文档内容
§6.6 数列中的综合问题
课标要求 数列的综合运算问题以及数列与函数、不等式等知识的交汇问题，是历年高考
的热点内容．一般围绕等差数列、等比数列的知识命题，涉及数列的函数性质、通项公式
前n项和公式等．
题型一 等差数列、等比数列的综合运算
例1 已知公差不为0的等差数列{a}满足a＝6，a，a，a 成等比数列．
n 2 1 3 7
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)设b＝n· ，求数列{b}的前n项和S.
n n n
解 (1)根据题意，设等差数列{a}的公差为d(d≠0)，
n
由于a＝6，a，a，a 成等比数列，
2 1 3 7
则有
解得或(舍)，
∴a＝2n＋2.
n
(2)由b＝n·22n＝n·4n，
n
则S＝1×4＋2×42＋3×43＋…＋(n－1)·4n－1＋n·4n，①
n
4S＝1×42＋2×43＋3×44＋…＋(n－1)·4n＋n·4n＋1，②
n
①－②得，－3S＝4＋42＋43＋…＋4n－n·4n＋1
n
＝－n·4n＋1，
∴S＝(1－4n)＋
n
＝4n＋1＋，n∈N*.
思维升华 数列的综合运算问题常将等差、等比数列结合，两者相互联系、相互转化，解答
这类问题的方法：寻找通项公式，利用性质进行转化．
跟踪训练1 (2024·无锡模拟)已知等差数列{a}的前n项和为S ，公差d≠0，a 是a ，a 的
n n 3 1 13
等比中项，S＝25.
5
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)若数列{b}满足b＝－1，b＋b ＝S，求b .
n 1 n n＋1 n 20
解 (1)由题意得
即
解得或(舍)，
∴a＝1＋2(n－1)＝2n－1.
n
(2)b＋b ＝S＝＝n2，①
n n＋1 n
b ＋b ＝(n＋1)2，②
n＋1 n＋2②－①得，b －b＝2n＋1，
n＋2 n
∵b＝－1，∴b＝2.
1 2
∴b ＝b －b ＋b －b ＋…＋b－b＋b＝37＋33＋29＋…＋5＋2
20 20 18 18 16 4 2 2
＝＋2＝191.
题型二 数列与其他知识的交汇问题
命题点1 数列与不等式的交汇
例2 (1)(2022·全国乙卷)嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第
一颗环绕太阳飞行的人造行星．为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数
列{b}：b＝1＋，b＝1＋，b＝1＋，…，依此类推，其中α∈N*(k＝1,2，…)．则( )
n 1 2 3 k
A．b，所以b>b，
1 3
同理可得b>b，b>b，…，于是可得b>b>b>b>…，故A不正确；
3 5 5 7 1 3 5 7
当n取偶数时，由已知b＝1＋，
2
b＝1＋，
4
因为>，所以b，所以b>b，
1 2
同理可得b>b，b>b，b>b，
3 4 5 6 7 8
又b>b，所以b>b，故B不正确；
3 7 3 8
因为bb，
4 8 7 8
所以bb；
2 1
当n≥2时，b 0，
n 1 012
则f(a)＋f(a)＋f(a)＋…＋f(a )＋f(a )的值( )
1 2 3 2 022 2 023
A．恒为正数 B．恒为负数
C．恒为0 D．可正可负
答案 A
解析 因为函数f(x)是R上的奇函数且是严格增函数，
所以f(0)＝0，且当x>0时，f(x)>0;
当x<0时，f(x)<0.
因为数列{a}是等差数列，a >0，
n 1 012
故f(a )>0.
1 012
再根据a＋a ＝2a >0，
1 2 023 1 012
所以a>－a ，
1 2 023则f(a)>f(－a )＝－f(a )，
1 2 023 2 023
所以f(a)＋f(a )>0.
1 2 023
同理可得f(a)＋f(a )>0，f(a)＋f(a )>0，…，
2 2 022 3 2 021
所以f(a)＋f(a)＋f(a)＋…＋f(a )＋f(a )
1 2 3 2 022 2 023
＝[f(a)＋f(a )]＋[f(a)＋f(a )]＋…＋[f(a )＋f(a )]＋f(a )>0.
1 2 023 2 2 022 1 011 1 013 1 012
思维升华 数列与函数、不等式的综合问题关键在于通过函数关系寻找数列的递推关系，求
出数列的通项公式或前n项和公式，再利用数列或数列对应的函数解决最值、范围问题，
通过放缩进行不等式的证明．
跟踪训练2 (1)分形的数学之美，是以简单的基本图形，凝聚扩散，重复累加，以迭代的方
式而形成的美丽的图案．自然界中存在着许多令人震撼的天然分形图案，如鹦鹉螺的壳、
蕨类植物的叶子、孔雀的羽毛、菠萝等．如图为正方形经过多次自相似迭代形成的分形图
形，且相邻的两个正方形的对应边所成的角为15°.若从外往里最大的正方形边长为9，则第
5个正方形的边长为( )
A. B. C．4 D.
答案 C
解析 设第n个正方形的边长为a，则由已知可得a＝a sin 15°＋a cos 15°，
n n n＋1 n＋1
∴＝＝＝，
∴{a}是以9为首项，为公比的等比数列，
n
∴a＝aq4＝9×4＝4.
