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训练 7 函数与方程
一、单项选择题
1．(2023·信阳模拟)函数f(x)＝2x＋ln x－4的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
答案 B
解析 f(x)＝2x＋ln x－4，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为f(1)＝－2<0，f(2)＝ln 2>0，
所以f(x)的唯一零点在区间(1,2)上．
2.如图，公园里有一处扇形花坛，小明同学从A点出发，沿花坛外侧的小路顺时针方向匀速
走了一圈(路线为AB→BO→OA)，则小明到O点的直线距离y与他从A点出发后运动的时间
t之间的函数图象大致是( )
答案 D
解析 小明沿 走时，与O点的直线距离保持不变，
沿BO走时，随时间增加与O点的距离越来越小，
沿OA走时，随时间增加与O点的距离越来越大，故结合选项可知D正确．
3．(2024·深圳六校联考)已知x 是ln x＋x＝5的根，x 是ln(4－x)－x＝1的根，则( )
1 2
A．x＋x＝4 B．x＋x∈(5,6)
1 2 1 2
C．x＋x∈(4,5) D．x＋x＝5
1 2 1 2
答案 A解析 令t＝4－x，则ln t－(4－t)＝1，即ln t＋t＝5，故t，x 都是ln x＋x＝5的根，显然y
2 1
＝ln x＋x为增函数，故t＝x，即4－x＝x，故x＋x＝4.
1 2 1 1 2
4．信号在传输介质中传播时，将会有一部分能量转化为热能或被传输介质吸收，从而造成
信号强度不断减弱，这种现象称为衰减．在试验环境下，超声波在某种介质的传播过程中，
声压的衰减过程可以用指数模型：P(s)＝Pe－Ks描述声压P(s)(单位：帕斯卡)随传播距离s(单
0
位：米)的变化规律，其中P 为声压的初始值，常数K为试验参数．若试验中声压初始值为
0
900帕斯卡，传播5米声压降低为400帕斯卡，据此可得试验参数K的估计值约为(参考数据：
ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)( )
A．0.162 B．0.164 C．0.166 D．0.168
答案 B
解析 由题意知，400＝900e－5K，
两边取自然对数，则ln 4＝ln 9－5K，
所以K＝＝≈
＝0.164.
二、多项选择题
5．下列命题中是真命题的为( )
A．若幂函数y＝f(x)的图象过点，则f(3)>
B．函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1,2)
C．函数f(x)＝x2－1－有两个零点
D．若函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m]上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范
围是[1,2]
答案 BD
解析 对于A，若幂函数y＝f(x)的图象过点，可得幂函数为f(x)＝x－1，则f(3)＝<，A不正确；
对于B，函数f(x)＝ax－1＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1,2)，B正确；
对于C，作出y＝x2－1和y＝的图象，如图所示，
由函数的图象可知函数只有1个交点，
即函数f(x)＝x2－1－只有一个零点，C不正确；
对于D，∵函数f(x)＝x2－2x＋4的对称轴为x＝1，此时函数取得最小值为3，
当x＝0或x＝2时，函数值等于4，
又函数f(x)＝x2－2x＋4在区间[0，m](m>0)上的最大值为4，最小值为3，∴实数m的取值范围是[1,2]，D正确．
6．(2023·石家庄模拟)已知函数f(x)＝若f(x)＝f(x)＝f(x)＝f(x)，且x<x<x<x，则( )
1 2 3 4 1 2 3 4
A．x＋x＝－2 B．0<x<1<x<2
1 2 3 4
C．xx≥1 D．x＋x＋x＋x＝0
3 4 1 2 3 4
答案 ABD
解析 如图所示，作出f(x)＝和y＝t的图象．
当x＝0时，f(0)＝＋2－2＝.
因为存在x，x，x，x 使得f(x)＝f(x)＝f(x)＝f(x)，所以0<t<.
1 2 3 4 1 2 3 4
由图象可知x，x 关于x＝－1对称，
1 2
所以＝－1，
所以x＋x＝－2，故A正确；
1 2
当x≥0时，令f(x)＝，
即2x－1＋21－x－2＝，解得x＝0 或x＝2.
