文档内容
训练 32 统 计
一、单项选择题
1．(2024·上饶模拟)根据如下样本数据，得到线性回归方程y＝bx＋a，则( )
x 3 4 5 6 7 8
y －3.0 －2.0 0.5 －0.5 2.5 4.0
A.a>0，b>0 B.a>0，b<0
C.a<0，b>0 D.a<0，b<0
答案 C
解析 如图，从整体上看这些点大致分布在一条直线的周围，且该回归直线的斜率为正，在
y轴上的截距为负，则a<0，b>0.
2．(2021·全国甲卷改编)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，
将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率直方图：
根据此频率直方图，下面结论中不正确的是( )
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
答案 C
解析 对于A，根据频率直方图可知，家庭年收入低于 4.5万元的农户比率约为(0.02＋
0.04)×1×100%＝6%，故A正确；对于B，根据频率直方图可知，家庭年收入不低于 10.5
万元的农户比率约为(0.04＋0.02＋0.02＋0.02)×1×100%＝10%，故B正确；对于C，根据
频率直方图可知，该地农户家庭年收入的平均值约为 3×0.02＋4×0.04＋5×0.10＋6×0.14＋7×0.20＋8×0.20＋9×0.10＋10×0.10＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝
7.68(万元)，故C错误；对于D，根据频率直方图可知，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元
之间的农户比率约为(0.10＋0.14＋0.20＋0.20)×1×100%＝64%>50%，故D正确．
3．(2023·贵州模拟)小明处理一组数据，漏掉了一个数10，计算得平均数为10，方差为2，
加上这个数后的这组数据( )
A．平均数等于10，方差等于2
B．平均数等于10，方差小于2
C．平均数大于10，方差小于2
D．平均数小于10，方差大于2
答案 B
解析 设这组数据为x，x，…，x，它的平均数为10，方差为2，
1 2 n
所以x＋x＋…＋x＝10n，(x－10)2＋(x－10)2＋…＋(x－10)2＝2n，
1 2 n 1 2 n
添上数据10后，这组数据的平均数为×(x＋x＋…＋x＋10)＝×(10n＋10)＝10，
1 2 n
方差为[(x－10)2＋(x－10)2＋…＋(x－10)2＋(10－10)2]＝2·<2.
1 2 n
所以加上这个数后的这组数据平均数等于10，方差小于2.
4．(2023·湘豫名校模拟)疫苗是为预防、控制传染病的发生、流行，用于人体预防接种的预
防性生物制品，其前期研发过程中，一般都会进行动物保护测试，为了考察某种疫苗预防效
果，在进行动物试验时，得到如下统计数据：
未发病 发病 合计
未注射疫苗 20
注射疫苗 30
合计 50 50 100
附表及公式：
χ2＝，
n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥x) 0.05 0.01 0.005 0.001
0
x 3.841 6.635 7.879 10.828
0
现从试验动物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率为，则下列判断错误的是( )
A．注射疫苗发病的动物数为10
B．从该试验未注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为
C．能在犯错概率不超过0.001的前提下，认为疫苗有效
D．该疫苗的有效率为75%
答案 D解析 由题意知，注射疫苗的动物共40只，未注射疫苗的动物为60只，
补充列联表，
未发病 发病 合计
未注射疫苗 20 40 60
注射疫苗 30 10 40
合计 50 50 100
由此可得A，B正确．
计算得χ2＝
≈16.67>10.828，
故能在犯错概率不超过0.001的前提下认为疫苗有效．C正确，D错误．
二、多项选择题
5．研究变量x，y得到一组样本数据，进行回归分析，以下结论正确的是( )
A．可利用最小二乘思想求得使随机误差平方和最小的线性回归模型
B．用相关系数r来刻画回归效果，|r|越小说明拟合效果越好
C．线性回归方程对应的直线y＝bx＋a至少经过其样本数据点中的一个点
D．若变量y和x之间的相关系数r＝－0.946 2，则变量y和x之间的负相关性很强
答案 AD
解析 对于A，利用最小二乘法求得线性回归方程，A正确；
对于B，相关系数r来刻画回归的效果时，|r|越大，说明模型的拟合效果越好，B错误；
对于C，线性回归方程y＝bx＋a必过点(，)，但可能不经过样本数据点中的任何一个点，C
错误；
对于D，变量y和x之间的相关系数r＝－0.946 2时，说明变量y和x呈负相关关系，且负
相关性很强，D正确．
6．(2024·南京模拟)下表显示的是2020年4月份到12月份中国社会消费品零售总额数据，
其中同比增长率是指和去年同期相比较的增长率，环比增长率是指与上个月份相比较的增长
率，则下列说法正确的是( )
中国社会消费品零售总额
月份 零售总额(亿元) 同比增长 环比增长 累计(亿元)
4 28 178 －7.50% 6.53% 106 758
5 31 973 －2.80% 13.47% 138 730
6 33 526 －1.80% 4.86% 172 256
7 32 203 －1.10% －3.95% 204 459
8 33 571 0.50% 4.25% 238 029
9 35 295 3.30% 5.14% 273 32410 38 576 4.30% 9.30% 311 901
11 39 514 5.00% 2.43% 351 415
12 40 566 4.60% 2.66% 391 981
A.2020年4月份到12月份，社会消费品零售总额逐月上升
B．2020年4月份到12月份，11月份同比增长率最大
C．2020年4月份到12月份，5月份环比增长率最大
D．第4季度的月消费品零售总额相比第2季度的月消费品零售总额，方差更小
答案 BCD
解析 对于A选项，7月份的零售总额比6月份的少，A选项错误；
对于B选项，由表格中数据可知，2020年4月份到12月份，11月份同比增长率最大，B选
项正确；
对于C选项，由表格中数据可知，2020年4月份到12月份，5月份环比增长率最大，C选
项正确；
对于D选项，第4季度的月消费品零售总额在(38 000，41 000)内，而第2季度的月消费品
零售总额在(28 000，34 000)内，前者数据更集中，方差更小，D选项正确．
三、填空题
7．如果数据x ，x ，…，x 的平均数为10，方差为3，则3x ＋5,3x ＋5，…，3x ＋5的平均
1 2 n 1 2 n
数为________，方差为________．
答案 35 27
解析 因为x，x，…，x 的平均数为10，
1 2 n
所以3x＋5,3x＋5，…，3x＋5的平均数为＋5＝35，
1 2 n
其方差为[(3x－30)2＋(3x－30)2＋…＋(3x－30)2]＝9×3＝27.
