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2017-2018学年天津市和平区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个选项符合题意）
1．在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A．a=1.5，b=2，c=3B．a=2，b=3，c=4
C．a=4，b=5，c=6 D．a=5，b=12．c=13
2．若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜ B．x≤ C．x≠ D．x＞
3．一次函数y=x+2的图象不经过的象限是（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
4．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，任意平行四边形的中点
四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
5．九年级一班5名女生进行体育测试，她们的成绩分别为70，80，85，75，85（单位：分），这次测试成
绩的众数和中位数分别是（ ）
A．79，85B．80，79C．85，80D．85，85
6．某一段时间，小芳测得连续五天的日最高气温后，整理得出如表（有两个数据被遮盖）．被遮盖的两
个数据依次是（ ）
日期 一 二 三 四 五 方差 日平均最高
气温
最高气温 1℃ ﹣2℃ 0℃ 4℃ 1℃
A．2，2 B．2，4 C．4，2 D．4，4
7．化简 的结果是（ ）
第1页（共31页）A． B． C． D．
8．已知正比例函数y=kx（k＜0）的图象上两点A（x ，y ）、B（x ，y ），且x ＜x ，则下列不等式中恒成
1 1 2 2 1 2
立的是（ ）
A．y +y ＞0 B．y +y ＜0 C．y ﹣y ＞0 D．y ﹣y ＜0
1 2 1 2 1 2 1 2
9．解放军某部接到上级命令，乘车前往四川地震灾区抗震救灾、前进一段路程后，由于道路受阻，汽
车无法通行，部队通过短暂休整后决定步行前往、若部队离开驻地的时间为t（小时），离开驻地的距
离为s（千米），则能反映s与t之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，两个不同的一次函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是
（ ）
A． B． C． D．
11．如图为等边三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D，E两点分别在AB，BC上，且
BD=BE．若AC=18，GF=6，则点F到AC的距离为（ ）
第2页（共31页）A．6 ﹣6 B．6 ﹣6 C．2 D．3
12．如图，在边长为6 的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连
接EG，过点C作EG的垂线CH，垂足为点H，连接BH，BH=8．有下列结论：
①∠CBH=45°；②点H是EG的中点；③EG=4 ；④DG=2
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．某班随机调查了10名学生，了解他们一周的体育锻炼时间，结果如表所示：
时间（小时） 7 8 9
人数 3 4 3
则这10名学生在这一周的平均体育锻炼时间是 小时．
14．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=3．则矩形对角线的长等于
．
15．若a=1，b=1，c=﹣1，则 的值等于 ．
16．如图，直线y=﹣ x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点C是线段AB上一点，四边形OADC是菱
形，则OD的长= ．
第3页（共31页）17．一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程y（米）与时间t
（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 米．
18．图中的虚线网格是等边三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的等边三角形．
（1）边长为1的等边三角形的高= ；
（2）图①中的▱ABCD的对角线AC的长= ；
（3）图②中的四边形EFGH的面积= ．
三、解答题（共7小题，满分66分）
19．计算：
（1） ﹣
（2）（2 ﹣3 ）÷ ．
第4页（共31页）20．在兰州市开展的“体育、艺术2+1”活动中，某校根据实际情况，决定主要开设A：乒乓球，B：篮球，
C：跑步，D：跳绳这四种运动项目．为了解学生喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将
调查结果绘制成如图甲、乙所示的条形统计图和扇形统计图．请你结合图中的信息解答下列问题：
（1）样本中喜欢B项目的人数百分比是 ，其所在扇形统计图中的圆心角的度数是
；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）已知该校有1000人，根据样本估计全校喜欢乒乓球的人数是多少？
21．如图，直角三角形纸片OAB，∠AOB=90°，OA=1，OB=2，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与
边AB交于点D，折叠后点B与点A重合．
（1）AB的长= ；
（2）求OC的长．
