文档内容
目 录
第一章 中学重要定理证明 .................................................. 1
第二章 义务教育数学课程标准 ............................................. 10
第三章 教学知识 ......................................................... 32
第四章 中学数学课堂教学设计 ............................................. 46
第一节 数学教学设计 ................................................. 46
第二节 教学过程的设计 ............................................... 58
第五章 教学评价 ......................................................... 70
第六章 数学案例分析 ..................................................... 74
附录 内容标准 ........................................................... 81
附录 数学史 ............................................................. 87
第一章 中国古代数学史 ............................................... 88
第二章 中国数学家代表作及贡献 ....................................... 96
第三章 国外数学学派以及数学家 ....................................... 98学员专用 请勿外泄
第一章 中学重要定理证明
一、初中函数的图形与性质
1．一次函数y kxb的图象与性质
k、b k 0,b 0 k 0,b0 k 0,b 0 k 0,b0
的符号
图象的大
致位置
经过象限 第一、二、三象限 第一、三、四象限 第一、二、四象限 第二、三、四象限
y x y x y x y x
性质 随 的增大而增大 随 的增大而增大 随 的增大而减小 随 的增大而减小
b
一次函数 y kxb(k 0)的图象是经过点(0,b)和( ,0)的一条直线．
k
它的倾斜程度由k决定，b决定该直线与 y 轴交点的位置．
2．反比例函数的性质
性质1：
k 的符号 k 0 k 0
y y
图象的大致位置
O x O x
经过象限 第一、第三象限 第二、第四象限
在每一象限内 y 随x的 在每一象限内 y 随x的
性质
增大而减小 增大而增大
注：双曲线的两支和坐标轴无限靠近，但永远不能相交．
性质2：双曲线是轴对称图形，直线 y x 或 y x是它的对称轴；双曲线也是中心对称图形，对
称中心是坐标原点．
3．二次函数的图象及性质
二次函数
y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）
图象
（a>0） （a<0）
开口方向 开口向上 开口向下
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b b
对称轴 直线x = − 直线x = −
2a 2a
⎛ b 4ac−b2⎞ ⎛ b 4ac−b2⎞
顶点坐标 ⎜
⎜
− , ⎟
⎟
⎜
⎜
− , ⎟
⎟
2a 4a 2a 4a
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
b b
当x<− 时， y 随x的增大而减小； 当x<− 时， y 随x的增大而增大；
2a 2a
增减性
b b
当x>− 时， y 随x的增大而增大 当x>− 时， y 随x的增大而减小
2a 2a
b 4ac−b2 b 4ac−b2
最值 当x = − 时， y 有最小值 当x = − 时， y 有最大值为
2a 4a 2a 4a
注：求顶点坐标（或对称轴、最值）的方法：
将抛物线解析式写成 y = a(x−h)2+k 的形式，则顶点坐标为(h,k)，对称轴为直线x=h，也可应
b ⎛ b 4ac−b2⎞
用对称轴、最值公式x = − ，顶点坐标⎜− , ⎟来求顶点坐标及对称轴．
⎜ ⎟
2a ⎝ 2a 4a ⎠
二、初中数学常用几何定理及证明
1．有两个角相等的三角形是等腰三角形．（用图形中的符号表达已知、求证，并证明，
证明对各步骤要注明依据）．
2．证明定理：等腰三角形的两个底角相等．（画出图形、写出已知、求证并证明）．
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3．叙述并证明三角形内角和定理．要求写出定理、已知、求证，画出图形，并写出证
明过程
拓展：多种方法证明三角形内角和
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4．三角形中位线定理：在三角形中连接三角形两边的中点的线段．三角形的中位线平行于第
三边，并且等于第三边的一半。根据这个定理画出图形，写出已知和求证，并对该定理给出证
明．
已知：DE是△ABC的中位线，
5．定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的逆命题是：三角形一边上的中线
是这边的一半的话，那么这个三角形是直角三角形。写出已知和求证，并对该定理给出证
明．
