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2017-2018学年重庆市南开中学八年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（本大题12小题，每小题4分，共48分）在美国小题的小面，都给出了代号为A、B、C、D
的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内.
1．若分式 的值为零，则x的值是（ ）
A．3B．﹣3 C．±3 D．0
2．下列电视台图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．m2+n2=（m+n）2 B．x2﹣1=x（x﹣ ）
C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2﹣2 D．x2﹣4y2=（x﹣2y）（x+2y）
4．将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
5．六边形的内角和为（ ）
A．360° B．540° C．720° D．1080°
6．若函数 的图象经过点（3，﹣4），则它的图象一定还经过点（ ）
A．（3，4）B．（2，6）C．（﹣12，1）D．（﹣3，﹣4）
第1页（共36页）7．已知关于x方程2x2﹣x+3=0，下列叙述正确的是（ ）
A．有一个实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
8．融侨半岛某文具店购入一批笔袋进行销售，进价为每个20元，当售价为每个50元时，每星期可以
卖出100个，现需降价处理：售价每降价3元，每星期可以多卖出15个，店里每星期笔袋的利润要达
到3125元．若设店主把每个笔袋售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（30+x）（100﹣15x）=3125 B．（30﹣x）（100+15x）=3125
C．（30+x）（100﹣5x）=3125 D．（30﹣x）（100+5x）=3125
9．如图，身高1.8m的小超站在某路灯下，发现自己的影长恰好是3m，经测量，此时小超离路灯底部
的距离是9m，则路灯离地面的高度是（ ）
A．5.4m B．6m C．7.2m D．9m
10．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格
点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与△ABC相似的三角形是（ ）
A．△ACD B．△ADF C．△BDF D．△CDE
11．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第10个图
形需要黑色棋子的个数是（ ）
A．140 B．120 C．99 D．86
第2页（共36页）12．如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A坐标为（﹣1，0），顶点B的坐标为（0，﹣2），经过顶
点C的双曲线y= （k＞0）与线段AD交于点E，且AE：DE=2：1，则k的值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将答案直接填写在答题卷对应的横线上.
13．若 ，则 = ．
14．若△ABC∽△DEF，且周长的比为3：1，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为 ．
15．如图，△ABC中，CE：EB=2：3，DE∥AB，若△ABC的面积为25，则△BDE的面积为
．
16．如图，等腰△ABC的腰长为2 ，D为底边BC上一点，且BD=2，E为腰AC上一点，若
∠ADE=∠B=30°，则CE的长为 ．
第3页（共36页）17．从﹣2，﹣1，1，2，4这五个数中随机抽取一个数记为a，a的值既能使关于x的方程 ﹣a=
无解，又能使关于x的反比例函数y= 的图象不经过第二象限的概率是 ．
18．如图，正方形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，顶点C在x轴的负半轴上，反比例函数y=﹣
在第二象限的图象经过点B，点D坐标为（﹣2，0），将正方形沿BD翻折，使点C落在E处，分别延长
BE、DE角y轴于点F和G，则线段FG的长度是 ．
三、计算题：(本大题共3个小题，19题、20题每小题8分，21题8分，共28分）解答时每小题必须给出
必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卷中对应的位置上.
