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第六章 数列（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．等比数列 的前 项和 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若等比数列 的公比为 ，
因为 ，
则 ，矛盾，故
设等比数列 公比为 ，则 ，
即等比数列 的前 项和 要满足 ，
又因为 ，所以 .
故选：B
2．已知等差数列 中， 是函数 的一个极大值点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正弦函数性质知，当 ，即 时，函数 取得极大值，
则 ，由等差数列性质，得 ，
所以 .
故选：D3．正整数 的倒数的和 已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求
和公式，只是得到了它的近似公式，当 很大时， .其中 称为欧拉-马歇罗尼常数，
，至今为止都不确定 是有理数还是无理数.设 表示不超过 的最大整数，用上式
计算 的值为（ ）
（参考数据： ， ， ）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】C
【解析】设 ，则 ，
因为 ，
可知数列 为递增数列，
且 ，
，
可知 ，所以 .
故选：C.
4．在各项均为正数的等比数列 中，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由 得 ，即 ，
因为等比数列 各项均为正数，所以 ，
故选：D.
5．已知实数 构成公差为d的等差数列，若 ， ，则d的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由实数a，b，c构成公差为d的等差数列，所以设 ， ，
则 ，所以 ，构造函数 ， ，
当 时， ，所以此时 单调递减，
当 时， ，所以此时 单调递增，
所以 的最小值为 ，
当b趋近于 时， 趋近于 ，当b从负方向趋近于 时， 也趋近于 ，
所以 ，所以 ．
故选：A．
6．已知 ，则数列 的偶数项中最大项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】数列 中， ，则 ，
令 ，解得 ，则当 时， ，即 ，
同理当 时， ，即 ，而当 时， ，
所以数列 的偶数项中最大项为 .
故选：D
7．如图所示的一系列正方形图案称为“谢尔宾斯基地毯”，在4个大正方形中，着色的小正方形的个数依
次构成一个数列 的前4项. 记 ，则下列结论正确的为（ ）
A． B．
C． D． 与 的大小关系不能确定
【答案】C
【解析】由图分析可知 ， ，
，，
依次类推， ，
所以
.
故选： .
8．给定函数 ，若数列 满足 ，则称数列 为函数 的牛顿数列.已知 为
的牛顿数列， ，且 ，数列 的前 项和为 ．则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由 可得 ， ，
，则两边取对数可得 .
即 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.
所以 .
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．设等差数列 的前n项和为 ，e是自然对数的底数，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， ， ， 是等差数列
B．数列 是等比数列C．数列 是等差数列
D．当p，q均为正整数且 时，
【答案】BCD
【解析】对于A，令 ，则 ， ，
当 时， ，即 ，
所以 ， ， 不是等差数列，故A错误；
对于B，设 的公差为d，则 （定值），
所以 是公比为 的等比数列，故B正确；
对于C， ，故 是公差为 的等差数列，故C正确；
对于D， ，
，
所以 ，故D正确．
故选：BCD．
10．记数列 的前 项和为 为常数.下列选项正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．存在常数A、B，使数列 是等比数列 D．对任意常数A、B，数列 都是等差数列
【答案】ABC
【解析】对于A，若 ，则 ，A正确；
对于B，若 ，则 ，B正确；
对于C，由 得 ，
当 时， ，所以，当 时，数列 是公比为1的等比数列，C正确；
对于D，由上知，当 时 ，若 ，则 ，
此时，数列 不是等差数列，D错误.
故选：ABC
11．设等比数列 前 项积为 ，公比为 ．若 ， ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．
C．当 时， 取最大值 D．使 成立的最大自然数 是4046
【答案】ACD
【解析】A选项， ， ，故 或 ，
当 时，由 可知 ，
所以 ，但 ，互相矛盾，舍去，
当 时，又 ，所以 ，
故 满足要求，A正确；
B选项， ，B错误；
C选项，因为 ， ，
故当 时， 取最大值，C正确；
D选项，由于 ，故当 时，
，
，
，
使 成立的最大自然数 是4046，D正确.
故选：ACD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知在递增的等比数列 中， ， ，则数列 的通项公式为 ．【答案】
【解析】设等比数列 的公比为q，因为 ，所以 ，解得 ，
又 ，所以有 ，
由 是递增的等比数列，解得 ，
所以 ， 即有 .
故答案为： .
13．设数列 的通项公式为 ，该数列中个位数字为0的项按从小到大的顺序排列构成数
列 ，则 被7除所得的余数是 .
