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§6.3 等比数列
课标要求 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义.2.掌握等比数列
前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系.3.能在具体问题情境中，
发现数列的等比关系，并解决相应的问题.4.体会等比数列与指数函数的关系．
知识梳理
1．等比数列有关的概念
(1)定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数
(不为零)，那么这个数列叫作等比数列．这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母q表
示，定义的表达式为＝q(n∈N*，q为非零常数)．
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G 叫作a与
b的等比中项，此时，G2＝ab.
2．等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{a}的首项为a，公比为q，则其通项公式为a＝a q n － 1 .
n 1 n 1
(2)等比数列通项公式的推广：a＝a qn－m.
n m
(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S＝na；当q≠1时，S＝＝.
n 1 n
3．等比数列的常用性质
(1)若m＋n＝p＋q，则a a ＝ aa ，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则a a ＝
m n p q m n
a ， 其中m，n，w∈N*.
(2)a，a ，a ，…仍是等比数列，公比为 q m (k，m∈N*)．
k k＋m k＋2m
(3)若数列{a}，{b}是两个项数相同的等比数列，则数列{ba}，{pa·qb}和也是等比数列
n n n n n
(b，p，q≠0)．
(4)若或则等比数列{a}递增．
n
若或则等比数列{a}递减．
n
4．等比数列前n项和的常用性质
若等比数列{a}的公比q≠－1, 前n项和为S ，则S ，S － S ，S － S 仍成等比数列，其
n n n 2n n 3n 2n
公比为qn.
常用结论
1．等比数列{a}的通项公式可以写成a＝cqn，这里c≠0，q≠0.
n n
2．等比数列{a}的前n项和S 可以写成S＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
n n n
3．设数列{a}是等比数列，S 是其前n项和．
n n(1)S ＝S＋qnS ＝S ＋qmS.
m＋n n m m n
(2)若a·a·…·a＝T，则T，，，…成等比数列．
1 2 n n n
(3)若数列{a}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q.
n
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数．( × )
(2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( × )
(3)数列{a}为等比数列，则S，S－S，S －S 成等比数列．( × )
n 4 8 4 12 8
(4)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积．( √ )
2．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，
数列－1，－1,1,1满足－1×1＝－1×1，
但数列－1，－1，1,1不是等比数列，
即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．
3．在等比数列{a}中，若a＝，S＝，则a 的值为( )
n 3 3 2
A． B．－3
C．－ D．－3或
答案 D
解析 由S＝a＋a＋a＝a(q－2＋q－1＋1)，
3 1 2 3 3
得q－2＋q－1＋1＝3，即2q2－q－1＝0，
解得q＝1或q＝－，
∴a＝＝或－3.
2
4．数列{a}的通项公式是a＝an(a≠0)，则其前n项和为S＝________.
n n n
答案
解析 因为a≠0，a＝an，
n
所以{a}是以a为首项，a为公比的等比数列．
n
当a＝1时，S＝n；
n
当a≠1时，S＝.
n题型一 等比数列基本量的运算
例1 (1)(2023·全国甲卷)设等比数列{a}的各项均为正数，前n项和为S，若a＝1，S＝5S
n n 1 5 3
－4，则S 等于( )
4
A. B. C．15 D．40
答案 C
解析 方法一 若该数列的公比q＝1，代入S＝5S－4中，
5 3
有5＝5×3－4，不成立，
所以q≠1.
由＝5×－4，
化简得q4－5q2＋4＝0，
所以q2＝1或q2＝4，
因为此数列各项均为正数，
所以q＝2，所以S＝＝15.
4
方法二 由题知1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，
即q3＋q4＝4q＋4q2，
即q3＋q2－4q－4＝0，
即(q－2)(q＋1)(q＋2)＝0.
由题知q>0，所以q＝2.
所以S＝1＋2＋4＋8＝15.
4
(2)记S 为等比数列{a}的前n项和．若a－a＝12，a－a＝24，则等于( )
n n 5 3 6 4
A．2n－1 B．2－21－n
C．2－2n－1 D．21－n－1
答案 B
解析 方法一 设等比数列{a}的公比为q，
n
易知q≠1，
则由题可得解得
所以S＝＝2n－1，a＝aqn－1＝2n－1，
n n 1
所以＝＝2－21－n.
方法二 设等比数列{a}的公比为q，
n
易知q≠1，
因为＝＝＝＝2，
所以q＝2，所以＝＝＝2－21－n.