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6．用所学定理、定义证明命题证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
7．“在直角三角形中，如果一个锐角等于 30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半”，
其逆命题为：“在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的
角是 30°”．写出已知和求证，并对该定理给出证明．
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8．利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系证明勾股定理
9．证明：勾股定理逆定理
已知：在ΔABC中，AB=c，AC=b，BC=a，若c2=a2+b2
求证：∠C=90度
证明：作RTΔDEF，使∠E=90°，DE=b，EF=a
在RTΔDEF中，DF2=ED2+EF2=a2+b2
因为c2=a2+b2
所以DF=c
所以DF=AB，DE=AC，EF=BC
所以RTΔDFE≌ΔABC（SSS）．
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所以∠C=∠E=90°
10．定理证明：“等腰梯形的两条对角线相等”．
11．证明等腰梯形判定定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形（要求：画出
图形，写出已知、求证、证明）．
12．定理证明：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
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13．定理求证：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
14．证明：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半．这一定理叫做圆周角定理．（圆周角与圆
心角的关系）．
已知在⊙O中，∠BOC与圆周角∠BAC同对弧BC，求证：∠BOC=2∠BAC．
证明：
情况1：
如图1，当圆心O在∠BAC的一边上时，即A、O、B在同一直线上时：
图1∵OA、OC是半径
解：∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO（等边对等角）
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
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图1 图2 图3
情况2：
如图2，当圆心O在∠BAC的内部时：
连接AO，并延长AO交⊙O于D
图2：∵OA、OB、OC是半径
解：∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等边对等角）．
∵∠BOD、∠COD分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD（三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）．
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）．
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2（∠BAD+∠CAD）=2∠BAC
情况3：
如图3，当圆心O在∠BAC的外部时：
图3连接AO，并延长AO交⊙O于D连接OA，OB．
解：∵OA、OB、OC、是半径
∴∠BAD=∠ABO（等边对等角），∠CAD=∠ACO（OA=OC）
∵∠DOB、∠DOC分别是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD（三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）．
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD（三角形的外角等于两个不相邻两个内角的和）．
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2（∠CAD-∠BAD）=2∠BAC
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第二章 义务教育数学课程标准
一、课程性质
义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。数学课程能
使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践
能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和
学习奠定重要的基础。
二、课程基本理念
1.数学课程应致力于实现义务教育阶段的培养目标，要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，
使得：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。
2.课程内容要反映社会的需要、数学的特点，要符合学生的认知规律。它不仅包括数学的结果，也
包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验
