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§6.7 子数列问题
重点解读 子数列是数列问题中的一种常见题型．将原数列转化为子数列问题一般适用于
某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列中
的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分类讨
论、函数与方程的思想，能很好地考查学生的思维．
题型一 奇数项与偶数项问题
例1 (2023·新高考全国Ⅱ)已知{a}为等差数列，b ＝记S ，T 分别为数列{a}，{b}的前n
n n n n n n
项和，S＝32，T＝16.
4 3
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)证明：当n>5时，T>S.
n n
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思维升华 数列中的奇、偶项问题的常见题型
(1)数列中连续两项和或积的问题(a＋a ＝f(n)或a·a ＝f(n))；
n n＋1 n n＋1
(2)含有(－1)n的类型；
(3)含有{a }，{a }的类型．
2n 2n－1
跟踪训练1 (2023·岳阳模拟)已知等比数列{a}的前n项和为S，其公比q≠－1，＝，且S＝
n n 4
a＋93.
3
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)已知b＝ 求数列{b}的前n项和T.
n n n
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题型二 数列的公共项
例2 已知数列{a}的前n项和S ＝，{b}为等比数列，公比为2，且b ，b ＋1，b 为等差数
n n n 1 2 3列．
(1)求{a}与{b}的通项公式；
n n
(2)把数列{a}和{b}的公共项由小到大排成的数列记为{c}，求数列{c}的前n项和T.
n n n n n
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跟踪训练2 (2023·邵阳模拟)数列{2n－1}和数列{3n－2}的公共项从小到大构成一个新数列
{a}，数列{b}满足b＝，则数列{b}的最大项等于________．
n n n n
题型三 数列增减项
例3 (2024·杭州模拟)设数列{a}满足a ＝3a－2a (n≥2)，a＝1，a＝2.
n n＋1 n n－1 1 2
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)在数列{a}的任意a 与a 项之间，都插入k(k∈N*)个相同的数(－1)kk，组成数列{b}，
n k k＋1 n
记数列{b}的前n项和为T，求T 的值．
n n 27
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跟踪训练3 已知等比数列{a}的前n项和S＝2n＋r，其中r为常数．
n n
(1)求r的值；
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(2)设b ＝2(1＋log a)，若数列{b}中去掉与数列{a}相同的项后余下的项按原来的顺序组成
n 2 n n n
数列{c}，求c＋c＋c＋…＋c 的值．
n 1 2 3 100
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