思维升华 等比数列基本量的运算的解题策略
(1)等比数列中有五个量a，n，q，a，S，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解．
1 n n
(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．
(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．
跟踪训练1 (1)(2023·天津)已知{a}为等比数列，S 为数列{a}的前n项和，a ＝2S ＋2，
n n n n＋1 n
则a 的值为( )
4
A．3 B．18 C．54 D．152
答案 C
解析 由题意可得，当n＝1时，a＝2a＋2，
2 1
即aq＝2a＋2，①
1 1
当n＝2时，a＝2(a＋a)＋2，
3 1 2
即aq2＝2(a＋aq)＋2，②
1 1 1
联立①②解得则a＝aq3＝54.
4 1
(2)(2023·青岛模拟)云冈石窟，古称为武州山大石窟寺，是世界文化遗产．若某一石窟的某
处“浮雕像”共7层，每一层的“浮雕像”个数是其下一层的2倍，共有1 016个“浮雕
像”，这些“浮雕像”构成一幅优美的图案，若从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数
构成数列{a}，则log (aa)的值为( )
n 2 3 5
A．8 B．10 C．12 D．16
答案 C
解析 从最下层往上每一层的“浮雕像”的个数构成数列{a}，则{a}是以2为公比的等比
n n
数列，
∴S＝＝1 016，即127a＝1 016，
7 1
解得a＝8，
1
∴a＝8×2n－1，
n
∴log (aa)＝log (8×22×8×24)＝12.
2 3 5 2
题型二 等比数列的判定与证明
例2 (2023·长沙模拟)记S 为数列{a}的前n项和，已知a＝2，a＝－1，且a ＋a －6a
n n 1 2 n＋2 n＋1 n
＝0(n∈N*)．
(1)证明：{a ＋3a}为等比数列；
n＋1 n
(2)求数列{a}的通项公式a 及前n项和S.
n n n
(1)证明 由a ＋a －6a＝0，
n＋2 n＋1 n
可得a ＋3a ＝2(a ＋3a)，
n＋2 n＋1 n＋1 n
即＝2(n∈N*)，
∴{a ＋3a}是以a＋3a＝5为首项，2为公比的等比数列．
n＋1 n 2 1(2)解 由(1)可知a ＋3a＝5·2n－1(n∈N*)，
n＋1 n
∴a －2n＝－3(a－2n－1)，
n＋1 n
∴＝－3，
∴{a－2n－1}是以a－20＝1为首项，－3为公比的等比数列，
n 1
∴a－2n－1＝1×(－3)n－1，
n
∴a＝2n－1＋(－3)n－1，
n
S＝＋＝2n－－.
n
思维升华 等比数列的四种常用判定方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数，且n≥2，n∈N*)，则{a}是等比数列．
n
(2)等比中项法：若在数列{a}中，a≠0且a＝aa (n∈N*)，则{a}是等比数列．
n n n n＋2 n
(3)通项公式法：若数列{a}的通项公式可写成a ＝cqn－1(c，q均为非零常数，n∈N*)，则
n n
{a}是等比数列．
n
(4)前n项和公式法：若数列{a}的前n项和S ＝kqn－k(k为常数，且k≠0，q≠0,1)，则{a}
n n n
是等比数列．
跟踪训练2 (2024·潍坊模拟)已知数列{a}和{b}满足a ＝3，b ＝2，a ＝a ＋2b ，b ＝
n n 1 1 n＋1 n n n＋1
2a＋b.
n n
(1)证明：{a＋b}和{a－b}都是等比数列；
n n n n
(2)求{ab}的前n项和S.
n n n
(1)证明 因为a ＝a＋2b，b ＝2a＋b，
n＋1 n n n＋1 n n
所以a ＋b ＝3(a＋b)，
n＋1 n＋1 n n
a －b ＝－(a－b)，
n＋1 n＋1 n n
又由a＝3，b＝2得a－b＝1，a＋b＝5，
1 1 1 1 1 1
所以数列{a ＋b}是首项为5，公比为3的等比数列，数列{a －b}是首项为1，公比为－1
n n n n
的等比数列．
(2)解 由(1)得a＋b＝5×3n－1，
n n
a－b＝(－1)n－1，
n n
所以a＝，b＝，
n n
所以ab＝×＝＝×9n－1－，
n n
所以S＝×－＝.
n
题型三 等比数列的性质
命题点1 项的性质
例3 (1)(2023·全国乙卷)已知{a}为等比数列，aaa＝aa，aa ＝－8，则a＝________.
n 2 4 5 3 6 9 10 7
答案 －2
解析 方法一 {a}为等比数列，
n∴aa＝aa，
4 5 3 6
∴a＝1，
2
又aaa ＝aaa，
2 9 10 7 7 7
∴1×(－8)＝(a)3，
7
∴a＝－2.