19．（1）分解因式：2x2+4xy+2y2；
（2）分式计算： + ．
20．解方程：
（1）x2=（3﹣2x）2；
（2）x2+4x﹣3=0；
（3） + = ．
21．先化简，再求值： ÷（ ﹣x﹣3y）+ ，其中x、y满足（x﹣1）2+|y﹣2|=0．
第4页（共36页）四、解答题：（本大题共5个小题，22题8分，23题、24题、25题命题10分，26题12分，共50分）解答
时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卷对应的位置上）
22．某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的重庆﹣﹣我最喜爱的重庆小
吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：
请根据所给信息解答以下问题：
（1）请补全条形统计图；
（2）若全校有3000名同学，请估计全校同学中最喜爱“米花糖”的同学有多少人？
（3）在此次调查活动中，有3男2女共5名工作人员，若从中随机选择2名负责调查问卷的发放和回
收工作，请用列表或画树状图的方法，求出这2名工作人员恰好是1男1女的概率．
23．如图，已知A（n，﹣4），B（3，2）是一次函数y =kx+b的图象和反比例函数y = 的图象的两个交点，
1 2
直线AB与x轴交于点D．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△BOD的面积；
（3）根据图象，请直接写出y ＞y 时x的取值范围．
1 2
第5页（共36页）24．如图1，△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接DE．
（1）若AB=BC，DE=1，BE=3，求△ABC的周长；
（2）如图2，若AB=BC，AD=BD，∠ADB的角平分线DF交BE于点F，求证：BF= DE；
（3）如图3，若AB≠BC，AD=BD，将△ADC沿着AC翻折得到△AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、
BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论．
25．重庆市2015中考体育考了立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳、中长跑（女子800米、男子1000米），
其中，中长跑成绩不计入总分，但考生必须参加《国家学生体质健康标准》规定的女子800米和男子
1000米项目的测试达标后，方能参加其他三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷
实心球15分，1分钟跳绳20分．
为了尽快适应中招体考项目，北关中学初二（1）班委会计划购买跳绳45条以及实心球45个供班上
60名同学集体使用，经过了解，发现共需要1350元．
（1）在资费筹集阶段，班委会了解到，跳绳的单价比之前上涨了25%，实心球的单价比之前上涨了
50%，这样购买原计划数量的跳绳和实心球就需要1800元，请问跳绳和实心球的最新价格分别是多
少元？
（2）在第（1）问的条件下，经初步统计，初二（1）班有25人自愿集资购买跳绳和实心球以供集体使用，
那么平均每生需交72元，初三（1）班了解情况后，把体考后闲置的跳绳12条、实心球10个赠送给了
初二（1）班．这样初二（10）班只需再购买跳绳33条、实心球35个即可．同时经初二（1）班委会进一步
第6页（共36页）宣传，自愿集资的学生在25人的基础上增加了2a%．相应地，每生平均交费在72元基础上减少了
1.25a%，求a的值．
26．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC=16，BD=12，现有两动点M、N分别
从A、C同时出发，点M沿线段AB向终点B运动，点N沿折线C﹣D﹣A向终点A运动，当其中一点
到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为x（s）．
（1）填空：AB= ；S = ；
菱形ABCD
（2）运动过程中，若点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒2个单位，连接AN、MN，记
△AMN与△AOB的重叠部分面积为S，当点N运动到与直线AC的距离为1.8时，求S的值；
（3）运动过程中，若点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒a个单位（其中a＜ ），当x=6
时在平面内存在点E使得以A、M、N、E为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的a的值．
第7页（共36页）2017-2018 学年重庆市南开中学八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12小题，每小题4分，共48分）在美国小题的小面，都给出了代号为A、B、C、D
的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卷中对应的表格内.
1．若分式 的值为零，则x的值是（ ）
A．3B．﹣3 C．±3 D．0
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】计算题．
