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第六章 数列（测试）
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知正项等比数列 ，若 ，则 （ ）
A．16 B．32 C．48 D．64
【答案】B
【解析】根据等比中项， ，
又 是正项数列，故 （负值舍去）
设等比数列 的公比为 ，由 ，
即 ，解得 （正项等比数列公比不可是负数，负值舍去），
故
故选：B
2．（2023·江苏南通·统考模拟预测）现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和
为0.5升，最大的三只茶壶容积之和为2.5升，则从小到大第5只茶壶的容积为（ ）
A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升
【答案】B
【解析】设九只茶壶按容积从小到大依次记为 ，
由题意可得 ，
所以 ，
故选：B
3．（2023·河南郑州·统考模拟预测）在等差数列 中，已知 ，且 ，则当 取最大值时，
（ ）
A．10 B．11 C．12或13 D．13
【答案】C
【解析】因为在等差数列 中，
所以
，
所以 ，又因为 ，
所以可知等差数列为递减数列，且前12项为正，第13项以后均为负，
所以当 取最大值时， 或13．
故选：C．
4．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）已知数列 中， ， ，则数列
前 项的和 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意 ， ，
则 ，两式相减得到 ，又 ，
所以数列的奇数项都等于 ，偶数项都等于 ，
所以 ，
故选：B．
5．（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知数列{ }满足： 则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意， ，即 ，又 ，
故 是以1为首项，2为公比的等比数列，
故 ，故 .
故选：B
6．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知数列 的通项 ，如果把数列 的奇数
项都去掉，余下的项依次排列构成新数列为 ，再把数列 的奇数项又去掉，余下的项依次排列构成
新数列为 ，如此继续下去，……，那么得到的数列（含原已知数列）的第一项按先后顺序排列，构成
的数列记为 ，则数列 前10项的和为（ ）
A．1013 B．1023 C．2036 D．2050
【答案】C
【解析】根据题意，如此继续下去，……，则得到的数列的第一项分别为数列 的第
即得到的数列 的第 项为数列 的第 项，因为 ，可得 ，
所以 .
故选：C.
7．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知 若数列 的前 项和为
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】易知
．
故选：D．
8．（2024·江西·校联考模拟预测）已知各项均为正数的数列 满足 ，且数列
的前 项积为 ，则下列结论错误的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．存在 及正整数 ，使得
D．若 为等比数列，则
【答案】C
【解析】对于A，若 ，则 ，
所以 ，故A正确；
对于B，若 ，则 ，所以 ，
两式相除得 ，所以 ，故B正确；对于C，因为 ，所以 ，所以 ，
又因为数列 各项均为正数，所以 ，即 ，
故不存在 及正整数 ，使得 ，故C错误；
对于D，若 为等比数列，设其公比为 ，
则 ，所以 ，则 ，故D正确.
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模）已知 为等差数列，前 项和为 ， ，公差d =
−2 ，则（ ）
A． =
B．当n = 6或7时， 取得最小值
C．数列 的前10项和为50
D．当n≤2023时， 与数列 （m N）共有671项互为相反数．
【答案】AC
【解析】对于A，等差数列 中， ，公差 ，则 ，
，故A正确；
对于B，由A的结论， ，则 ，由d = −2当 时， ， ，当 时， ，
则当 或6时， 取得最大值，且其最大值为 ，B错误；
对于C,
,故C正确，
对于D，由 ，则 ，
则数列 中与数列 中的项互为相反数的项依次为： ， ， ， ， ，
可以组成以 为首项， 为公差的等差数列，设该数列为 ，则 ，
若 ，解可得 ，即两个数列共有670项互为相反数，D错误．
故选：AC．
10．（2023·重庆·统考三模）对于数列 ，若 ， ，则下列说法正确的是（ ）A． B．数列 是等差数列
C．数列 是等差数列 D．
【答案】ACD
【解析】由 ， ，
得 ， ，
，所以A选项正确；
又 ， ，
两式相减得 ，
令 ，可得 ，
所以 不是等差数列， 是等差数列，
故B选项错误，C正确；
同理，令 ，则 ，
所以 是以 为首项，公差为2的等差数列，
所以 ，故D正确.
故选：ACD
11．（2023·黑龙江哈尔滨·哈九中校考模拟预测）刚考入大学的小明准备向银行贷款 元购买一台笔记本
电脑，然后上学的时候通过勤工俭学来分期还款.小明与银行约定：每个月还一次款，分 次还清所有的欠
款，且每个月还款的钱数都相等，贷款的月利率为 ，设小明每个月所要还款的钱数为 元，则下列说法
正确的是（ ）
A．小明选择的还款方式为“等额本金还款法” B．小明选择的还款方式为“等额本息还款法
C．小明第一个月还款的现值为 元 D．
【答案】BCD
【解析】AB选项，由于每个月还款的钱数都相等，故小明选择的还款方式为“等额本息还款法，A错误，
B正确；
C选项，设小明第一个月还款的现值为 ，则 ，解得 ，故C正确；
D选项，根据等额本息还款法可得，第一个月末所欠银行贷款为 ，
第二个月末所欠银行贷款为 ，
第三个月末所欠银行贷款为 ，
……第12个月末所欠银行贷款为
，
由于分 次还清所有的欠款，故 ，
解得 ，D正确.
故选：BCD
12．（2023·江苏南京·南京市第一中学校考模拟预测）在一次《数列》的公开课时，有位教师引导学生构
造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照此方法不断构造
出新的数列.下面我们将数列1，2进行构造，第1次得到数列 ；第2次得到数列 ；第 次
得到数列 记 ，数列 的前 项为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时
第2次得到数列1,4,3,5,2，此时
第3次得到数列1, 5,4,7,3,8,5,7,2，此时
第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时
第 次得到数列1， ，2 此时 ，故A项正确；
结合A项中列出的数列可得：
用等比数列求和可得
则又
所以 ，则 ，故B项错误；
由B项分析可知 ，故C项正确.