与理解、思考与探索。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系；要重视直观，处理好直
观与抽象的关系；要重视直接经验，处理好直接经验与间接经验的关系。课程内容的呈现应注意层次性
和多样性。
3.教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统
一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。
数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；
要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。
学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索
与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、
推理、验证等活动过程。
教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。
教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，
使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。
4.学习评价的主要目的是为了全面了解学生数学学习的过程和结果，激励学生学习和改进教师教学。
应建立目标多元、方法多样的评价体系。评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程；既要关
注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建
立信心。
注释：
1.以促进发展为目的
数学教学评价就是运用有效的评价技术和手段，对数学教学活动的过程和结果进行测定、分析、比
较，并进行价值判断的过程，是促进学生和教师共同发展的过程。
新的数学教学评价观认为，数学教学评价应该为教师提供关于学生个人和团体的数学学习情况，不
仅要关注学生数学知识与技能的掌握和理解，更要关注学生在数学学习过程中的情感态度的形成与发展；
既要关注数学学习的结果，更要关注他们在学习过程中的变化与发展，还要关注数学学习能力以及正确
的价值观的形成；不仅要关注学生今天的学习状况，更要关注学生的学习潜能与明天的发展空间；不仅
要描述学生表现出的水平，更要关注所有参与学习过程的个体行动，使教师可以有针对性地对学生提出
建议，帮助学生谋求进步，并能根据已知信息反省自己的教学行为，制定和改进下一步的教学活动。
另外，对课堂教学的评价，其重点不在于鉴定教师课堂教学结果，而是诊断教师课堂教学的问题，
帮助教师制定个人发展目标，通过多元信息的反馈，使教师不断地反思和改进自己的教学过程，从而促
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进教师自身的成长和发展。总之，评价是为学生和教师的发展服务，而不是学生和教师的发展为评价的
需要服务。
2.体现以人为本思想
教育的对象是人，教育的出发点和归宿也是人，然而，传统的教育恰恰忽略了这一本质特征，对学
生数学学习的评价，只注重知识的掌握程度，而不考虑学生在学习过程中的情感态度价值观的发展，不
考虑学生在学习过程中形成的学习习惯与行为准则，以分数作为评价学生的唯一依据，甚至家长和社会
也以分数作为判定学生优劣的标准。对教师教学的评价也仅以学生的平均分、总成绩为标准，甚至以学
生的分数作为教师评优、评模的主要指标，而忽略了教师其它方面的综合评价。这种评价从根本上忽视
了被评价者作为人的存在，过分夸大分数的作用，其后果是：考分成了刺伤学生的利器，学生怕学、厌
学的根源。
评价要以人为本，要尊重个体差异，要关注学习困难的学生，允许暂时达不到目标的学生推迟测评。
在《标准》的范围内，对不同的学生可以有不同的评价标准和评价方法。教学评价在于给学生找到并提
供成功的支撑，使每个学生都获得成功的机会；每个学生都有自己的优势智能领域，教学评价在于让学
生发现自己的优势领域，同时又认识到自己的不足，从而协调地发展自己，尽可能使自己在多方面得到
发展；学生的智力发展贯穿于生命的全过程，教学评价要用发展的眼光看待孩子，要善于发现他们的智
力潜能。
评价要以人为本，并不是说分数就可以取消。《标准》抛弃的不是分数本身，而是单一的以分数为标
准的评价观，是隐藏在分数背后的教育观和人才观。分数不是一切，它不能代表有血有肉的、有思想感
情的、有各种才能的完整的人。事实上，在学校“高分”者在今后的社会生活中不一定就是优秀者，而“分
数平平”者在社会上却干出一番事业的也大有人在。
评价要以人为本，体现在对教师的课堂教学评价中，就是要尊重教师的个性，允许教师有独特的教
学方式，倡导教师扬长避短，发挥某一方面的才能，而不是强迫教师接受某一教学模式。
3.注重对学生数学学习过程的评价
传统的数学教学评价目的重在甄别、选拨，所以只关注数学教育活动的结果，对教育活动的过程关
注很少。数学教学主要是考什么教什么，考试决定教学，缺少对思维过程的评价，导致学生只重结论，
忽视过程，易形成一些似是而非的认识和习惯，不利于养成科学探究的习惯和严谨的科学态度和精神。
初中数学教学中出现的“题海战术”，就是只注重对学生学习结果的评价，忽视对学生学习过程评价的结
果。
《标准》提出，对学生数学学习的评价应从过去过分注重甄别转向关注学生的发展，倡导以促进学
生发展为基础的过程性评价，将数学学习评价也视作一个过程，伴随和贯穿于数学教学活动的每一个环
节。既要关注学生知识与技能的掌握，更要关注他们情感态度的形成和发展；既要关注学生数学学习结
