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§6.5 数列求和
课标要求 1.熟练掌握等差、等比数列的前 n项和公式.2.掌握非等差数列、非等比数列求
和的几种常用方法．
知识梳理
数列求和的几种常用方法
(1)公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
①等差数列的前n项和公式：
S＝____________＝____________.
n
②等比数列的前n项和公式：
S＝
n
(2)分组求和法与并项求和法
①分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，
分别求和后相加减．
②并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a ＝(－1)nf(n)类型，可
n
采用两项合并求解．
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列
的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
(4)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
常见的裂项技巧
①＝________________.
②＝________________.
③＝___________________________.
④＝________________.
⑤＝.
常用结论
常用求和公式
(1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝.(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.
(3)12＋22＋32＋…＋n2＝.
(4)13＋23＋33＋…＋n3＝2.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果数列{a}为等比数列，且公比q不等于1，则其前n项和S＝.( )
n n
(2)求数列{2n＋2n}的前n项和可用分组求和法．( )
(3)求S ＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan时，只要把上式等号两边同时乘a即可根据错位相减法求得．
n
( )
(4)当n≥2时，＝－.( )
2．数列{a}的前n项和为S.若a＝，则S 等于( )
n n n 5
A．1 B. C. D.
3．S＝＋＋＋…＋等于( )
n
A. B.
C. D.
4．数列{a}的前n项和为S，已知S＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S ＝________.
n n n 17
题型一 分组求和与并项求和
例1 (2023·重庆模拟)已知数列{a}的前n项和为S，a＝1，S ＝2S＋1(n∈N )．
n n 1 n＋1 n ＋
(1)求数列{a}的通项公式；
n
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
(2)设b＝aa ＋log (aa )(n∈N )，求数列{b}的前n项和T.
n n n＋1 2 n n＋1 ＋ n n
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
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跟踪训练1 数列{a}的前n项和S 满足S＝a －1，n∈N ，且a＝1.
n n n n＋1 ＋ 1
(1)求a；
n(2)设b＝(－1)n(a－1)，求数列{b}的前2n项和T .
n n n 2n
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________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
________________________________________________________________________
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题型二 错位相减法求和
例2 (12分)(2023·全国甲卷)记S 为数列{a}的前n项和，已知a＝1,2S＝na.
n n 2 n n
(1)求{a}的通项公式；[切入点：利用a＝S－S (n≥2)找出a 的递推关系]
n n n n－1 n
(2)求数列的前n项和T.[关键点：错位相减法求和]
n
[思路分析]
(1)由a＝S－S (n≥2)→a 与a 的递推关系→累乘法求a
n n n－1 n n－1 n
(2)求b→错位相减法求T
n n
思维升华 (1)分组求和法常见题型
①若数列{c}的通项公式为c ＝a±b ，且{a}，{b}为等差或等比数列，可采用分组求和法
n n n n n n
求数列{c}的前n项和．
n
②若数列{c}的通项公式为c ＝其中数列{a}，{b}是等比数列或等差数列，可采用分组求
n n n n
和法求{c}的前n项和．
n
(2)并项求和法常见题型
①数列{a}的通项公式为a＝(－1)nf(n)，求数列{a}的前n项和．
n n n
②数列{a}是周期数列或a＋a (k∈N )为定值，求数列{a}的前n项和．
n k k＋1 ＋ n
解 (1)因为2S＝na，
n n
当n＝1时，2a＝a，即a＝0；(1分)
1 1 1
当n＝3时，2(1＋a)＝3a，即a＝2，(2分)
3 3 3
(3分)
①处利用a＝S－S (n≥2)找a 与a 的递推关系
n n n－1 n n－1
则当n≥3时，
＝，则··…·＝
··…·，即＝n－1，
②处累乘法求a
n
因为a＝1，所以a＝n－1，(5分)
2 n当n＝1,2时都满足上式，所以a＝n－1，n∈N .(6分)
n ＋
(2)令b＝＝，(7分)
n
则T＝b＋b＋…＋b ＋b
n 1 2 n－1 n
＝＋＋…＋＋， ①(8分)
T＝＋＋…＋＋， ②(9分)
n
由①－②得T＝＋＋＋…＋－
n
＝－＝1－，(11分)
③处错位相减法求和
即T＝2－.(12分)
n
跟踪训练2 (2023·郑州质检)在数列{a}中，a ＝1，a ＝3，a ＝7，且数列{a －a}为等比
n 1 2 3 n＋1 n
数列．
(1)求数列{a}的通项公式；
n
(2)令b＝(2n－1)a，求{b}的前n项和S.
n n n n
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思维升华 (1)如果数列{a}是等差数列，{b}是等比数列，求数列{a·b}的前n项和时，常采
n n n n
用错位相减法．
(2)错位相减法求和时，应注意：
①在写出“S”与“qS”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确
n n
地写出“S－qS”的表达式．
n n
②应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式S＝na.
n 1
题型三 裂项相消法求和
例3 (2022·新高考全国Ⅰ)记S 为数列{a}的前n项和，已知a＝1，是公差为的等差数列．
n n 1
(1)求{a}的通项公式；
n
(2)证明：＋＋…＋<2.
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________________________________________________________________________跟踪训练3 (2024·海口模拟)已知等差数列{a}，其前n项和S 满足S＝n2＋m，m为常数．
n n n
(1)求m及{a}的通项公式；
n
(2)记b＝，求数列{b}的前n项和T.
n n n
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