1 2 n
8．2023年7月15日，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行
调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x 9 9.5 m 10.5 11
销售量y 11 n 8 6 5
可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是y＝－3.2x＋40，且
m＋n＝20，则其中的n＝______.
答案 10
解析 依题意＝，＝，代入线性回归方程得＝－3.2×＋40，根据题意m＋n＝20，解方程组
得m＝n＝10.
四、解答题
9．某中学为了解学生数学课程的学习情况，在3 000名学生中随机抽取200名，并统计这200名学生的某次数学考试成绩(满分100分)，得到了样本的频率直方图(如图)．
一般学校认为成绩大于等于80分的学生为优秀．
(1)根据频率直方图，估计3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生数；
(2)依据样本的频率直方图，估计总体成绩的众数和平均数(每组数据以所在区间的中点值为
代表)．
解 (1)由样本的频率直方图可知，
在该次数学考试中成绩优秀的频率是
(0.020＋0.008)×10＝0.28，
则估计3 000名学生在该次数学考试中成绩优秀的学生有3 000×0.28＝840(名)．
(2)由样本的频率直方图可知，估计总体成绩的众数为＝75，
平均数为0.002×10×35＋0.006×10×45＋0.012×10×55＋0.024×10×65＋0.028×10×75
＋0.020×10×85＋0.008×10×95＝71.2.
所以估计总体成绩的众数为75，平均数为71.2.
10．为推动更多人去阅读和写作，联合国教科文组织确定每年的 4月23日为“世界读书
日”，其设立目的是希望居住在世界各地的人，无论你是年老还是年轻，无论你是贫穷还是
富裕，都能享受阅读的乐趣，都能尊重和感谢为人类文明做出过巨大贡献的思想大师们，都
能保护知识产权．为了解不同年龄段居民的主要阅读方式，某校兴趣小组在全市随机调查了
200名居民，这200人中通过电子阅读与纸质阅读的人数之比为3∶1.将这200人按年龄(单
位：岁)分组，统计得到通过电子阅读的居民的频率直方图如图所示．
(1)求a的值及通过电子阅读的居民的平均年龄；
(2)把年龄在[15,45) 内的居民称为中青年，年龄在[45,65]内的居民称为中老年，若选出的
200人中通过纸质阅读的中老年有30人，请完成下面2×2列联表，并判断能否有97.5%的
把握认为阅读方式与年龄有关．电子阅读 纸质阅读 合计
中青年
中老年
合计
附：χ2＝，
n＝a＋b＋c＋d.
P(χ2≥x) 0.15 0.1 0.05 0.025 0.01
0
x 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
0
解 (1)由频率直方图可得10×(0.01＋0.015＋a＋0.03＋0.01)＝1，解得a＝0.035，
所以通过电子阅读的居民的平均年龄为
20×10×0.01＋30×10×0.015＋40×10×0.035＋50×10×0.03＋60×10×0.01＝41.5(岁)．
(2)这200人中通过电子阅读的人数为
200×＝150，
通过纸质阅读的人数为200－150＝50.
因为(0.01＋0.015＋0.035)∶(0.03＋0.01)＝3∶2，
所以通过电子阅读的中青年的人数为
150×＝90，
中老年的人数为150－90＝60.
2×2列联表为
电子阅读 纸质阅读 合计
中青年 90 20 110
中老年 60 30 90
合计 150 50 200
提出假设H：阅读方式与年龄无关．
0
由表中数据，得χ2＝
≈6.061，
因为当H 成立时，χ2≥5.024的概率约为0.025，
0
所以有97.5%的把握认为阅读方式与年龄有关．
