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培优点 9 新情景、新定义下的数列问题
近几年全国各地高考试题，我们总能在试卷的压轴题位置发现新定义数列题的身影，它
们对数列综合问题的考查常常以新定义、新构造和新情景形式呈现，有时还伴随着数列与集
合，难度较大．
题型一 数列中的新概念
通过创新概念，以集合、函数、数列等的常规知识为问题背景，直接利用创新概念的内涵来
构造相应的关系式(或不等式等)，结合相关知识中的性质、公式来综合与应用．
例1 (1)0－1周期序列在通信技术中有着重要应用．若序列 aa…a…满足a∈{0,1}(i＝
1 2 n i
1,2，…)，且存在正整数m，使得a ＝a(i＝1,2，…)成立，则称其为0－1周期序列，并称
i＋m i
满足a ＝a(i＝1,2，…)的最小正整数m为这个序列的周期．对于周期为m的0－1序列
i＋m i
aa…a…，C(k)＝a (k＝1,2，…，m－1)是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0－1
1 2 n i i＋k
序列中，满足C(k)≤(k＝1，2,3,4)的序列是( )
A．11010… B．11011…
C．10001… D．11001…
(2)(2023·武汉模拟)将1,2，…，n按照某种顺序排成一列得到数列{a}，对任意1≤ia，那么称数对(a，a)构成数列{a}的一个逆序对．若n＝4，则恰有2个逆序对的数
i j i j n
列{a}的个数为( )
n
A．4 B．5 C．6 D．7
思维升华 与数列的新概念有关的问题的求解策略
①通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的
情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息
的迁移，达到灵活解题的目的．
②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，
“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决．
跟踪训练1 (多选)(2023·江西联考)在一次数学活动课上，老师设计了有序实数组A＝{a ，
1
a ，a ，…，a}，a∈{0,1}，i＝1,2,3，…，n，f(A)表示把A中每个1都变为0,0，每个0都
2 3 n i
变为1，所得到的新的有序实数组，例如A＝{0,1}，则f(A)＝{1,0,0}．定义A ＝f(A)，k＝
k＋1 k
1,2,3，…，n，若A＝{0,1}，则( )
1
A．A 中有249个1
100
B．A 中有249个0
101
C．A，A，A，…，A 中0的总个数比1的总个数多250－1
1 2 3 100
D．A，A，A，…，A 中1的总个数为251－1
1 2 3 100
题型二 以数列和项与通项关系定义新数列
例2 (1)(多选)(2023·苏州模拟)若数列{a}满足：对任意的n∈N (n≥3)，总存在i，j∈N ，
n ＋ ＋使a＝a＋a(i≠j，i0，则( )
n
A．S＝9n－1
n
B．{a}为等比数列
n
C．{S－a}的前n项和为
n n
D.为等差数列
思维升华 解决此类问题，关键是根据题干中的新定义、新公式、新定理、新法则、新运算
等，将新数列转化为等差或等比数列，或者找到新数列的递推关系进行求解．
跟踪训练2 (多选)(2023·北京人大附中模拟)已知数列{a}满足：对任意的n∈N ，总存在
n ＋
m∈N ，使得S＝a ，则称{a}为“回旋数列”．以下结论中正确的是( )
＋ n m n
A．若a＝2 023n，则{a}为“回旋数列”
n n
B．设{a}为等比数列，且公比q为有理数，则{a}为“回旋数列”
n n
C．设{a}为等差数列，当a＝1，公差d<0时，若{a}为“回旋数列”，则d＝－1
n 1 n
D．若{a}为“回旋数列”，则对任意n∈N ，总存在m∈N ，使得a＝S
n ＋ ＋ n m
题型三 数列新情景
例3 (1)九连环是中国最杰出的益智游戏．九连环由九个相互连接的环组成，这九个环套在
一个中空的长形柄中，九连环的玩法就是要将这九个环从柄上解下来，规则如下：如果要解
下(或安上)第n号环，则第(n－1)号环必须解下(或安上)，n－1往前的都要解下(或安上)才能
实现．记解下n连环所需的最少移动步数为 a ，已知a ＝1，a ＝2，a ＝a ＋2a ＋
n 1 2 n n－1 n－2
1(n≥3)，则解六连环最少需要移动圆环步数为( )
A．42 B．85 C．256 D．341
(2)(2021·新高考全国Ⅰ)某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对
称轴把纸对折．规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm，20
dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S ＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12
1
dm,10 dm×6 dm,20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S ＝180 dm2，以此类推，
