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第一章 三角形的证明 综合测试题
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.一个直角三角形的两条直角边长分别为6 cm和8 cm，那么这个直角三角形的斜边长
为（ ）
A. 6 cm B. 8 cm C. 10 cm D. 24 cm
2.如图1，已知△ABC，AB＜BC，用尺规作图的方法在BC上取一点P，使得PA+PC＝
BC，则下列选项正确的是（ ）
A A A A A
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B C B C B C B C B C
P P P P
图1
A B C D
3.如图2，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于点D，AE∥BD交CB的延长线
于点E.若∠E＝35°，则∠BAC的度数为（ ）
A. 40° B. 45° C. 60° D. 70°
A
A
D
M
N
E C
B
B C
图2 图3 图4
4.如图3，在△ABC中，AC＝4 cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是
7 cm，则BC的长为（ ）
A. 1 cm B. 2 cm C. 3 cm D. 4 cm
5.如图4，小亮将升旗的绳子拉直到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后再将绳子
向外拉直，末端距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度（滑轮上方
的部分忽略不计）为（ ）
A. 12 m B. 13 m C. 16 m D. 17 m
6下列命题中，其逆命题为真命题的是（ ）
A. 若a＝b，则a2＝b2 B. 同位角相等
C. 两边和一角对应相等的两个三角形全等 D. 等腰三角形两底角不相等
7.如图5，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，CE平分
∠ACB，若BE＝2，则AE的长为（ ）
A
A. B. 1 C. D. 2
E
A
D
B C E
D
图5 B C
图 图7
68.如图6，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝5，DE＝
2，则△BCE的面积为（ ）
A. 10 B. 7 C. 5 D. 4
9.如图7，△ABC和△DCE都是边长为2的等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，连
接BD，则BD的长为（ ）
A. 18 B. 3 C. 12 D. 2
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10.如图8，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，P是BC边上的
A
动点，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，则PD+PE的长
E
是（ ）
D
A. 4.8 B. 4.8或3.8
C. 3.8 D. 5
二、填空题（每小题4分，共32分） B P C
11.命题“全等三角形的面积相等”的逆命题是＿＿＿＿＿ 图8
＿＿＿＿.
12.若一个三角形的三边长分别为3 m，4 m，5 m，那么这个三角形的面积为＿＿＿.
13.如图9，点D，C，A在同一条直线上，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶5∶10，
若△EDC≌△ABC，则∠BCE的度数为＿＿＿.
E
A
B
C
D B
D C A 图11
图10 图12
图9
14.如图10，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠CAB，交BC于点D，若CD＝
1，则BD＝＿＿＿.
15.如图11，在△ABC和△ADC中，下列论断：①AB＝AD；②∠ABC＝∠ADC＝90°；③
BC＝DC．把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出＿＿＿＿个真命题．
16.图12是矗立在高速公路水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝
4米，AB＝8米，∠MAD＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为＿＿＿米（. 结果精确到0.1
米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73）17.如图13，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD
的面积之比是＿＿＿.
C
C A
3
A
D 1
O
A B A A 2 A 4 B
图13 图14
18.如图14，∠BOC＝9°，点A在OB上，且OA＝1.按下列要求画图：以A为圆心，1为半
径向右画弧交OC于点A，得第1条线段AA；再以A 为圆心，1为半径向右画弧交OB于点
1 1 1
A ，得第2条线段AA ；再以A 为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A ，得第3条线段
2 1 2 2 3
A A；……依次画下去，直到得到第n条线段，之后不能再画出符合要求的线段，则n＝＿＿.
2 3
三、解答题（共58分）
19.（6分）如图15，AD是△ABC的角平分线，CE∥AD交BA的延长线于点E，那么
△ACE是等腰三角形吗？请证明你的结论.
图15
20.（8分）如图16，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5， BC＝3，AC的
垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，试求CD的长.
A
E
D
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B C
图16
21（. 8分）如图17，在△ABC中，AB=AC=10 cm，∠B=15°，CD
是AB边上的高，求CD的长．
图1722.（10分）我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形” .图18所示四边形ABCD是一
个筝形，其中AB＝CB，AD＝CD，对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是
E，F.求证：OE＝OF.
D
A O C
E F
B
图18
23（. 12分）如图19，在Rt△ABC中，∠C＝90º，BD是△ABC的角平分线，点O在BD上，
分别过点O作OE⊥BC，OF⊥AC，垂足为E，F，且OE=OF.
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（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
A
（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长.