【分析】要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0．
【解答】解：由分子x﹣3=0解得：x=3，
而当x=3时，分母x+3=3+3=6≠0，
故x=3．
故选A．
【点评】要注意分母的值一定不能为0，分母的值是0时分式没有意义．
2．下列电视台图标中，属于中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：B．
第8页（共36页）【点评】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转
180度后与原图重合是解题的关键．
3．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A．m2+n2=（m+n）2 B．x2﹣1=x（x﹣ ）
C．a2﹣2a﹣1=（a﹣1）2﹣2 D．x2﹣4y2=（x﹣2y）（x+2y）
【考点】因式分解的意义．
【分析】分别将各选项分解因式进而分析得出即可．
【解答】解：A、m2+n2，无法分解因式，故此选项错误；
B、x2﹣1=（x+1）（x﹣1），故此选项错误；
C、a2﹣2a﹣1，无法分解因式，故此选项错误；
D、x2﹣4y2=（x﹣2y）（x+2y），正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确分解因式是解题关键．
4．将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线．
故选A．
【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
5．六边形的内角和为（ ）
第9页（共36页）A．360° B．540° C．720° D．1080°
【考点】多边形内角与外角．
【专题】计算题．
【分析】利用多边形的内角和=（n﹣2）•180°即可解决问题．
【解答】解：根据多边形的内角和可得：
（6﹣2）×180°=720°．
故本题选C．
【点评】本题需利用多边形的内角和公式解决问题．
6．若函数 的图象经过点（3，﹣4），则它的图象一定还经过点（ ）
A．（3，4）B．（2，6）C．（﹣12，1）D．（﹣3，﹣4）
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
【分析】将（3，﹣4）代入y= 求出k的值，再根据k=xy解答即可．
【解答】解：∵函数 的图象经过点（3，﹣4），
∴k=3×（﹣4）=﹣12，
符合题意的只有C：k=﹣12×1=﹣12．
故选C．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解
析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．
7．已知关于x方程2x2﹣x+3=0，下列叙述正确的是（ ）
A．有一个实数根B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无实数根
【考点】根的判别式．
【分析】直接利用根的判别式进行判定即可．
【解答】解：∵△=（﹣1）2﹣4×2×3=﹣23＜0，
∴该方程没有实数根．
第10页（共36页）故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0 方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0 ⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔ 方程没有实数根．
⇔
8．融侨半岛某文具店购入一批笔袋进行销售，进价为每个20元，当售价为每个50元时，每星期可以
卖出100个，现需降价处理：售价每降价3元，每星期可以多卖出15个，店里每星期笔袋的利润要达
到3125元．若设店主把每个笔袋售价降低x元，则可列方程为（ ）
A．（30+x）（100﹣15x）=3125 B．（30﹣x）（100+15x）=3125
C．（30+x）（100﹣5x）=3125 D．（30﹣x）（100+5x）=3125
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】销售问题．
【分析】若设店主把每个笔袋售价降低x元，根据总利润达到3125元列出方程即可．
【解答】解：根据题意得：（30﹣x）（100+5x）=3125，
故选D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出单价和单
件的利润，从而表示出总利润．
9．如图，身高1.8m的小超站在某路灯下，发现自己的影长恰好是3m，经测量，此时小超离路灯底部
的距离是9m，则路灯离地面的高度是（ ）
A．5.4m B．6m C．7.2m D．9m
【考点】相似三角形的应用；中心投影．
【分析】如图，AD=9m，DE=3m，CD=1.8m，先证明△EDC∽△EAB，然后利用相似比可计算出AB．
【解答】解：如图，AD=9m，DE=3m，CD=1.8m，
∵CD∥AB，
∴△EDC∽△EAB，
第11页（共36页）∴ = ，即 = ，
∴AB=7.2m．
故选C．
【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相
似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．