7
方法二 设{a}的公比为q(q≠0)，
n
则aaa＝aa＝aq·aq，
2 4 5 3 6 2 5
显然a≠0，
n
则a＝q2，即aq3＝q2，
4 1
则aq＝1，
1
∵aa ＝－8，
9 10
则aq8·aq9＝－8，
1 1
则q15＝(q5)3＝－8＝(－2)3，
则q5＝－2，则a＝aq·q5＝q5＝－2.
7 1
下标和相等的等差(比)性质的推广
(1)若数列{a}为等比数列，且m＋m＋…＋m＝k＋k＋…＋k，则 ·…· ＝
n 1 2 n 1 2 n
·…· .
(2)若数列{a}为等差数列，且m＋m＋…＋m＝k＋k＋…＋k，则 ＋ ＋…＋ ＝
n 1 2 n 1 2 n
＋ ＋…＋ .
典例 已知等差数列{a}，S 为前n项和，且a＝5，S＝16，则S ＝________.
n n 9 8 11
答案 33
解析 S＝＝16，∴a＋a＝4，
8 1 8
又∵a＋a＋a＝3a，∴a＝3，
9 1 8 6 6
故S ＝11a＝33.
11 6
(2)已知数列{a}满足log a ＝1＋log a(n∈N*)，且a ＋a ＋a ＋…＋a ＝1，则log (a ＋
n 2 n＋1 2 n 1 2 3 10 2 101
a ＋…＋a )＝________.
102 110
答案 100
解析 因为log a ＝1＋log a，
2 n＋1 2 n
可得log a ＝log (2a)，
2 n＋1 2 n
所以a ＝2a，
n＋1 n
所以数列{a}是以a 为首项，2为公比的等比数列，
n 1又a＋a＋…＋a ＝1，
1 2 10
所以a ＋a ＋…＋a ＝(a＋a＋…＋a )×2100＝2100，
101 102 110 1 2 10
所以log (a ＋a ＋…＋a )＝log 2100＝100.
2 101 102 110 2
命题点2 和的性质
例4 (1)已知等比数列{a}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则
n
公比q＝________.
答案 2
解析 由题意，得
解得所以q＝＝＝2.
(2)已知S 是正项等比数列{a}的前n项和，S ＝20，则S －2S ＋S 的最小值为________．
n n 10 30 20 10
答案 －5
解析 依题意，S ，S －S ，S －S 成等比数列，且S ＝20，不妨令其公比为q(q>0)，
10 20 10 30 20 10
则S －S ＝20q，S －S ＝20q2，
20 10 30 20
∴S －2S ＋S ＝(S －S )－(S －S )＝20q2－20q＝202－5，
30 20 10 30 20 20 10
故当q＝时，S －2S ＋S 的最小值为－5.
30 20 10
思维升华 (1)在解决与等比数列有关的问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是
“若m＋n＝p＋q，则a a＝aa”，可以减少运算量，提高解题速度．
m n p q
(2)在应用等比数列的性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．
此外，解题时注意设而不求思想的运用．
跟踪训练3 (1)(2024·南昌模拟)已知等比数列{a}满足a＋a＋a＋a＝20，aa＝2，则＋＋
n 2 4 6 8 2 8
＋＝________.
答案 10
解析 ＋＋＋＝＋
＝＋＝＝＝10.
(2)(2023·长春统考)在等比数列{a}中，q＝，S ＝150，则a ＋a ＋a ＋…＋a 的值是
n 100 2 4 6 100
________．
答案 50
解析 设T＝a＋a＋a＋…＋a ，T＝a＋a＋a＋…＋a ，
1 1 3 5 99 2 2 4 6 100
所以＝＝，
所以S ＝T＋T＝2T＋T＝3T＝150，
100 1 2 2 2 2
所以T＝a＋a＋a＋…＋a ＝50.
2 2 4 6 100课时精练
一、单项选择题
1．(2023·本溪模拟)已知等比数列{a}的各项均为正数，公比q＝，且aa ＝，则a 等于(
n 3 4 6
)
A. B. C. D.
答案 C
解析 由aa＝，
3 4
得aq2·aq3＝，
1 1
即a·5＝，
所以a＝1.
又a>0，
n
所以a＝1，a＝aq5＝1×5＝.
1 6 1
2．若1，a，a,4成等差数列；1，b，b，b,4成等比数列，则等于( )
2 3 2 3 4
A. B．－ C．± D.
答案 B
解析 由题意得a－a＝＝1，
3 2
设1，b，b，b，4的公比为q，
2 3 4
则b＝q2>0，b＝1×4＝4，解得b＝2，
3 3
＝＝－.
