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§6.2 等差数列
课标要求 1.理解等差数列的概念和通项公式的意义.2.探索并掌握等差数列的前n项和公
式，理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体问题情境中，发现数列的等
差关系，并解决相应的问题.4.体会等差数列与一元函数的关系．
知识梳理
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果数列{a}从第2 项起，每一项与它的前一项之差都等于 同一个常数 d ，即a
n n＋1
－ a ＝ d 恒成立，则称{a}为等差数列，其中d称为等差数列的公差．
n n
(2)等差中项
如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，且有A＝.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：a＝a ＋ ( n － 1 ) d.
n 1
(2)前n项和公式：S＝na＋d或S＝.
n 1 n
3．等差数列的常用性质
(1)若{a}为等差数列，且p＋q＝s＋t，则a ＋ a ＝ a ＋ a(p，q，s，t∈N )．
n p q s t ＋
(2)等差数列{a}的单调性
n
当d>0时，{a}是递增数列；
n
当d<0时，{a}是递减数列；
n
当d＝0时，{a}是常数列．
n
4．等差数列前n项和的常用性质
(1)当d≠0时，等差数列{a}的前n项和S＝n2＋n是关于n的二次函数．
n n
(2)在等差数列{a}中，若a>0，d<0，则S 存在最大值；若a<0，d>0，则S 存在最小值．
n 1 n 1 n
常用结论
1．等差数列通项公式的推广：a＝a ＋(n－m)d(m，n∈N )．
n m ＋
2．已知数列{a}的通项公式是a ＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a}一定是等差数列，
n n n
且公差为p.
3．数列{a}是等差数列⇔S＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.
n n
4．若{a}，{b}均为等差数列且其前n项和为S，T，则＝.
n n n n
5．若等差数列{a}的项数为偶数2n，则
n
(1)S ＝n(a＋a )＝…＝n(a＋a )；
2n 1 2n n n＋1(2)S －S ＝nd，＝.
偶 奇
6．若等差数列{a}的项数为奇数2n＋1，则
n
(1)S ＝(2n＋1)a ；
2n＋1 n＋1
(2)＝.
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．
( × )
(2)等差数列{a}中，a ＝a＋a.( × )
n 10 1 9
(3)若等差数列{a}的前n项和为S，则S，S ，S 也成等差数列．( × )
n n 6 12 18
(4)若{a}是等差数列，则对任意n∈N 都有2a ＝a＋a .( √ )
n ＋ n＋1 n n＋2
2．已知在等差数列{a}中，a＋a＝20，a＝12，则a 等于( )
n 4 8 7 4
A．－2 B．4 C．6 D．8
答案 C
解析 设等差数列{a}的公差为d，
n
则解得
∴a＝a＋3d＝6.
4 1
3．若一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范
围是( )
A．d> B．d<
C.0，
则－＝－＝d，得a＝d2，
1
所以＝＋(n－1)d＝nd，
所以S＝n2d2，
n
所以a ＝S －S ＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)是关于n的一次函数，且a ＝d2满足上式，
n n n－1 1
所以数列{a}是等差数列．
n
思维升华 判断数列{a}是等差数列的常用方法
n
(1)定义法：对于数列{a}，a－a (n≥2，n∈N )为同一常数⇔{a}是等差数列；
n n n－1 ＋ n
(2)等差中项法：对于数列{a},2a ＝a＋a (n≥3，n∈N )成立⇔{a}是等差数列；
n n－1 n n－2 ＋ n
(3)通项公式法：a＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立⇔{a}是等差数列；
n n
(4)前n项和公式法：验证S ＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正整数n都成立⇔{a}是等差
n n
数列．
跟踪训练2 (2021·全国乙卷)记S 为数列{a}的前n项和，b 为数列{S}的前n项积，已知＋
n n n n
＝2.
