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训练 19 复 数
一、单项选择题
1．设复数z是纯虚数，若是实数，则等于( )
A．－2i B．－i C．i D．2i
答案 D
解析 设z＝bi(b∈R，b≠0)，
所以＝＝＝是实数，
所以2＋b＝0，即b＝－2.
所以z＝－2i，所以＝2i.
2．(2023·长沙模拟)设z(1－2i)＝|3＋4i|，则z的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 因为z(1－2i)＝|3＋4i|＝＝5，
所以z＝＝＝＝1＋2i，
所以z的共轭复数为1－2i，它在复平面内对应的点(1，－2)在第四象限．
3．(2023·临沂模拟)已知复数z ＝，其中i为虚数单位，且|z－z|＝1，则复数z的模的最大值
0 0
为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 z＝＝＝2i，
0
则|z－z|＝1表示复数z对应点Z的轨迹是以(0，2)为圆心，1为半径的圆，如图所示，
0
则|z|表示圆上的点到原点的距离，
由图可知，|z|的最大值为3.
4．(2023·南通模拟)设z是复数，则下列命题中正确的是( )
A．若z是纯虚数，则z2≥0
B．若z的实部为0，则z为纯虚数
C．若z－＝0，则z是实数D．若z＋＝0，则z是纯虚数
答案 C
解析 对于A选项，若z为纯虚数，可设z＝bi(b∈R，b≠0)，则z2＝－b2<0，A选项错误；
对于B选项，取z＝0，则z为实数，B选项错误；
对于C选项，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－＝2bi＝0，则b＝0，∴z＝a∈R，C选项正确；
对于D选项，取z＝0，则z＋＝0，但z＝0∈R，D选项错误．
二、多项选择题
5．若复数z＝2＋3i，z＝－1＋i，其中i是虚数单位，则下列说法正确的是( )
1 2
A.∈R
B.＝·
C．若z＋m(m∈R)是纯虚数，那么m＝－2
1
D．若，在复平面内对应的向量分别为OA，OB(O为坐标原点)，则|AB|＝5
答案 BC
解析 对于A，＝＝＝＝－i，A错误；
对于B，∵z·z＝(2＋3i)(－1＋i)＝－5－i，
1 2
∴＝－5＋i；
又·＝(2－3i)(－1－i)＝－5＋i，∴＝·，B正确；
对于C，∵z＋m＝2＋m＋3i为纯虚数，∴m＋2＝0，解得m＝－2，C正确；
1
对于D，由题意得OA＝(2，－3)，OB＝(－1，－1)，∴AB＝OB－OA＝(－3，2)，
∴|AB|＝＝，D错误．
6．(2023·临沂模拟)1487年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下
公式eiθ＝cos θ＋isin θ，这个公式在复变函数中有非常重要的地位，即著名的“欧拉公式”，
被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式，则( )
A． ＝i B．| |＝1
C.3＝1 D．cos ＝
答案 ABD
解析 因为eiθ＝cos θ＋isin θ，
所以 ＝cos ＋isin ＝i，故A正确；
＝cos ＋isin ＝＋i，
| |＝＝1，故B正确；3＝2×＝×＝－1，故C错误；
＝
＝cos ，故D正确．
三、填空题
7．已知i是虚数单位，则＝______.
答案
解析 因为i2 023＝－i，2 024＝2 024＝2 024＝i2 024＝i4＝1，
所以＝|－i＋1|＝＝.
8．(2023·开封模拟)已知复数z满足|z＋2i|＝|z|，写出一个满足条件的复数z＝________.
答案 1－i(答案不唯一，虚部为－1即可)
解析 设z＝a＋bi(a，b∈R)，
则|z＋2i|＝|a＋(b＋2)i|＝，
|z|＝|a＋bi|＝，
∵|z＋2i|＝|z|，
∴＝，
∴a2＋(b＋2)2＝a2＋b2，
化简得4b＋4＝0，解得b＝－1.
∴满足条件的一个复数z＝1－i(答案不唯一，虚部为－1即可)．
四、解答题
9．已知复数z＝(m2＋2m)＋(m2－2m－3)i，m∈R，其中i为虚数单位．
(1)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围；
(2)若z满足z·－4iz＝9－12i，求m的值．
解 (1)∵复数z在复平面内对应的点位于第二象限，∴解得－2
