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2017-2018 学年八年级下册期末综合练习 2
姓名：__________班级：__________考号：__________
一 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是符合题目要求的）
2·1·c·n·j·y
若一个多边形的每个外角都为30°，则这个多边形是（ ）
A． 十二边形 B． 十边形 C．八边形 D． 六边形
分式方程 的解为（ ）
A．x=2 B．x=﹣2 C．x=﹣ D．x=
一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（）
A． 等腰三角形 B． 直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
已知MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的大小关系是
（ ）
【来源：21·世纪·教育·网】
A．∠CAD＜∠CBD B．∠CAD=∠CBD C．∠CAD＞∠CBD D．无法确定
如图，线段AB经过平移得到线段AB，其中点A，B的对应点分别为点A，B，这四个点都在格
1 1 1 1
点上．若线段AB上有一个点P（ a，b），则点户在A
1
B
1
上的对应点P的坐标为（ ）21世纪
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A．（a﹣2，b+3） B．（a﹣2，b﹣3）C．（a+2，b+3） D．（a+2，b﹣3）
如图，△ABC中，AB=AC，BD=CD，下列说法不正确的是( )
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A．∠BAD= ∠BAC B．AD=BC C．∠B=∠C D．AD⊥BC
如图，在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD=53°，则∠BCE的度
数为( )www.21-cn-jy.com
A．53° B．37° C．47° D．123°
已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值( )
A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定
下列说法中错误的是( )
A．如果a＜b，那么a﹣c＜b﹣c B．如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc
C．如果m＜n，p＜0，那么 ＞ D．如果x＞y，z＜0，那么xz＞yz
如图，在四边形ABCD中，BE⊥AC于点E，连接DE，四边形ABCD的面积为12cm2．若BE平分
∠ABC，则四边形ABED的面积为（ ）
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A．4cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．10cm2
二 、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
分解因式：m2﹣4= ．
如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C=90°，∠B=30°，AC=1，求AB′的长 ．
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一个平行四边形两对角之和为116°，则相邻的两内角分别是__________和_________
为了节省空间，家里的饭碗一般是摞起来存放的．如果6只饭碗摞起来的高度为15cm，9只饭
碗摞起来的高度为20cm，李老师家的碗橱每格的高度为28cm，则李老师一摞碗最对只能
放 只．21*cnjy*com
对于x，y定义一种新运算“*”：x*y=3x﹣2y，等式右边是通常的减法和乘法运算，如
2*5=3×2﹣2×5=﹣4，那么（x+1）*（x﹣1）≥5的解集是 ．
如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为
______．
若 ，则 =____________________
如图，Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠ACB的外角平分线CF相交于点D，
AD交CB于P，CF交AB的延长线于F，过D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于
点最连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：
①∠CDA=45° ② AF-CG=CA ③ DE=DC ④ FH=CD+GH ⑤ CF=2CD+EG，其中正确的有
_____________
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三、解答题（本大题共8小题，共66分）
解不等式组： ．
解方程：
（1） +3=
（2） ﹣ =1．
如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，交AB于点E．
（1）求证：△ABD是等腰三角形；
（2）若∠A=40°，求∠DBC的度数；
（3）若AE=6，△CBD的周长为20，求△ABC的周长
先化简： ，然后从 的范围内选取一个合
适的整数作为 的值代入求值.