22．在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且AF=CE．
（1）如图①，求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如图②，若∠BAC=90°，且四边形AECF是边长为6的菱形，求BE的长．
第5页（共31页）23．某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费0.5
元，超计划部分每吨按0.8元收费．
（1）某月该单位用水2800吨，水费是 元；若用水3200吨，水费是 元；
（2）设该单位每月用水量为x吨，水费为y元，求y关于x的函数解析式；
（3）若某月该单位缴纳水费1540元，求该单位这个月用水多少吨？
24．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF 交于点O，∠AOF=90°．求证：
BE=CF．
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上，
EF、GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．求GH的长．
（3）已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH=90°，
EF=4．直接写出下列两题的答案：
①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH= ；
②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH= （用n的代数式表示）．
25．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（ 0，﹣1），点B（ 4，﹣1），四边形ABCD是正方形，点
C在第一象限．
（1）直线AC的解析式为 ；
（2）过点D且与直线AC平行的直线的解析式为 ；
（3）与直线AC平行且到直线AC的距离为3 的直线的解析式为 ；
（4）已知点T是AB的中点，P，Q是直线AC上的两点，PQ=6 ，点M在直线AC下方，且点M在直
线DT上，当∠PMQ=90°，且PM=QM时，求点M的坐标．
第6页（共31页）第7页（共31页）2017-2018 学年天津市和平区八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分，每小题只有一个选项符合题意）
1．在下列由线段a，b，c的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是（ ）
A．a=1.5，b=2，c=3B．a=2，b=3，c=4
C．a=4，b=5，c=6 D．a=5，b=12．c=13
【考点】勾股定理的逆定理．
【分析】欲求证是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理即可．这里给出三边的长，只要验证两小边
的平方和等于最长边的平方即可．
【解答】解：A、12+22=5≠32，故不是直角三角形，故错误；
B、22+32=13≠42，故不是直角三角形，故错误；
C、42+52=41≠62，故不是直角三角形，故错误；
D、52+122=169=132，故是直角三角形，故正确．
故选D．
【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只
要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
2．若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＜ B．x≤ C．x≠ D．x＞
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，由被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可．
【解答】解：根据二次根式的意义，被开方数大于等于0，即2﹣3x≥0，
根据分式有意义的条件，2﹣3x≠0，
即2﹣3x＞0，
第8页（共31页）解得，x＜ ，
故选：A．
【点评】主要考查了二次根式的意义和性质．概念：式子 （a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被
开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被
开方数大于0．
3．一次函数y=x+2的图象不经过的象限是（ ）
A．一 B．二 C．三 D．四
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【分析】根据k，b的符号确定一次函数y=x+2的图象经过的象限．
【解答】解：∵k=1＞0，图象过一三象限，b=2＞0，图象过第二象限，
∴直线y=x+2经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故选D．
【点评】本题考查一次函数的k＞0，b＞0的图象性质．需注意x的系数为1，难度不大．
4．我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，任意平行四边形的中点
四边形是（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【考点】中点四边形．
【分析】利用三角形中位线定理可得新四边形的对边平行且等于原四边形一条对角线的一半，那么根
据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定所得的四边形一定是平行四边形．
