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专题27.30 相似三角形几何模型-X 型图（基础篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，AD，BC相交于点O，由下列条件仍不能判定△AOB与△DOC相似的是（
）
A．AB∥CD B．∠C＝∠B C． D．
2．如图，四边形 的对角线 相交于点 ，且将这个四边形分成四个三角
形，若 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．△AOB∽△AOD B．△AOD∽△BOC
C．△AOB∽△BOC D．△AOB∽△COD
3．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定 AOB与 DOC相似的是（
） △ △
A．AB∥CD B．C． D．
4．如图，分别以下列选项作为一个已知条件，其中不一定能得到△AOB与△COD相
似的是（ ）
A．∠BAC＝∠BDC B．∠ABD＝∠ACD
C． D．
5．如图，在 中，E为 边上的点，若 ， 交 于F，则
等于（ ）
A．4：5 B．2：5 C．5：9 D．4：9
6．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于
点F，S DEF：S ABF＝4：25，则DE：DC＝( )
△ △
A．2：5 B．3：5 C．5：2 D．5：3
7．如图， ABC的两条中线BE、CD交于点O，则下列结论不正确的是（ ）
△A． B．
C．S DOE：S BOC＝1：2 D． ADE∽△ABC
△ △ △
8．如图，AB∥CD， ，AB＝2，则CD的长为（ ）
A． B． C．3 D．4
9．如图，E为 的边CB的延长线上一点，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
10．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，
与 相交于点E，连接 ，则 与 的周长比为（ ）
A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1
二、填空题
11．如图，△ABC中，D、E分别在BA、CA延长线上，DE∥BC， ，DE＝1，BC的长度是_________．
12．如图，已知 相交于点O，若补充一个条件后，便可得到 ，
则要补充的条件可以是________．
13．如图，AC与BD相交于点O，在△AOB和△DOC中，已知 ，又因为
________，可证明△AOB∽△DOC．
14．如图， ，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相
似的三角形共有_____组．
15．如图， 、 相交于点 ，要使 ，则要补充的条件可以是
________．16．如图所示，在 中， 是高， ， ， ， ，则
________．
17．如图，线段AC与BD相交于点O，且OA＝12，OC＝54，OD＝36，OB＝18，则
△ABO与△DCO_______相似．(填“一定”或“不”)
18．如图，点F在平行四边形ABCD的边CD上，射线AF交BC的延长线于点E.
∵AD∥BC，∴△EFC∽△________．
∵AB∥CD，∴△EFC∽△________．
19．如图，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD=______．
20．如图，在平行四边形 中，延长 至点 ，使 ，连接 与 交
于点 ，则 的值是______．三、解答题
21．已知：如图所示， AC、BD相交于点O，连接AB，CD，且∠ABD=∠ACD.
求证：△AOB∽△DOC
22．如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，AO＝78cm，BO＝42cm，CD＝159cm，求CO和
DO．
23．如图，在矩形ABCD中，AB：BC＝1：2，点E在AD上，BE与对角线AC交于点
F．
(1) 求证：△AEF∽△CBF；
(2) 若BE⊥AC，求AE：ED．
24．如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边BC上一点，连接BD、AE，它们相交
于点F，且∠BDA＝∠BAE．
(1) 求证：BE2＝EF•AE；(2) 若BE＝4，EF＝2，DF＝6，求AB的长．
25．如图，已知AD，BC相交于点E，且△AEB∽△DEC，CD＝2AB，延长DC到点
G，使CG＝ CD，连接AG．
(1) 求证：四边形ABCG是平行四边形；
(2) 若∠GAD＝90°，AE＝2，CG＝3，求AG的长．
26．如图，已知线段AB CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点，
（1）若BK＝ KC，求 的值；
（2）联结BE，若BE平分∠ABC，则当AE＝ AD时，猜想线段AB、BC、CD三者
之间有怎样的数量关系？请写出你的结论并予以证明；
（3）试探究：当BE平分∠ABC，且AE＝ AD（n＞2）时，线段AB、BC，CD三者
之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论，不必证明．参考答案
1．D
【分析】
本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
B、由∠AOB＝∠DOC、∠C＝∠B能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
C、由 、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题
意．
D、已知两组对应边的比相等： ，但其夹角不一定对应相等，不能判
定△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．
故选：D
【点拨】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两
个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个
三角形相似．
2．D
【分析】
根据相似三角形的判定定理：两边对应成比例且夹角相等，即可判断△AOB∽△COD．
解：∵四边形 的对角线 相交于点 ，
∴∠AOB=∠COD，
在△AOB和△COD中，∴△AOB∽△COD．
故选：D．
【点拨】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握两边对应成比例且夹角相等则这两个
三角形相似是解题的关键．
3．D
【分析】
本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．