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定义新运算：对于任意实数a，b，都有a⊕b= ﹣ab+1，比如：2⊕5= ﹣2×5+1= ﹣10+1=﹣8
．
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（1）求（﹣ ）⊕ 的值；
（2）若 ⊕x的值不大于 ，求x的取值范围．
如图，已知△ABC，∠C=Rt∠，AC＜BC．D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，若∠B=37°，求∠CAD的度数．
某中学开学初到商场购买A．B两种品牌的足球，购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球
25个，共花费4500元，已知购买一个B种品牌的足球比购买一个A钟品牌的足球多花
30元．
（1）求购买一个A种品牌、一个B种品牌的足球各需多少元．
（2）学校为了响应习总书记“足球进校园”的号召，决定再次购进A．B两种品牌足球共
50个，正好赶上商场对商品价格进行调整，A品牌足球售价比第一次购买时提高4元，B
品牌足球按第一次购买时售价的9折出售，如果学校此次购买A．B两种品牌足球的总费
用不超过第一次花费的70%，且保证这次购买的B种品牌足球不少于23个，则这次学校
有哪几种购买方案？
（3）请你求出学校在第二次购买活动中最多需要多少资金？
如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
（1）概念理解：如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？
请说明理由．
（2）性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系．
猜想结论：（要求用文字语言叙述 ）
写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）．
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（3）问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG
和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长．
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2017-2018 学年八年级下册期末综合练习 2 答案解析
一 、选择题
1.分析： 据多边形的边数等于360°除以每一个外角的度数列式计算即可得解．
解：360°÷30°=12．
故这个多边形是十二边形．
故选：A．
2.分析： 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可
得到分式方程的解．
解：去分母得：2x=x﹣2，
解得：x=﹣2，
经检验x=﹣2是分式方程的解，
则分式方程的解为x=﹣2，
故选B
3.分析：根据等腰三角形的性质易得这个三角形的三边都相等，然后根据等边三角形的
判定方法可得这个三角形必为等边三角形．
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解：∵一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，
即三角形任意一边上的高与中线重合，
∴这个三角形的三边都相等，
∴这个三角形必为等边三角形．
故选D．
4.分析：首先根据题意画出图形，然后由MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意
两点，根据线段垂直平分线的性质可得：AC=BC，AD=BD，则可证得∠DAB=∠CBA，
∠DAB=∠DBA，继而求得答案.
解：∵MN是线段AB的垂直平分线，C，D是MN上任意两点，
∴AC=BC，AD=BD，
∴∠DAB=∠CBA，∠DAB=∠DBA，
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如图1，∠CAD=∠CAB+∠DAB，∠CBD=∠CBA+∠DBA，
∴∠CAD=∠CBD；
如图2，∠CAD=∠CAB－∠DAB，∠CBD=∠CBA－∠DBA，
∴∠CAD=∠CBD．
故选B.
5分析： 根据点A．B平移后横纵坐标的变化可得线段AB向左平移2个单位，向上平移
了3个单位，然后再确定a、b的值，进而可得答案．【出处：21教育名师】
解：由题意可得线段AB向左平移2个单位，向上平移了3个单位，
则P（a﹣2，b+3）
故选A．
6.分析： 根据等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质对各选项分析判断后利
用排除法求解．
解：A．∵AB=AC，BD=CD，
∴∠BAD= ∠BAC，故本选项错误；
B、AD、BC的大小关系无法确定，故本选项正确；
C、∵AB=AC，
∴∠B=∠C，故本选项错误；
D、∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC，故本选项错误．
故选B．
7.分析： 设EC于AD相交于F点，利用直角三角形两锐角互余即可求出∠EFA的度数，
再利用平行四边形的性质：即两对边平行即可得到内错角相等和对顶角相等，即可求出
∠BCE的度数．21cnjy.com
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解：∵在平行四边形ABCD中，过点C的直线CE⊥AB，
∴∠E=90°，
∵∠EAD=53°，
∴∠EFA=90°﹣53°=37°，
∴∠DFC=37
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠BCE=∠DFC=37°．
故选B．
8.分析： 首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可．
解：∵（a﹣b）2﹣c2=（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），a，b，c是三角形的三边，
∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，
∴（a﹣b）2﹣c2的值是负数．
故选：B．
9.分析： 根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．
