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专题27.2相似三角形
一、知识点梳理
要点一、相似三角形
1. 相似三角形的判定:
判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
要点诠释：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，
判断的结果可能是错误的.
判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
要点诠释：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个
锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
2. 相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
(3) 相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
要点二、相似三角形的应用
1.测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 标杆测量法
2.测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
要点诠释：
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高
的比;
3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
常见模型：二、题型总结
【题型1相似三角形的判定】
【例1】．如图，D是 边 上一点，添加一个条件后，仍无法判定 的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-1】．如图，已知 ，那么添加一个条件后，仍不能判定 与 相似的是( )A． B． C． D．
【变式1-2】．如图，点B、C在线段 上，且 ， ， 是边长为6的等边三角形．
求证： ．
【变式1-3】．如图所示，在 的正方形方格中， 和 的顶点都在边长为 的小正方形的顶点上．
(1)填空： ______， ______；
(2)判断 与 是否相似？并证明你的结论．
【题型2 相似三角形的性质】
【例2】．若 ，其相似比为 ，则 与 的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】．两相似三角形对应高的比为 ，那么这两个三角形的周长比为______．
【变式2-2】．已知 与 相似，且 与 的面积比为 ，若 的周长为16，那么 的周
长等于________．
【变式2-3】．如图，已知 和 的相似比是 ，且 的面积是1，求四边形 的面积．【题型3 相似三角形的性质与判定综合】
【例3】．如图，在 和 中， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求
【变式3-1】．如图， 中， 是直角，过斜边中点 而垂直于斜边 的直线交 的延长线于 ，交
于 ，连接 .
求证：
(1) ；
(2) .
【变式3-2】．如图，在 中，D，E分别是 上的点， ， ， ．(1)求证： ；
(2)求 的长．
【变式3-3】．如图，在正方形 中， 为边 的中点，点 在边 上，且 ，延长 交 的延
长线于点 ．
(1)求证： ∽ ；
(2)若 ，求 的长．
【题型4 相似三角形的应用】
【例4】．如图，小益利用标杆 测量旗杆 的高度，测得小益的身高 米，标杆 米， 米，
米，则旗杆 的高度是______米．【变式4-1】．数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，把镜子放在离树 的点E处，然后沿着直线 后退
到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，在用尺子量的 ，观察者目高 ，求树高 为
______m．
【变式4-2】．如图，小明家楼房旁立了一根长4米的竹竿 ，小明在测量竹竿的影子长度时，发现影子不全落在
地面上，有一部分落在楼房的墙壁上，小明测出它落在地面上的影子 长为2米，落在墙壁上的影子 长为1米，
此时，小明想把竹竿移动位置，使其影子刚好不落在墙壁上．试问，小明应把竹竿移到什么位置？（要求竹竿移动的
距离尽可能小）
【变式4-3】．甲乙两位同学利用灯光下的影子来测量一路灯A的高度，如图，当甲走到点C处时，乙测得甲直立身
高CD与其影子长CE正好相等，接着甲沿BC方向继续向前走，走到点E处时，甲直立身高EF与影子恰好是线段
EG，并测得EG=2.5m，已知甲直立时的身高为1.5m，求路灯的高AB的长.
【题型5 与相似有关的动点问题】
【例5】．如图，在 中， ，点M从点A开始沿 边向点C以 的速度运动，点N从点C开始沿
边向点B以 的速度运动，当点M到达点C时，点M，N同时停止运动．若 ， 的长是
的两根（其中 ，单位： ）．(1)求 ， 的长；
(2)如果点M，N分别从点A，C同时出发，那么几秒后， 的面积为 ？
(3)如果点M，N分别从点A，C同时出发， 是否能和 相似？如果能，请求出运动的时间；如果不能，请
说明理由．
【变式5-1】．如图，在平面直角坐标系内，已知点 ，点 ．动点 从点 开始，在线段 上以每秒
个单位长度的速度向点 移动，同时动点 从点 开始，在线段 上以每秒 个单位长度的速度向点 移动，设点
移动的时间为 ．
(1)求出 的长度；
(2)用含有 的式子表示 和 ；
(3)当 为何值时， 与 相似？
【变式5-2】．如图， 中， ， ， ，动点P从点B出发，在 边上以每秒
的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在 边上以每秒 的速度向点B匀速运动，运动时间为t
秒（ ），连接 ．(1)请用含t的代数式表示： ______， ______；
(2)求当t为何值时， 与 相似？
【变式5-3】．如图，在 中， ， ，动点M从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，动点N
从点A出发以4cm/s速度向点C运动．若M，N两动点同时运动，设两点运动时间为xs．
(1)当 时，求证： ；
(2)当x为何值时， ．
三、课后练习
1．已知 ，则 （ ）A．2 B． C．3 D．
2．如图， ，且 ，则 与 的相似比为( )
A． B． C． D．
3．在△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，根据下列条件，能判断△ABC和△DEF相似的是（ ）
A． B． C．∠A=∠E D．∠B=∠D
4．若 ，且相似比为 ，则 与 对应高的比为（ ）
A． B． C． D．
5．若 ，相似比为1:2，则 与 的面积的比为（ ）
A．1:2 B．2:1 C．1:4 D．4:1
6．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 相似的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，身高为 的小明想测量一下操场边大树的高度，他沿着树影 由B到A走去，当走到C点时，他的影
子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 ， ，于是得出树的高度为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距
离AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（ ）
A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6 m
9．如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．
求证：△ABC∽△AED．
10．如图，竖立在点B处的标杆 长2.1米，某测量工作人员站在D点处，此时人眼睛C与标杆顶端A、树顶端E
在同一直线上（点D、B、F也在同一直线上），己知此人眼晴与地面的距离 长1.6米，且 米， 米，
求所测量树的高度为_____________米．
11．如图，已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处，折痕与BC交
于点O．
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）若PO：PA=1：2，则边AB的长是多少？12．中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”．修建高铁时常常要逢
山开道、遇水搭桥．如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M、N为山的两侧)，工程人员为了计算MN两点之
间的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000
米，AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长．
13．在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB=2米，它的影子BC=1.6米，木杆PQ的影子有
一部分落在墙上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木杆PQ的长度．
14．如图，在 中， 、 分别在 、 上， 于点 ， 于点 ， ．(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的值．
15．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，
以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t．
（1）用含t的代数式表示：AP= ，AQ= ．
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？
