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训练 25 空间向量及其应用
一、单项选择题
1．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α
所成的角为( )
A. B. C. D.
2.如图所示，在正方体ABCD－ABC D 中，已知M，N分别是BD和AD的中点，则BM与
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DN所成角的余弦值为( )
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A. B. C. D.
3．已知向量n＝(2,0,1)为平面α的法向量，点A(－1,2,1)在α内，点P(1,2，－2)在α外，则
点P到平面α的距离为( )
A. B. C. D.
4．在棱长为3的正方体ABCD－ABC D 中，点E满足A1E＝2EB1，点F在平面BC D内，
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则AF＋EF的最小值为( )
1
A. B．6 C. D．7
二、多项选择题
5．下列命题中正确的是( )
A．已知直线l垂直于平面α，向量a与直线l平行，则a是平面α的一个法向量
B．一个平面的法向量有无数个，任意两个都是共线向量
C．若平面外的一条直线的方向向量与平面的法向量垂直，则该直线与平面平行
D．直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直
6．(2023·日照模拟)已知正方体ABCD－ABC D 的棱长为4，M为DD 的中点，N为平面
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ABCD上一动点，则下列命题正确的是( )
A．若MN与平面ABCD所成的角为，则点N的轨迹为圆
B．若MN＝4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2π
C．若点N到直线BB 与到直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线
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D．若DN与AB所成的角为，则点N的轨迹为双曲线
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答案 ACD三、填空题
7．若向量a＝(x，－4，－5)，b＝(1，－2,2)，且a与b的夹角的余弦值为－，则实数x的值
为________．
8.在如图所示的试验装置中，四边形框架ABCD为正方形，平面ABEF为矩形，且BE＝3AB
＝3，且它们所在的平面互相垂直，N为对角线BF上的一个定点，且2FN＝BN，活动弹子
M在正方形对角线AC上移动，当ME·MN取最小值时，的值为________．
四、解答题
9．(2023·长沙模拟)斜三棱柱ABC－ABC 的各棱长都为2，点A 在下底面ABC上的投影为
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AB的中点O.
(1)在棱BB(含端点)上是否存在一点D，使AD⊥AC ？若存在，求出BD的长；若不存在，
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请说明理由；
(2)求点A 到平面BCC B 的距离．
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10．(2024·丹东模拟)如图，平行六面体 ABCD－ABC D 的所有棱长都相等，平面
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CDD C ⊥平面ABCD，AD⊥DC，二面角D－AD－C的大小为120°，E为棱C D 的中点．
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(1)证明：CD⊥AE；
(2)点F在棱CC 上，AE∥平面BDF，求直线AE与DF所成角的余弦值．
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