所以由图象可知0<x<1<x<2，故B正确；
3 4
因为当x≥0时，f(x)＝2x－1＋21－x－2，
所以f(1＋x)＝2x＋2－x－2，
f(1－x)＝2－x＋2x－2，
所以当0≤x≤2时，有f(1＋x)＝f(1－x)，
即f(x)的图象关于x＝1对称，
所以x，x 关于x＝1对称，所以＝1，
3 4
所以x＋x＝2，即x＝2－x，
3 4 4 3
所以xx＝(2－x)x＝－(x－1)2＋1(0<x<1)．
3 4 3 3 3 3
因为x<1，所以xx<1，故C错误；
3 3 4
因为x＋x＝2.
3 4
又x＋x＝－2，
1 2
所以x＋x＋x＋x＝0，故D正确．
1 2 3 4
三、填空题
7．为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加
密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文(加
密)，接收方由密文→明文．现在加密密钥为y＝kx3，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接收方接到密文“”，则解密后得到的明文是________．
答案
解析 由题可知，加密密钥为y＝kx3，
由已知可得，当x＝4时，y＝2，
所以2＝k×43，解得k＝＝，
故y＝x3，显然令y＝，即＝x3，
解得x3＝，即x＝.
8．(2024·岳阳模拟)已知函数f(x)＝若实数a，b，c，d互不相等且|f(a)|＝|f(b)|＝|f(c)|＝|f(d)|，
则abcd的取值范围为__________．
答案 (0,16)
解析 由题意，实数a，b，c，d互不相等且|f(a)|＝|f(b)|＝|f(c)|＝|f(d)|，
设|f(a)|＝|f(b)|＝|f(c)|＝|f(d)|＝m，
可得|f(x)|＝m有四个不同的根a，b，c，d，不妨设a<b<c<d，
作出函数y＝m与函数y＝|f(x)|的图象，如图所示，
则有a和b为y＝m与f(x)＝|x＋4|交点的横坐标，
c和d为y＝m与f(x)＝|ln x|交点的横坐标，
可得－(a＋4)＝b＋4，即a＋b＝－8，
又由－ln c＝ln d，即ln cd＝0，可得cd＝1，
由图象可知，－4<b<0，
所以abcd＝(－b－8)b＝－b2－8b＝－(b＋4)2＋16∈(0,16)．
四、解答题
9．已知y＝f(x)是定义域为R的奇函数，当x∈[0，＋∞)时，f(x)＝x2－2x.
(1)写出函数y＝f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，求a的取值范围．
解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝x2＋2x.又因为f(x)是奇函数，
所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－2x.
所以f(x)＝
(2)方程f(x)＝a恰有3个不同的解，
即y＝f(x)与y＝a的图象有3个不同的交点．
作出y＝f(x)与y＝a的图象，如图所示，故若方程f(x)＝a恰有3个不同的解，
只需－1<a<1，
故a的取值范围为(－1,1)．
10．声音通过空气的振动所产生的压强叫作声压强，简称声压，单位为帕(Pa)．把声压的有
效数值取对数来表示声音的强弱，这种表示声音强弱的数值叫作声
压级．声压级以符号S 表示，单位为分贝(dB)，公式为：S (声压级)＝20lg (dB)，式中p
PL PL e
为待测声压的有效值，p 为参考声压，在空气中参考声压p 一般取值为2×10－5 Pa.根据上
ref ref
述材料，回答下列问题：
(1)若某两人小声交谈时的声压有效值p＝0.002 Pa，求其声压级；
e
(2)已知某班开主题班会，测量到教室内最高声压级达到90 dB，求此时该教室内声压的有效
值．
解 (1)因为某两人小声交谈时的声压有效值p＝0.002 Pa，在空气中参考声压p 一般取值
e ref
为2×10－5 Pa，S (声压级)＝20lg (dB)，
PL
所以S (声压级)＝20lg
PL
＝20lg＝20lg 102＝40(dB)．
(2)因为开主题班会，测量到教室内最高声压级达到90 dB，
所以90＝20lg，
所以90＝20lg＝20[lg p－lg(2×10－5)]
e
＝20(lg p－lg 2－lg 10－5)，
e
即lg p＝lg 2－＝lg，
e
所以p＝＝(Pa)，
e
所以此时该教室内声压的有效值为 Pa.