(1)证明：数列{b}是等差数列；
n
(2)求{a}的通项公式．
n
(1)证明 因为b 是数列{S}的前n项积，
n n
所以n≥2时，S＝，
n代入＋＝2可得，＋＝2，
整理可得2b ＋1＝2b，即b－b ＝(n≥2)．
n－1 n n n－1
又＋＝＝2，所以b＝，
1
故{b}是以为首项，为公差的等差数列．
n
(2)解 由(1)可知，b＝，则＋＝2，所以S＝，
n n
当n＝1时，a＝S＝，
1 1
当n≥2时，a＝S－S ＝－＝－.
n n n－1
又a＝不满足此式，
1
故a＝
n
题型三 等差数列的性质
命题点1 项的性质
例3 (1)(2024·郑州模拟)已知等差数列{a}的前n项和为S ，若a ＝2，S ＝S ，则S 等于(
n n 1 3 21 23
)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ∵S＝S ，
3 21
∴S －S＝a＋a＋…＋a ＝9(a＋a )＝0，
21 3 4 5 21 4 21
∴a＋a ＝0，
4 21
∴S ＝a＋a＋a＋(a＋a＋…a )＋a ＋a
23 1 2 3 4 5 21 22 23
＝a＋a＋a＋a ＋a ＝a＋2(a＋a )
1 2 3 22 23 1 4 21
＝a＝2.
1
(2)(多选)(2023·郑州模拟)若数列{a}为等差数列，S 为其前n项和，SS ，
n n 5 6 6 7 7 8
则下列说法正确的有( )
A．公差d<0
B．S >0
12
C．S>S
9 5
D．使S<0的最小正整数n为14
n
答案 ABD
解析 由题意得，S0；
5 6 6 5 6
S＝S，则S－S＝a＝0；
6 7 7 6 7
S>S，则S－S＝a<0.
7 8 8 7 8
由a>a，得d<0，故A正确；
6 7
S ＝＝6(a＋a)＝6a>0，故B正确；
12 6 7 6
S－S＝a＋a＋a＋a＝2(a＋a)＝2a<0，故S0，a＝0，所以当n≤5，n∈N 时，a>0，
n 1 6 ＋ n
故S 的最大值为S＝S＝＝＝30.
n 5 6
(2)设S 是等差数列{a}的前n项和，若＝，则等于( )
n n
A. B. C. D.
答案 A解析 由等差数列的性质可知S，S－S，S－S，S －S 成等差数列，
3 6 3 9 6 12 9
∵＝，
即S＝3S，(S－S)－S＝S，
6 3 6 3 3 3
∴S－S＝3S，S －S＝4S，
9 6 3 12 9 3
∴S＝6S，S ＝10S，
9 3 12 3
∴＝＝.
课时精练
一、单项选择题
1．已知{a}为等差数列，其前n项和为S，若a＝1，a＝5，S＝64，则n等于( )
n n 1 3 n
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 C
解析 因为d＝＝2，S＝na＋d＝n＋n(n－1)＝64，解得n＝8(负值舍去)．
n 1
2．已知数列{a}是等差数列，若a－a＋a ＝7，则a＋a 等于( )
n 1 9 17 3 15
A．7 B．14 C．21 D．7(n－1)
答案 B
解析 因为a－a＋a ＝(a＋a )－a＝2a－a＝a＝7，
1 9 17 1 17 9 9 9 9
所以a＋a ＝2a＝2×7＝14.
3 15 9
3．在等差数列{a}中，a＝29，S ＝S ，则数列{a}的前n项和S 的最大值为( )
n 1 10 20 n n
A．S B．S
15 16
C．S 或S D．S
15 16 17
答案 A
解析 ∵a＝29，S ＝S ，
1 10 20
∴10a＋d＝20a＋d，解得d＝－2，
1 1
∴S＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225，
n
∴当n＝15时，S 取得最大值．
n
4．(2023·鹰潭统考)公差不为0的等差数列{a}满足a＋a＝a＋a，S 为数列{a}的前n项和，
n n n
则下列各选项正确的是( )
A．a＝0 B．a＝0
4 5
C．S＝0 D．S＝0
8 9
答案 C
解析 依题意，(a－a)＋(a－a)＝0，即2d(a＋a)＋2d(a＋a)＝0，
6 4 5 3
∵d≠0，
∴a＋a＋a＋a＝0，
6 4 5 3
∴a＋a＝0，即S＝0.