【解答】解：如图四边形ABCD，E、N、M、F分别是DA，AB，BC，DC中点，连接AC，DE，
根据三角形中位线定理可得：
EF平行且等于AC的一半，MN平行且等于AC的一半，
根据平行四边形的判定，可知四边形为平行四边形．
故选：A．
第9页（共31页）【点评】此题考查了平行四边形的判定和三角形的中位线定理，三角形的中位线的性质定理，为题目
提供了平行线，为利用平行线判定平行四边形奠定了基础．
5．九年级一班5名女生进行体育测试，她们的成绩分别为70，80，85，75，85（单位：分），这次测试成
绩的众数和中位数分别是（ ）
A．79，85B．80，79C．85，80D．85，85
【考点】众数；中位数．
【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或两个数的平均数）为中位
数；
众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．
【解答】解：从小到大排列此数据为：70，75，80，85，85，数据85出现了两次最多为众数，80处在第3
位为中位数．
所以本题这组数据的中位数是80，众数是85．
故选C．
【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．要明确定义，一些学生往往对
这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然
后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个
则找中间两位数的平均数．
6．某一段时间，小芳测得连续五天的日最高气温后，整理得出如表（有两个数据被遮盖）．被遮盖的两
个数据依次是（ ）
日期 一 二 三 四 五 方差 日平均最高
气温
最高气温 1℃ ﹣2℃ 0℃ 4℃ 1℃
A．2，2 B．2，4 C．4，2 D．4，4
【考点】方差．
【分析】首先根据平均气温求出第五天的温度，再根据方差公式求出方差即可．
第10页（共31页）【解答】解：第二天的气温=1×5﹣（1+4﹣2+0）=2℃，
方差= [（1﹣1）2+（1﹣2）2+（1+2）2+（1﹣0）2+（1﹣4）2]
=20÷5
=4．
故选B．
【点评】本题主要考查统计数据，属容易题，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，
反之也成立．
7．化简 的结果是（ ）
A． B． C． D．
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】根据二次根式的性质进行化简，即可解答．
【解答】解： = ．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的性质，解决本题的关键是熟记二次根式的性质．
8．已知正比例函数y=kx（k＜0）的图象上两点A（x ，y ）、B（x ，y ），且x ＜x ，则下列不等式中恒成
1 1 2 2 1 2
立的是（ ）
A．y +y ＞0 B．y +y ＜0 C．y ﹣y ＞0 D．y ﹣y ＜0
1 2 1 2 1 2 1 2
【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正比例函数的图象．
【分析】根据k＜0，正比例函数的函数值y随x的增大而减小解答．
【解答】解：∵直线y=kx的k＜0，
∴函数值y随x的增大而减小，
∵x ＜x ，
1 2
∴y ＞y ，
1 2
第11页（共31页）∴y ﹣y ＞0．
1 2
故选：C．
【点评】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，主要利用了正比例函数的增减性．
9．解放军某部接到上级命令，乘车前往四川地震灾区抗震救灾、前进一段路程后，由于道路受阻，汽
车无法通行，部队通过短暂休整后决定步行前往、若部队离开驻地的时间为t（小时），离开驻地的距
离为s（千米），则能反映s与t之间函数关系的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象．
【专题】应用题；压轴题．
【分析】因为前进一段路程后，由于道路受阻，汽车无法通行，部队通过短暂休整后决定步行前往，由
此即可求出答案．
【解答】解：根据题意：分为3个阶段：1、前进一段路程后，位移增大；2、部队通过短暂休整，位移不变；
3、部队步行前进，位移增大，但变慢；
故选A．
【点评】本题要求正确理解函数图象与实际问题的关系，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是
随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小，通过图象得到函数是随自变量的增大或减小的快慢．
10．如图，两个不同的一次函数y=ax+b与y=bx+a的图象在同一平面直角坐标系的位置可能是
（ ）
第12页（共31页）A． B． C． D．
【考点】一次函数的图象．
【专题】数形结合．
【分析】对于各选项，先确定一条直线的位置得到a和b的符号，然后根据此符号判断另一条直线的位
置是否符号要求．
【解答】解：A、若经过第一、二、三象限的直线为y=ax+b，则a＞0，b＞0，所以直线y=bx+a经过第一、
二、三象限，所以A选项错误；
B、若经过第一、二、四象限的直线为y=ax+b，则a＜0，b＞0，所以直线y=bx+a经过第一、三、四象限，
所以B选项错误；
C、若经过第一、三、四象限的直线为y=ax+b，则a＞0，b＜0，所以直线y=bx+a经过第一、二、四象限，
所以C选项正确；
D、若经过第一、二、三象限的直线为y=ax+b，则a＞0，b＞0，所以直线y=bx+a经过第一、二、三象限，