【答案】
【解析】因为 ，所以当 的个位数字为 时，
的个位数为 ，则在数列 中，每连续10项中就有6项的个位数字为0，
而 ，由此推断数列 中的第2017项相当于数列 中的第3361项，
即 ，而 ，所以 除以7余数为1，
而 ， ，所以 除以7余数也为1，
而它们的差 一定能被7整除，所以 被7除所得余数为0.
故答案为：0.
14．已知数表 ， ，
，其中 分别表示 ， ， 中第
行第 列的数．若 ，则称 是 ， 的生成数表．若数表， ，且 是 的生成数表，则 ．
【答案】
【解析】由题意，得 ，
，
，
，
.
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知数列 为公差不为零的等差数列，其前n项和为 ， ，且 ， ， 成等比数列．
(1)求 的通项公式；
(2)若数列 是公比为3的等比数列，且 ，求 的前n项和 ．
【解析】（1）因为 为等差数列，设公差为d，
由 ，得 ， 即 ，
由 ， ， 成等比数列得 ， ， （3分）
化简 得 ，因为 ，所以 ．
所以 ．
综上 ． （6分）
（2）由 知 ， ，
又 为公比是3的等比数列， ，
所以 ，即 ，所以 ， ， （10分）
所以
.
综上 . （13分）
16．（15分）
已知数列 的首项 ，且满足 （ ）．
(1)求证：数列 为等比数列；
(2)记 ，求数列 的前 项和 ，并证明 ．
【解析】（1）由 得 ，
又 ，所以 是首项为2，公比为2的等比数列． （6分）
（2）由（1）知， ，所以
所以 ， （10分）
当 时， 单调递增，故 ． （15分）
17．（15分）
已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 .试求:
(1)数列 的通项公式;
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，当 时，求满足条件的最小整数 .
【解析】（1）因为 ，
当 时， ，
当 时， ， （3分）因为 ，
两式相减得， ，
因为 ，所以 ， （6分）
所以 ， 均为等差数列， ， ．
所以 ； （7分）
（2）由题意得， ，
所以 ， （10分）
因为 ，
所以 ，
解得 ．所以满足条件的最小整数 为9． （15分）
18．（17分）
已知 是等差数列，公差 ， ，且 是 与 的等比中项.
(1)求 的通项公式
(2)数列 满足 ，且 .
（ⅰ）求 的前n项和 .
（ⅱ）是否存在正整数m，n（ ），使得 ， ， 成等差数列，若存在，求出m，n的值；
若不存在，请说明理由.
【解析】（1）因为 为等差数列，且 ，所以 ．
又 是 与 的等比中项，所以 ，即 ．
化简得 ，解得 或 （舍），
所以 ． （5分）
（2）（i）由 ，得 ，所以 （ ），又 ，
当 时，
，又 也适合上式，所以 ，
则 ，
所以 ． （9分）
（ⅱ）假设存在正整数m，n，使得 ， ， 成等差数列，
则 ，即 ，整理得 ，
显然 是25的正约数，又 ，则 或 ，
当 ，即 时， 与 矛盾；
当 ，即 时， ，符合题意，
所以存在正整数使得 ， ， 成等差数列，此时 ， ． （17分）
19．（17分）
如果n项有穷数列 满足 ， ，…， ，即 ，则称有穷数列
为“对称数列”.
(1)设数列 是项数为7的“对称数列”，其中 成等差数列，且 ，依次写出数
列 的每一项；
(2)设数列 是项数为 ( 且 )的“对称数列”，且满足 ，记 为数列
的前 项和.
①若 ， ，…， 构成单调递增数列，且 .当 为何值时， 取得最大值?
②若 ，且 ，求 的最小值.
【解析】（1）因为数列 是项数为7的“对称数列”，所以 ，
又因为 成等差数列，其公差 ，…
所以数列 的7项依次为1，3，5，7，5，3，1； （5分）
（2）①由 ， ，…， 是单调递增数列，数列 是项数为 的“对称数列”且满足
，
可知 ， ，…， 构成公差为2的等差数列， ， ，…， 构成公差为 的等差数列，
故
，所以当 时， 取得最大值； （9分）
②因为 即 ，
所以 即 ，
于是 ，
因为数列 是“对称数列”，
所以
，
因为 ，故 ，
解得 或 ，所以 ，
当 ， ，…， 构成公差为 的等差数列时，满足 ，
且 ，此时 ，所以 的最小值为2025. （17分）
