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2017--2018学年度第一学期北师版数学九年级单元检测题
第六章《反比例函数》A
一．选择题（共12小题）
1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y=﹣ B．y=﹣ C．y= D．y=1﹣
2．反比例函数是y= 的图象在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、三象限 D．第二、四象限
3．若函数 为反比例函数，则m的值为（ ）
A．±1 B．1 C． D．﹣1
4．若双曲线y= 过两点（﹣1，y ），（﹣3，y ），则y 与y 的大小关系为（ ）
1 2 1 2
A．y
1
＞y
2
B．y
1
＜y
2
C．y
1
=y
2
D．y
1
与y
2
大小无法确定
5．已知反比例函数y= ，当1＜x＜3时，y的最小整数值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．若一个正比例函数的图象与一个反比例函数图象的一个交点坐标是（2，3），则另一个交点的坐标是
（ ）
【来源：21·世纪·教育·网】
A．（2，3） B．（3，2） C．（﹣2，3） D．（﹣2，﹣3）
7．已知甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶时间（t 单位：小时）关于行驶
速度v（单位：千米/小时）的函数关系式是（ ）
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A．t=20v B．t= C．t= D．t=
8．已知矩形的面积为5，则如图给出的四个图象中，能大致呈现矩形相邻边长y与x之间的函数关系
的是（ ）
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A． B． C． D．
9．面积为2的直角三角形一直角边长为x，另一直角边长为y，则y与x的变化规律用图象大致表示为
（ ）A． B． C． D．
10．如图，在反比例函数y=﹣ 的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第一
象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y= 的图象上运动．若tan∠CAB=2，
则k的值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
11．如图，点D为y轴上任意一点，过点A（﹣6，4）作AB垂直于x轴交x轴于点B，交双曲线
于点C，则△ADC的面积为（ ）
A．9 B．10 C．12 D．15
12．如图，是双曲线 ， 在第一象限内的图象，直线AB∥x轴分别交双曲线于A、B两点，则
△AOB面积为（ ）A．4 B．3 C．2 D．1
二．填空题（共6小题）
13．反比例函数 中自变量x的取值范围 ．
14．如图是三个反比例函数的图象的分支，其中k ，k ，k 的大小关系是 ．
1 2 3
15．如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函数 的图象上，则图中阴
影部分的面积等于 ．
16．如图，A、B两点在双曲线y= 上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S
1
+S
2
= ．17．如图，在平面直角坐标系中，一条直线与反比例函数y= （x＞0）的图象交于两点A、B，与x轴交
于点C，且点B是AC的中点，分别过两点A、B作x轴的平行线，与反比例函数y= （x＞0）的图象交
于两点D、E，连接DE，则四边形ABED的面积为 ．
18．如图，点A在函数y= （x＞0）的图象上，且OA=4，过点A作AB⊥x轴于点B，则△ABO的周长
为 ．
三．解答题（共7小题）
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣ax+b的图象与反比例函数y= 的图象相交于点A
（﹣4，﹣2），B（m，4），与y轴相交于点C．
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（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求点C的坐标及△AOB的面积．20．如图，一次函数y=x+b的图象与反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象交于点A（﹣1，4）和点B
（a，1）．
（1）求反比例函数的表达式和a、b的值；