所以D选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了一次函数图象：一次函数y=kx+b经过两点（0，b）、（﹣ ，0）．注意：使用两点法画
一次函数的图象，不一定就选择上面的两点，而要根据具体情况，所选取的点的横、纵坐标尽量取整
数，以便于描点准确．
11．如图为等边三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D，E两点分别在AB，BC上，且
BD=BE．若AC=18，GF=6，则点F到AC的距离为（ ）
A．6 ﹣6 B．6 ﹣6 C．2 D．3
第13页（共31页）【考点】正方形的性质；等边三角形的性质．
【分析】过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，根据等边三角形的性质求出∠A=∠ABC=60°，然后判定
△BDE是等边三角形，再根据等边三角形的性质求出∠BDE=60°，然后根据同位角相等，两直线平行
求出AC∥DE，再根据正方形的对边平行得到DE∥GF，从而求出AC∥DE∥GF，再根据等边三角形
的边的与高的关系表示出KH，然后根据平行线间的距离相等即可得解．
【解答】解：如图，过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=60°，
∵BD=BE，
∴△BDE是等边三角形，
∴∠BDE=60°，
∴∠A=∠BDE，
∴AC∥DE，
∵四边形DEFG是正方形，GF=6，
∴DE∥GF，
∴AC∥DE∥GF，
∴KH=18× ﹣6× ﹣6=9 ﹣3 ﹣6=6 ﹣6，
∴F点到AC的距离为6 ﹣6，
故选B．
【点评】本题考查了正方形的对边平行，四条边都相等的性质，等边三角形的判定与性质，等边三角形
的高线等于边长的 倍，以及平行线间的距离相等的性质，综合题，但难度不大，熟记各图形的性质
是解题的关键．
第14页（共31页）12．如图，在边长为6 的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连
接EG，过点C作EG的垂线CH，垂足为点H，连接BH，BH=8．有下列结论：
①∠CBH=45°；②点H是EG的中点；③EG=4 ；④DG=2
其中，正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】四边形综合题．
【分析】连接CG，作HF⊥BC于F，HO⊥AB于O，证明△CBE≌△CDG，得到△ECG是等腰直角三角
形，证明∠GEC=45°，根据四点共圆证明①正确；根据等腰三角形三线合一证明②正确；根据等腰直
角三角形的性质和勾股定理求出EG的长，得到③正确；求出BE的长，根据DG=BE，求出BE证明④
正确．
【解答】解：连接CG，作HF⊥BC于F，HO⊥AB于O，
在△CBE和△CDG中，
，
∴△CBE≌△CDG，
∴EC=GC，∠GCD=∠ECB，
∵∠BCD=90°，
∴∠ECG=90°，
∴△ECG是等腰直角三角形，
∵∠ABC=90°，∠EHC=90°，
∴E、B、C、H四点共圆，
∴∠CBH=∠GEC=45°，①正确；
第15页（共31页）∵CE=CG，CH⊥EG，
∴点H是EG的中点，②正确；
∵∠HBF=45°，BH=8，
∴FH=FB=4 ，又BC=6 ，
∴FC=2 ，
∴CH= =2 ，
∴EG=2CH=4 ，③正确；
∵CH=2 ，∠HEC=45°，
∴EC=4 ，
∴BE= =2 ，
∴DG=2 ，④正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理的运用，根据正方形的性质和
等腰直角三角形的性质证明三角形全等是解题的关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）
13．某班随机调查了10名学生，了解他们一周的体育锻炼时间，结果如表所示：
时间（小时） 7 8 9
人数 3 4 3
则这10名学生在这一周的平均体育锻炼时间是 8 小时．
【考点】加权平均数．
第16页（共31页）【分析】根据样本的条形图可知，将所有人的体育锻炼时间进行求和，再除以总人数即可．
【解答】解：70名学生平均的体育锻炼时间为： =8，
即这70名学生这一天平均每人的体育锻炼时间为 8小时．
故答案为：8．
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，即用样本平均数估计总体平均数．同时要会读统计图是
解答本题的关键．
14．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=3．则矩形对角线的长等于 6
．
【考点】矩形的性质．
【分析】由矩形的性质得出OA=OB，由已知条件证出△AOB是等边三角形，得出OA=AB=3，得出
AC=BD=2OA即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA= AC，OB= BD，AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴OA=AB=3，
∴AC=BD=2OA=6；
故答案为：6．
【点评】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证
是解决问题的关键．
第17页（共31页）15．若a=1，b=1，c=﹣1，则 的值等于 ．
【考点】二次根式的化简求值．
【分析】首先用代入法得出b2﹣4ac，再代入即可．
【解答】解：∵b2﹣4ac=1﹣4×1×（﹣1）=5，
∴原式= ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了代数式求值，直接代入是解答此题的关键．