D
F
O
B C
E
图19
24.（14分）按照题中提供的思路点拨，先填空，然后完成解答的全过程.
如图20，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，延长BC，使CE＝CD，连接DE，求
证：BC+DC＝AC.
思路点拨：（1）由已知条件AB＝AD，∠BAD＝60°，可知△ABD是＿＿＿三角形.同理由
已知条件∠BCD＝120°得到∠DCE＝＿＿＿，且CE＝CD，可知＿＿＿；
（2）要证BC+DC＝AC，可将问题转化为证两条线段相等，即＿＿＿＝＿＿＿；
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（3）要证（2）中所填写的两条线段相等，可以先证明＿＿＿.
请写出完整的证明过程.
A
D
B E
C
图20附加题（15分，不计入总分）
25.如图21，已知一个边长分别为6、8、10的直角三角形，请设计出一个有一条边长为8
的直角三角形，使这两个直角三角形能够拼成一个等腰三角形.
（1）画出4种不同拼法（周长不等）的等腰三角形；
（2）分别求出4种不同拼法的等腰三角形的周长.
10
8
参考答案 6
一、1. C 2. D 3. A 4. C 5. D 6. C 7. B 8. C 9. D 10. A 图21
二、11. 面积相等的三角形全等 12. 6 m2 13. 20° 14. 2 15. 2 16. 2.9 17. 4∶3 18. 9
三、19. 解：△ACE是等腰三角形．
证明：因为AD是△ABC的角平分线，所以∠BAD=∠CAD．
因为CE∥AD，所以∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE.所以∠E=∠ACE.
所以AE=AC，即△ACE是等腰三角形．
20. 解：因为DE是AC的垂直平分线，所以CD＝AD.所以AB＝BD+AD＝BD+CD.
设CD＝x，则BD＝5－x.在Rt△BCD中，由勾股定理，得 CD2＝BC2+BD2，即x2＝32+(5－
x)2，解得x＝3.4.故CD的长为3.4.
21. 解：在△ABC中，因为AB=AC=10 cm，∠B=15°，所以∠B=∠ACB=15°.
所以∠DAC=∠B+∠ACB=30°．
因为CD是AB边上的高，所以∠D=90°.
所以CD=AC=×10=5（cm），即CD的长是5 cm．
22. 证明：在△ABD和△CBD中，AB＝CB，AD＝CD，BD＝BD，所以△ABD≌△CBD.
所以∠ABD＝∠CBD.所以BD平分∠ABC.
又因为OE⊥AB，OF⊥CB，所以OE＝OF.
23. 证明：（1）过点O作OM⊥AB于点M.
因为BD平分∠ABC，OM⊥AB于M，OE⊥BC于E，所以OM＝OE.
又OE=OF，所以OM=OF.所以点O在∠BAC的平分线上.
（2）连接OC.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，根据勾股定理，得AB＝13.
因为S +S +S =S ，所以 ×13·OM+ ×12·OE+ ×5·OF= ×5×12.
△ABO △BCO △ACO △ABC
由（1）知OM=OE=OF，所以15OE=30，解得OE＝2.
24. 解：（1）等边 60° △DCE是等边三角形
（2）AC BE
（3）△BED≌△ACD
证明过程如下：连接AC，BD.
因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD是等边三角形.所以AD＝BD，∠ADB＝60°.
因为∠BCD＝120°，所以∠DCE＝180°－∠BCD＝180°－120°＝60°.
因为CE＝CD，所以△DCE是等边三角形.所以CD＝DE，∠CDE＝60°.所以∠ADB+∠BDC＝∠CDE+∠BDC，即∠ADC＝∠BDE.
在△ADC和△BDE中，AD＝BD，∠ADC＝∠BDE，DC＝DE，所以△ADC≌△BDE.所以
AC＝BE＝BC+CE=BC+DC.
25. 解：（1）答案不唯一，如给出4种不同拼法，如图1-①、1-②、1-③、1-④所示.
10
8
10 10 10
8 8 10 x+6 8 6
8
10
4 ① 6 6 ② 6 x ③ 6
图1
④
（2）如图1-①：拼成的等腰三角形的周长为10+6+4+ ＝20+4 ；如图1-②：
拼成的等腰三角形的周长为10+10+12＝32；如图1-③：根据图示知，64+x2＝(x+6)2，解得x＝
，所以拼成的等腰三角形的周长为2× +10＝ ；如图1-④：拼成的等腰三角形的
周长为10+10+8+8＝36.
