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训练 8 函数中的综合问题
一、单项选择题
1．(2024·赤峰模拟)设奇函数f(x)的定义域为R，f 为偶函数，当0<x≤时，f(x)＝，则f(2 023)
＋2f(2 024)等于( )
A. B．－ C. D．－
2．(2024·烟台模拟)已知函数f(x)是定义在区间(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当
x∈(0，＋∞)时，f(x)＝则方程f(x)＋x2＝2的根的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
3．(2023·内江模拟)某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到
100℃，水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放
置，温度y(℃)与时间t(min)近似满足函数的关系式为 y＝ ＋b(a，b为常数), 通常
这种热饮在40℃时，口感最佳，某天室温为20℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么
按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为( )
A．35 min B．30 min
C．25 min D．20 min
4．(2024·西安模拟)已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－log (x＋1)恰有3个零点，则实数a的
a
取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多项选择题
5．(2023·日照模拟)已知x＋log x＝0，x＋log x＝0，则( )
1 3 1 2 2 2
A．0<x<x<1
2 1
B．0<x<x<1
1 2
C．xlg x－xlg x<0
2 1 1 2
D．xlg x－xlg x>0
2 1 1 26．(2024·扬州、盐城、南通联考)已知函数f(x)＝若存在实数x ，x ，x ，x(x<x<x<x)满足
1 2 3 4 1 2 3 4
f(x)＝f(x)＝f(x)＝f(x)＝m，则( )
1 2 3 4
A．0≤m≤1 B．x＋x＝
1 2
C．xx－x－x＝0 D．x＋x>8
3 4 3 4
三、填空题
7．(2024·十堰调研)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝2，f(1)＝3.写出f(x)的一
个解析式为________________．
8．(2023·焦作联考)已知函数f(x)＝x3＋lg(x＋)，若|a－1|·[f(2a－3)＋f(2)]>0，则实数a的取值
范围是________________．
四、解答题
9．已知函数y＝x＋有如下性质：当x>0时，如果常数t>0，那么该函数在(0，]上是减函数，
在[，＋∞)上是增函数．
(1)当t＝2时，写出函数y＝x＋(x>0)的单调区间；
(2)已知f(x)＝，x∈[0,2]，利用上述性质，求函数f(x)的单调区间和值域．
10．函数y＝f(x)的定义域D＝{x|x∈R且x≠0}，对定义域D内任意两个实数x ，x ，都有
1 2
f(x)＋f(x)＝f(xx)成立．
1 2 1 2
(1)求f(－1)的值并证明y＝f(x)为偶函数；
(2)若x>1时，f(x)<0，解关于x的不等式f(x－3)≥0；
(3)若x>1时，f(x)<0，且不等式f(2x2－3x＋3)≤f(x2－2x＋2)＋f(a)对任意实数x恒成立，求非
零实数a的取值范围．