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训练 7 函数与方程
一、单项选择题
1．(2023·信阳模拟)函数f(x)＝2x＋ln x－4的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
答案 B
解析 f(x)＝2x＋ln x－4，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2>0，
所以f(x)的唯一零点在区间(1,2)上．
2.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速
走了一圈(路线为AB→BO→OA)，则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间
t之间的函数图象大致是( )
答案 D
解析 小明沿 走时，与O点的直线距离保持不变，
沿BO走时，随时间增加与O点的距离越来越小，
沿OA走时，随时间增加与O点的距离越来越大，故结合选项可知D正确．
3．(2024·深圳六校联考)已知x 是ln x＋x＝5的根，x 是ln(4－x)－x＝1的根，则( )
1 2
A．x＋x＝4 B．x＋x∈(5,6)
1 2 1 2
C．x＋x∈(4,5) D．x＋x＝5
1 2 1 2
答案 A解析 令t＝4－x，则ln t－(4－t)＝1，即ln t＋t＝5，故t，x 都是ln x＋x＝5的根，显然y
2 1
＝ln x＋x为增函数，故t＝x，即4－x＝x，故x＋x＝4.
1 2 1 1 2
4．信号在传输介质中传播时，将会有一部分能量转化为热能或被传输介质吸收，从而造成
信号强度不断减弱，这种现象称为衰减．在试验环境下，超声波在某种介质的传播过程中，
声压的衰减过程可以用指数模型：P(s)＝Pe－Ks描述声压P(s)(单位：帕斯卡)随传播距离s(单
0
位：米)的变化规律，其中P 为声压的初始值，常数K为试验参数．若试验中声压初始值为
0
900帕斯卡，传播5米声压降低为400帕斯卡，据此可得试验参数K的估计值约为(参考数据：
ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)( )
A．0.162 B．0.164 C．0.166 D．0.168
答案 B
解析 由题意知，400＝900e－5K，
两边取自然对数，则ln 4＝ln 9－5K，
所以K＝＝≈
＝0.164.
二、多项选择题
5．下列命题中是真命题的为( )
A．若幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(3)>
B．函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1,2)
C．函数f(x)＝x2－1－有两个零点
D．若函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范
围是[1,2]
答案 BD
解析 对于A，若幂函数y＝f(x)的图象过点，可得幂函数为f(x)＝x－1，则f(3)＝<，A不正确；
对于B，函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1,2)，B正确；
对于C，作出y＝x2－1和y＝的图象，如图所示，
由函数的图象可知函数只有1个交点，
即函数f(x)＝x2－1－只有一个零点，C不正确；
对于D，∵函数f(x)＝x2－2x＋4的对称轴为x＝1，此时函数取得最小值为3，
当x＝0或x＝2时，函数值等于4，
又函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m>0)上的最大值为4，最小值为3，∴实数m的取值范围是[1,2]，D正确．
6．(2023·石家庄模拟)已知函数f(x)＝若f(x)＝f(x)＝f(x)＝f(x)，且x0，
所以f(－x)＝x2＋2x.又因为f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.
所以f(x)＝
(2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解，
即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点．
作出y＝f(x)与y＝a的图象，如图所示，故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，
只需－1