（2）若A、O两点关于直线l对称，请连接AO，并求出直线l与线段AO的交点坐标．
21．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABO的边AB垂直与x轴，垂足为点B，反比例函数
y= （x＞0）的图象经过AO的中点C，且与AB相交于点D，OB=4，AD=3，
（1）求反比例函数y= 的解析式；
（2）求cos∠OAB的值；
（3）求经过C、D两点的一次函数解析式．22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A，B两
点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，点B的坐标是（m，﹣4），连接AO，AO=5，sin∠AOC= ．
【来源：
21cnj*y.co*m】
（1）求反比例函数的解析式；
（2）连接OB，求△AOB的面积．
23．如图，直线y=2x﹣6与反比例函数 的图象交于点A（4，2），与x轴交于点B．
（1）求k的值及点B的坐标；
（2）在x轴上是否存在点C，使得△ABC为等腰三角形？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明
理由．
24．在平面直角坐标系中，把横纵坐标都是整数的点称为“整点”．
（1）直接写出函数y= 图象上的所有“整点”A ，A ，A ，…的坐标；
1 2 3
（2）在（1）的所有整点中任取两点，用树状图或列表法求出这两点关于原点对称的概率．
25．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（ ，1）在反比例函数y= 的图象上．（1）求反比例函数y= 的表达式；
（2）在x轴的负半轴上存在一点P，使得S△AOP = S△AOB ，求点P的坐标；
（3）若将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE．直接写出点E的坐标，并判断点E是否在
该反比例函数的图象上，说明理由．
21*cnjy*com答案与解析
一．选择题
1．【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是 （k≠0），可以判定各函数的类型是否
符合题意．
解：A、符合反比例函数的定义，正确；
B、不符合反比例函数的定义，错误；
C、y与x+1的反比例函数，错误；
D、不符合反比例函数的定义，错误．
故选A．
2．【分析】直接根据反比例函数的性质进行解答即可．
解：∵反比例函数是y= 中，k=2＞0，
∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限．
故选B．
3．【分析】根据反比例函数的定义即可求出m的值．
解：根据题意得：m2﹣2=﹣1，且m﹣1≠0
解得：m=﹣1．
故选D．
4．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标图特征得到﹣1•y =2，﹣3•y =2，然后计算出y 和y 比较大
1 2 1 2
小．
解：∵双曲线y= 过两点（﹣1，y ），（﹣3，y ），
1 2
∴﹣1•y =2，﹣3•y =2，
1 2
∴y =﹣2，y =﹣ ，
1 2
∴y ＜y ．
1 2
故选B．5．【分析】根据反比例函数系数k＞0，结合反比例函数的性质即可得知该反比例函数在x＞0中单调递
减，再结合x的取值范围，可得出y的取值范围，取其内的最小整数，本题得解．
解：在反比例函数y= 中k=6＞0，
∴该反比例函数在x＞0内，y随x的增大而减小，
当x=3时，y= =2；当x=1时，y= =6．
∴当1＜x＜3时，2＜y＜6．
∴y的最小整数值是3．
故选A．
6．【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
解：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴另一个交点的坐标与点（2，3）关于原点对称，
∴该点的坐标为（﹣2，﹣3）．
故选：D．
7．【分析】根据路程=时间×速度可得vt=20，再变形可得t= ．
解：由题意得：vt=20，
t= ，
故选：B．
8．【分析】根据矩形的面积公式得出xy=5，那么y与x之间的函数关系为反比例函数关系，再根据x、y
所表示的实际意义得到x、y应大于0；即可得出答案．
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解：∵矩形的面积为5，矩形相邻的两边长分别是y与x，
∴xy=5，
∴y= （x＞0，y＞0），
故选A．
9．【分析】根据题意有：xy=4；故y与x之间的函数图象为反比例函数，且根据x y实际意义x、y应大于
0，其图象在第一象限．