16．如图，直线y=﹣ x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点C是线段AB上一点，四边形OADC是菱
形，则OD的长= 4. 8 ．
【考点】菱形的性质；一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】由直线的解析式可求出点B、A的坐标，进而可求出OA，OB的长，再利用勾股定理即可求出
AB的长，由菱形的性质可得OE⊥AB，再根据△AOB的面积，可求出OE的长，进而可求出OD的长．
【解答】解：∵直线y=﹣ x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，
∴点A（3，0），点B（0，4），
∴OA=3，OB=4，
∴AB= =5，
∵四边形OADC是菱形，
第18页（共31页）∴OE⊥AB，OE=DE，
∴OA•OB=OE•AB，
即3×4=5×OE，
解得：OE=2.4，
∴OD=2OE=4.8．
故答案为：4.8．
【点评】本题考查了菱形的性质以及一次函数与坐标轴的交点问题，题目设计新颖，是一道不错的中
考题，解题的关键是求OD的长转化为求△AOB斜边上的高线OE的长．
17．一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程y（米）与时间t
（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 220 0 米．
【考点】一次函数的应用．
【专题】数形结合．
【分析】设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由行程问题的数量关系建立方程组求出其解
即可．
【解答】解：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为b米/秒，由题意，得
，
解得： ，
∴这次越野跑的全程为：1600+300×2=2200米．
故答案为：2200．
【点评】本题考查了行程问题的数量关系的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时由函数图象
的数量关系建立方程组是关键．
第19页（共31页）18．图中的虚线网格是等边三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的等边三角形．
（1）边长为1的等边三角形的高= ；
（2）图①中的▱ABCD的对角线AC的长= ；
（3）图②中的四边形EFGH的面积= 8 ．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一以及30°所对的直角边是斜边的一半，结合勾股定理，即可计
算其高；
（2）构造直角三角形，根据平行四边形的面积可得AK，根据勾股定理计算即可；
（3）可构造平行四边形，比如以FG为对角线构造平行四边形FPGM，S =6S ，故S =3S
FPGM △ △FGM 单位正三
，同理可得其他部分的面积，进而可求出四边形EFGH的面积．
角形
【解答】解：（1）边长为1的正三角形的高= = ，
（2）过点A作AK⊥BC于K（如图1）
在Rt△ACK中，AK=6÷4 = ，KC= ，
∴AC= = ；
（3）如图2所示，将图形EFGH分割成五部分，以FG为对角线构造▱FPGM，
∵▱FPGM含有6个单位正三角形，
∴S =3S单位正三角形，
△FGM
同理可得S =4S单位正三角形，S =8S单位正三角形，S =8S单位正三角形，S四边形
△DGH △EFC △EDH
=9S单位正三角形，
CMGD
第20页（共31页）∵正三角形的边长为1，
∴正三角形面积= × = ，
∴S =（3+4+8+9+8）× =8 ．
四边形EFGH
故答案为： ， ，8 ．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的运用，熟知等边三角形的底边上的高和边长的关
系：等边三角形的高是边长的 倍；熟练运用勾股定理进行计算，不规则图形的面积要分割成规则图
形后进行计算是解题关键．
三、解答题（共7小题，满分66分）
19．计算：
（1） ﹣
（2）（2 ﹣3 ）÷ ．
【考点】二次根式的加减法．
【分析】（1）首先化简二次根式，进而合并求出即可；
（2）首先化简二次根式，进而合并，利用二次根式除法运算法则求出即可．
【解答】解：（1） ﹣ =3 ﹣2 = ；
第21页（共31页）（2）（2 ﹣3 ）÷
=（8 ﹣9 ）÷
=﹣
=﹣ ．
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
20．在兰州市开展的“体育、艺术2+1”活动中，某校根据实际情况，决定主要开设A：乒乓球，B：篮球，
C：跑步，D：跳绳这四种运动项目．为了解学生喜欢哪一种项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将
调查结果绘制成如图甲、乙所示的条形统计图和扇形统计图．请你结合图中的信息解答下列问题：
（1）样本中喜欢B项目的人数百分比是 20% ，其所在扇形统计图中的圆心角的度数是 72 ° ；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）已知该校有1000人，根据样本估计全校喜欢乒乓球的人数是多少？
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）利用1减去其它各组所占的比例即可求得喜欢B项目的人数百分比，利用百分比乘以360
度即可求得扇形的圆心角的度数；
（2）根据喜欢A的有44人，占44%即可求得调查的总人数，乘以对应的百分比即可求得喜欢B的人
数，作出统计图；
