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§6.7 子数列问题
重点解读 子数列是数列问题中的一种常见题型．将原数列转化为子数列问题一般适用于
某个数列是由几个有规律的数列组合而成的，具体求解时，要搞清楚子数列的项在原数列
中的位置，以及在子数列中的位置，即项不变化，项数变化，它体现了转化与化归以及分
类讨论、函数与方程的思想，能很好地考查学生的思维．
题型一 奇数项与偶数项问题
例1 (2023·新高考全国Ⅱ)已知{a}为等差数列，b ＝记S ，T 分别为数列{a}，{b}的前n
n n n n n n
项和，S＝32，T＝16.
4 3
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)证明：当n>5时，T>S.
n n
(1)解 设等差数列{a}的公差为d，
n
而b＝
n
则b＝a－6，b＝2a＝2a＋2d，b＝a－6＝a＋2d－6，
1 1 2 2 1 3 3 1
于是
解得a＝5，d＝2，a＝a＋(n－1)d＝2n＋3，
1 n 1
所以数列{a}的通项公式是a＝2n＋3.
n n
(2)证明 方法一 由(1)知，S＝＝n2＋4n，
n
b＝
n
当n为偶数时，b ＋b＝2(n－1)－3＋4n＋6＝6n＋1，
n－1 n
T＝·＝n2＋n，
n
当n>5时，T－S＝－(n2＋4n)＝n(n－1)>0，
n n
因此T>S.
n n
当n为奇数时，T＝T －b ＝(n＋1)2＋(n＋1)－[4(n＋1)＋6]＝n2＋n－5，
n n＋1 n＋1
当n>5时，T－S＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)>0，
n n
因此T>S.
n n
综上，当n>5时，T>S.
n n
方法二 由(1)知，S＝＝n2＋4n，
n
b＝
n
当n为偶数时，T＝(b＋b＋…＋b )＋(b＋b＋…＋b)＝·＋·＝n2＋n，
n 1 3 n－1 2 4 n
当n>5时，T－S＝－(n2＋4n)＝n(n－1)>0，
n n
因此T>S，
n n
当n为奇数时，若n≥3，则T＝(b＋b＋…＋b)＋(b＋b＋…＋b )＝·＋·＝n2＋n－5，
n 1 3 n 2 4 n－1
显然T＝b＝－1满足上式，
1 1
因此当n为奇数时，T＝n2＋n－5，
n
当n>5时，T－S＝－(n2＋4n)＝(n＋2)(n－5)>0，
n n
因此T>S，
n n
所以当n>5时，T>S.
n n
思维升华 数列中的奇、偶项问题的常见题型
(1)数列中连续两项和或积的问题(a＋a ＝f(n)或a·a ＝f(n))；
n n＋1 n n＋1
(2)含有(－1)n的类型；
(3)含有{a }，{a }的类型．
2n 2n－1
跟踪训练1 (2023·岳阳模拟)已知等比数列{a}的前n项和为S ，其公比q≠－1，＝，且S
n n 4
＝a＋93.
3
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)已知b＝ 求数列{b}的前n项和T.
n n n
解 (1)因为{a}是等比数列，公比q≠－1，
n
则a＝aq3，a＝aq4，a＝aq6，a＝aq7，
4 1 5 1 7 1 8 1
所以＝＝＝，解得q＝3，
由S＝a＋93，可得＝9a＋93，
4 3 1
解得a＝3，
1
所以数列{a}的通项公式为a＝3n.
n n
(2)由(1)得b＝
n
当n为偶数时，T＝b＋b＋…＋b
n 1 2 n
＝(b＋b＋…＋b )＋(b＋b＋…＋b)
1 3 n－1 2 4 n
＝－(1＋3＋…＋n－1)＋(32＋34＋…＋3n)
＝－＋
＝(3n－1)－；
当n为奇数时，T＝T －b ＝(3n＋1－1)－－3n＋1＝×3n＋1－－，
n n＋1 n＋1
综上所述，
T＝
n
题型二 数列的公共项
例2 已知数列{a}的前n项和S＝，{b}为等比数列，公比为2，且b，b＋1，b 为等差数
n n n 1 2 3列．
(1)求{a}与{b}的通项公式；
n n
(2)把数列{a}和{b}的公共项由小到大排成的数列记为{c}，求数列{c}的前n项和T.
n n n n n
解 (1)由S＝得，
n
当n＝1时，a＝S＝2，
1 1
当n≥2时，a＝S－S ＝3n－1，
n n n－1
当n＝1时，上式也成立，
所以a＝3n－1.
n
依题意，b＋b＝2(b＋1)，
1 3 2
b＋b·22＝2(b·2＋1)，
1 1 1
解得b＝2，所以b＝2n.