10．如图，在8×4的矩形网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点在图中相应的格
点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与△ABC相似的三角形是（ ）
A．△ACD B．△ADF C．△BDF D．△CDE
【考点】相似三角形的判定．
【专题】网格型．
【分析】利用三边对应成比例的三角形相似进而得出符合题意的答案．
【解答】解：由网格可知：AB=2 ，BC=4，AC=2 ，BD=1，DF= ，BF= ，
则 = = = ，
故与△ABC相似的三角形是△BDF．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用网格得出三角形各边长是解题关键．
11．如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第10个图
形需要黑色棋子的个数是（ ）
第12页（共36页）A．140 B．120 C．99 D．86
【考点】规律型：图形的变化类．
【专题】压轴题；规律型．
【分析】结合图形，发现：第1个图形中黑色棋子的个数是2×3﹣3；第2个图形中黑色棋子的个数是
3×4﹣4；依此类推即可求解．
【解答】解：第10个图形需要黑色棋子的个数是11×12﹣12=120（个）．
故选B．
【点评】此题要能够根据多边形的周长的方法进行计算，注意每个顶点的重复．
12．如图，在直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A坐标为（﹣1，0），顶点B的坐标为（0，﹣2），经过顶
点C的双曲线y= （k＞0）与线段AD交于点E，且AE：DE=2：1，则k的值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【考点】反比例函数综合题．
【专题】综合题．
【分析】作EF⊥x轴于F，DM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，BQ⊥y轴交CN于Q，如图，由EF∥DM得
到△AEF∽△ADM，根据相似三角形的性质得 = ，而AE：DE=2：1，则 = ，于是可设EF=2t，
DM=3t，再证明Rt△AEF∽△BAO，利用相似比得到AF=4t，则E（4t﹣1，2t），同样可得AM=6t，接着
第13页（共36页）证明△ADM≌△BCQ得到BQ=AM=6t，CQ=DM=3t，于是可得C（6t，3t﹣2），然后根据反比例函数图
象上点的坐标特征k=（4t﹣1）•2t=6t•（3t﹣2），再解关于t的方程求出t的值，从而可计算出k的值．
【解答】解：作EF⊥x轴于F，DM⊥x轴于M，CN⊥x轴于N，BQ⊥y轴交CN于Q，如图，
∵EF∥DM，
∴△AEF∽△ADM，
∴ = ，
∵AE：DE=2：1，
∴AE：AD=2：3，
∴ = ，设EF=2t，则DM=3t，
∵∠BAO=∠AEF，
∴Rt△AEF∽△BAO，
∴ = ，即 = ，解得AF=4t，
∴OF=4t﹣1，
∴E（4t﹣1，2t），
同样可得AM=6t，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC，
而∠CBQ=∠ABO=∠DAM，
在△ADM和△BCQ中，
，
∴△ADM≌△BCQ，
∴BQ=AM=6t，CQ=DM=3t，
∴ON=BQ=6t，CN=CQ﹣NQ=3t﹣2，
∴C（6t，3t﹣2），
第14页（共36页）∵点E（4t﹣1，2t）和点C（6t，3t﹣2）都在双曲线y= （k＞0）上，
∴（4t﹣1）•2t=6t•（3t﹣2），
整理得t2﹣t=0，解得t =1，t2=0（舍去），
1
∴E（3，2），
∴k=3×2=6．
故选B．
【点评】本题考查了反比例函数综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质；会
运用相似三角形的判定与性质计算线段的长；理解坐标与图形性质．合理添加辅助线是解决问题的关
键．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将答案直接填写在答题卷对应的横线上.
13．若 ，则 = ．
【考点】比例的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据分比定理[如果a：b=c：d那么（a﹣b）：b=（c﹣d）：d （b、d≠0）]来解答．
【解答】解：∵ ，
∴ ，
即 ．
第15页（共36页）【点评】本题主要考查了分比定理：在一个比例里，第一个比的前后项的差与它的后项的比，等于第二
个比的前后项的差与它们的后项的比，这叫做比例中的分比定理．
14．若△ABC∽△DEF，且周长的比为3：1，则△ABC与△DEF对应边上的中线的比为 3 ： 1 ．
【考点】相似三角形的性质．
【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，再根据相似三角形的性质求出即可．
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且周长的比为3：1，
∴相似比为3：1，
∴△ABC与△DEF对应边上的中线的比是3：1．
故答案为：3：1．
【点评】本题考查了相似三角形的性质的应用，能熟记相似三角形的性质是解此题的关键，难度适中．