（3）总人数1000乘以喜欢乒乓球的人数所占的百分比即可求解．
【解答】解：（1）1﹣44%﹣8%﹣28%=20%，所在扇形统计图中的圆心角的度数是：360×20%=72°；
（2）调查的总人数是：44÷44%=100（人），
第22页（共31页）则喜欢B的人数是：100×20%=20（人），
；
（3）全校喜欢乒乓球的人数是1000×44%=440（人）．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必
要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分
占总体的百分比大小．
21．如图，直角三角形纸片OAB，∠AOB=90°，OA=1，OB=2，折叠该纸片，折痕与边OB交于点C，与
边AB交于点D，折叠后点B与点A重合．
（1）AB的长= ；
（2）求OC的长．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】（1）在△OAB中，由勾股定理可求得AB的长；
（2）设OC为x，则BC=2﹣x，由翻折的性质可知；AC=BC=2﹣x，最后在△OAC中，由勾股定理列方
程求解即可．
【解答】解：（1）在Rt△OAB中，AB= = ；
第23页（共31页）故答案为： ．
（2）由折叠的性质可知；BC=AC，设OC为x，则BC=AC=2﹣x．
在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2．
∴（2﹣x）2=x2+12．
解得：x= ．
∴OC= ．
【点评】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理，掌握翻折的性质是解题的关键．
22．在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且AF=CE．
（1）如图①，求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）如图②，若∠BAC=90°，且四边形AECF是边长为6的菱形，求BE的长．
【考点】平行四边形的判定与性质；菱形的性质．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，根据平行四边形的判定推出即可；
（2）根据菱形的性质求出AE=6，AE=EC，求出AE=BE即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：如图：
第24页（共31页）∵四边形AECF是菱形，
∴AE=EC，
∴∠1=∠2，
∵∠BAC=90°，
∴∠2+∠3=90°∠1+∠B=90°，
∴∠3=∠B，
∴AE=BE，
∵AE=6，
∴BE=6．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，菱形的性质和判定的应用，能灵活运用定
理进行推理是解此题的关键．
23．某市自来水公司为限制单位用水，每月只给某单位计划内用水3000吨，计划内用水每吨收费0.5
元，超计划部分每吨按0.8元收费．
（1）某月该单位用水2800吨，水费是 140 0 元；若用水3200吨，水费是 166 0 元；
（2）设该单位每月用水量为x吨，水费为y元，求y关于x的函数解析式；
（3）若某月该单位缴纳水费1540元，求该单位这个月用水多少吨？
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）根据3000吨以内，用水每吨收费0.5元，超计划部分每吨按0.8元收费，即可求解；
（2）根据收费标准，分x≤3000吨，和x＞3000吨两种情况进行讨论，分两种情况写出解析式；
（3）该单位缴纳水费1540元一定是超过3000元，根据超过3000吨的情况的水费标准即可得到一个
关于用水量的方程，即可求解．
【解答】解：（1）某月该单位用水3200吨，水费是：3000×0.5+200×0.8=1660元；
若用水2800吨，水费是：2800×0.5=1400元，
故答案为：1400；1660；
（2）根据题意，当≤x≤3000时，y=0.5x；
当x＞3000时，y=0.5×3000+0.8×（x﹣3000）=0.8x﹣900，
所以y关于x的函数解析式为： ，
（3）因为缴纳水费1540元，所以用水量应超过3000吨，故令，设用水x吨．
1500+0.8（x﹣3000）=1540
第25页（共31页）x=3050
即该月的用水量是3050吨．
【点评】本题考查的是用一次函数解决实际问题，正确理解收费标准，列出函数解析式是关键，此类题
是近年中考中的热点问题．
24．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，AE、BF 交于点O，∠AOF=90°．求证：
BE=CF．
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E、H、F、G分别在边AB、BC、CD、DA上，
EF、GH交于点O，∠FOH=90°，EF=4．求GH的长．
（3）已知点E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，EF、GH交于点O，∠FOH=90°，
EF=4．直接写出下列两题的答案：
①如图3，矩形ABCD由2个全等的正方形组成，则GH= ；
②如图4，矩形ABCD由n个全等的正方形组成，则GH= （用n的代数式表示）．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】计算题；证明题；压轴题．
【分析】（1）关键是证出∠CBF=∠BAE，可利用同角的余角相等得出，从而结合已知条件，利用SAS
