文档内容
2017-2018学年湖北省黄冈市黄州区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题
1．在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤1且x≠﹣2 B．x≤1 C．x＜1且x≠﹣2 D．x＞1且x≠2．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1， ，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，
构成直角三角形的有（ ）
A．② B．①② C．①③ D．②③
4．已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（ ）
A．4B．3C． D．2
6．为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表，关于这10户
家庭的月用电量说法正确的是（ ）
月用电量（度） 25 30 40 50 60
户数 1 2 4 2 1
A．极差是3 B．众数是4 C．中位数40 D．平均数是20.5
7．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A 的路径匀速移动，设
P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
第1页（共26页）A． B．
C． D．
8．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形
ACC D ，使∠D AC=60°，连接AC ，再以AC 为边作第三个菱形AC C D ，使∠D AC =60°；…，按此
1 1 1 1 1 1 2 2 2 1
规律所作的第六个菱形的边长为（ ）
A．9B．9 C．27 D．27
二、填空题
9．计算： 的结果是 ．
10．将正比例函数y=﹣6x的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是
（写出一个即可）．
第2页（共26页）11．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为
．
12．如图，函数y=ax﹣1的图象过点（1，2），则不等式ax﹣1＞2的解集是 ．
13．某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如表：如
果公司认为，作为公关人员面试的成绩比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，根据四人
各自的平均成绩，公司将录取 ．
候选人 甲 乙 丙 丁
面试 86 92 90 83
测试成绩(百分制)
笔试 90 83 83 92
14．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小
值是 ．
15． 早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路（直路）上学，途中发现忘带饭盒，停下往家里打电话，妈
妈接到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15
分钟妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校，小刚始终以100米/分的速度步行，小刚和妈妈的距离y
（单位：米）与小刚打完电话后的步行时间t（单位：分）之间的函数关系如图，下列四种说法：
①打电话时，小刚和妈妈的距离为1250米；
②打完电话后，经过23分钟小刚到达学校；
③小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为150米/分；
④小刚家与学校的距离为2550米．
其中正确的结论是 ．
第3页（共26页）三、解答题（共75分）
16．计算： ﹣2 × +（2 + ）2．
17．小东拿着一根长竹秆进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果秆比城门高1
米，当他把秆斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问秆长多少米？
18．如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．
19．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S =2，求点C的坐标．
△BOC
20．我市某医药公司要把药品运往外地，现有两种运输方式可供选择，
方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元；
方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元，
（1）请分别写出邮车、火车运输的总费用y（元）、y（元）与运输路程x（公里）之间的函数关系式；
1 2
第4页（共26页）（2）你认为选用哪种运输方式较好，为什么？
21．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，
连接AD、CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？
22．某市篮球队到市一中选拔一名队员．教练对王亮和李刚两名同学进行5次3分投篮测试，每人每
次投10个球，下图记录的是这两名同学5次投篮中所投中的个数．
（1）请你根据图中的数据，填写下表；
（2）你认为谁的成绩比较稳定，为什么？
（3）若你是教练，你打算选谁？简要说明理由．
姓名 平均数 众数 方差
王亮 7
李刚 7 2.8
23．现从A，B向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，
乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45
元/吨．
（1）设A地到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：
运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位：吨）
A x
B
第5页（共26页）（2）设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式．
（3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？
24．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．
以AD为边作正方形ADEF，连接CF
（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间
