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§6.2 等差数列
考试要求 1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体
的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次
函数、二次函数的关系．
知识梳理
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那
么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示，
定义表达式为 ．
(2)等差中项
由三个数a，A，b组成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有2A＝ .
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：a＝ .
n
(2)前n项和公式：S＝ 或S＝ .
n n
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a＝a ＋ (n，m∈N*)．
n m
(2)若{a}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 .
n
(3)若{a}是等差数列，公差为d，则a，a ，a ，…(k，m∈N*)是公差为 的等差
n k k＋m k＋2m
数列．
(4)数列S ，S －S ，S －S ，…也是等差数列．
m 2m m 3m 2m
(5)S ＝(2n－1)a.
2n－1 n
(6)等差数列{a}的前n项和为S，为等差数列．
n n
常用结论
1．已知数列{a}的通项公式是a ＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{a}一定是等差数列，
n n n
且公差为p.
2．在等差数列{a}中，a＞0，d＜0，则S 存在最大值；若a＜0，d＞0，则S 存在最小值．
n 1 n 1 n
3．等差数列{a}的单调性：当d＞0时，{a}是递增数列；当d＜0时，{a}是递减数列；当
n n n
d＝0时，{a}是常数列．
n
4．数列{a}是等差数列⇔S＝An2＋Bn(A，B为常数)．这里公差d＝2A.
n n
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．
( )
(2)数列{a}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2a ＝a＋a .( )
n n＋1 n n＋2
(3)在等差数列{a}中，若a ＋a＝a＋a，则m＋n＝p＋q.( )
n m n p q
(4)若无穷等差数列{a}的公差d>0，则其前n项和S 不存在最大值．( )
n n
教材改编题
1．在等差数列{a}中，已知a＝11，a＝5，则a 等于( )
n 5 8 10
A．－2 B．－1 C．1 D．2
2．设等差数列{a}的前n项和为S，若S＝8，S＝20，则a＋a ＋a ＋a 等于( )
n n 4 8 9 10 11 12
A．12 B．8 C．20 D．16
3．设等差数列{a}的前n项和为S.若a＝10，S＝28，则S 的最大值为________．
n n 1 4 n
题型一 等差数列基本量的运算
例1 (1)(2023·开封模拟)已知公差为1的等差数列{a}中，a＝aa ，若该数列的前n项和S
n 3 6 n
＝0，则n等于( )
A．10 B．11 C．12 D．13
(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一
块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9
块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数
相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 (1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a ，n，d，a ，S ，知道其
1 n n
中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)．
(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a 和公差d.
1
跟踪训练1 (1)《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次为小寒、大寒、立春、雨
水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、
春分日影长之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，问芒种日影长为(一丈＝十尺＝一百寸)( )
A．一尺五寸 B．二尺五寸
C．三尺五寸 D．四尺五寸
(2)数列是等差数列，且a＝1，a＝－，那么a ＝________.
1 3 2 024
题型二 等差数列的判定与证明
例2 (2021·全国甲卷)已知数列{a}的各项均为正数，记 S 为{a}的前 n项和，从下面
n n n
①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
①数列{a}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a＝3a.
n 2 1
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
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思维升华 判断数列{a}是等差数列的常用方法
n
(1)定义法．
(2)等差中项法．
(3)通项公式法．
(4)前n项和公式法．
跟踪训练2 已知数列{a}的各项都是正数，n∈N*.
n
(1)若{a}是等差数列，公差为d，且b 是a 和a 的等比中项，设c ＝b－b，n∈N*，求证：
n n n n＋1 n
数列{c}是等差数列；
n
(2)若a＋a＋a＋…＋a＝S，S 为数列{a}的前n项和，求数列{a}的通项公式．
n n n
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题型三 等差数列的性质
命题点1 等差数列项的性质
例3 (1)已知在等差数列{a}中，若a＝8且log ( )＝22，则S 等于( )
n 8 2 13
A．40 B．65 C．80 D．40＋log 5
2
(2)已知数列{a}，{b}都是等差数列，且a＝2，b＝－3，a－b＝17，则a －b 的值为
n n 1 1 7 7 2 024 2 024
________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 等差数列项的性质的关注点
(1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质．
(2)项的性质常与等差数列的前n项和公式S＝相结合．
n跟踪训练3 (1)若等差数列{a}的前15项和S ＝30，则2a－a－a ＋a 等于( )
n 15 5 6 10 14
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)(2023·保定模拟)已知等差数列{a}满足＝－2，则下列结论一定成立的是( )
n
A.＝－1 B.＝－1
C.＝－1 D.＝－1
命题点2 等差数列前n项和的性质
例4 (1)设等差数列{a}，{b}的前n项和分别为S ，T ，若对任意的n∈N*，都有＝，则＋
n n n n
的值为( )
A. B. C. D.
(2)已知等差数列{a}共有(2n＋1)项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则a 的
n n＋1
值为( )
A．30 B．29 C．28 D．27
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 等差数列前n项和的常用的性质是：
在等差数列{a}中，数列S ，S －S ，S －S ，…也是等差数列，且有S ＝n(a ＋a )＝…
n m 2m m 3m 2m 2n 1 2n
＝n(a＋a )；S ＝(2n－1)a.
n n＋1 2n－1 n
跟踪训练4 (1)设等差数列{a}的前n项和为S ，若S ＝20，S ＝30，a ＝40，则m等于(
n n 4 5 m
)
A．6 B．10 C．20 D．40
(2)已知S 是等差数列{a}的前n项和，若a＝－2 020，－＝6，则S 等于( )
n n 1 2 023
A．2 023 B．－2 023
C．4 046 D．－4 046
