数量，则P(ξ≥1)>0.6.
其中假命题是( )
(参考数据：若X～N(μ，σ2) (σ>0)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.683，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.954,
P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.997；0.9850≈0.364)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
4．设a∈，随机变量X的概率分布如表所示，随机变量Y满足Y＝3X＋2，则当a在上增大
时，关于D(Y)的表述，下列正确的是( )
X －2 －1 0
P 2b b－a a
A.D(Y)增大 B．D(Y)减小
C．D(Y)先增大后减小 D．D(Y)先减小后增大
二、多项选择题
5．设A，B是两个事件，且B发生A必定发生，0<P(A)<1,0<P(B)<1，给出下列各式，其中
正确的是( )
A．P(A＋B)＝P(B) B．P(B|A)＝
C．P(A|B)＝1 D．P(AB)＝P(A)6．(2024·烟台模拟)骰子通常作为桌上游戏的小道具，最常见的骰子是六面骰，它是一个质
地均匀的正方体，六个面上分别写有数字 1,2,3,4,5,6，现有一款闯关游戏，共有4关，规则
如下：在第n关要抛掷六面骰n次，每次观察向上面的点数并做记录，如果这n次抛掷所出
现的点数之和大于2n＋n，则算闯过第n关，n＝1,2,3,4，假定每次闯关互不影响，则( )
A．直接挑战第2关并过关的概率为
B．连续挑战前两关并过关的概率为
C．若直接挑战第3关，设A＝“三个点数之和等于15”，B＝“至少出现一个5点”，则
P(A|B)＝
D．若直接挑战第4关，则过关的概率是
三、填空题
7．已知甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，甲和乙是否命中目标互不影响，且
各次射击是否命中目标也互不影响．若按甲、乙、甲、乙……的次序轮流射击，直到有一人
击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是______．
8．对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后
结果的误差ε ～N，为使误差ε 在(－0.5,0.5)的概率不小于0.954，至少要测量________次(若
n n
X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<2σ)≈0.954)．
四、解答题
9．为评估设备M生产某种零件的性能，从设备M生产零件的流水线上随机抽取100个零件
作为样本，测量其直径(单位：mm)后，整理得到下表：
直
径/ 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计
mm
个数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100
经计算，样本直径的平均值μ＝65，标准差σ＝2.2，以频率值作为概率的估计值．
(1)为评判一台设备的性能，从该设备加工的零件中任意抽取一个，记其直径为X，并根据以
下不等式进行评判(P表示相应事件的概率)：①P(μ－σ<X<μ＋σ)≥0.683；②P(μ－2σ<X<μ＋
2σ)≥0.954；③P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≥0.997.评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设
备等级为甲；若仅满足其中两个不等式，则设备等级为乙；若仅满足其中一个不等式，则设
备等级为丙；若全部都不满足，则设备等级为丁，试判断设备M的性能等级；
(2)将直径小于μ－2σ或直径大于μ＋2σ的零件认为是次品．
①从设备M的生产流水线上随机抽取2个零件，计算其中次品个数Y的均值E(Y)；
②从样本中随机抽取2个零件，计算其中次品个数Z的概率分布和均值E(Z)．10．(2024·唐山模拟)某中学体育组对高三的800名男生做了单次引体向上的测试，得到了如
图所示的频率直方图(引体向上个数只记整数)．体育组为进一步了解情况，组织了两个研究
小组．
(1)第一小组决定从单次完成1～15个引体向上的男生中，采用分层抽样的方法抽取22人进
行全面的体能测试．
①在单次完成6～10个引体向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这22人中抽取3人进行个别访谈，记抽到“单次完成引体向上1～5个”的人
数为随机变量X，求X的概率分布和均值；
(2)第二小组从学校学生的学业成绩与体育成绩相关性角度进行研究，得到了这800人的学
业成绩与体育成绩之间的2×2列联表．
学业成绩
体育成绩 合计
优秀 不优秀
不优秀 200 400 600
优秀 100 100 200
合计 300 500 800
判断能否有99.9%的把握认为学业成绩与体育成绩有关？
参考公式：χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
临界值表：
P(χ2≥x) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
0
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
0