5 1
(2)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，|φ|≤，ω>0)，射线y＝－2(x≥0)与该函数图象的交点
的横坐标从左至右依次构成数列{x}，且x＝4n－(n∈N*)，则f(5)＝________.
n n
答案 －1
解析 因为x＝4n－(n∈N*)，
n
则数列{x}是等差数列，公差为4，且f(x)＝－2，n∈N*，
n n
因此A＝2，函数f(x)的最小正周期是4，
即＝4，解得ω＝，
又f(x)＝f ＝－2，
1
即有×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，
由|φ|≤，解得φ＝，
于是f(x)＝2cos，所以f(5)＝2cos＝－1.
课时精练
一、单项选择题
1．(2023·广州模拟)已知f(x)＝2x2，数列{a}满足a ＝2，且对一切n∈N*，有a ＝f(a)，
n 1 n＋1 n
则( )
A．{a}是等差数列
n
B．{a}是等比数列
n
C．{log a}是等比数列
2 n
D．{log a＋1}是等比数列
2 n
答案 D
解析 由题意知a ＝2a，
n＋1
所以log a ＝1＋2log a，
2 n＋1 2 n
所以log a ＋1＝2(log a＋1)，n∈N*，
2 n＋1 2 n
所以{log a＋1}是等比数列，
2 n
又log a＋1＝2，所以log a＋1＝2n，
2 1 2 n
所以log a＝2n－1，故A，B，C错误，D正确．
2 n
2．(2024·铜仁模拟)为了进一步学习贯彻党的二十大精神，推进科普宣传教育，激发学生的
学习热情，营造良好的学习氛围，不断提高学生对科学、法律、健康等知识的了解，某学
校组织高一10个班级的学生开展“红色百年路·科普万里行”知识竞赛．统计发现，10个
班级的平均成绩恰好成等差数列，最低平均成绩为70，公差为2，则这10个班级的平均成
绩的第40百分位数为( )
A．76 B．77 C．78 D．80
答案 B
解析 记10个班级的平均成绩形成的等差数列为{a}，则a＝70＋2(n－1)＝2n＋68，
n n
又10×40%＝4，所以这10个班级的平均成绩的第40百分位数为＝＝77.
3．(2023·岳阳模拟)在等比数列{a}中，a ＝－2a 1a ，则实数a的取值范围是(
n n n n＋1
)
A. B.
C. D.
答案 C
解析 因为当n>7时，a＝n＋2，
n
而要满足a>a ，故{a}要单调递减，
n n＋1 n
所以－a<0，解得a>，
当n≤7时，a＝an－6，而要满足a>a ，
n n n＋1
故{a}要单调递减，所以0×8＋2，解得a>，
所以实数a的取值范围是.
6．已知{a}是各项均为正数的等差数列，其公差 d≠0，{b}是等比数列，若a ＝b ，a
n n 1 1 1 012
＝b ，S 和T 分别是{a}和{b}的前n项和，则( )
1 012 n n n n
A．S >T
2 023 2 023
B．S 0，
且q1 011≠1，即q>0且q≠1，
又因为b>0，
1
所以等比数列{b}为正项单调数列，
n
由基本不等式可得b＋b >2＝2b ，b＋b >2＝2b ，…，
1 2 023 1 012 2 2 022 1 012
b ＋b >2＝2b ，
1 011 1 013 1 012
所以T ＝b＋b＋…＋b >2 023b ＝2 023a ＝S .
2 023 1 2 2 023 1 012 1 012 2 023
二、多项选择题
7．已知数列{a}的前n项和为S ，a ＝1，a ＝ln( －a)(n∈N*)，则S 的取值可能是(
n n 1 n＋1 n n
)
A. B. C. D．2
答案 BC
解析 因为a ＝ln( －a)，
n＋1 n
所以 ＝ －a，
n
即a＝ － ，
n
所以S ＝a ＋a ＋a ＋…＋a ＝( － )＋( － )＋…＋( － )＝ － ＝e
n 1 2 3 n
－ .
因为a＝1，所以a>0，所以S>1.