2·1·c·n·j·y解：∵ xy=2，
∴xy=4，
∴y= （x＞0，y＞0），
当x=1时，y=4，当x=4时，y=1，
故选：C．
10．【分析】连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，通过角的计算找出
∠AOE=∠COF，结合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得
出 ，再由tan∠CAB= =2，可得出CF•OF=8，由此即可得出结论．
解：连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示．
由直线AB与反比例函数y= 的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO=BO．
又∵AC=BC，
∴CO⊥AB．
∵∠AOE+∠EOC=90°，∠EOC+∠COF=90°，
∴∠AOE=∠COF，
又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，
∴△AOE∽△COF，
∴ ．
∵tan∠CAB= =2，
∴CF=2AE，OF=2OE．又∵AE•OE=|﹣2|=2，CF•OF=|k|，
∴k=±8．
∵点C在第一象限，
∴k=8．
故选D．
11．【分析】连接OA、OC，S△ADC =S△AOC ，S△ABD =S△ABO ，根据反比例函数中k的几何意义即可求得
S△BCO ，根据S△ADC =S△AOC =S△ABO ﹣S△BCO 求解．
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解：连接OA、OC．
∵AB⊥x轴，
∴AB∥OD，
∴S△ADC =S△AOC ，S△ABD =S△ABO = ×6×4=12，
又∵双曲线的解析式是 ，
∴S△BCO = ×6=3，
∴S△ADC =S△AOC =S△ABO ﹣S△BCO =12﹣3=9．
故选A．
12．【分析】根据反比例函数的几何意义，反比例函数y= 上一点P，过p作y轴的垂线PC，则△OPC
的面积是 |k|，据此即可求解．
【版权所有：21教育】
解：∵A在反比例函数线y= 上．
∴△OAC的面积是 ×2=1同理△OBC的面积是 ×6=3．
则△AOB面积为S△OBC ﹣S△OAC =3﹣1=2．
故选C．
二．填空题
13．（2016•阜宁县一模）反比例函数 中自变量x的取值范围 x ≠ 0 ．
【分析】根据分母不为0可得x的取值范围．
【解答】解：∵自变量x在分母上，分式的分母不为0，
∴x≠0．
故答案为：x≠0．
14．（2015春•遂宁期末）如图是三个反比例函数的图象的分支，其中k ，k ，k 的大小关系是 k ＜ k
1 2 3 1 3
＜ k ．
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【分析】反比例函数的常数|k|越大，开口越小，根据反比例函数的图象性质可知．
【解答】解：根据图象可知|k|越大，开口越小，
则k ＜0，k ＞k ＞0，
1 2 3
所以k ，k ，k 的大小关系是k ＜k ＜k ．
1 2 3 1 3 2
故答案为：k ＜k ＜k ．
1 3 2
15．（2016秋•盱眙县校级月考）如图，⊙A和⊙B都与x轴和y轴相切，圆心A和圆心B都在反比例函
数 的图象上，则图中阴影部分的面积等于 π ．
【出处：21教育名师】【分析】根据反比例函数的对称性，阴影部分的面积正好构成圆，利用圆的面积公式即可求解．
【解答】解：阴影部分的面积正好构成圆，圆的半径r=1，
则面积S=πr2=π．
故答案是：π．
16．【分析】欲求S +S ，只要求出过A、B两点向x轴、y轴作垂线段求出与坐标轴所形成的矩形的面积
1 2
即可，而矩形面积为双曲线y= 的系数k，由此即可求出S +S ．
1 2
解：∵点A、B是双曲线y= 上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，
则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4，
∴S +S =4+4﹣1×2=6．
1 2
故答案为6．
17．【分析】根据点A、B在反比例函数y= （x＞0）的图象上，可设出点B坐标为（ ，m），再根据B为
线段AC的中点可用m表示出来A点的坐标，由AD∥x轴、BE∥x轴，即可用m表示出来点D、E的坐
标，结合梯形的面积公式即可得出结论．
解：∵点A、B在反比例函数y= （x＞0）的图象上，
设点B的坐标为（ ，m），
∵点B为线段AC的中点，且点C在x轴上，
∴点A的坐标为（ ，2m）．
∵AD∥x轴、BE∥x轴，且点D、E在反比例函数y= （x＞0）的图象上，
∴点D的坐标为（ ，2m），点E的坐标为（ ，m）．
