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训练 20 数列的概念与简单表示法
一、单项选择题
1．数列－，，－，，…的通项公式可能是a 等于( )
n
A. B. C. D.
答案 D
解析 由a＝－，排除A，C；
1
由a＝，排除B；
2
分母为奇数列，分子为(－1)n，故D正确．
2．已知数列{a}满足a＝1，aa ＝2n(n∈N*)，则a 等于( )
n 1 n n＋1 10
A．64 B．32 C．16 D．8
答案 B
解析 ∵数列{a}满足a＝1，aa ＝2n，
n 1 n n＋1
∴aa＝2，解得a＝2.
1 2 2
当n≥2时，＝2，即＝2，
∴···＝24，∴＝24，故a ＝25＝32.
10
3．(2023·太原模拟)意大利数学家列昂纳多·斐波那契提出的“兔子数列”：
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，在现代生物及化学等领域有着广泛的应用，它可以表
述为数列{a}满足a ＝a ＝1，a ＝a ＋a(n∈N*)．若此数列各项被3除后的余数构成一
n 1 2 n＋2 n＋1 n
个新数列{b}，则{b}的前2 023项和为( )
n n
A．2 014 B．2 022 C．2 265 D．2 277
答案 D
解析 ∵数列{a}为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，…，
n
被3除后的余数构成一个新数列{b}，
n
∴数列{b}为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,1,0，…，
n
观察可得数列{b}是以8为周期的周期数列，
n
∵2 023＝252×8＋7，且b＋b＋…＋b＝9，
1 2 8
则{b}的前2 023项和为252×9＋1＋1＋2＋0＋2＋2＋1＝2 277.
n
4．(2023·许昌模拟)已知数列{a}的前n项和为S，S＝n2a，a＝1，则S 等于( )
n n n n 1 n
A. B. C. D.
答案 A
解析 当n≥2时，S＝n2a ①
n n，
则S ＝(n＋1)2a ②
n＋1 n＋1，
且S＝22a，即1＋a＝4a，所以a＝.
2 2 2 2 2②－①得S －S＝(n＋1)2a －n2a，
n＋1 n n＋1 n
即a ＝(n＋1)2a －n2a，即(n＋2)a ＝na，
n＋1 n＋1 n n＋1 n
所以＝，即＝(n≥2)．
则a＝···…··a＝···…··a＝＝2，
n 2 2
当n＝1时，a＝1，满足条件，
1
所以a＝2，
n
所以S＝2
n
＝2＝.
二、多项选择题
5．已知数列{x}满足x＝a，x＝b，x ＝x－x (n≥2)，则下列结论正确的是( )
n 1 2 n＋1 n n－1
A．x ＝1
2 023
B．x ＝b－a
2 025
C．x＝x
8 2 024
D．x＋x＋…＋x ＝a＋b
1 2 2 024
答案 BCD
解析 x＝a，x＝b，x＝x－x＝b－a，x＝x－x＝－a，x＝x－x＝－b，
1 2 3 2 1 4 3 2 5 4 3
x＝x－x＝a－b，x＝x－x＝a＝x，x＝x－x＝b＝x，
6 5 4 7 6 5 1 8 7 6 2
∴{x}是周期数列，周期为6，且x＋x＋…＋x＝0，
n 1 2 6
∴x ＝x＝a，A不正确；
2 023 1
x ＝x＝b－a，B正确；
2 025 3
x ＝x＝x，C正确；
2 024 2 8
x＋x＋…＋x ＝x＋x＝a＋b，D正确．
1 2 2 024 1 2
6．已知数列{a}中，a＝2，a ＝(＋1)2－2，则关于数列{a}的说法正确的是( )
n 1 n＋1 n
A．a＝5
2
B．数列{a}为递增数列
n
C．a＝n2＋2n－1
n
D．数列{a}为周期数列
n
答案 BC
解析 由a ＝(＋1)2－2，
n＋1
得a ＋2＝(＋1)2，即＝＋1，又a＝2，
n＋1 1
所以{}是以2为首项，1为公差的等差数列，所以＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
即a＝n2＋2n－1，
n
所以a＝7，故A错误，C正确；
2
a＝(n＋1)2－2，所以{a}为递增数列，故B正确；
n n数列{a}不具有周期性，故D错误．
n
三、填空题
7．(2023·株洲模拟)已知数列{a}的前n项和S＝n2，则a ＝________.
n n 10
答案 19
解析 因为S＝n2，所以a ＝S －S＝100－81＝19.
n 10 10 9
8．(2023·郑州模拟)设正数数列{a}的前n项和为S ，数列{S}的前n项之积为T ，且S ＋
n n n n n
2T＝1，则数列{a}的通项公式是__________________．
n n
答案 a＝
n
解析 当n＝1时，S＋2T＝1，即S＋2S＝1，则S＝，
1 1 1 1 1
当n≥2时，∵S＋2T＝1，∴S ＋2T ＝1，
n n n－1 n－1
则S＝＝＝，整理可得S＝(n≥2)，
n n
可得S＝，S＝，S＝，S＝，
1 2 3 4
则猜想S＝，代入S＝检验得
n n
S＝＝＝，满足猜想，
n
∴S＝(n≥1)，
n
∴a＝S＝，当n≥2时，a＝S－S ＝－＝，
1 1 n n n－1
∴a＝
n
四、解答题
9．(1)已知S 为数列{a}的前n项和，且log (S＋1)＝n＋1，求数列{a}的通项公式；
n n 2 n n
(2)已知数列{a}的各项均为正数，S 为其前n项和，且对任意n∈N*，均有2S ＝a ＋a，求
n n n n
数列{a}的通项公式．
n
解 (1)由log (S＋1)＝n＋1，得S＋1＝2n＋1，
2 n n
当n＝1时，a＝S＝3；
1 1
当n≥2时，a＝S－S ＝2n，
n n n－1
∴数列{a}的通项公式为a＝
n n
(2)∵2S＝a＋a，
n n
当n＝1时，2S＝2a＝a＋a.
1 1 1
又a>0，∴a＝1.
1 1
当n≥2时，
2a＝2(S－S )＝a＋a－a －a，
n n n－1 n n－1
∴(a－a)－(a＋a )＝0，
n n－1
∴(a＋a )(a－a )－(a＋a )＝0，
n n－1 n n－1 n n－1
∴(a＋a )(a－a －1)＝0，
n n－1 n n－1
∵a＋a >0，∴a－a ＝1，
n n－1 n n－1∴{a}是以1为首项，1为公差的等差数列，
n
∴a＝n(n∈N*)．
n
10．已知数列{a}的通项公式是a＝n2＋kn＋4.
n n
(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，a 有最小值？并求出最小值；
n
(2)若{a}为递增数列，求实数k的取值范围．
n
解 (1)由n2－5n＋4<0，解得1－3.
方法二 ∵{a}是递增数列，则a >a，
n n＋1 n
∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋4>n2＋kn＋4，
∴k>－2n－1，n∈N*恒成立，
∴k>(－2n－1) ＝－3，
max
∴k的取值范围为(－3，＋∞)．
