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训练 35 随机变量及其概率分布
一、单项选择题
1．设ξ的概率分布为
ξ 1 2 3 4
P
又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，
E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.
2．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么( )
A．n＝3 B．n＝4 C．n＝10 D．n＝9
答案 C
解析 由题意知P(X<4)＝3P(X＝1)＝0.3，
∴P(X＝1)＝0.1，又nP(X＝1)＝1，∴n＝10.
3．(2024·遂宁等八市联考)“四书”是《大学》《中庸》《论语》《孟子》的合称，又称
“四子书”，在世界文化史、思想史上地位极高，所载内容及哲学思想至今仍具有积极意义
和参考价值．为弘扬中国优秀传统文化，某校计划开展“四书”经典诵读比赛活动．某班有
4位同学参赛，每人从《大学》《中庸》《论语》《孟子》这 4本书中选取1本进行准备，
且各自选取的书均不相同．比赛时，若这4位同学从这4本书中随机抽取1本选择其中的内
容诵读，则抽到自己准备的书的人数的均值为( )
A. B．1 C. D．2
答案 B
解析 记抽到自己准备的书的学生数为X，则X可能取值为0,1,2,4，
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，P(X＝4)＝＝，
则E(X)＝0×＋1×＋2×＋4×＝1.
4．(2024·济源质检)如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上
的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正
中间．小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落，当有大量的小球都滚下时，最终在钉
板下面不同位置收集到小球．若一个小球从正上方落下，落到3号位置的概率是( )A. B. C. D.
答案 C
解析 记P(m)为小球经过第n层m号通道，
n
当小球经过第2层时，第一次碰到钉子，向左或向右滚下的概率均为，
所以P(1)＝P(2)＝.
2 2
当小球经过第4层时，共碰到3次钉子，要使得小球经过第2号通道，必须满足1次向右、
2次向左滚下，所以P(2)＝C·3＝，
4
同理可得P(3)＝.
4
要使得小球经过3号位置(即第5层3号通道)，可由第4层2号通道向右滚下，也可以由第4
层3号通道向左滚下，
因此，P(3)＝P(2)＋P(3)＝.
5 4 4
二、多项选择题
5．(2023·泉州模拟)某地卫健委为监测当地居民的某健康指标，随机抽取 100人，检测该健
康指标的指标值T(T∈[－4,4])，并按[－4，－2)，[－2,0)，[0,2)，[2,4]四个区间分组制作图
表如下所示，根据下列相关信息，则( )
[－4，－
指标区间 [－2，0) [0，2) [2，4]
2)
男、女人数比(男性∶女性) 3∶2 2∶1 5∶3 1∶1
城、乡人数比(城市户口∶乡村户
1∶1 4∶1 3∶1 1∶1
口)
A.该地居民的健康指标值T的众数的估计值为1B．该地居民的健康指标值T的中位数的估计值为0
C．样本数据中，T∈[－4，－2)的男性中至少有1人是城市户口
D．若从该地居民中随机任选3人，恰有1人的T∈[0,4]的概率为
答案 ACD
解析 对于A，因为T∈[0,2)的频率为0.4，所以众数的估计值为＝1，故A正确；
对于B，当T＝0.5时，矩形左右两边面积相等，中位数的估计值为0.5，故B错误；
对于C，因为T∈[－4，－2)时，男、女人数比为3∶2，所以在指标区间[－4，－2)中有6
男、4女，再根据城、乡人数比(城市户口∶乡村户口)为1∶1，所以城市户口中至少有一个
是男性，故C正确；
对于D，T∈[0,4]的概率估计值为0.6，从该地居民中随机任选3人，恰有1人的健康指标值
T∈[0,4]的概率为C12＝，故D正确．
6．(2023·唐山模拟)下列说法正确的是( )
A．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，
并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为
B．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
C．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，则P(X＝2)＝
D．若随机变量η～N(2，σ2)，且δ＝3η＋1，则P(η＜2)＝0.5，E(δ)＝6
答案 AC
解析 选项A,5次都没投中的概率为5＝.所以游戏者闯关成功的概率为1－＝，故A正确．
选项B，从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的情况有：
1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都是女生四种．
共有CC＋CC＋CC＋C＝1 155(种)情况．而CC＝1 820，
所以其中至少有一名女生的概率为≠，故B不正确．
选项C，由P(X＝i)＝(i＝1,2,3)，
则a＝1，解得a＝，
所以P(X＝2)＝×＝，故C正确．
选项D，由随机变量η～N(2，σ2)，
则P(η<2)＝0.5，E(η)＝2，
所以E(δ)＝E(3η＋1)＝3E(η)＋1＝7，
故D不正确．
三、填空题
7．(2023·苏州模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，且＝，则P(3<ξ<5)＝____.
答案 0.4
解析 因为ξ～N(3，σ2)，所以该正态密度曲线关于直线x＝3对称，则P(ξ<1)＝1－P(ξ<5)，又＝得P(ξ<1)＝0.1，P(ξ<5)＝0.9，
所以P(3<ξ<5)＝[P(ξ<5)－P(ξ<1)]＝0.4.
8．一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病，在患有此种疾病的人群中通过化验有 95%的
人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有1%的人呈阳性反应，某地区此种病患者占人口
数的0.5%，则：
(1)某人化验结果为阳性的概率为________；
(2)若此人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率为________．
答案 1.47%
解析 根据题意，设事件A为“呈阳性反应”，事件B为“患有此种病”．
(1)P(A)＝0.5%×95%＋99.5%×1%＝1.47%.
(2)P(B|A)＝＝＝.
四、解答题
9．已知条件①采用无放回抽取；②采用有放回抽取，请在上述两个条件中任选一个，补充
在下面问题中横线上并作答，选两个条件作答的以条件①评分．
问题：在一个口袋中装有3个红球和4个白球，这些球除颜色外完全相同，若________，从
这7个球中随机抽取3个球，记取出的3个球中红球的个数为X，求随机变量X的概率分布
和均值．
解 若选①，由题意得，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
若选②，由题意得，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，且X～B，
所以P(X＝0)＝C×3＝，
P(X＝1)＝C××2＝，
P(X＝2)＝C×2×＝，
P(X＝3)＝C×3＝，
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3P
E(X)＝3×＝.
10．某市为了了解全市1万名学生的汉字书写水平，在全市范围内进行了汉字听写考试，发
现其成绩服从正态分布N(76,49)，现从某校随机抽取了50名学生，将所得成绩整理后，绘
制如图所示的频率直方图．
(1)估算该校50名学生成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)求这50名学生成绩在[80,100]的人数；
(3)现从该校50名考生成绩在[80,100]的学生中随机抽取两人，这两人成绩排名(从高到低)在
全市前230名的人数记为X，求X的概率分布和均值．
参考数据：X～N(μ，σ)，则P(μ－σ