2
则对折 4 次共可以得到不同规格图形的种数为__________；如果对折 n 次，那么 ＝
k
__________ dm2.
跟踪训练3 几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学
的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是20，接下来的两项是
20,21，再接下来的三项是20,21,22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N>55且该数列
的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是( )
A．95 B．105 C．115 D．125
1．(2023·河北统考)数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出
了一些新的高阶等差数列．其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列
2,4,7,11,16，从第二项起，每一项与前一项的差组成新数列2,3,4,5，新数列2,3,4,5为等差数
列，则称数列 2,4,7,11,16 为二阶等差数列．现有二阶等差数列{a}，其前七项分别为
n
2,2,3,5,8,12,17，则该数列的第20项为( )
A．173 B．171 C．155 D．151
2．(2023·佳木斯模拟)科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数
列”，其定义是：对于函数f(x)，若数列{x}满足x ＝x －，则称数列{x}为牛顿数列，若
n n＋1 n n
函数f(x)＝x2，数列{x}为牛顿数列且x＝2，a＝log x，则a 的值是( )
n 1 n 2 n 8
A．8 B．2 C．－6 D．－4
3．若三个非零且互不相等的实数x ，x ，x 成等差数列且满足＋＝，则称x ，x ，x 成一个
1 2 3 1 2 3
“β等差数列”．已知集合M＝{x||x|≤100，x∈Z}，则由M中的三个元素组成的所有数列中，
“β等差数列”的个数为( )
A．25 B．50 C．51 D．100
4．(2023·盐城模拟)将正整数n分解为两个正整数k ，k 的积，即n＝k·k ，当k ，k 两数差
1 2 1 2 1 2
的绝对值最小时，我们称其为最优分解．如20＝1×20＝2×10＝4×5，其中4×5即为20的
最优分解，当k ，k 是n的最优分解时，定义f(n)＝|k －k|，则数列{f(5n)}的前2 023项的和
1 2 1 2
为( )
A．51 012 B．51 012－1
C．52 023 D．52 023－1
5．(2023·郑州模拟)普林斯顿大学的康威教授发现了一类有趣的数列并命名为“外观数列”，
该数列的后一项由前一项的外观产生．以 1为首项的“外观数列”记作A ，其中A 为
1 1
1,11,21,1211,111221，…，即第一项为1，外观上看是1个1，因此第二项为11；第二项外观
上看是 2 个 1，因此第三项为 21；第三项外观上看是 1 个 2,1 个 1，因此第四项为
1211，…，按照相同的规则可得A 其他项，例如A 为3,13,1113,3113,132113，…，若A 的
1 3 i
第n项记作a ，A 的第n项记作b ，其中i，j∈[2,9]，若c ＝|a －b|，则{c}的前n项和为(
n j n n n n n
)
A．2n|i－j| B．n(i＋j)
C．n|i－j| D.|i－j|
6．(多选)在数列{a}中，若a－a＝p(n≥2，n∈N ，p为常数)，则{a}称为“等方差数列”，
n ＋ n下列对“等方差数列”的判断，其中正确的为( )
A．若{a}是等方差数列，则{a}是等差数列
n
B．若{a}是等方差数列，则{a}是等方差数列
n
C．{(－1)n}是等方差数列
D．若{a}是等方差数列，则{a }(k∈N ，k为常数)也是等方差数列
n kn ＋
7．(多选)(2023·浙江联考)“角谷猜想”是指一个正整数，如果是奇数就乘以3再加1，如果
是偶数就除以2，这样经过若干次这两种运算，最终必进入循环图1→4→2→1.对任意正整
数a，按照上述规则实施第n次运算的结果为a(n∈N)，下列说法正确的是( )
0 n
A．当a＝7时，则a ＝5
0 11
B．当a＝16时，数列{a}为递减数列
0 n
C．若a＝1，且a(i＝1,2,3,4)均不为1，则a＝5
5 i 0
D．当a＝10时，从a(i＝1,2,3,4,5,6)中任取两个数至少一个为奇数的概率为
0 i
8．(2023·宝鸡模拟)对给定的数列{a}(a≠0)，记b ＝，则称数列{b}为数列{a}的一阶商数
n n n n n
列；记c ＝，则称数列{c}为数列{a}的二阶商数列；依此类推，可得数列{a}的P阶商数
n n n n
列(P∈N )，已知数列{a}的二阶商数列的各项均为 e，且 a ＝1，a ＝1，则 a ＝
＋ n 1 2 10
__________.
9．(2023·潍坊模拟)若项数为n的数列{a}满足：a＝a (i＝1,2,3，…，n)，我们称其为n
n i n＋1－i
项的“对称数列”．例如：数列1,2,2,1为4项的“对称数列”；数列1,2,3,2,1为5项的“对
称数列”．设数列{c}为2k＋1项的“对称数列”，其中c ，c ，…，c 是公差为2的等差
n 1 2 k＋1
数列，数列{c}的最大项等于8，记数列{c}的前2k＋1项和为S ，若S ＝32，则k＝
n n 2k＋1 2k＋1
____________.
10．(2023·沈阳模拟)已知数列{a}，令b 为a ，a ，…，a 中的最大值(k＝1,2，…，n)，则
n k 1 2 k
称数列{b}为{a}的“控制数列”，{b}中不同数的个数称为“控制数列”{b}的“阶数”．
n n n n
例如：{a}为 1,3,5,4,2，则“控制数列”{b}为 1,3,5,5,5，其“阶数”为 3，若{a}由
n n n
1,2,3,4,5 任意顺序构成，则使“控制数列”{b}的“阶数”为 2 的所有{a}的个数为
n n
________．