解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
B、由∠AOB＝∠DOC、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
C、由 、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．
D、已知两组对应边的比相等： ，但其夹角不一定对应相等，不能判定
△AOB与△DOC相似，故本选项符合题意．
故选：D
【点拨】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两
个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个
三角形相似．
4．C
【分析】
根据相似三角形的判定条件进行逐项分析即可．
解：由题意得：∠AOB=∠COD，
A、∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△DOC，故此选项不符合题意；
B、∵∠ABD＝∠ACD，∠AOB=∠COD，
∴△BOA∽△COD，故此选项不符合题意；
C、 ，∠AOD=∠BOC，
∴△AOD∽△COB，并不能证明△AOB与△COD相似，故此选项符合题意；D、 ，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△DOC，故此选项不符合题意；
故选C．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关
键．
5．B
【分析】
通过证明△ADF∽△EBF，可求解．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE：EC＝2：3，
∴BE：AD＝2：5，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△EBF，
∴BF：FD＝BE：AD＝2：5，
故选：B．
【点拨】本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，灵活运用平行
四边形的性质定理和相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
6．A
【分析】
由条件可证明△DEF∽△BAF，结合面积比可求得相似比，可求得答案．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴DE AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴ ，∴ ，
故选：A．
【点拨】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似
比的平方是解题的关键．
7．C
【分析】
根据中线BE、CD交于点O，可得DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线定理
得出 ，可判断A，根据平行线分线段成比例可判断B，由平行线的性
质得出相似，根据相似三角形的性质可判断C，D．
解：∵BE和CD是 ABC的中线，
∴DE是 ABC的△中位线，
△
∴DE BC， ，
∴ ，故A选项不符合题意；
∵ ，
∴ ，故B选项不符合题意；
∵ ，
∴△DOE∽△COB，
∴ （ ）2＝（ ）2 ，故C选项符合题意；
∵ ，
∴△ADE∽△ABC，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题主要考查了三角形中位线定理以及相似三角形的判定与性质，平行线分
线段成比例，解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
8．B
【分析】通过证明△ABE∽△DEC，可得 ，即可求解．
解：∵ ，
∴△ABE∽△DEC，
∴ ， 而 ，AB＝2，
∴
∴ ，
故选：B．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．
9．C
【分析】
先根据平行四边形的性质可得 ，再根据 可得 ，
从而可得 ，然后根据相似三角形的判定证出 ，根据相似三角形的性
质即可得．
解： 四边形 是平行四边形，
，
，
，
，即 ，
又 ，
，
，
故选：C．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌
握相似三角形的判定与性质是解题关键．10．D
【分析】
运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM为平行四边形，接着证明 ，
最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．
解：如图：由题意可知， ， ，
∴ ，
而 ，
∴四边形DCBM为平行四边形，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故选：D．
【点拨】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，
熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．
11．
【分析】
根据DE∥BC，可得 ，从而得到 ,即可求解．
解：∵DE∥BC，
，
∴ ，
∴ ，∵ ，DE＝1，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性
质定理是解题的关键．
12．∠B=∠C（答案不唯一）
【分析】
根据题意有∠AOB=∠DOC，因此根据相似三角形的判定条件只需要添加∠B=∠C或
∠A=∠D即可证明△AOB∽△DOC．
解：∵∠AOB=∠DOC，
∴当添加条件∠B=∠C时可以证明△AOB∽△DOC，
故答案为：∠B=∠C（答案不唯一）．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关
键．
13．∠AOB＝∠DOC
【分析】
根据相似三角形的判定，两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似解答．
解：∵ ，∠AOB＝∠DOC，
∴△AOB∽△DOC（两边对应成比例，夹角相等，两三角形相似）．
故答案为：∠AOB＝∠DOC．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定，熟记“两边对应成比例，夹角相等，两三角
形相似”是解题的关键．
14．3
【分析】
根据 ，即可得到△DEA∽△FGA∽△BCA，由此即可得到答案．
解：∵ ，
∴△DEA∽△FGA∽△BCA，
∴一共有3组相似三角形，
故答案为：3．【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相似三角
形的判定方法．
15． （答案不唯一）
【分析】
要使两个三角形相似, 满足对应角相等即可.