1 n
(2)数列{a}和{b}的公共项从小到大依次为21,23,25,27，…，
n n
所以21,23,25,27，…构成首项为2，公比为4的等比数列，所以c ＝2×4n－1，则T ＝c ＋c
n n 1 2
＋…＋c＝＝.
n
思维升华 两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两等差数列公差的最小公倍数，两
个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数．
跟踪训练2 (2023·邵阳模拟)数列{2n－1}和数列{3n－2}的公共项从小到大构成一个新数列
{a}，数列{b}满足b＝，则数列{b}的最大项等于________．
n n n n
答案
解析 数列{2n－1}和数列{3n－2}的公共项从小到大构成的一个新数列为1,7,13，…，该数
列是首项为1，公差为6的等差数列，
所以a＝6n－5，所以b＝，
n n
因为b －b＝－＝，
n＋1 n
所以当n≥2时，b －b<0，
n＋1 n
即b>b>b>…，
2 3 4
又b<b，
1 2
所以数列{b}的最大项为第二项，其值为.
n
题型三 数列增减项
例3 (2024·杭州模拟)设数列{a}满足a ＝3a－2a (n≥2)，a＝1，a＝2.
n n＋1 n n－1 1 2
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)在数列{a}的任意a 与a 项之间，都插入k(k∈N*)个相同的数(－1)kk，组成数列{b}，
n k k＋1 n
记数列{b}的前n项和为T，求T 的值．
n n 27
解 (1)因为a ＝3a－2a (n≥2)，
n＋1 n n－1
所以a －a＝2a－2a ，又a＝1，a＝2，
n＋1 n n n－1 1 2所以数列{a －a}为首项为1，
n＋1 n
公比为2的等比数列，
所以a －a＝2n－1，
n＋1 n
所以当n≥2，n∈N*时，
a－a＝1，a－a＝2，…，a－a ＝2n－2，
2 1 3 2 n n－1
所以a－a＝1＋2＋…＋2n－2＝
n 1
＝2n－1－1，
所以当n≥2，n∈N*时，a＝2n－1，
n
又a＝1也满足上式，
1
所以数列{a}的通项公式为a＝2n－1(n∈N*)．
n n
(2)数列{b}中，在a 之前共有k＋(1＋2＋…＋k)＝k＋＝项，
n k＋1
当k＝5时，＝20<27，
当k＝6时，＝27，
则T ＝(1＋2＋22＋…＋25)＋(－12＋22－32＋42－52＋62)
27
＝＋(3＋7＋11)＝26－1＋21＝84.
思维升华 对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间
共插入(减少)了多少项 (运用等差等比求和或者项数公式去看)，再对于题目给出的条件确
定它包含了哪些项．
跟踪训练3 已知等比数列{a}的前n项和S＝2n＋r，其中r为常数．
n n
(1)求r的值；
(2)设b ＝2(1＋log a)，若数列{b}中去掉与数列{a}相同的项后余下的项按原来的顺序组
n 2 n n n
成数列{c}，求c＋c＋c＋…＋c 的值．
n 1 2 3 100
解 (1)因为S＝2n＋r，
n
所以a＝S＝2＋r，a＋a＝S＝4＋r，即a＝2，
1 1 1 2 2 2
a＋a＋a＝S＝8＋r，即a＝4，
1 2 3 3 3
由{a}是等比数列可知，a＝aa，
n 1 3
所以4＝(2＋r)×4，即r＝－1.
此时S＝2n－1，a＝2＋r＝1，
n 1
当n≥2时，
a＝S－S ＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，
n n n－1
且a＝1也适合该式，
1
故a＝2n－1是等比数列，即r＝－1满足题意．
n
所以r＝－1.
(2)b＝2(1＋log a)＝2(1＋log 2n－1)＝2n，
n 2 n 2因为a ＝1，a ＝2＝b ，a ＝4＝b ，a ＝8＝b ，a ＝16＝b ，a ＝32＝b ，a ＝64＝b ，a
1 2 1 3 2 4 4 5 8 6 16 7 32 8
＝128＝b ，a＝256＝b .
64 9 128
所以c＋c＋c＋…＋c
1 2 3 100
＝(b＋b＋…＋b )－(a＋…＋a)
1 2 107 2 8
＝－＝11 302.
课时精练
1．已知数列{a}满足a＝1，a ＝k∈N*.
n 1 n＋1
(1)求a，a；设b＝a －2，n∈N*，证明数列{b}是等比数列，并求其通项公式；
2 3 n 2n n
(2)求数列{a}前10项中所有奇数项的和．
n
解 (1)依题意，数列{a}满足a＝1，
n 1
a ＝k∈N*，
n＋1
所以a＝a＋1＝，
2 1
a＝a－4＝－4＝－.