5 4 8
5．(2023·河南统考)已知等差数列{a}的公差为 d，前n项和为S ，则“d>0”是“S －
n n 3n
S >S －S”的( )
2n 2n n
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 C
解析 (S －S )－(S －S)
3n 2n 2n n
＝(a ＋a ＋…＋a )－(a ＋a ＋…＋a )
2n＋1 2n＋2 3n n＋1 n＋2 2n
＝(a －a )＋(a －a )＋…＋(a －a )
2n＋1 n＋1 2n＋2 n＋2 3n 2n
＝n2d，
因为n2>0，
若d>0，则S －S >S －S，
3n 2n 2n n
若S －S >S －S，则n2d>0，即d>0，
3n 2n 2n n
故“d>0”是“S －S >S －S”的充要条件．
3n 2n 2n n
6．(2023·青岛模拟)已知等差数列{a}，a ＋m＝a ＋n(n≠m，n，m∈N )，数列{b}满足b
n n m ＋ n n
＝a ＋a ，则b －b 等于( )
2n＋1 2n－1 2 024 2 023
A．1 B．2 C．4 D．8
答案 C
解析 ∵b＝a ＋a ，
n 2n＋1 2n－1
∴b ＝a ＋a ，b ＝a ＋a ，
2 024 4 049 4 047 2 023 4 047 4 045
∴b －b ＝(a ＋a )－(a ＋a )＝a －a .
2 024 2 023 4 049 4 047 4 047 4 045 4 049 4 045
又a＋m＝a ＋n，
n m
∴a－a ＝n－m，
n m
∴b －b ＝a －a ＝4 049－4 045＝4.
2 024 2 023 4 049 4 045
二、多项选择题
7．已知等差数列{a}的前n项和为S(n∈N )，若a>0，S＝S ，则( )
n n ＋ 1 4 12
A．公差d<0
B．a＋a<0
7 9
C．S 的最大值为S
n 8
D．满足S<0的n的最小值为16
n答案 AC
解析 因为a>0，S＝S ，
1 4 12
则＝，
即a＋a＝3(a＋a )，
1 4 1 12
则d＝－a<0，故A正确；
1
a＋a＝2a＋14d＝－d>0，故B错误；
7 9 1
由a＋a>0，得a>0，a＝a＋8d＝d<0，
7 9 8 9 1
因为d<0，a>0，
1
所以数列{a}是递减数列，且当n≤8时，a>0，当n≥9时，a<0，
n n n
所以S 的最大值为S，故C正确；
n 8
S＝n2＋n＝－n2＋n，
n
令S<0，解得n>16，
n
所以满足S<0的n的最小值为17，故D错误．
n
8．(2024·南通统考)在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽
马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初
日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．则( )
A．驽马第七日行九十四里
B．第七日良马先至齐
C．第八日二马相逢
D．二马相逢时良马行一千三百九十五里
答案 AD
解析 由题意可知，两马日行里数分别成等差数列，记数列{a}为良马的日行里数，其中首
n
项a＝103，公差d＝13，所以数列{a}的通项公式为a＝13n＋90，n∈N ，
1 1 n n ＋
记数列{b}为驽马的日行里数，其中首项b ＝97，公差d ＝－0.5，所以数列{b}的通项公式
n 1 2 n
为b＝－0.5n＋97.5，n∈N ，
n ＋
因此，驽马第七日行里数为b＝－0.5×7＋97.5＝94，即驽马第七日行九十四里，故A正确；
7
第七日良马行走总里程为S ＝103×7＋×13＝994，而齐去长安一千一百二十五里，因为
7
994<1 125，所以第七日良马未至齐，故B错误；
设第m日两马相逢，由题意可知两马行走的总里数是齐去长安距离的两倍，即 103m＋×13
＋97m－×0.5＝2×1 125，解得m＝9或m＝－40(舍)，即第九日二马相逢，故C错误；
由C可知，第九日二马相逢，此时良马共行走了S＝103×9＋×13＝1 395，所以二马相逢时
9
良马行一千三百九十五里，故D正确．
三、填空题
9．若一个等差数列{a}满足：①每项均为正整数；②首项与公差的积大于该数列的第二项
n且小于第三项．写出一个满足条件的数列的通项公式a＝________.