∴S梯形ABED = （ + ）×（2m﹣m）= ．
故答案为： ．18．【分析】由点A在反比例函数的图象上，设出点A的坐标，结合勾股定理可以表现出
OA2=AB2+OB2，再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出AB•OB的值，根据配方法求出
（AB+OB）2，由此即可得出AB+OB的值，结合三角形的周长公式即可得出结论．
解：∵点A在函数y= （x＞0）的图象上，
∴设点A的坐标为（n， ）（n＞0）．
在Rt△ABO中，∠ABO=90°，OA=4，
∴OA2=AB2+OB2，
又∵AB•OB= •n=4，
∴（AB+OB）2=AB2+OB2+2AB•OB=42+2×4=24，
∴AB+OB=2 ，或AB+OB=﹣2 （舍去）．
∴C△ABO =AB+OB+OA=2 +4．
故答案为：2 +4．
三．解答题（共7小题）
19．【分析】（1）由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得出反比例函
数表达式，再由点B的坐标和反比例函数表达式即可求出m值，结合点A、B的坐标利用待定系数法
即可求出一次函数表达式；
2-1-c-n-j-y
（2）令一次函数表达式中x=0求出y值即可得出点C的坐标，利用分解图形求面积法结合点A、B的坐
标即可得出结论．
解：（1）∵点A（﹣4，﹣2）在反比例函数y= 的图象上，
∴k=﹣4×（﹣2）=8，
∴反比例函数的表达式为y= ；
∵点B（m，4）在反比例函数y= 的图象上，
∴4m=8，解得：m=2，
∴点B（2，4）．
将点A（﹣4，﹣2）、B（2，4）代入y=﹣ax+b中，
得： ，解得： ，
∴一次函数的表达式为y=x+2．（2）令y=x+2中x=0，则y=2，
∴点C的坐标为（0，2）．
∴S△AOB = OC×（x
B
﹣x
A
）= ×2×[2﹣（﹣4）]=6．
20．【分析】（1）由点A的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征，即可求出k值，从而得出反比例
函数解析式；再将点A、B坐标分别代入一次函数y=x+b中得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组
即可得出结论；
（2）连接AO，设线段AO与直线l相交于点M．由A、O两点关于直线l对称，可得出点M为线段AO
的中点，再结合点A、O的坐标即可得出结论．
解：（1）∵点A（﹣1，4）在反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象上，
∴k=﹣1×4=﹣4，
∴反比例函数解析式为y=﹣ ．
把点A（﹣1，4）、B（a，1）分别代入y=x+b中，
得： ，解得： ．
（2）连接AO，设线段AO与直线l相交于点M，如图所示．
∵A、O两点关于直线l对称，
∴点M为线段OA的中点，∵点A（﹣1，4）、O（0，0），
∴点M的坐标为（﹣ ，2）．
∴直线l与线段AO的交点坐标为（﹣ ，2）．
21．【分析】（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m），由点A的坐标表示出点C
的坐标，根据C、D点在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k、m的
二元一次方程，解方程即可得出结论；
（2）由m的值，可找出点A的坐标，由此即可得出线段OB、AB的长度，通过解直角三角形即可得出结
论；
（3）由m的值，可找出点C、D的坐标，设出过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，由点C、D的坐
标利用待定系数法即可得出结论．
解：（1）设点D的坐标为（4，m）（m＞0），则点A的坐标为（4，3+m），
∵点C为线段AO的中点，
∴点C的坐标为（2， ）．
∵点C、点D均在反比例函数y= 的函数图象上，
∴ ，解得： ．
∴反比例函数的解析式为y= ．
（2）∵m=1，
∴点A的坐标为（4，4），
∴OB=4，AB=4．
在Rt△ABO中，OB=4，AB=4，∠ABO=90°，
∴OA= =4 ，cos∠OAB= = = ．
（3））∵m=1，
∴点C的坐标为（2，2），点D的坐标为（4，1）．
设经过点C、D的一次函数的解析式为y=ax+b，
则有 ，解得： ．∴经过C、D两点的一次函数解析式为y=﹣ x+3．
22．【分析】（1）过点A作AE⊥x轴于点E，设反比例函数解析式为y= ．通过解直角三角形求出线段
AE、OE的长度，即求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