15．如图，△ABC中，CE：EB=2：3，DE∥AB，若△ABC的面积为25，则△BDE的面积为 6 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】由DE∥AB，CE：CB=2：5，可知S ：S =4：25，因为△ABC的面积为25，所以△CDE的
△CDE △ABC
面积为4，由CE：EB=2：3，可知S ：S =3：2，所以△BDE的面积为 ×4=6．
△BDE △CDE
【解答】解：∵DE∥AB，
∴△CDE∽△CAB，
∵CE：EB=2：3，
∴CE：CB=2：5，
∴S ：S =4：25，
△CDE △ABC
∵S =25，
△ABC
∴S =4，
△CDE
∵CE：EB=2：3，
∴S ：S =3：2，
△BDE △CDE
第16页（共36页）∴S =6．
△BDE
【点评】本题主要考查了相似三角形的性质和面积变换，相似三角形的面积比等于相似比的平方，等
高的三角形面积比等于底的比，等底的三角形面积比等于高的比．
16．如图，等腰△ABC的腰长为2 ，D为底边BC上一点，且BD=2，E为腰AC上一点，若
∠ADE=∠B=30°，则CE的长为 ．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】先求出BC的长，求出DC，根据相似三角形的判定定理求出△ABD∽△DCE，得出比例式，代
入求出即可．
【解答】解：如图．过A作AM⊥BC于M，
则∠AMB=∠AMC=90°，
∵AB=AC=2 ，∠B=30°，
∴∠B=∠C=30°，BM=CM，
∴BM=AB×cos30°=3，
则BC=3+3=6，
∵∠ADE=30°，∠ADB=∠DAC+∠C，∠DEC=∠DAC+∠ADE，
∴∠ADB=∠DAC+30°，∠DEC=∠DAC+30°，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵∠B=∠C=30°，
∴△ABD∽△DCE，
第17页（共36页）∴ = ，
∴ = ，
∴CE= ，
故答案为 ．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，找准相似三
角形是解此题的关键．
17．从﹣2，﹣1，1，2，4这五个数中随机抽取一个数记为a，a的值既能使关于x的方程 ﹣a=
无解，又能使关于x的反比例函数y= 的图象不经过第二象限的概率是 ．
【考点】概率公式；分式方程的解；反比例函数的性质．
【分析】首先确定能使得分式方程无解的a的值，然后确定能使得反比例函数的图象不经过第二象限
的a的值，从而利用概率公式求解．
【解答】解：方程 ﹣a= 去分母得：
x﹣a（x﹣2）=a，
∵关于x的方程 ﹣a= 无解，
∴x=2，
∴a=2，
∵关于x的反比例函数y= 的图象不经过第二象限，
第18页（共36页）∴a＞0，
∴a的值为2，
∴a的值既能使关于x的方程 ﹣a= 无解，又能使关于x的反比例函数y= 的图象不经过第
二象限的概率是 ．
故答案为： ．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出
现m种结果，那么事件A的概率P（A）= ．
18．如图，正方形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，顶点C在x轴的负半轴上，反比例函数y=﹣
在第二象限的图象经过点B，点D坐标为（﹣2，0），将正方形沿BD翻折，使点C落在E处，分别延长
BE、DE角y轴于点F和G，则线段FG的长度是 ．
【考点】反比例函数综合题．
第19页（共36页）【分析】连接CE，交BD于点H，先根据四边形OABC是正方形，反比例函数y=﹣ 在第二象限的图
象经过点B得出B点坐标，由翻折变换的性质可知点H为点段CE的中点，再利用待定系数法求出直
线BD与CE的解析式，故可得出H点的坐标，进而得出E点坐标，利用待定系数法求出直线BE与
DG的解析式可得出G、F的坐标，进而可得出结论．
【解答】解：连接CE，交BD于点H，
∵四边形OABC是正方形，反比例函数y=﹣ 在第二象限的图象经过点B，
∴B（﹣3，3）．
∵△BDE由△BDC翻折而成，
∴BD是线段CE的垂直平分线．
设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵B（﹣3，3），D（﹣2，0），
∴ ，解得 ，
∴直线BD的解析式为y=﹣3x﹣6．
∵BD⊥CE，
∴设直线CE的解析式为y= x+a，
∴C（﹣3，0），
∴0=﹣1+a，解得a=1，
∴直线CE的解析式为y= x+1，
∴ ，解得 ，
∴H（﹣ ， ）．
第20页（共36页）∴E（﹣ ， ）．
设直线BF的解析式为y=cx+d（c≠0）
∵B（﹣3，3），E（﹣ ， ），
∴ ，解得 ，
∴直线BF的解析式为y=﹣ x﹣1，
∴F（0，﹣1）．
设直线DG的解析式为y=mx+n（m≠0），
∵D（﹣2，0），E（﹣ ， ），
∴ ，解得 ，
∴直线DG的解析式为y= x+ ，
∴G（0， ），
∴GF= +1= ．
故答案为： ．
第21页（共36页）【点评】本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、翻折变换的性质
及用待定系数法求一次函数的解析式等知识，解题的关键是作出辅助线，利用翻折变换的性质求出E
点坐标．
三、计算题：(本大题共3个小题，19题、20题每小题8分，21题8分，共28分）解答时每小题必须给出
必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卷中对应的位置上.
