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§6.7 子数列问题
重点解读 子数列是数列问题中的一种常见题型．将原数列转化为子数列问题一般适用于
某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列
中的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分
类讨论、函数与方程的思想，能很好地考查学生的思维．
题型一 奇数项与偶数项问题
例1 (2023·新高考全国Ⅱ)已知{a}为等差数列，b ＝记S ，T 分别为数列{a}，{b}的前n
n n n n n n
项和，S＝32，T＝16.
4 3
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)证明：当n>5时，T>S.
n n
(1)解 设等差数列{a}的公差为d，
n
而b＝
n
则b＝a－6，b＝2a＝2a＋2d，b＝a－6＝a＋2d－6，
1 1 2 2 1 3 3 1
于是
解得a＝5，d＝2，a＝a＋(n－1)d＝2n＋3，
1 n 1
所以数列{a}的通项公式是a＝2n＋3.
n n
(2)证明 方法一 由(1)知，S＝＝n2＋4n，
n
b＝
n
当n为偶数时，b ＋b＝2(n－1)－3＋4n＋6＝6n＋1，
n－1 n
T＝·＝n2＋n，
n
当n>5时，T－S＝－(n2＋4n)＝n(n－1)>0，
n n
因此T>S.
n n
当n为奇数时，T＝T －b ＝(n＋1)2＋(n＋1)－[4(n＋1)＋6]＝n2＋n－5，
n n＋1 n＋1
当n>5时，T－S＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)>0，
n n
因此T>S.
n n
综上，当n>5时，T>S.
n n
方法二 由(1)知，S＝＝n2＋4n，
n
b＝
n
当n为偶数时，T＝(b＋b＋…＋b )＋(b＋b＋…＋b)＝·＋·＝n2＋n，
n 1 3 n－1 2 4 n
当n>5时，T－S＝－(n2＋4n)＝n(n－1)>0，
n n
因此T>S，
n n
当n为奇数时，若n≥3，则T＝(b＋b＋…＋b)＋(b＋b＋…＋b )＝·＋·＝n2＋n－5，
n 1 3 n 2 4 n－1
显然T＝b＝－1满足上式，
1 1
因此当n为奇数时，T＝n2＋n－5，
n
当n>5时，T－S＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)>0，
n n
因此T>S，
n n
所以当n>5时，T>S.
n n
思维升华 数列中的奇、偶项问题的常见题型
(1)数列中连续两项和或积的问题(a＋a ＝f(n)或a·a ＝f(n))；
n n＋1 n n＋1
(2)含有(－1)n的类型；
(3)含有{a }，{a }的类型．
2n 2n－1
跟踪训练1 (2023·岳阳模拟)已知等比数列{a}的前n项和为S ，其公比q≠－1，＝，且S
n n 4
＝a＋93.
3
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)已知b＝ 求数列{b}的前n项和T.
n n n
解 (1)因为{a}是等比数列，公比q≠－1，
n
则a＝aq3，a＝aq4，a＝aq6，a＝aq7，
4 1 5 1 7 1 8 1
所以＝＝＝，解得q＝3，
由S＝a＋93，可得＝9a＋93，
4 3 1
解得a＝3，
1
所以数列{a}的通项公式为a＝3n.
n n
(2)由(1)得b＝
n
当n为偶数时，T＝b＋b＋…＋b
n 1 2 n
＝(b＋b＋…＋b )＋(b＋b＋…＋b)
1 3 n－1 2 4 n
＝－(1＋3＋…＋n－1)＋(32＋34＋…＋3n)
＝－＋
＝(3n－1)－；
当n为奇数时，T＝T －b ＝(3n＋1－1)－－3n＋1＝×3n＋1－－，
n n＋1 n＋1
综上所述，
T＝
n
题型二 数列的公共项
例2 已知数列{a}的前n项和S＝，{b}为等比数列，公比为2，且b，b＋1，b 为等差数
n n n 1 2 3列．
(1)求{a}与{b}的通项公式；
n n
(2)把数列{a}和{b}的公共项由小到大排成的数列记为{c}，求数列{c}的前n项和T.
n n n n n
解 (1)由S＝得，
n
当n＝1时，a＝S＝2，
1 1
当n≥2时，a＝S－S ＝3n－1，
n n n－1
当n＝1时，上式也成立，
所以a＝3n－1.
n
依题意，b＋b＝2(b＋1)，
1 3 2
b＋b·22＝2(b·2＋1)，
1 1 1
解得b＝2，所以b＝2n.
1 n
(2)数列{a}和{b}的公共项从小到大依次为21,23,25,27，…，
n n
所以21,23,25,27，…构成首项为2，公比为4的等比数列，所以c ＝2×4n－1，则T ＝c ＋c
n n 1 2
＋…＋c＝＝.
n
思维升华 两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数，两
个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数．
跟踪训练2 (2023·邵阳模拟)数列{2n－1}和数列{3n－2}的公共项从小到大构成一个新数列
{a}，数列{b}满足b＝，则数列{b}的最大项等于________．
n n n n
答案
解析 数列{2n－1}和数列{3n－2}的公共项从小到大构成的一个新数列为1,7,13，…，该数
列是首项为1，公差为6的等差数列，
所以a＝6n－5，所以b＝，
n n
因为b －b＝－＝，
n＋1 n
所以当n≥2时，b －b<0，
n＋1 n
即b>b>b>…，
2 3 4
又b