解：补充条件∠A=∠D即可;
∠AOB=∠COD (对顶角) , ∠A=∠D,
△AOB∽△DOC
所以填∠A=∠D.
【点拨】熟练掌握相似三角形的判定方法.
16．2.4
【分析】
根据 可以得到 AEF∽ ABC，然后根据相似三角形的对应高的比等于相似比，
△ △
即可求得AG的长，进而可求出GD的长．
解：∵EF∥BC，
∴ AEF∽ ABC，
△ △
即
解得：
∴
故答案为2.4.
【点拨】考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的高之比等于相似比是解题
的关键.
17．一定【分析】
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.即： ，∠AOB=∠DOC.，进而得到
结论
解：因为， , ,
所以,
又因为∠AOB=∠DOC,
所以，△ABO∽△DCO.
故答案为一定
【点拨】本题考核知识点：相似三角形的判定. 解题关键点：熟记相似三角形的判定.
18． AFD； EAB
分析：由平行四边形的性质可得出AD∥BC、AB∥CD，根据相似三角形判定的预备定
理（平行于三角形一边的直线，截其它两边所得的三角形与原三角形相似）即可得到结论．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD．
∵AD∥BC，∴△EFC∽△AFD．
∵AB∥CD，∴△EFC∽△EAB．
故答案为AFD，EAB．
【点拨】本题考查了相似三角形判定的预备定理以及平行四边形的性质，熟练掌握相
似三角形判定的预备定理是解题的关键．
19． .
试题分析：由∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的
对应边的比相等就可求出AD的长．
解：∵∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE
∴△ABC∽△ADE
∴AC：AE=BC：DE
∴DE=
∴
考点: 1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理.20． ##0.5
【分析】
根据平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质得出 ，结合题意即可得出
结论．
解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CE，AB=CD
∴∆ABF~∆CEF，
∴ ，
∵DE=DC，
∴ ，
故答案为： ．
【点拨】题目主要考查平行四边形的性质及相似三角形的判定和性质，理解题意，综
合运用这些知识点是解题关键．
21．见分析
试题分析：根据AAA判断两个三角形相似.
证明：∵∠ABD=∠ACD
∠AOB=∠COD
∴△AOB∽△DOC
22．
试题分析：根据题意，易证 ，根据相似三角形的判定与性质，列出比例
式即可解得 和 的长．
解：设 则即
【点拨】两组角对应相等，两三角形相似.