解：A．∵a＜b，∴a﹣c＜b﹣c，故本选项正确；
B、∵a＞b，c＞0，∴ac＞bc，故本选项正确；
C、∵m＜n，p＜0，∴ ＜0，∴ ＞ ，故本选项正确；
D、∵x＞y，z＜0，∴xz＜yz，故本选项错误．
故选D．
10.分析：根据BE⊥AC，BE平分∠ABC，得到AE=EC，根据三角形的中线的性质解答即可．
解：∵BE⊥AC，BE平分∠ABC，
∴AE=EC，
∴S = S ，S = S ，
△ABE △ABC △ADE △ADC
∴四边形ABED的面积= ×四边形ABCD的面积=6cm2，
故选：B．
二 、填空题
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11.分析： 本题刚好是两个数的平方差，所以利用平方差公式分解则可．平方差公式：a2
﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【版权所有：21教育】
解：m2﹣4=（m+2）（m﹣2）．
故答案为：（m+2）（m﹣2）．
12.分析：利用中心对称图形关于A为对称中心，得出两图形全等，即可解决．
解：∵此图是中心对称图形，A为对称中心，
∴△BAC≌△B′AC′，
∴∠B=∠B′，∠C=∠C′，AC=AC′
∵∠C=90°，∠B=30°，AC=1，
∴AB′=2AC′=2．
故答案为：2．
13.分析：由平行四边形的性质得出∠A=∠C，∠A+∠B=180°，再由已知条件∠A+∠C=
116°，得出∠A，即可得出∠B．
解：如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，∠A+∠B=180°，
∵∠A+∠C=116°，
∴∠A=58°，∠B=180°-58°=122°；
故答案为：58°；122°．
14.分析： 设碗底的高度为xcm，碗身的高度为ycm，可得碗的高度和碗的个数的关系式
为高度=个数×碗底高度+碗身高度，根据6只饭碗摞起来的高度为15cm，9只饭碗摞起
来的高度为20cm，列方程组求解，根据碗橱每格的高度为28cm，列不等式求解．
解：设碗底的高度为xcm，碗身的高度为ycm，
由题意得， ，
解得： ，
设李老师一摞碗能放a只碗，
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a+5≤28，
解得：a≤ ．
故李老师一摞碗最多只能放13只碗．
故答案为：13．
15.分析： 先根据已知得出3（x+1）﹣2（x﹣1）≥5，再求出不等式的解集即可．
解：∵（x+1）*（x﹣1）≥5，
∴3（x+1）﹣2（x﹣1）≥5，
∴3x+3﹣2x+2≥5，
x≥0，
故答案为：x≥0．
16.分析： 根据线段垂直平分线性质求出AD=DC，根据△ABD的周长求出AB+BC=14cm，即
可求出答案．21教育网
解：∵DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，
∴AC=2AE=8cm，AD=DC，
∵△ABD的周长为14cm，
∴AB+AD+BD=14cm，
∴AB+AD+BD=AB+DC+BD=AB+BC=14cm，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=14cm+8cm=22cm，
故答案为：22cm
17.分析： 已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理得到x﹣y=2xy，
原式变形后代入计算即可求出值．
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解：∵ ﹣ = =﹣2，
∴x﹣y=2xy，
则原式= = =7．
故答案为：7
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18. 分析：（1）设∠GCD=x，∠DAC=y，则： ，故 =45°．
（2）根据三线合一，延长GD与AC相交于点P，则CG=CP，AP=AF；
（3）证△ACD与△AED全等即可，同时可得出三角形CDE是等腰直角三角形；
（4）注意到E是三角形CGF的垂心，从而可证△CHG≌△FHE，则FH=CH=EH+CE=GE+CE=
CD+GH；
2-1-c-n-j-y
（5）在DF上截取DM=CD，证△EMF≌△CEG即可．
解：①利用公式：∠CDA= ∠ABC=45°，①正确；
②如图：延长GD与AC交于点P'，
由三线合一可知CG=CP'，
∵∠ADC=45°，DG⊥CF，
∴∠EDA=∠CDA=45°，
∴∠ADP=∠ADF，
∴△ADP'≌△ADF（ASA），
∴AF=AP'=AC+CP'=AC+CG，故②正确；
③如图：
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∵∠EDA=∠CDA，
∠CAD=∠EAD，
从而△CAD≌△EAD，
故DC=DE，③正确；
④∵BF⊥CG，GD⊥CF，
∴E为△CGF垂心，
∴CH⊥GF，且△CDE、△CHF、△GHE均为等腰直角三角形，
∴HF=CH=EH+CE=GH+CE=GH+ CD，故④错误；
⑤如图：作ME⊥CE交CF于点M，
则△CEM为等腰直角三角形，从而CD=DM，CM=2CD，EM=EC，
∵∠MFE=∠CGE，
∠CEG=∠EMF=135°，
∴△EMF≌△CEG（AAS），
∴GE=MF，
∴CF=CM+MF=2CD+GE，
故⑤正确；
综上所述，
答案为：①②③⑤．
三、解答题
19.分析： 根据解不等式组的方法可以求得不等式组的解集，从而可以解答本题 ．
解：
由①得，x＞1，
由②得，x＜2，
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由①②可得，原不等式组的解集是：1＜x＜2．
20.分析： 两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验
即可得到分式方程的解．
【来源：21cnj*y.co*m】
解答： 解：（1）去分母得：1+3x﹣6=x﹣1，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是增根，分式方程无解；
（2）去分母得：（x﹣2）2﹣12=x2﹣4，
整理得：x2﹣4x+4﹣12=x2﹣4，
移项合并得：﹣4x=4，
解得：x=﹣1，
经检验x=﹣1是分式方程的解．
21.分析：（1）根据线段的垂直平分线到线段两端点的距离相等即可得证；
（2）首先利用三角形内角和求得∠ABC的度数，然后减去∠ABD的度数即可得到答案；
（3）将△ABC的周长转化为AB+AC+BC的长即可求得.