的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为2 ，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．
第6页（共26页）2014-2015 学年湖北省黄冈市黄州区八年级（下）期末数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．在函数y= 中，自变量x的取值范围是（ ）
A．x≤1且x≠﹣2 B．x≤1 C．x＜1且x≠﹣2 D．x＞1且x≠2．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：由题意得，1﹣x≥0且x+2≠0，
解得x≤1且x≠﹣2．
故选A．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【分析】化简得到结果，即可作出判断．
【解答】解：A、 ，本选项不合题意；
B、 ，本选项不合题意；
C、 ，本选项符合题意；
D、 ，本选项不合题意；
第7页（共26页）故选C．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
3．已知三组数据：①2，3，4；②3，4，5；③1， ，2．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，
构成直角三角形的有（ ）
A．② B．①② C．①③ D．②③
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】根据勾股定理的逆定理，只要两边的平方和等于第三边的平方即可构成直角三角形．只要判
断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
【解答】解：①∵22+32=13≠42，
∴以这三个数为长度的线段不能构成直角三角形，故不符合题意；
②∵32+42=52 ，
∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意；
③∵12+（ ）2=22，
∴以这三个数为长度的线段能构成直角三角形，故符合题意．
故构成直角三角形的有②③．
故选：D．
【点评】本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，
判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．
4．已知直线y=kx+b，若k+b=﹣5，kb=6，那么该直线不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【分析】首先根据k+b=﹣5、kb=6得到k、b的符号，再根据图象与系数的关系确定直线经过的象限，进
而求解即可．
【解答】解：∵k+b=﹣5，kb=6，
∴k＜0，b＜0，
∴直线y=kx+b经过二、三、四象限，即不经过第一象限．
故选：A．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据k、b之间的关系确定其符号．
第8页（共26页）5．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为（ ）
A．4B．3C． D．2
【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的判定与性质．
【分析】根据平行四边形性质得出AB=DC，AD∥BC，推出∠DEC=∠BCE，求出∠DEC=∠DCE，推出
DE=DC=AB，得出AD=2DE即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠DEC=∠DCE，
∴DE=DC=AB，
∵AD=2AB=2CD，CD=DE，
∴AD=2DE，
∴AE=DE=3，
∴DC=AB=DE=3，
故选B．
【点评】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定的应用，
关键是求出DE=AE=DC．
6．为了大力宣传节约用电，某小区随机抽查了10户家庭的月用电量情况，统计如下表，关于这10户
家庭的月用电量说法正确的是（ ）
月用电量（度） 25 30 40 50 60
户数 1 2 4 2 1
A．极差是3 B．众数是4 C．中位数40 D．平均数是20.5
第9页（共26页）【考点】极差；加权平均数；中位数；众数．
【分析】根据极差、平均数、中位数、众数的概念求解．
【解答】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：25，30，30，40，40，40，40，50，50，60，
极差为：60﹣25=35，
众数为：40，
中位数为：40，
平均数为： =40.5．
故选C．
【点评】本题考查了极差、平均数、中位数、众数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．
7．如图，正方形ABCD的边长为4，P为正方形边上一动点，沿A→D→C→B→A 的路径匀速移动，设
P点经过的路径长为x，△APD的面积是y，则下列图象能大致反映y与x的函数关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】动点问题的函数图象．
【专题】压轴题．
【分析】根据动点从点A出发，首先向点D运动，此时y不随x的增加而增大，当点P在DC山运动时，
y随着x的增大而增大，当点P在CB上运动时，y不变，据此作出选择即可．
【解答】解：①当点P由点A向点D运动时，y的值为0；
②当点P在DC上运动时，y随着x的增大而增大；
第10页（共26页）③当点p在CB上运动时，y=AB•AD，y不变；
④当点P在BA上运动时，y随x的增大而减小．
故选B．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而
变化的趋势．
8．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形
ACC D ，使∠D AC=60°，连接AC ，再以AC 为边作第三个菱形AC C D ，使∠D AC =60°；…，按此
1 1 1 1 1 1 2 2 2 1
规律所作的第六个菱形的边长为（ ）
A．9B．9 C．27 D．27
【考点】菱形的性质．
【专题】规律型．
【分析】先求出第一个菱形和第二个菱形的边长，得出规律，根据规律即可得出结论．
【解答】解：连接BD交AC于O，连接CD 交AC 于E，如图所示：
1 1
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴ACD⊥BD，∠BAO= ∠DAB=30°，
OA= AC，
∴OA=AB•cos30°=1× = ，
第11页（共26页）∴AC=2OA= ，
同理AE=AC•cos30°= • = ，AC =3=（ ）2，…，
