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§6.2 等差数列
课标要求 1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公
式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体问题情境中，发现数列的等
差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元函数的关系．
知识梳理
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第________项起，每一项与它的前一项的差都等于____________，
那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母________表
示，定义表达式为________________________．
(2)等差中项
由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有____________．
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：a＝____________.
n
(2)前n项和公式：S＝____________或S＝____________.
n n
3．等差数列的常用性质
(1)若{a}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则________________(p，q，s，t∈N*)．
n
(2)等差数列{a}的单调性
n
当d>0时，{a}是________数列；
n
当d<0时，{a}是________数列；
n
当d＝0时，{a}是________．
n
4．等差数列前n项和的常用性质
(1)当d≠0时，等差数列{a}的前n项和S＝n2＋n是关于n的二次函数．
n n
(2)在等差数列{a}中，若a>0，d<0，则S 存在最________值；若a<0，d>0，则S 存在最
n 1 n 1 n
________值．
常用结论
1．等差数列通项公式的推广：a＝a ＋(n－m)d(m，n∈N*)．
n m
2．已知数列{a}的通项公式是a ＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a}一定是等差数列，
n n n
且公差为p.
3．数列{a}是等差数列⇔S＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.
n n
4．若{a}，{b}均为等差数列且其前n项和为S，T，则＝.
n n n n5．若等差数列{a}的项数为偶数2n，则
n
(1)S ＝n(a＋a )＝…＝n(a＋a )；
2n 1 2n n n＋1
(2)S －S ＝nd，＝.
偶 奇
6．若等差数列{a}的项数为奇数2n＋1，则
n
(1)S ＝(2n＋1)a ；
2n＋1 n＋1
(2)＝.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(
)
(2)等差数列{a}中，a ＝a＋a.( )
n 10 1 9
(3)若等差数列{a}的前n项和为S，则S，S ，S 也成等差数列．( )
n n 6 12 18
(4)若{a}是等差数列，则对任意n∈N*都有2a ＝a＋a .( )
n n＋1 n n＋2
2．(选择性必修第二册P15T4改编)已知在等差数列{a}中，a ＋a ＝20，a ＝12，则a 等于(
n 4 8 7 4
)
A．－2 B．4 C．6 D．8
3．若一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范
围是( )
A．d> B．d<
C.S ，
n n 5 6 6 7 7 8
则下列说法正确的有( )
A．公差d<0
B．S >0
12
C．S>S
9 5
D．使S<0的最小正整数n为14
n
命题点2 和的性质
例4 (1)(2023·洛阳模拟)已知等差数列{a}的前n项和为S ，若S ＝9，S ＝63，则a ＋a ＋a
n n 3 6 7 8 9
等于( )
A．63 B．71 C．99 D．117
(2)(2023·郑州模拟)设等差数列{a}，{b}的前n项和分别是S，T，若＝，则等于( )
n n n n
A. B. C. D.
延伸探究 在本例(2)中，将＝改为＝，则＝________.
跟踪训练3 (1)(2023·南充模拟)等差数列{a}的前n项和为S，a＝10，a＋a＋a＋a＝20，
n n 1 2 3 4 5
则S 的最大值为( )
n
A．60 B．50 C. D．30
(2)设S 是等差数列{a}的前n项和，若＝，则等于( )
n n
A. B. C. D.