，故D项错误.
故选：AC.
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2022·四川绵阳·盐亭中学校考模拟预测）已知等比数列 满足： ，则
.
【答案】5
【解析】因为等比数列的性质可得 ,即得
可得 .
故答案为: 5.
14．（2023·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模）若数列 中， ， ，且 （
），记数列 的前n项积为 ，则 的值为 ．
【答案】
【解析】因为 ， ，且 ，所以 ，
则 ， ， ， ， ， ，
发现数列 是以6为周期的数列，且前6项积为1，
则 ， ，所以 .
故答案为： .
15．（2022·北京朝阳·校考模拟预测）将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数填入如图所示 的正方
形网格中，每个数填一次，每个小方格中填一个数．考虑每行从左到右，每列从上到下，两条对角线从上
到下这8个数列，给出下列四个结论：
①这8个数列有可能均为等差数列；
②这8个数列中最多有3个等比数列；
③若中间一行、中间一列、两条对角线均为等差数列，则中心数必为5；
④若第一行、第一列均为等比数列，则其余6个数列中至多有1个等差数列．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【解析】①如图将1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数依次填入网格中，
则这8个数列均为等差数列，故①正确；
1 2 3
4 5 6
7 8 9
②1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数中，
等比数列有：1，2，4；1，3，9；2，4，8和4，6，9，
因为1，2，4和2，4，8这两个等比数列在网格中不可能在同一行、同一列或对角线上，
所以这8个数列中最多有3个等比数列，如图，故②正确；
1 2 4
3 6 5
9 7 8
③若三个数 成等差数列，则 ，
根据题意要有4组数成等差数列，且中间的数 相同，则只能是 ，
因为 ，
所以中间一行、中间一列、两条对角线四组数分别为1，5，9；2，5，8；3，5，7；4，5，6时满足条件，如图，故③正确；
3 2 4
1 5 9
6 8 7
④若第一行为1，2，4，第一列为1，3，9，满足第一行，第一列均为等比数列，
当第二行为3，5，7，第二列为2，5，8时，第二行和第二列均为等差数列，
此时有2个等差数列，如图，故④错误；
1 2 4
3 5 7
9 8 6
故答案为：①②③
16．（2023·陕西延安·校考一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ，若 ，则正整
数 的最小值是 ．
【答案】6
【解析】当 时， ；
当 时， ①， ②， ①-②整理得 ，
．又 ，
是以3为首项，3为公比的等比数列，
，
令 ， ,
解得 ，
正整数 的最小值是6．
故答案为：6
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2023·内蒙古通辽·校考模拟预测）已知等差数列 的前 项和为 ，公差 为整数， ，且 ，
， 成等比数列.
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 .
【解析】（1）因为 ，所以 ，又因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
即 ，所以 ，
联立 解得 ，
所以 .
（2）由（1）可得 ，
所以 .
18．（12分）
（2023·陕西延安·校考一模）已知数列 满足 ，且 ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)数列 满足 ，
若 ，求 的值．
【解析】（1）∵ ，
∴ ，所以 ，
∴ 的奇数项与偶数项各自成等差数列且公差均为2．
∵ ，则 ，
∴对 , ，
所以n为奇数时， ，
对 , ，
所以n为偶数时， ，
综上可知， ， ．
（2）由（1）得 ，
∴ ，
解得 ．
19．（12分）
（2023·浙江·统考二模）如图，已知 的面积为1，点D，E，F分别为线段 ， ， 的中点，记 的面积为 ；点G，H，I分别为线段 ， ， 的中点，记 的面积为 ；…；以此类
推，第n次取中点后，得到的三角形面积记为 ．
(1)求 ， ，并求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）由题意可知 , ，...，
由此可知 ，故 是以公比为 的等比数列，所以 .
（2）由 得 ， ，
当 为偶数时，
，
当 为奇数时， ，
故 .
20．（12分）
（2023·全国·模拟预测）已知正项数列 满足 ， .
(1)求证：数列 为等差数列；
(2)设 ，求数列 的前n项和 .
【解析】（1）由题可得 ，
所以当 时，
，易知 满足 ，所以 .
所以 ，
所以 是首项为1，公差为1的等差数列.
（2）由（1）可得 ，
所以
.
所以 .
21．（12分）
（2023·河南·襄城高中校联考三模）在等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列．
(1)求 的通项公式；
(2)设 ，数列 的前n项和为 ，求满足 的k的值．
【解析】（1）设 的公比为q，由 ，得 ，解得 ，
由 ， ， 成等差数列，得 ，即 ，解得 ，
所以数列 的通项公式是 ．
（2）由（1）知， ， ，
当k为偶数时， ，令 ，得 ；
当k为奇数时， ，令 ，得 ，
所以 或37.
22．（12分）
（2023·天津武清·天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）已知数列 是等比数列，其前 项和为 ，
数列 是等差数列，满足 ， ，
(1)求数列 和 的通项公式；
(2)记 ，求 ；(3)证明： ．
【解析】（1）由题意设等比数列 的公比为 ， 等差数列 的公差为 ，
所以 ①， ②，
又因为 是数列 的前 项和，
所以由 可得 即 ③，
由①②③联立解得 ， ， ， ，
所以 ， ，
（2）由（1）得 ，
所以
，
令 ④，
则 ⑤，
④ ⑤得 ，
所以 ，
令 ，
所以 .
（3）由（1）可得 ，
因为 ，
所以 ，
即 .