1
第n个菱形的边长为（ ）n﹣1，
∴第六个菱形的边长为（ ）5=9 ；
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质、含30°角的直角三角形以及锐角三角函数的运用；根据第一个和第二
个菱形的边长得出规律是解决问题的关键．
二、填空题
9．计算： 的结果是 ．
【考点】二次根式的加减法．
【分析】先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：原式= ﹣ = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式
的合并．
第12页（共26页）10．将正比例函数y=﹣6x的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数解析式可以是 y=﹣6x+ 1
（答案不唯一） （写出一个即可）．
【考点】一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】开放型．
【分析】根据“上加下减”的原则在函数解析式后加一个大于0的数即可．
【解答】解：“上加下减”的原则可知该函数的解析式可以是：y=﹣6x+1（答案不唯一）．
故答案为：y=﹣6x+1（答案不唯一）．
【点评】本题考查了一次函数的性质，只要比例系数k相同，则直线平行，保证k不变的条件下，b的正
负决定平移的方向．
11．如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=5，BC=8，则EF的长为
．
【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线．
【专题】压轴题．
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出DF的长，再利用三角形的中位线平行
于第三边，并且等于第三边的一半，可求出DE的长，进而求出EF的长
【解答】解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点，
∴DF= AB=2.5，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE= BC=4，
∴EF=DE﹣DF=1.5，
故答案为：1.5．
第13页（共26页）【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半
和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
12．如图，函数y=ax﹣1的图象过点（1，2），则不等式ax﹣1＞2的解集是 x ＞ 1 ．
【考点】一次函数与一元一次不等式．
【专题】推理填空题．
【分析】根据已知图象过点（1，2），根据图象的性质即可得出y=ax﹣1＞2的x的范围是x＞1，即可得
出答案．
【解答】解：方法一∵把（1，2）代入y=ax﹣1得：2=a﹣1，
解得：a=3，
∴y=3x﹣1＞2，
解得：x＞1，
方法二：根据图象可知：y=ax﹣1＞2的x的范围是x＞1，
即不等式ax﹣1＞2的解集是x＞1，
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，
能把一次函数与一元一次不等式结合起来是解此题的关键．
13．某公司欲招聘一名公关人员，对甲、乙、丙、丁四位候选人进行了面试和笔试，他们的成绩如表：如
果公司认为，作为公关人员面试的成绩比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，根据四人
各自的平均成绩，公司将录取 乙 ．
候选人 甲 乙 丙 丁
面试 86 92 90 83
测试成绩(百分制)
笔试 90 83 83 92
【考点】加权平均数．
【分析】首先根据加权平均数的含义和求法，分别求出三人的平均成绩各是多少；然后比较大小，判断
出谁的平均成绩最高，即可判断出谁将被公司录取．
第14页（共26页）【解答】解：甲的平均成绩=（90×4+86×6）÷10=876÷10=87.6（分）
乙的平均成绩=（83×4+92×6）÷10=884÷10=88.4（分）
丙的平均成绩=（83×4+90×6）÷10=872÷10=87.2（分）
丁的平均成绩=（92×4+83×6）÷10=866÷10=86.6（分）
∵88.4＞87.6＞87.2＞86.6，
∴乙的平均成绩最高，
∴公司将录取乙．
故答案为：乙．
【点评】此题主要考查了加权平均数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：数据的权
能够反映数据的相对“重要程度”，要突出某个数据，只需要给它较大的“权”，权的差异对结果会
产生直接的影响．
14．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小
值是 1 0 ．
【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．
【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，
连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．
【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．
∵四边形ABCD是正方形，
∴B、D关于AC对称，
∴PB=PD，
∴PB+PE=PD+PE=DE．
∵BE=2，AE=3BE，
∴AE=6，AB=8，
∴DE= =10，
故PB+PE的最小值是10．
故答案为：10．
第15页（共26页）【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的
性质得出．
15． 早晨，小刚沿着通往学校唯一的一条路（直路）上学，途中发现忘带饭盒，停下往家里打电话，妈
妈接到电话后带上饭盒马上赶往学校，同时小刚返回，两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15
分钟妈妈到家，再经过3分钟小刚到达学校，小刚始终以100米/分的速度步行，小刚和妈妈的距离y
（单位：米）与小刚打完电话后的步行时间t（单位：分）之间的函数关系如图，下列四种说法：
①打电话时，小刚和妈妈的距离为1250米；
②打完电话后，经过23分钟小刚到达学校；
③小刚和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为150米/分；
④小刚家与学校的距离为2550米．
其中正确的结论是 ①②④ ．
【考点】一次函数的应用．
【分析】根据函数的图象和已知条件分别分析探讨其正确性，进一步判定得出答案即可．
【解答】解：①由图可知打电话时，小刚和妈妈的距离为1250米是正确的；
②因为打完电话后5分钟两人相遇后，小刚立即赶往学校，妈妈回家，15分钟妈妈到家，再经过3分