19．（1）分解因式：2x2+4xy+2y2；
（2）分式计算： + ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用；分式的加减法．
【专题】计算题．
【分析】（1）原式提取2，再利用完全平方公式分解即可；
（2）原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=2（x2+2xy+y2）=2（x+y）2；
（2）原式= ﹣ = =﹣ ．
【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
20．解方程：
（1）x2=（3﹣2x）2；
（2）x2+4x﹣3=0；
第22页（共36页）（3） + = ．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解分式方程．
【分析】（1）先开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（3）先把分式方程转化成整式方程，求出方程的解，最后进行检验即可．
【解答】解：（1）两边开方得：x=±（3﹣2x），
解得：x =1，x =3；
1 2
（2）x2+4x﹣3=0，
b2﹣4ac=42﹣4×1×（﹣3）=28，
x= ，
x =﹣2+ ，x =﹣2﹣ ；
1 2
（3）方程两边都乘以（x+3）（x﹣2）得：3+2（x+3）=x﹣2，
解这个方程得：x=﹣11，
检验：当x=﹣11时，（x+3）（x﹣2）≠0，
所以x=﹣11是方程的解，
即原方程的解为x=﹣11．
【点评】本题考查了解一元二次方程和解分式方程的应用，解一元二次方程的关键是能把一元二次方
程转化成一元一次方程，解分式方程的关键是能把分式方程转化成整式方程难度适中．
21．先化简，再求值： ÷（ ﹣x﹣3y）+ ，其中x、y满足（x﹣1）2+|y﹣2|=0．
【考点】分式的化简求值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
【专题】计算题．
第23页（共36页）【分析】原式第一项括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，再利用除法法则变形，约分
后两项通分并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，利用非负数的性质求出x与y的值，代
入计算即可求出值．
【解答】解：原式= ÷ + = •
+ = + = = ，
∵（x﹣1）2+|y﹣2|=0，
∴x=1，y=2，
则 原式= ．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
四、解答题：（本大题共5个小题，22题8分，23题、24题、25题命题10分，26题12分，共50分）解答
时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，请将解答书写在答题卷对应的位置上）
22．某数学兴趣小组在全校范围内随机抽取了50名同学进行“舌尖上的重庆﹣﹣我最喜爱的重庆小
吃”调查活动，将调查问卷整理后绘制成如图所示的不完整条形统计图：
请根据所给信息解答以下问题：
（1）请补全条形统计图；
第24页（共36页）（2）若全校有3000名同学，请估计全校同学中最喜爱“米花糖”的同学有多少人？
（3）在此次调查活动中，有3男2女共5名工作人员，若从中随机选择2名负责调查问卷的发放和回
收工作，请用列表或画树状图的方法，求出这2名工作人员恰好是1男1女的概率．
【考点】列表法与树状图法；用样本估计总体；条形统计图．
【分析】（1）总人数以及条形统计图求出喜欢“陈麻花”的人数，补全条形统计图即可；
（2）求出喜欢“米花糖”的百分比，乘以3000即可得到结果；
（3）用A表示男生，B表示女生，画出树形图，再根据概率公式进行计算即可．
【解答】解：（1）根据题意得：喜欢“陈麻花”人数为：50﹣（14+21+5）=10（人），
补全统计图，如图所示：
（2）根据题意得：3000× ×100%=840（人），
则估计全校同学中最喜爱“米花糖”的同学有840人；
（3）用A表示男生，B表示女生，画图如下：
共有20种情况，恰好是1男1女的有12种，
所以2名工作人员恰好是1男1女的概率= = ．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用以及概率的求法，读懂统计图，从不同的
统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计
图直接反映部分占总体的百分比大小．
第25页（共36页）23．如图，已知A（n，﹣4），B（3，2）是一次函数y =kx+b的图象和反比例函数y = 的图象的两个交点，
1 2
直线AB与x轴交于点D．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求△BOD的面积；
（3）根据图象，请直接写出y ＞y 时x的取值范围．
1 2
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把B（3，2）代入y= ，求得反比例函数的解析式，然后把A的坐标代入反比例函数的解析
式求得n的值，则A的坐标即可求得，然后利用待定系数法求得一次函数解析式；
（2）首先求得D的坐标，然后利用面积公式求解；