果，更要关注他们在学习过程中的变化和发展；强调评价的诊断和发展功能，强调学生个体过去与现在
的纵向比较，注重学生成绩和素质的增值而不是简单地将考试成绩进行分等排序，通过评价使学生真正
体会到自己的进步，更好地认识自我，建立自信心。
对数学学习过程的评价主要关注以下几个方面：是否积极主动地参与数学学习活动；是否有学好数
学的自信心；是否认识到自己在集体中的作用，乐于与他人合作，愿意与同伴交流各自的想法；是否能
通过独立思考获得解决问题的思路；是否能找到有效的解决问题的方法，形成解决问题的一些基本思路；
是否尝试从不同角度去思考问题、提出问题以及提出问题的深度如何；是否能够使用数学语言、有条理
地表达自己的思考过程；是否理解别人的思路，并在与同伴的交流中获益；是否有反思自己思考过程的
意识。
通过对学习过程的评价，使学生全面了解自己的学习历程，明确自己的优势，反省自己的不足，以
便在以后的学习中弥补这些不足。通过对学习过程的评价，也为教师全面了解学生的学习状况，反省自
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己的教学状况，改进教学，提高教学水平，实施因材施教提供了重要依据。
4.评价要体现多元性
评价的多元性包括评价主体多元化、评价内容多维度、评价方法多样化、评价结果呈现方式多样化
等。
（1）评价主体多元化
新的评价观认为，在评价学生数学学习时，教师是主要的评价者，但不是唯一的评价主体，要建立
教师、学生、家长、社会等的多元评价体系。学生不是一系列评价的消极应付者，而应该是主动参与者，
强调评价过程中主体间的双向选择，勾通和协商，关注评价结果的认同问题。加强自评、互评，使评价
成为教师、管理者、学生、家长共同积极参与的交互活动。同时增进双方的了解和理解，形成积极、友
好、平等和民主的评价关系，使评价者在评价过程能中有效地对被评价者的发展过程进行监控和指导，
帮助被评价者认同评价结果，促进其不断改进，获得发展。
需要注意的是，我们不能够为了“体现”评价理念而刻意追求评价主休的多样化，在评价中，首先，
评价者（老师、同学、家长等）要明确评价的目标和标准。其次，并不是所有的内容都适合多主体评价，
要分清楚哪些内容适合多主体评价，哪些内容不适合多主体评价。最后，学生互评中要淡化等级和分数，
淡化学生之间的相互比较，还要防止学生之间因为某些原因而产生的偏见。
（2）评价内容多维度
《标准》确定了数学课程的总体目标，包括知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度等四个
方面的具体要求。教学评价也要围绕着这几个方面展开，形成多维度的评价内容体系，同时数学教学评
价不仅要关注学生的学业成绩，更要关注学生的综合素质，关注学生的创新能力。评价内容多元化是指
不仅要对学生的学业成绩进行评价，而且更重视对学生的情感态度、学习方式、心理素质等方面的评价，
包括是否学会学习、学会生存、学会合作、学会做人等。
对基础知识和基本技能的评价，应遵循《标准》的基本理念，以每一学段的知识与技能目标为基准，
考察学生对基础知识和基本技能的理解和掌握程度。学段目标不是学习某一部分内容之后每一个学生都
应立即达到的目标，应允许一部分学生经过一段时间的努力，随着知识与技能的积累逐步达到。如对一
些运算技能掌握情况的评价，多数学生可能在单元结束或学期结束时达到规定程度，有些学生可能要经
过更长一段时间的学习才能达到这一水平。
同时，对知识与技能的评价应结合知识的实际背景进行；对技能的评价既要考察学生实际执行这些
技能的情况，又要考察学生是否能正确思考在什么情况下应该使用哪个规则。
对数学思考的评价包括对抽象思维能力、形象思维能力、数感与空间感、统计观念和推理能力等方
面的评价。
对解决问题的评价包括对提出问题的意识和能力、解决问题的策略、创新和实践能力及合作与交流
的方式、方法等的评价。这实际上就是对策略性知识，也就是对数学思想方法的评价，对数学思维过程
的评价。
对情感态度的评价主要包括对学生参与数学学习活动的情况、学习的习惯与态度、学习兴趣与自信
心等非智力因素方面的评价，包括使命感、责任感、自信心、进取心、意志力等方面的自我认识和自我
发展。
（3）评价方法多样化
传统的学习评价方法单一，只运用纸笔测验进行总结性的定量评价。新的数学学习评价方式不仅限
于用纸笔测验的定量评价，而是在教学过程中根据实际需要选择多种评价方式，如课堂观察、座谈、调
查与实验、作业分析、成长记录袋、数学日记等，并将各种评价方式有机结合起来对学生的学习进行评
估和考核，全面收集学生数学学习活动中的各种信息，将量化评价与质性评价相结合，过程性评价与终
结性评价相结合，对学生的数学学习活动的全过程做出全面的综合评价，以保证评价的全面、公正和准
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确。
（4）评价结果呈现方式多样化
从评价结果的呈现方式来看，呈现的内容不仅要有数量化的分数信息，还要有描述性的过程分析与
改进建议。呈现的形式上要体现对评价对象的尊重与关怀，无论是书面语言，还是口头语言都要以鼓励
为主，要关注被评价者的情绪与需要，构建一种有利于沟通和发展的心理氛围，这样才能最大限度地使
被评价者认同评价结果。
对于可以量化的部分，采用量化的方式进行，但要因人而异，注意学生的个性差异，注重其自身的
纵向比较，关注学生掌握的内容和具备的能力，不应简单总结性地打分或划分等级。对于不可以量化的
部分，则应采用描述性评价、课堂激励评价等质性评价方式，对学生在学习活动中的表现、知识掌握的
情况和能力水平进行表述并给出改进建议。
（5）评价过程动态化
新课程的教学评价是要把评价贯穿于教学活动的各个环节，而教学活动是师生、生生互动合作的过