钟小刚到达学校，经过5+15+3=23分钟小刚到达学校，所以是正确的；
③打完电话后5分钟两人相遇后，妈妈的速度是1250÷5﹣100=150米/分，走的路程为150×5=750米，
回家的速度是750÷15=50米/分，所以回家的速度为150米/分是错误的；
④小刚家与学校的距离为750+（15+3）×100=2550米，所以是正确的．
正确的答案有①②④．
第16页（共26页）故答案为：①②④．
【点评】此题考查了一次函数的实际运用，函数的图象的实际意义，结合题意正确理解函数图象，利用
基本行程问题解决问题．
三、解答题（共75分）
16．计算： ﹣2 × +（2 + ）2．
【考点】二次根式的混合运算．
【专题】计算题．
【分析】先根据二次根式的乘除法则和完全平方公式计算，然后合并即可．
【解答】解：原式= ﹣2 +8+4 +3
=4﹣2 +11+4
=15+2 ．
【点评】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运
算，然后合并同类二次根式．
17．小东拿着一根长竹秆进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果秆比城门高1
米，当他把秆斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问秆长多少米？
【考点】勾股定理的应用；一元一次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【分析】根据题意可构造出直角三角形，根据勾股定理列出方程，便可得出答案．
【解答】解：设秆长x米，则城门高（x﹣1）米，根据题意得x2=（x﹣1）2+32，
解得x=5
答：秆长5米．
【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，比较简单．找到关键描述语，找到等量关系准确
的列出方程是解决问题的关键．
18．如图，四边形ABCD中，∠A=∠BCD=90°，BC=CD，CE⊥AD，垂足为E，求证：AE=CE．
第17页（共26页）【考点】全等三角形的判定与性质；矩形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】过点B作BF⊥CE于F，根据同角的余角相等求出∠BCF=∠D，再利用“角角边”证明△BCF
和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CE，再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对
边相等可得AE=BF，从而得证，
【解答】证明：如图，过点B作BF⊥CE于F，
∵CE⊥AD，
∴∠D+∠DCE=90°，
∵∠BCD=90°，
∴∠BCF+∠DCE=90°，
∴∠BCF=∠D，
在△BCF和△CDE中， ，
∴△BCF≌△CDE（AAS），
∴BF=CE，
又∵∠A=90°，CE⊥AD，BF⊥CE，
∴四边形AEFB是矩形，
∴AE=BF，
∴AE=CE．
第18页（共26页）【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，难度中等，作辅助线构造出全等三
角形与矩形是解题的关键．
19．如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S =2，求点C的坐标．
△BOC
【考点】待定系数法求一次函数解析式．
【专题】计算题．
【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方
程组，从而得到AB的解析式；
（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S =2求出C的横坐标，再代入直线即可求
△BOC
出y的值，从而得到其坐标．
【解答】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2），
∴ ，
解得 ，
∴直线AB的解析式为y=2x﹣2．
（2）设点C的坐标为（x，y），
∵S =2，
△BOC
∴ •2•x=2，
解得x=2，
第19页（共26页）∴y=2×2﹣2=2，
∴点C的坐标是（2，2）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式，解答此题不仅要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要
熟悉三角形的面积公式．
20．我市某医药公司要把药品运往外地，现有两种运输方式可供选择，
方式一：使用快递公司的邮车运输，装卸收费400元，另外每公里再加收4元；
方式二：使用铁路运输公司的火车运输，装卸收费820元，另外每公里再加收2元，
（1）请分别写出邮车、火车运输的总费用y（元）、y（元）与运输路程x（公里）之间的函数关系式；
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（2）你认为选用哪种运输方式较好，为什么？
【考点】一次函数的应用．
【专题】应用题．
【分析】（1）根据方式一、二的收费标准即可得出y（元）、y（元）与运输路程x（公里）之间的函数关系
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式．
（2）比较两种方式的收费多少与x的变化之间的关系，从而根据x的不同选择合适的运输方式．
【解答】解：（1）由题意得：y =4x+400；y =2x+820；
1 2
（2）令4x+400=2x+820，解得x=210，
所以当运输路程小于210千米时，y ＜y ，选择邮车运输较好，
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当运输路程等于210千米时，y =y ，两种方式一样，
1 2
当运输路程大于210千米时，y ＞y ，选择火车运输较好．
1 2
【点评】此题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是根据题意所述两种运输方式的收费标准，得
出总费用y （元）、y （元）与运输路程x（公里）关系式．
1 2
21．如图，在△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F点，
连接AD、CF．
（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？
第20页（共26页）【考点】菱形的判定；平行四边形的判定．
【分析】（1）首先利用平行四边形的判定方法得出四边形ABDF是平行四边形，进而得出AF=DC，利
用一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，进而得出答案；
（2）利用直角三角形的性质结合菱形的判定方法得出即可．
【解答】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE∥AB，