1 n n
因为 >a＋1，
n
所以 －a>1，
n
所以a >0，所以S0)．已知a ＝3，a ＝a ＋1，记这n2个数的和为S，下面叙述正确的是( )
11 13 51
A．m＝2 B．a ＝15×28
78
C．a ＝(2i＋1)·2j－1 D．S＝n(n＋2)(2n－1)
ij
答案 ACD
解析 由题意，a ＝a ·m2＝3m2，a ＝a ＋4m＝3＋4m，
13 11 51 11
由a ＝a ＋1，得3m2＝3＋4m＋1，
13 51
整理可得(3m＋2)(m－2)＝0，
由m>0，解得m＝2，故A正确；
a ＝a ＋6×2＝15，a ＝a ·27＝15×27≠15×28，故B错误；
71 11 78 71
a ＝a ＋(i－1)×2＝2i＋1，a ＝a ·2j－1＝(2i＋1)·2j－1，故C正确；
i1 11 ij i1
S＝a ·＋a ·＋a ·＋…＋a ·＝(3＋5＋7＋…＋2n＋1)＝(2n－1)·＝n(n＋2)(2n－1)，故D正确．
11 21 31 n1
三、填空题
9．(2023·德州模拟)如图甲是第七届国际数学教育大会(简称ICME－7)的会徽图案，会徽的
主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的．已知 A ，A ，A ，…为直角顶点，设
1 2 3
OA ＝AA ＝AA ＝AA ＝…＝1，OA ，OA ，…，OA 构成数列{a}，令b ＝，S 为数列
1 1 2 2 3 3 4 1 2 n n n n
{b}的前n项和，则S ＝________.
n 80
答案 8
解析 因为OA＝AA＝AA＝AA＝…＝1，
1 1 2 2 3 3 4
所以当n≥2时，OA＝，
n
OA＝，
n
所以a＝，
n
b＝＝＝－，
n
S＝b＋b＋…＋b＝－1＋－＋…＋－＝－1，
n 1 2 n
所以S ＝－1＝8.
80
10．已知数列{a}为等比数列，aaa ＝64，a ＝32，数列{b}满足b ＝log a ，若不等式
n 2 3 4 6 n n 2 n＋1
4λ≥b[1－(n＋4)λ]对于任意的n∈N*恒成立，则实数λ的取值范围为________．
n
答案解析 由aaa＝64，得a＝64，
2 3 4
解得a＝4，
3
设{a}的公比为q，则q3＝＝8，
n
解得q＝2，a＝1，
1
所以a＝2n－1，b＝log a ＝n，
n n 2 n＋1
则原不等式等价于4λ≥n[1－(n＋4)λ]，
即λ≥，
又＝≤＝，
当且仅当n＝2时等号成立，故λ≥.
四、解答题
11．(2022·新高考全国Ⅱ)已知{a}是等差数列，{b}是公比为2的等比数列，且a －b ＝a
n n 2 2 3
－b＝b－a.
3 4 4
(1)证明：a＝b；
1 1
(2)求集合{k|b＝a ＋a 1≤m≤500}中元素的个数．
k m 1,
(1)证明 设等差数列{a}的公差为d，
n
由a－b＝a－b，
2 2 3 3
得a＋d－2b＝a＋2d－4b，即d＝2b；
1 1 1 1 1
由a－b＝b－a，
2 2 4 4
得a＋d－2b＝8b－(a＋3d)，即a＝5b－2d，将d＝2b 代入，
1 1 1 1 1 1 1
得a＝5b－2×2b＝b，即a＝b.
1 1 1 1 1 1
(2)解 由(1)知a＝a＋(n－1)d＝a＋(n－1)×2b＝(2n－1)a，b＝b·2n－1，
n 1 1 1 1 n 1
由b＝a ＋a，得b·2k－1＝(2m－1)a＋a，
k m 1 1 1 1
由a＝b≠0得2k－1＝2m，
1 1
由题知1≤m≤500，所以2≤2m≤1 000，所以k＝2,3,4，…，10，共9个数，即集合{k|b＝
k
a ＋a，1≤m≤500}＝{2,3,4，…，10}中元素的个数为9.
m 1
12．(2024·福州模拟)已知数列{a}的前n项和为S，且是公差为的等差数列．
n n
(1)求证：{a}是等差数列；
n
(2)用max{p，q}表示p，q中的最大值，若a ＝1，b ＝max ，求数列{ab}的前n项和
1 n n n
T.
n
(1)证明 因为是公差为的等差数列，
所以a－＝a－＋(n－1)×＝，
n 1
于是当n≥2时，S－S －＝，
n n－1
所以－＝，
可见数列是首项为S＝a，公差为的等差数列，
1 1于是＝a＋，S＝na＋，
1 n 1
又当n＝1时，S＝a，
1 1
所以对n∈N*，S＝na＋，
n 1
当n≥2时，a＝S－S ＝a＋n－1，当n＝1时也成立，
n n n－1 1
因此a－a ＝1，
n n－1
则{a}是首项为a，公差为1的等差数列．
n 1
(2)解 因为a＝1，
1
且{a}的公差为1，所以a＝n，
n n
所以b＝max{2n，n2}＝
n
①当n≥4时，T＝1×21＋2×22＋3×32＋4×24＋…＋n·2n
n
＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋…＋n·2n＋3，
令F＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，
n
则2F＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1，
n
所以－F＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1
n
＝－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，
所以F＝(n－1)·2n＋1＋2，
n
所以当n≥4时，T＝(n－1)·2n＋1＋5，
n
②当n≤2时，T＝F＝(n－1)·2n＋1＋2，
n n
③当n＝3时，T＝T＝37(或直接分别求T＝2，T＝10，T＝37)．
n 3 1 2 3
综上，T＝
n