23．(1)见分析(2)1：3
【分析】
（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，然后根据相似三角形的判断方法可判断
△AEF∽△CBF；
（2）设AB=x，则BC=2x，利用矩形的性质得到AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，接
着证明△ABE∽△BCA，利用相似比得到AE= x，则DE= x，从而可计算出AE：DE．
(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF；
(2)设AB=x，则BC=2x，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD=BC=2x，∠BAD=∠ABC=90°，
∵BE⊥AC，
∴∠AFB=90°，
∵∠ABF+∠BAF=90°，∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠ABF=∠ACB，
∵∠BAE=∠ABC，∠ABE=∠BCA，
∴△ABE∽△BCA，
∴ ，即 ，
∴AE= x，
∴DE=AD-AE= ，
∴AE：DE= =1：3．
【点拨】本题考查了三角形相似的判定与性质，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等条件，同时利用相似三角形的性质进行几何计算．也考查了矩形的性质．
24．(1)见分析(2)4
【分析】
（1）利用平行四边形的性质得到AD∥BC，则∠DBC=∠ADB，然后证明
EBF∽△EAB，则利用相似三角形的性质得到结论；
△ （2）先利用BE2=EF•AE计算出AE=8，则AF=6，再由BE∥AD，利用平行线分线段成
比例定理计算出BF=2，然后利用 EBF∽△EAB，根据相似比求出AB的长．
(1)证明：∵四边形ABCD为平△行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DBC=∠ADB，
∵∠ADB=∠BAE，
∴∠DBC=∠BAE，
∵∠EBF=∠BAE，即∠BEF=∠BEA，
∴△EBF∽△EAB，
∴EB：EA=EF：EB，
∴BE2=EF•AE；
(2)解：∵BE2=EF•AE，
∴AE= = =8，
∴AF=AE﹣EF=8﹣2=6，
∵BE∥AD，
∴ = ，即 = ，解得BF=2，
∵△EBF∽△EAB，
∴ = ，即 = ，
∴AB＝4．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三
角形的性质表示线段之间的关系是解题的关键．
25．(1)证明见分析；(2)
【分析】（1）根据相似三角形的性质可得AB∥CD，再由CD＝2AB，CG＝ CD，可得AB＝
CG，即可证明；
（2）由平行四边形的性质可得AG∥BC，可得∠AEB＝90°，再由CG＝3可得AB＝3，
利用勾股定理可得BE，再由相似三角形的性质可得CE，从而得出BC，即可求解．
(1)证明：∵△AEB∽△DEC，
∴∠B＝∠BCD，
∴AB∥CD，
即AB∥CG，
∵CD＝2AB，CG＝ CD，
∴AB＝CG，
∴四边形ABCG是平行四边形；
(2)解：∵四边形ABCG是平行四边形，AE＝2，CG＝3，
∴AG∥BC，AG＝BC，AB＝CG＝3，
∵∠GAD＝90°，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：
BE＝ ，
即BE＝ ，
∵△AEB∽△DEC，
∴ ，
∴CE＝2 ，
∴BC＝BE+CE＝3 ，
∴AG＝BC＝3 ．
【点拨】本题考查相似三角形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，解题的
关键是熟练掌握相似三角形的性质，勾股定理的运用，平行四边形的判定与性质．26．（1） ；（2）AB＝BC+CD；（3）AB＝ BC+ CD．
【分析】
（1）根据比例的性质得到 ，根据相似三角形的性质计算即可；
（2）连接BD，取BD的中点F，连接EF交BC于G，根据三角形的中位线定理得到
GF= CD，EF= AB，根据平行线的性质、角平分线的定义得到EG= BC，即可得到答
案；
（3）连接BD，作EF AB交BC于G，交BD于F，根据比例的性质、仿照（2）的
作法解答即可．
解：（1）∵BK＝ KC，
∴ ＝ ，
∵AB CD，
∴△CKD∽△BKA，
∴ ＝ ＝ ；
（2）猜想：AB＝BC+CD．
证明：连接BD，取BD的中点F，连接EF交BC于G，
由中位线定理，得EF AB CD，
∴G为BC的中点，∠GEB＝∠EBA，
又∵∠EBA＝∠GBE，
∴∠GEB＝∠GBE，
∴EG＝BG＝ BC，而GF＝ CD，EF＝ AB，
∵EF＝EG+GF，
即： AB＝ BC+ CD；
∴AB＝BC+CD；
（3）猜想：AB＝ BC+ CD．
证明：连接BD，作EF AB交BC于G，交BD于F，∵AE＝ AD，
∴ ＝ ，
∵EF AB，
∴ ＝ ＝ ，即EF＝ AB，
∵EF AB，AB CD，
∴EF CD，
同理，BG＝ BC，GF＝ CD，
∵EF＝EG+GF，
即： AB＝ BC+ CD；
∴AB＝ BC+ CD．
【点拨】本题考查相似形综合题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质以及角形
的中位线定理、平行线的性质、比例的性质．