n
答案 2n＋1(答案不唯一)
解析 设{a}的公差为d，
n
由题意得a1.令b ＝，记S ，T 分别为数列
n n n n
{a}，{b}的前n项和．
n n
(1)若3a＝3a＋a，S＋T＝21，求{a}的通项公式；
2 1 3 3 3 n
(2)若{b}为等差数列，且S －T ＝99，求d.
n 99 99
解 (1)∵3a＝3a＋a，
2 1 3
∴3d＝a＋2d，解得a＝d，
1 1
∴S＝3a＝3(a＋d)＝6d，
3 2 1
a＝a＋(n－1)d＝nd，
n 1
又T＝b＋b＋b＝＋＋＝，
3 1 2 3
∴S＋T＝6d＋＝21，
3 3
即2d2－7d＋3＝0，
解得d＝3或d＝(舍去)，
∴a＝nd＝3n.
n
(2)∵{b}为等差数列，
n
∴2b＝b＋b，
2 1 3即＝＋，
∴6＝＝，
即a－3ad＋2d2＝0，
1
解得a＝d或a＝2d，
1 1
∵d>1，∴a>0，
n
又S －T ＝99，
99 99
由等差数列的性质知，
99a －99b ＝99，
50 50
即a －b ＝1，
50 50
∴a －＝1，
50
即a－a －2 550＝0，
50
解得a ＝51或a ＝－50(舍去)．
50 50
当a＝2d时，a ＝a＋49d＝51d＝51，
1 50 1
解得d＝1，与d>1矛盾，无解；
当a＝d时，a ＝a＋49d＝50d＝51，
1 50 1
解得d＝.
综上，d＝.
15．(2023·全国乙卷)已知等差数列{a}的公差为，集合S＝{cos a|n∈N }，若S＝{a，b}，
n n ＋
则ab等于( )
A．－1 B．－ C．0 D.
答案 B
解析 方法一 由题意得a＝a＋(n－1)，
n 1
cos a ＝cos
n＋3
＝cos
＝cos
＝cos
＝cos a，
n
所以数列{cos a}是以3为周期的周期数列，
n
又cos a＝cos
2
＝－cos a－sin a，
1 1
cos a＝cos
3
＝－cos a＋sin a，
1 1因为集合S中只有两个元素，
所以有三种情况：cos a＝cos a≠cos a，
1 2 3
cos a＝cos a≠cos a，
1 3 2
cos a＝cos a≠cos a.
2 3 1
下面逐一讨论：
①当cos a＝cos a≠cos a 时，
1 2 3
有cos a＝－cos a－sin a，
1 1 1
得tan a＝－，
1
所以ab＝cos a
1
＝－cos2a＋sin acos a
1 1 1
＝
＝
＝＝－.
②当cos a＝cos a≠cos a 时，
1 3 2
有cos a＝－cos a＋sin a，
1 1 1
得tan a＝，
1
所以ab＝cos a
1
＝－cos2a－sin acos a
1 1 1
＝
＝
＝＝－.
③当cos a＝cos a≠cos a 时，
2 3 1
有－cos a－sin a＝－cos a＋sin a，
1 1 1 1
得sin a＝0，
1
所以ab＝cos a
1
＝－cos2a
1
＝－(1－sin2a)＝－.
1
综上，ab＝－.
方法二 取a＝－，
1
则cos a＝，
1
cos a＝cos＝，
2
cos a＝cos＝－1，
3
所以S＝，ab＝－.16．(2023·北京模拟)已知项数为k(k∈N )的等差数列{a}满足a ＝1，a ≤a(n＝2,3，…，
＋ n 1 n－1 n
k)．若a＋a＋…＋a＝8，则k的最大值是( )
1 2 k
A．14 B．15 C．16 D．17
答案 B
解析 由a＝1，a ≤a(n＝2,3，…，k)，
1 n－1 n
得1＋(n－2)d≤4[1＋(n－1)d]，
即3＋(3n－2)d≥0，
当n＝2,3，…，k时，恒有3＋(3n－2)d≥0，
即d≥－，所以d≥－，
由a＋a＋…＋a＝8，得8＝＝，
1 2 k
所以16＝2k＋k(k－1)d≥2k＋k(k－1)·，
因为k∈N ，k≥2，
＋
整理得3k2－49k＋32≤0，所以k≤15.
所以k的最大值是15.