（1）证明：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴DB=DA，
∴△ABD是等腰三角形；
（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A=40°，
∴∠ABD=∠A=40°，∠ABC=∠C=（180°－40°）÷2=70°.
∴∠BDC=∠ABC－∠ABD=70°－40°=30°.
（3）∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，AE=6，
∴AB=2AD=12.
∵△CBD的周长为20，
∴AC+BC=20，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=12+20=32．
22.【答案】答案不唯一，当 时，原式=0；当 时，原式=6.
解：原式= = = ，
当 时，原式= . （当 时，原式= ）
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23.分析： （1）根据题中的新定义化简，化简即可得到结果；
（2）根据题中的新定义化简所求不等式，计算即可得到结果．
解：（1）根据题意得：（﹣ ）⊕ = ﹣（﹣ ）× +1= +1；
（2）根据题意得： ⊕x= ﹣ x+1≤ ，
解得：x≥0．
24.分析： （1）利用线段垂直平分线的作法得出D点坐标即可；
（2）利用线段垂直平分线的性质得出，∠BAD=∠B=37°，进而求出即可．
解：（1）如图所示：点D即为所求；
（2）在Rt△ABC中，∠B=37°，
∴∠CAB=53°，
又∵AD=BD，
∴∠BAD=∠B=37°，
∴∠CAD=53°﹣37°=16°．
25.分析： （1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，根据“总费用
=买A种足球费用+买B种足球费用，以及B种足球单价比A种足球贵30元”可得出关
于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；21教育名师原创作品
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B中足球（50﹣m）个，根据“总费用=买A种足
球费用+买B种足球费用，以及B种足球不小于23个”可得出关于m的一元一次不等式
组，解不等式组可得出m的取值范围，由此即可得出结论；
（3）分析第二次购买时，A．B种足球的单价，即可得出那种方案花钱最多，求出花费最大
值即可得出结论．
解：（1）设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元，
依题意得： ，解得： ．
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答：购买一个A种品牌的足球需要50元，购买一个B种品牌的足球需要80元．
（2）设第二次购买A种足球m个，则购买B中足球（50﹣m）个，
依题意得： ，
解得：25≤m≤27．
故这次学校购买足球有三种方案：
方案一：购买A种足球25个，B种足球25个；
方案二：购买A种足球26个，B种足球24个；
方案三：购买A种足球27个，B种足球23个．
（3）∵第二次购买足球时，A种足球单价为50+4=54（元），B种足球单价为80×0.9=72
（元），
∴当购买方案中B种足球最多时，费用最高，即方案一花钱最多．
∴25×54+25×72=3150（元）．
答：学校在第二次购买活动中最多需要3150元资金．
26.分析： （1）根据垂直平分线的判定定理证明即可；
（2）根据垂直的定义和勾股定理解答即可；
（3）根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算．
解：（1）四边形ABCD是垂美四边形．
证明：∵AB=AD，
∴点A在线段BD的垂直平分线上，
∵CB=CD，
∴点C在线段BD的垂直平分线上，
∴直线AC是线段BD的垂直平分线，
∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形；
（2）猜想结论：垂美四边形的两组对边的平方和相等．
如图2，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为E，
求证：AD2+BC2=AB2+CD2
证明：∵AC⊥BD，
∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠CED=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2，
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AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2，
∴AD2+BC2=AB2+CD2；
（3）连接CG、BE，
∵∠CAG=∠BAE=90°，
∴∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，即∠GAB=∠CAE，
在△GAB和△CAE中，
，
∴△GAB≌△CAE，
∴∠ABG=∠AEC，又∠AEC+∠AME=90°，
∴∠ABG+∠AME=90°，即CE⊥BG，
∴四边形CGEB是垂美四边形，
由（2）得，CG2+BE2=CB2+GE2，
∵AC=4，AB=5，
∴BC=3，CG=4 ，BE=5 ，
∴GE2=CG2+BE2﹣CB2=73，
∴GE= ．
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