3 2
b＝a －2，a ＝b＋2，
n 2n 2n n
b ＝a －2＝a －2
n＋1 2n＋2 2n＋1＋1
＝a ＋2n＋1－2＝a ＋2n－1
2n＋1 2n＋1
＝(a －4n)＋2n－1
2n
＝a －1＝(b＋2)－1
2n n
＝b.
n
所以数列{b}是首项为b＝a－2＝－2＝－，公比为的等比数列，
n 1 2
所以b＝－.
n
(2)a ＝2－，
2n
a ＝a －4n＝2－－4n，
2n＋1 2n
所以a＝2－－8，a＝2－－12，
5 7
a＝2－－16，
9
所以a＋a＋a＋a＋a＝1＋＋＋＋＝－.
1 3 5 7 9
2．(2023·无锡模拟)设等比数列{a}的首项为a ＝2，公比为q(q为正整数)，且满足3a 是
n 1 3
8a 与a 的等差中项；数列{b}满足2n2－(3＋b)n＋b＝0(n∈N*)．
1 5 n n n
(1)求数列{a}，{b}的通项公式；
n n
(2)对每个正整数k，在a 与a 之间插入b 个2，得到一个新数列{c}．设T 是数列{c}的
k k＋1 k n n n
前n项和，试求T .
100
解 (1)由题意，可得6a＝8a＋a，
3 1 5所以6q2＝8＋q4，
解得q2＝4或q2＝2，
又q为正整数，所以q＝2，
又a＝2，所以a＝2n.
1 n
由2n2－(3＋b)n＋b＝0，
n n
得b＝2n.
n
(2)因为b＝2，所以a 与a 之间插入2个2，
1 1 2
b＝4，所以a 与a 之间插入4个2，
2 2 3
b＝6，所以a 与a 之间插入6个2，
3 3 4
…
则{c}的前100项，由90个2及a ，a ，a ，…，a ，a 构成，所以T ＝(a ＋a ＋…＋a )
n 1 2 3 9 10 100 1 2 10
＋2×90
＝＋180＝2 226.
3．已知数列{a}的前n项和S 满足2S－na＝n，n∈N*，且a＝3.
n n n n 2
(1)求证：数列(n≥2)是常数列；
(2)求数列{a}的通项公式．若数列{b}的通项公式为b ＝3n－2，将数列{a}与{b}的公共
n n n n n
项按从小到大的顺序排列得到数列{c}，求{c}的前n项和．
n n
(1)证明 由2S－na＝n，得2S －(n＋1)a ＝n＋1，
n n n＋1 n＋1
将上述两式相减，得2a －(n＋1)a ＋na＝1，
n＋1 n＋1 n
即na－(n－1)a ＝1.
n n＋1
∴ a ＝(n≥2)，
n＋1
∵－＝－ ＝－＝0(n≥2)，
∴数列(n≥2)是常数列．
(2)解 由(1)可知，当n≥2时，＝＝2，
∴a＝2n－1(n≥2)，
n
经检验，当n＝1时，a＝2n－1也适用，
n
∴ a＝2n－1(n∈N*)，
n
∴数列{a}是以1为首项，2为公差的等差数列，
n
又数列{b}是以1为首项，3为公差的等差数列，
n
∴这两个数列的公共项所构成的新数列{c}是以1为首项，6为公差的等差数列，
n
∴{c}的前n项和为n×1＋×6＝3n2－2n.
n
4．设数列{a}的前n项和为S＝(n－1)2n＋1＋2，n∈N*.
n n
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)若b＝，抽去数列{b}中的第1项，第4项，第7项，…，第3n－2项，余下的项顺序不
n n变，组成一个新数列{c}，求{c}的前2 023项和T .
n n 2 023
解 (1)由S＝(n－1)2n＋1＋2，得a＝2，
n 1
S ＝(n－2)2n＋2(n≥2)，
n－1
两式相减得a＝n·2n(n≥2)，
n
当n＝1时，代入上式，求得a＝2，
1
所以a＝n·2n(n∈N*)．
n
(2)由题知，b＝＝2n，
n
所以数列{c}为22,23,25,26,28,29，…，
n
它的奇数项组成以4为首项，8为公比的等比数列；
偶数项组成以8为首项，8为公比的等比数列，
所以T ＝(c＋c＋c＋…＋c )＋(c＋c＋c＋…＋c )＝＋
2 023 1 3 5 2 023 2 4 6 2 022
＝＋
＝.