（3）y ＞y 时x的范围，即一次函数的图象在反比例函数的图象的上边时，对应的x的范围．
1 2
【解答】解：（1）把B（3，2）代入y= ，得m=6，
则函数解析式是y= ，
当y=﹣4时，n=﹣ ．
根据题意得： ，
第26页（共36页）解得： ，
则一次函数的解析式是y= x﹣2；
（2）在y= x﹣2中，零y=0，解得x= ，
则D的坐标是（ ，0），
则S = × ×2= ；
△BOD
（3）根据题意得出y ＞y 时x的取值范围是：﹣ ＜x＜0或x＞3．
1 2
【点评】本题综合考查一次函数与反比例函数的图象与性质，同时考查用待定系数法求函数解析式．
本题需要注意无论是自变量的取值范围还是函数值的取值范围，都应该从交点入手思考；需注意反比
例函数的自变量不能取0．
24．如图1，△ABC中，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，连接DE．
（1）若AB=BC，DE=1，BE=3，求△ABC的周长；
（2）如图2，若AB=BC，AD=BD，∠ADB的角平分线DF交BE于点F，求证：BF= DE；
（3）如图3，若AB≠BC，AD=BD，将△ADC沿着AC翻折得到△AGC，连接DG、EG，请猜想线段AE、
BE、DG之间的数量关系，并证明你的结论．
【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质．
第27页（共36页）【专题】压轴题．
【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线性质得出DE= AC=AE，AC=2DE=2，AE=1，由勾股定理求出
AB，得出BC，即可得出结果；
（2）连接AF，由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，证出△ABD是等腰直角三角形，得出
∠DAB=∠DBA=45°，∠3=22.5°，由ASA证明△ADF≌△BDF，得出AF=BF，∠2=∠3=22.5°，证出
△AEF是等腰直角三角形，得出AF= AE，即可得出结论；
（3）作DH⊥DE交BE于H，先证明△ADE≌△BDH，得出DH=DE，AE=BH，证出△DHE是等腰直角
三角形，得出∠DEH=45°，∠3=45°，由翻折的性质得出DE=GE，∠3=∠4=45°，证出DH=GE，
DH∥GE，证出四边形DHEG是平行四边形，得出DG=EH，即可得出结论．
【解答】（1）解：如图1所示：
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴AE=CE，∠AEB=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴DE= AC=AE，
∴AC=2DE=2，AE=1，
∴AB= = ，
∴BC= ，
∴△ABC的周长=AB+BC+AC=2 +2；
（2）证明：连接AF，如图2所示：
∵AB=BC，BE⊥AC，
∴∠3=∠4，
∵∠ADC=90°，AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠DBA=45°，
第28页（共36页）∴∠3=22.5°，
∵∠1+∠C=∠3+∠C=90°，
∴∠1=∠3=22.5°，
∵DF平分∠ABD，
∴∠ADF=∠BDF，
在△ADF和△BDF中，
，
∴△ADF≌△BDF（SAS），
∴AF=BF，∠2=∠3=22.5°，
∴∠EAF=∠1+∠2=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF= AE，
∵DE=AE，
∴BF= DE；
（3）解：BE=DG+AE；理由如下：
作DH⊥DE交BE于H，如图3所示：
∵BE⊥AC，AD⊥BC，
∴∠1+∠ACD=∠2+∠ACD=90°，
∴∠1=∠2，
∴∠ADE=90°﹣∠ADH=∠BDH，
在△ADE和△BDH中，
，
∴△ADE≌△BDH（ASA），
∴DH=DE，AE=BH，
∴△DHE是等腰直角三角形，
∴∠DEH=45°，
第29页（共36页）∴∠3=90°﹣∠DEH=45°，
∵△ACD翻折至△ACG，
∴DE=GE，∠3=∠4=45°，
∴∠DEG=∠EDH=90°，DH=GE，
∴DH∥GE，
∴四边形DHEG是平行四边形，
∴DG=EH，
∴BE=EH+BH=DG+AE．
【点评】本题考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形
斜边上的中线性质、三角函数、平行四边形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是
（2）（3）中，需要通过作辅助线证明三角形全等和平行四边形才能得出结论．
25．重庆市2015中考体育考了立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳、中长跑（女子800米、男子1000米），
其中，中长跑成绩不计入总分，但考生必须参加《国家学生体质健康标准》规定的女子800米和男子
1000米项目的测试达标后，方能参加其他三项测试，三项考试满分为50分，其中立定跳远15分，掷
实心球15分，1分钟跳绳20分．
第30页（共36页）为了尽快适应中招体考项目，北关中学初二（1）班委会计划购买跳绳45条以及实心球45个供班上
60名同学集体使用，经过了解，发现共需要1350元．