3．(2023·济宁模拟)在数列{a}中，a＝2，a ＝2a，S 为{a}的前n项和．若S＝126，则
n 1 n＋1 n n n n
n等于( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 B
解析 ∵a＝2，a ＝2a，
1 n＋1 n
∴数列{a}是首项为2，公比为2的等比数列．
n
又S＝126，
n
∴＝126，解得n＝6.
4．已知等比数列{a}为递减数列，若aa＝6，a＋a＝5，则等于( )
n 2 6 3 5
A. B. C. D．6
答案 A
解析 由{a}为等比数列，
n
得aa＝aa＝6，
2 6 3 5又a＋a＝5，
3 5
∴a，a 为方程x2－5x＋6＝0的两个根，
3 5
解得a＝2，a＝3或a＝3，a＝2，
3 5 3 5
由{a}为递减数列得a>a ，
n n n＋1
∴a＝3，a＝2，
3 5
∴q2＝＝，
则＝＝.
5．(2024·揭阳模拟)在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步
不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．其大意是有人要去某关口，路程为378里，
第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天
才到目的地．则此人后三天所走的里程数为( )
A．6 B．12 C．18 D．42
答案 D
解析 设第n(n∈N*)天走a 里，其中1≤n≤6，
n
由题意可知，数列{a}是公比为的等比数列，
n
所以＝a＝378，
1
解得a＝192，
1
所以此人后三天所走的里程数为
a＋a＋a＝＝42.
4 5 6
6．(2023·新高考全国Ⅱ)记S 为等比数列{a}的前n项和，若S＝－5，S＝21S，则S 等于
n n 4 6 2 8
( )
A．120 B．85 C．－85 D．－120
答案 C
解析 方法一 设等比数列{a}的公比为q，首项为a，
n 1
若q＝1，则S＝6a＝3×2a＝3S，不符合题意，
6 1 1 2
所以q≠1.
由S＝－5，S＝21S，
4 6 2
可得＝－5，
＝21×，①
由①可得，1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4，
所以S＝＝·(1＋q4)＝－5×(1＋16)＝－85.
8
方法二 设等比数列{a}的公比为q，
n
因为S＝－5，S＝21S，
4 6 2
所以q≠－1，否则S＝0，
4从而S，S－S，S－S，S－S 成等比数列，
2 4 2 6 4 8 6
所以(－5－S)2＝S(21S＋5)，
2 2 2
解得S＝－1或S＝，
2 2
当S＝－1时，S，S－S，S－S，S－S，
2 2 4 2 6 4 8 6
即为－1，－4，－16，S＋21，
8
易知S＋21＝－64，即S＝－85；
8 8
当S＝时，
2
S＝a＋a＋a＋a＝(a＋a)(1＋q2)＝(1＋q2)S>0，
4 1 2 3 4 1 2 2
与S＝－5矛盾，舍去．
4
综上，S＝－85.
8
二、多项选择题
7．(2023·太原模拟)已知数列{a}是等比数列，以下结论正确的是( )
n
A．{a}是等比数列
B．若a＝2, a＝32，则a＝±8
3 7 5
C．若a0，
n＋1 n 1
即∀n∈N*，a >a，所以数列{a}是递增数列，故C正确；
n＋1 n n
对于D，显然q≠1，则S＝＝·qn－，而S＝3n＋r，
n n
因此q＝3，＝1，r＝－＝－1，故D正确．
8．记等比数列{a}的前n项和为S ，前n项积为T ，且满足a>1，a >1，a <1，则(
n n n 1 2 022 2 023
)
A．a a －1<0
2 022 2 024
B．S ＋11
4 045
答案 AC
解析 设数列{a}的公比为q.
n∵a>1，a <1，
1 2 023
∴01，∴0S ，故B错误；
2 022 2 023
∵01，
1
∴数列{a}是递减数列，
n
∵a >1，a <1，
2 022 2 023
∴T 是数列{T}中的最大项，故C正确；
2 022 n
T ＝aaa·…·a
4 045 1 2 3 4 045
＝a(aq)(aq2)·…·(aq4 044)
1 1 1 1
＝aq1＋2＋3＋…＋4 044
＝aq2 022×4 045
＝(aq2 022)4 045＝a，
1
∵00，q>0)的两个不同零点，且m，
n，－2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 pq＝
________.
答案 20
解析 由题可得⇒
则m，－2，n或n，－2，m成等比数列，
得mn＝(－2)2＝4.
不妨设m