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形，
∴AF=BD，则AF=DC，
∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形；
（2）当△ABC是直角三角形时，四边形ADCF是菱形，
理由：∵点D是边BC的中点，△ABC是直角三角形，
∴AD=DC，
∴平行四边形ADCF是菱形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，熟练应用平行四边形的判定与性
质是解题关键．
22．某市篮球队到市一中选拔一名队员．教练对王亮和李刚两名同学进行5次3分投篮测试，每人每
次投10个球，下图记录的是这两名同学5次投篮中所投中的个数．
第21页（共26页）（1）请你根据图中的数据，填写下表；
（2）你认为谁的成绩比较稳定，为什么？
（3）若你是教练，你打算选谁？简要说明理由．
姓名 平均数 众数 方差
王亮 7
李刚 7 2.8
【考点】算术平均数；中位数；方差．
【专题】图表型．
【分析】（1）根据平均数的定义，计算5次投篮成绩之和与5的商即为王亮每次投篮平均数；根据众数
定义，王亮投篮出现次数最多的成绩即为其众数；
（2）先算出王亮的成绩的平均数，再根据方差公式计算王亮的投篮次数的方差．
（3）从平均数、众数、方差等不同角度分析，可得不同结果，关键是看参赛的需要．
【解答】解：（1）王亮5次投篮，有3次投中7个，故7为众数；
方差为：S2= [（6﹣7）2+（7﹣7）2+…+（7﹣7）2]=0.4个．
李刚投篮的平均数为：（4+7+7+8+9）÷5=7个，
（2）两人的平均数、众数相同，从方差上看，王亮投篮成绩的方差小于李刚投篮成绩的方差．
王亮的成绩较稳定．
（3）选王亮的理由是成绩较稳定，选李刚的理由是他具有发展潜力，李刚越到后面投中数越多．
第22页（共26页）【点评】此题是一道实际问题，将统计学知识与实际生活相联系，有利于培养学生学数学、用数学的意
识，同时体现了数学来源于生活、应用于生活的本质．
23．现从A，B向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，
乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45
元/吨．
（1）设A地到甲地运送蔬菜x吨，请完成下表：
运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位：吨）
A x 14﹣ x
B 15﹣ x x﹣ 1
（2）设总运费为W元，请写出W与x的函数关系式．
（3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？
【考点】一次函数的应用．
【专题】压轴题．
【分析】（1）根据题意A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13
吨，可得解．
（2）根据从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨可列
出总费用，从而可得出答案．
（3）首先求出x的取值范围，再利用w与x之间的函数关系式，求出函数最值即可．
【解答】解：（1）如图所示：
运往甲地（单位：吨） 运往乙地（单位：吨）
A x 14﹣x
B 15﹣x x﹣1
（2）由题意，得
W=50x+30（14﹣x）+60（15﹣x）+45（x﹣1）=5x+1275（1≤x≤14）．
（3）∵A，B到两地运送的蔬菜为非负数，
∴ ，
解不等式组，得：1≤x≤14，
第23页（共26页）在W=5x+1275中，
∵k=5＞0，
∴W随x增大而增大，
∴当x最小为1时，W有最小值，
∴当x=1时，A：x=1，14﹣x=13，
B：15﹣x=14，x﹣1=0，
即A向甲地运1吨，向乙地运13吨，B向甲地运14吨，向乙地运0吨才能使运费最少．
【点评】本题考查了利用一次函数的有关知识解答实际应用题，一次函数是常用的解答实际问题的数
学模型，是中考的常见题型，同学们应重点掌握．
24．已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．
以AD为边作正方形ADEF，连接CF
（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证：CF+CD=BC；
（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD三条线段之间
的关系；
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；
①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；
②若正方形ADEF的边长为2 ，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明△BAD≌△CAF，从而证得CF=BD，据此
即可证得；
（2）同（1）相同，利用SAS即可证得△BAD≌△CAF，从而证得BD=CF，即可得到CF﹣CD=BC；
（3）首先证明△BAD≌△CAF，△FCD是直角三角形，然后根据正方形的性质即可求得DF的长，则
OC即可求得．
【解答】证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
第24页（共26页）∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°﹣∠DAC，∠CAF=90°﹣∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
则在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴BD=CF，
∵BD+CD=BC，
∴CF+CD=BC；
（2）CF﹣CD=BC；
（3）①CD﹣CF=BC
②∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠ABC=45°，
∴AB=AC，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAD=90°﹣∠BAF，∠CAF=90°﹣∠BAF，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中，
∴△BAD≌△CAF（SAS），
∴∠ACF=∠ABD，
∵∠ABC=45°，
第25页（共26页）∴∠ABD=135°，
∴∠ACF=∠ABD=135°，
∴∠FCD=90°，
∴△FCD是直角三角形．
∵正方形ADEF的边长为2 且对角线AE、DF相交于点O．
∴DF= AD=4，O为DF中点．
∴OC= DF=2．
【点评】本题考查了正方形与全等三角形的判定与性质的综合应用，证明三角形全等是关键．
第26页（共26页）