（1）在资费筹集阶段，班委会了解到，跳绳的单价比之前上涨了25%，实心球的单价比之前上涨了
50%，这样购买原计划数量的跳绳和实心球就需要1800元，请问跳绳和实心球的最新价格分别是多
少元？
（2）在第（1）问的条件下，经初步统计，初二（1）班有25人自愿集资购买跳绳和实心球以供集体使用，
那么平均每生需交72元，初三（1）班了解情况后，把体考后闲置的跳绳12条、实心球10个赠送给了
初二（1）班．这样初二（10）班只需再购买跳绳33条、实心球35个即可．同时经初二（1）班委会进一步
宣传，自愿集资的学生在25人的基础上增加了2a%．相应地，每生平均交费在72元基础上减少了
1.25a%，求a的值．
【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．
【分析】（1）设跳绳的原价为x元，实心球的原价是y元，根据“购买跳绳45条以及实心球45个共需
要1350元，购买原计划数量的跳绳和实心球就需要1800元，”列出方程组解答即可；
（2）根据“自愿参与购买的学生在25人的基础上增加了2a%．则每生平均交费在72元基础上减少了
1.25a%”列出方程求解即可．
【解答】解：设跳绳的原价为x元，实心球的原价是y元，由题意得
，
解得：
20×（1+25%）=25
10×（1+50%）=15
答：跳绳的新价为25元，实心球的新价是15元．
（2）根据题意得：25（1+2a%）×72（1﹣1.25a%）=1350，
则整理得：a2﹣30a﹣1000=0，
解得：a=50或a=﹣30（舍去），
所以a的值是50．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用及二元一次方程组的应用，解题的关键是从题目中整理出等
量关系，列出方程解决问题．
第31页（共36页）26．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC=16，BD=12，现有两动点M、N分别
从A、C同时出发，点M沿线段AB向终点B运动，点N沿折线C﹣D﹣A向终点A运动，当其中一点
到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为x（s）．
（1）填空：AB= 1 0 ；S = 9 6 ；
菱形ABCD
（2）运动过程中，若点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒2个单位，连接AN、MN，记
△AMN与△AOB的重叠部分面积为S，当点N运动到与直线AC的距离为1.8时，求S的值；
（3）运动过程中，若点M的速度为每秒1个单位，点N的速度为每秒a个单位（其中a＜ ），当x=6
时在平面内存在点E使得以A、M、N、E为顶点的四边形为菱形，请求出所有满足条件的a的值．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）AB由勾股定理直接求出，菱形面积为对角线之积的一半．
（2）分两种情况：N在CD上和N在AD上．画出图形，找到重叠部分的几何形状．两种情况重叠部分
都是三角形，因此算出各自的底和高即可．
（3）x=6，时间固定，AM的长度也就固定，A、M、N、E四点要形成菱形，分两大类情况，第一类以AM
为边，这种情况可以画两种菱形；第二类以AM为对角线，只有一种．因此共三种情况，分别计算．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AC与BD交于点O，AC=16，BD=12，
∴AO=CO=8，BO=DO=6，AC⊥BD，
∴AB=10，
菱形ABCD的面积为 ×12×16=96．
（2）①当N在CD上时，如图2﹣1所示，
第32页（共36页）过点N作NH⊥AC于H，则NH=1.8，过点M作MG⊥AC于G，连接MN交AC于点F，连接AN，
∵AB∥CD，
∴△AFM∽△CFN，
∵ ，
∴ ，
∴AF= AC= ，
MG= NH=0.9= ，
∴S△AMF= ×AF×MG=2.4．
②当N在AD上时，如图2﹣2所示，
过点N作NH⊥AC于H，则NH=1.8，过点M作MG⊥AC于G，连接MN交AC于点F，连接AN，
第33页（共36页）∵
∴AN=3，AH=2.4，
t= = ，
∴AM= ，
∵ ，
∴AG=6.8，MG=5.1，
∴GH=AG﹣AH=4.4，
∵ ，
∴HF= GH= ，
∴AF=AH+HF=2.4+ = ，
∴S△AMF= ×AF×MG= = ．
（3）x=6时，AM=6，
①如图3﹣1，四边形AMEN为菱形，
第34页（共36页）∴AN=AM=6，
∴ND+CD=20﹣6=14，
∴a= ．
②如图3﹣2，AENM为菱形，EM交AN于点R，作DP垂直BC于P，
∵菱形面积为96，
∴DP=9.6，
∴CP=2.8，
∴ ，
∴AR=1.68，
∴AN=3.36，
∴a=（ND+CD）÷6= ，
③如图3﹣3，AEMN为菱形，EN交AM于点T，作BS垂直CD于S，
则AT=MT=3，
第35页（共36页）∴BT=NS=10﹣3=7，
∵BS=9.6，
∴CS=2.8，
∴CN=NS+CS=9.8，
∴a=CN÷6= ．
综上所述，a的取值有 、 、 ．
【点评】本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、面积计算，分类讨论等重要知
识点和技能，综合性和技巧性很强，计算量也较大，对学生的能力要求较高，是一道经典压轴题．
第36页（共36页）