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（2）由点B在反比例函数图象上可求出点B的坐标，设直线AB的解析式为y=ax+b，由点A、B的坐标
利用待定系数法求出直线AB的解析式，令该解析式中y=0即可求出点C的坐标，再利用三角形的面
积公式即可得出结论．
解：（1）过点A作AE⊥x轴于点E，如图所示．
设反比例函数解析式为y= ．
∵AE⊥x轴，
∴∠AEO=90°．
在Rt△AEO中，AO=5，sin∠AOC= ，∠AEO=90°，
∴AE=AO•sin∠AOC=3，OE= =4，
∴点A的坐标为（﹣4，3）．
∵点A（﹣4，3）在反比例函数y= 的图象上，
∴3= ，解得：k=﹣12．
∴反比例函数解析式为y=﹣ ．
（2）∵点B（m，﹣4）在反比例函数y=﹣ 的图象上，
∴﹣4=﹣ ，解得：m=3，∴点B的坐标为（3，﹣4）．
设直线AB的解析式为y=ax+b，
将点A（﹣4，3）、点B（3，﹣4）代入y=ax+b中得：
，解得： ，
∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1．
令一次函数y=﹣x﹣1中y=0，则0=﹣x﹣1，
解得：x=﹣1，即点C的坐标为（﹣1，0）．
S△AOB = OC•（y
A
﹣y
B
）= ×1×[3﹣（﹣4）]= ．
23．【分析】（1）根据图象上点的坐标性质直接得出xy=k求出即可，再利用图象与x轴交点坐标求法
得出B点坐标即可；
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（2）分别根据当AB=BC = 时，当AB=BC = 时，当AB=BC = 时，当C点在AB的垂直平分线
1 2 3
上时，则AC=BC，求出即可．
解：（1）∵直线y=2x﹣6与反比例函数 的图象交于点A（4，2），
∴xy=k=2×4=8，
∴k=8，
当y=0时，0=2x﹣6，
解得x=3，
∴B点坐标为：B（3，0）；
（2）∵A（4，2），B（3，0），
∴AB= ，
当AB=BC = 时，
1
∴OC =3﹣ ，
1
∴C 坐标为：（3﹣ ，0）；
1
当AB=BC = 时，
2
∴OC =5，
2
∴C 坐标为：（5，0）；
2
当AB=BC = 时，
3
∴OC =3+ ，
3∴C 坐标为：（3+ ，0）；
3
当C点在AB的垂直平分线上时，
则AC=BC，
过点A作AE⊥x轴于点E，
∴AE=2，BE=4﹣3=1，
则EC=AC﹣BE=AC﹣1，
在Rt△AEC中
AE2+EC2=AC2，
∴22+（AC﹣1）2=AC2，
解得：AC=2.5，
∴BC=2.5，
∴C点坐标为：（5.5，0），
综上所述：C点的坐标为 ．
24．【分析】（1）根据题意，可以直接写出函数y= 图象上的所有“整点”；
（2）根据题意可以用树状图写出所有的可能性，从而可以求得两点关于原点对称的概率．
解：（1）由题意可得
函数y= 图象上的所有“整点”的坐标为：A（﹣3，﹣1），A（﹣1，﹣3），A（1，3），A（3，1）；
1 2 3 4
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（2）所有的可能性如下图所示，
由图可知，共有12种结果，关于原点对称的有4种，
∴P（关于原点对称）= ．25．【分析】（1）将点A（ ，1）代入y= ，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式；
（2）先由射影定理求出BC=3，那么B（ ，﹣3），计算求出S△AOB = × ×4=2 ．则S△AOP =
S△AOB = ．设点P的坐标为（m，0），列出方程求解即可；
（3）先解△OAB，得出∠ABO=30°，再根据旋转的性质求出E点坐标为（﹣ ，﹣1），即可求解．
解：（1）∵点A（ ，1）在反比例函数y= 的图象上，
∴k= ×1= ，
∴反比例函数的表达式为y= ；
（2）∵A（ ，1），AB⊥x轴于点C，
∴OC= ，AC=1，
由射影定理得OC2=AC•BC，可得BC=3，B（ ，﹣3），
S△AOB = × ×4=2 ．
∴S△AOP = S△AOB = ．
设点P的坐标为（m，0），
∴ ×|m|×1= ，
∴|m|=2 ，
∵P是x轴的负半轴上的点，
∴m=﹣2 ，
∴点P的坐标为（﹣2 ，0）；
（3）点E在该反比例函数的图象上，理由如下：
∵OA⊥OB，OA=2，OB=2 ，AB=4，
∴sin∠ABO= = = ，
∴∠ABO=30°，
∵将△BOA绕点B按逆时针方向旋转60°得到△BDE，
∴△BOA≌△BDE，∠OBD=60°，
∴BO=BD=2 ，OA=DE=2，∠BOA=∠BDE=90°，∠ABD=30°+60°=90°，而BD﹣OC= ，BC﹣DE=1，
∴E（﹣ ，﹣1），
∵﹣ ×（﹣1）= ，
∴点E在该反比例函数的图象上．