可证△ABE≌△BCF，于是BE=CF；
（2）过A作AM∥GH，交BC于M，过B作BN∥EF，交CD于N，AMBN交于点O′，利用平行四边形
的判定，可知四边形AMHG和四边形BNFE是▱，那么AM=GH，BN=EF，由于∠EOH=90°，结合平
行线的性质，可知∠AO′N=90°，那么此题就转化成（1），求△BCN≌△ABM即可；
（3）①若是两个正方形，则GH=2EF=8；②若是n个正方形，那么GH=n•4=4n．
【解答】（1）证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，
第26页（共31页）∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EAB+∠AEB=90°．
∵∠EOB=∠AOF=90°，
∴∠FBC+∠AEB=90°，
∴∠EAB=∠FBC，
∴△ABE≌△BCF，
∴BE=CF；
（2）解：方法1：如图，过点A作AM∥GH交BC于M，
过点B作BN∥EF交CD于N，AM与BN交于点O′，
则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，
∴EF=BN，GH=AM，
∵∠FOH=90°，AM∥GH，EF∥BN，
∴∠NO′A=90°，
故由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM=BN，
∴GH=EF=4；
方法2：过点F作FM⊥AB于M，过点G作GN⊥BC于N，
得FM=GN，由（1）得，∠HGN=∠EFM，
得△FME≌△GNH，
得FE=GH=4．
（3）①∵是两个正方形，则GH=2EF=8，②4n．
第27页（共31页）【点评】本题利用了正方形的性质、平行四边形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定和性质等知
识，关键是作辅助线，构造全等三角形．
25．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（ 0，﹣1），点B（ 4，﹣1），四边形ABCD是正方形，点
C在第一象限．
（1）直线AC的解析式为 y=x﹣ 1 ；
（2）过点D且与直线AC平行的直线的解析式为 y=x+ 3 ；
（3）与直线AC平行且到直线AC的距离为3 的直线的解析式为 y=x+ 5 或 y=x﹣ 7 ；
（4）已知点T是AB的中点，P，Q是直线AC上的两点，PQ=6 ，点M在直线AC下方，且点M在直
线DT上，当∠PMQ=90°，且PM=QM时，求点M的坐标．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）首先求出正方形ABCD的边长以及点C的坐标是多少；然后应用待定系数法，求出直线
AC的解析式是多少即可．
（2）首先根据四边形ABCD是正方形，求出点D的坐标是多少；然后应用待定系数法，求出过点D且
与直线AC平行的直线的解析式是多少即可．
（3）首先设与直线AC平行且到直线AC的距离为3 的直线的解析式为y=x+d，然后根据点A（0，
﹣1）到直线y=x+d的距离为3 ，求出d的值是多少即可．
第28页（共31页）（4）首先作MG⊥PQ于点G，求出点E的坐标，再应用待定系数法，求出直线l的解析式；然后求出点
T的坐标，再应用待定系数法，求出直线DT的解析式；最后求出直线l和直线DT的交点即可．
【解答】解：（1）∵点A （0，﹣1），点B （4，﹣1），
∴AB=4，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AB=4，
∴点C的坐标是（4，3），
设直线AC的解析式为y=kx+b，
则
解得
∴直线AC的解析式为y=x﹣1．
（2）∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB=4，
∴点D的坐标是（0，3），
设过点D且与直线AC平行的直线的解析式为y=x+c，
则3=0+c，
解得c=3，
∴过点D且与直线AC平行的直线的解析式为：y=x+3．
（3）设与直线AC平行且到直线AC的距离为3 的直线的解析式为y=x+d，
∵点A（0，﹣1）到直线y=x+d的距离为3 ，
∴ ，
解得d=5或﹣7，
∴与直线AC平行且到直线AC的距离为3 的直线的解析式为：y=x+5或y=x﹣7．
第29页（共31页）（4）如图1，作MG⊥PQ于点G，
∵PM=QM，
∴MG是PQ边上的中线，
又∵∠PMQ=90°，
∴MG= PQ= =3 ，
∴点M在与直线AC平行，且相距3 的直线l上，
设l与y轴交于点E，作AF⊥l于点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=90°，∠DAC=90°，
∵直线AC∥l，
∴∠AEF=∠DAC=45°，
又∵AF⊥l，
∴∠AFE=90°，
∴∠EAF=90°﹣45°=45°，
∴∠AEF=∠EAF=45°，
∴EF=AF=MG=3 ，
∴AE= = =6，
第30页（共31页）∵点M在直线AC下方，
∴OE=7，
∴点E的坐标是（0，﹣7），
∴直线l的解析式是y=x﹣7，
∵点A （0，﹣1），点B （4，﹣1），点T是AB的中点，
∴点T的坐标是（2，﹣1），
设直线DT的解析式是y=mx+n，
则 ，
解得 ．
∴直线DT的解析式是y=﹣2x+3，
由 ，
解得 ．
∴点M的坐标是（ ，﹣ ）．
故答案为：y=x﹣1；y=x+3；y=x+5或y=x﹣7．
【点评】（1）此题主要考查了一次函数综合题，考查了分析推理能力，考查了数形结合思想的应用，考
查了从已知函数图象中获取信息，并能利用获取的信息解答相应的问题的能力．
（2）此题还考查了直线解析式的求法，以及正方形的性质和应用，要熟练掌握．
第31页（共31页）
