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§6.1 数列的概念
课标要求 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是
自变量为正整数的一类特殊函数．
知识梳理
1．数列的有关概念
概念 含义
数列 按照____________排列的一列数
数列的项 数列中的____________
如果数列的第n项a 与n之间的关系可以用a＝f(n)来表示，其中f(n)
n n
通项公式 是关于n的不含其他未知数的关系式，则称上述关系式为这个数列的
一个通项公式
如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关
递推公式
系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系
数列{a}的
n
一般地，给定数列{a}，称S＝____________为数列{a}的前n项和
n n n
前n项和
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
有穷数列 项数____________
项数
无穷数列 项数____________
递增数列 a _______a
n＋1 n
其中
项与项 递减数列 a _______a
n＋1 n
n∈N
＋
间的大 常数列 a ＝a
n＋1 n
小关系 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些
摆动数列
项小于它的前一项的数列3.数列与函数的关系
数列{a}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取
n
正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．
常用结论
1．已知数列{a}的前n项和为S，则a＝
n n n
2．在数列{a}中，若a 最大，则(n≥2，n∈N )；若a 最小，则(n≥2，n∈N )．
n n ＋ n ＋
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)数列1,2,3与3,2,1是两个不同的数列．( )
(2)数列1,0,1,0,1,0，…的通项公式只能是a＝.( )
n
(3)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( )
(4)若数列用图象表示，则从图象上看是一群孤立的点．( )
2．已知数列{a}的通项公式为a＝9＋12n，则在下列各数中，不是{a}的项的是( )
n n n
A．21 B．33 C．152 D．153
3．已知数列{a}的前n项和S＝n2＋n，那么它的通项公式a 等于( )
n n n
A．n B．2n C．2n＋1 D．n＋1
4.如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．如图中的数 1,5,12,22，…称
为五边形数，则第8个五边形数是________．
题型一 由a 与S 的关系求通项公式
n n
例1 (1)设S 为数列{a}的前n项和，若2S＝3a－3，则a 等于( )
n n n n 4
A．27 B．81 C．93 D．243
(2)已知数列{a}满足a＋2a＋3a＋…＋na＝2n，则a＝____________________.
n 1 2 3 n n
思维升华 a 与S 的关系问题的求解思路
n n
(1)利用a＝S－S (n≥2)转化为只含S，S 的关系式，再求解．
n n n－1 n n－1
(2)利用S－S ＝a(n≥2)转化为只含a，a 的关系式，再求解．
n n－1 n n n－1
跟踪训练1 (1)(2023·潍坊统考)已知数列{a}的前n项和为S ，且满足S ＋S ＝S ，若a ＝
n n m n m＋n 1
2，则a 等于( )
20
A．2 B．4 C．20 D．40
(2)(2023·深圳模拟)设数列{a}的前n项和为S ，若a ＝3且当n≥2时，2a ＝S·S ，则{a}
n n 1 n n n－1 n的通项公式a＝________________.
n
题型二 由数列的递推关系求通项公式
命题点1 累加法
例2 若数列{a}满足a －a＝lg，且a＝1，则数列{a}的第100项为( )
n n＋1 n 1 n
A．2 B．3
C．1＋lg 99 D．2＋lg 99
命题点2 累乘法
例3 设在数列{a}中，a＝2，a ＝a，则a＝________________.
n 1 n＋1 n n
跟踪训练2 (1)设数列{a}满足a ＝1，且a －a ＝n＋1(n∈N )，则数列{a}的通项公式为
n 1 n＋1 n ＋ n
__________________．
(2)已知数列{a}满足 a ＝2，(n＋1)a ＝2(n＋2)a ，则数列{a}的通项公式为
n 1 n＋1 n n
________________________________________________________________________．
题型三 数列的性质
命题点1 数列的单调性
例4 已知数列{a}的通项公式为a ＝n2－3λn，则“λ<1”是“数列{a}为递增数列”的(
n n n
)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
命题点2 数列的周期性
例5 若数列{a}满足a＝2，a ＝，则a 的值为( )
n 1 n＋1 2 024
A．2 B．－3 C．－ D.
命题点3 数列的最值
例6 数列{b}满足b＝，则当n＝______时，b 取最大值为________．
n n n
跟踪训练3 (1)(2024·安康模拟)已知数列{a}的前n项和为S ，a ＝a ＝1，a ＝a ＝2，a ＋a
n n 1 2 3 4 n n
＝0，则( )
＋4
A．S >S >S B．S >S >S
23 21 22 21 22 23
C．S >S >S D．S >S >S
21 23 22 23 22 21
(2)已知数列{a}的通项a ＝，n∈N ，则数列{a}前20项中的最大项与最小项的值分别为
n n ＋ n
________．
