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训练 26 立体几何中的综合问题
一、单项选择题
1．在棱长为2的正方体ABCD－ABC D 中，点P，Q，R分别为棱AA ，BC，C D 的中点，
1 1 1 1 1 1 1
经过P，Q，R三点的平面为α，平面α被此正方体所截得截面图形的面积为( )
A．3 B．6 C. D.
2．(2024·晋中模拟)如图，一个直四棱柱形容器中盛有水，在底面ABCD中，AB∥CD，AB
＝3，CD＝1，侧棱AA ＝4，若侧面AABB水平放置时，水面恰好过AD，BC，BC ，AD
1 1 1 1 1 1 1
的中点，那么当底面ABCD水平放置时，水面高为( )
A．2 B. C．3 D.
3．(2023·苏州模拟)我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时，提出了一个原理(祖暅
原理)：“幂势既同，则积不容异”．这里的“幂”指水平截面的面积，“势”指高．这句
话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体体
积相等．利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差．图
1是一种“四脚帐篷”的示意图，其中曲线AOC和BOD均是以1为半径的半圆，平面AOC
和平面BOD均垂直于平面ABCD，用任意平行于帐篷底面ABCD的平面截帐篷，所得截面
四边形均为正方形．模仿上述半球的体积计算方法，可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱
柱，从中挖去一个倒放的同底等高的正四棱锥(如图2)，从而求得该帐篷的体积为( )
图1 图2
A. B. C. D.
4．设球O是棱长为2的正方体ABCD－ABC D 的外接球，M为BC 的中点，点P在球面
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上运动，且总有DP⊥BM，则点P的轨迹的周长为( )
A. B.
C．2π D.π
二、多项选择题
5．(2024·南京模拟)已知正四棱台的上底面边长为，下底面边长为2，侧棱长为2，则( )
A．棱台的侧面积为6
B．棱台的体积为14C．棱台的侧棱与底面所成角的余弦值为
D．棱台的侧面与底面所成锐二面角的余弦值为
6．(2023·滨州模拟)已知正方形ABCD的边长为2，将△ACD沿AC翻折到△ACD′的位置，
得到四面体D′－ABC，在翻折过程中，点 D′始终位于△ABC所在平面的同一侧，且
BD′的最小值为，则下列结论正确的是( )
A．四面体D′－ABC的外接球的表面积为8π
B．四面体D′－ABC体积的最大值为
C．点D的运动轨迹的长度为
D．边AD旋转所形成的曲面的面积为
三、填空题
7.如图，在直三棱柱ABC－ABC 中，BC＝CC ，当底面ABC 满足条件________时，有
1 1 1 1 1 1 1
AB⊥BC .(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
1 1
8．在正方体ABCD－ABC D 中，AB＝2，E，F分别为棱AB，AA 的中点，则该正方体被
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平面CEF所截得的截面面积为__________，四面体BCEF外接球的表面积为________．
四、解答题
9.在等腰梯形ABCD中，2AB＝2BC＝CD，∠ABC＝120°，点E为CD的中点，沿AE将
△DAE折起，使得点D到达F位置．
(1)当FB＝BC时，求证：BE⊥平面AFC；
(2)当BF＝BC时，过点F作FG，使FG＝λAB(λ>0)，当直线BG与平面BEF所成角的正弦值
为时，求λ的值．
10.如图，在八面体 PABCDQ 中，四边形 ABCD 是边长为 2的正方形，平面 PAD∥平面
QBC，二面角P－AB－C与二面角Q－CD－A的大小都是30°，AP＝CQ＝，PD⊥AB.(1)证明：平面PCD∥平面QAB；
(2)设G为△QBC的重心，在棱AP上是否存在点S，使得SG与平面ABCD所成角的正弦值
为？若存在，求S到平面ABCD的距离，若不存在，说明理由．