程，评价本身也是教学活动的一个重要组成部分。因此，教师要对日常学习过程进行评价，关注学生在
学习过程中的点滴进步，及时发现学生的不足，并给与评价和反馈。根据“短、小、勤、快”的原则，在
教学过程中不断利用口头评价对学生的发展状况进行评价，激发学生的学习积极性。
将日常评价、阶段评价和学期评价有机地结合起来，给与多次评价的机会，在《标准》的范围内，
对于不同的个体可以有不同的评价准则，目的在于促进学生的转变与发展，只要学生能够说明自己进步
的事例，甚至可以更改已经做出的评价。在评价结果呈现方式中，学期成绩应将日常表现、作业、单元
测验以及期末考试成绩等各占一定比例综合，同时还要有质性的描述性评价与改进性建议，尤其要注重
及时评价对学生的激励作用。这些导向可以使学生、家长、社会不再只关注考试成绩，转向注重学生的
综合素质发展。
5.重视以学论教
数学课堂教学要真正体现以学生为主体、以学生的发展为本，就必须改变传统的课堂教学评价观念，
以学生的“学”来评价教师的“教”，强调以学生在课堂教学中呈现的状态为参照来评价课堂教学质量。主
要从以下几个方面进行评价。
（1）情绪状态：学生是否情绪饱满，对所学知识和探究的问题是否具有好奇心与求知欲，在学习过
程中是否能长时间地保持兴趣，能否自我调节和控制学习情绪，学习过程是否愉快，学习愿望是否不断
得以增强。
（2）注意状态：学生是否始终关注探究和讨论的数学问题，并能保持较长的注意力，学生的目光是
否始终追随发言者（教师或学生）的一举一动，学生的倾听是否全神贯注，回答是否具有针对性，目的
性。
（3）参与状态：学生是否全员参与数学学习活动，是否积极主动参与讨论和发言，在讨论中是否积
极思考，是否自觉地进行练习，是否有充分参与的时间与空间。
（4）交往状态：整个课堂气氛是否民主、和谐、活跃，师生之间、生生之间是否能友好、平等地交
流与合作，是否能虚心听取他人的意见，尊重他人的发言，是否善于质疑，遇到困难时学生能否主动与
他人交流解决问题方法与策略。
（5）思维状态：学生是否围绕讨论的数学问题积极思考、踊跃发言，学生回答问题的语言是否流
畅、有条理，是否能用生活语言和数学语言阐述自己的观点，是否能用数学语言、符号等表达数学问题，
学生讨论的结论或见解是否都经过独立的思考且表现出一定的创新意识与能力。
（6）生成状态：学生是否掌握了应学的知识，完成了学习目标，学生的智能、情感得到了某种程度
或一定程度的发展，是否有满足、成功和喜悦等积极的心理体验，是否对未来的学习充满了信心。
评价的关注点转向注重学生求知的过程、探究的过程、努力的过程，关注学生、教师和学校各个时
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期的进步情况。才能帮助学生形成积极的学习态度、科学的探究精神，激发学生的积极性、主动性，才
能注重学生在学习过程中的情感体验、价值观的形成，实现“知识与技能”“过程与方法”以及“情感态度与
价值观”的全面发展。
5.信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响。数学课程的设
计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。要
充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术
作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入到现实
的、探索性的数学活动中去。
三、课程设计思路
义务教育阶段数学课程的设计，充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和心理
特征，有利于激发学生的学习兴趣，引发数学思考；充分考虑数学本身的特点，体现数学的实质；在呈
现作为知识与技能的数学结果的同时，重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、
构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。
按以上思路具体设计如下。
（一）学段划分
为了体现义务教育数学课程的整体性，统筹考虑九年的课程内容。同时，根据学生发展的生理和心
理特征，将九年的学习时间划分为三个学段：第一学段（1~3 年级）、第二学段（4~6 年级）、第三学段
（7~9年级）。
（二）课程目标
义务教育阶段数学课程目标分为总目标和学段目标，从知识技能、数学思考、问题解决、情感态度
等四个方面加以阐述。
数学课程目标包括结果目标和过程目标。结果目标使用“了解、理解、掌握、运用”等术语表述，过
程目标使用“经历、体验、探索”等术语表述。
（三）课程内容
在各学段中，安排了四个部分的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”。
“综合与实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方法解决实际问题，培养学生的问题
意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。
“数与代数”的主要内容有：数的认识，数的表示，数的大小，数的运算，数量的估计；字母表示数，
代数式及其运算；方程、方程组、不等式、函数等。
“图形与几何”的主要内容有：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移、
旋转、轴对称、相似和投影；平面图形基本性质的证明；运用坐标描述图形的位置和运动。
“统计与概率”的主要内容有：收集、整理和描述数据，包括简单抽样、整理调查数据、绘制统计图
表等；处理数据，包括计算平均数、中位数、众数、极差、方差等；从数据中提取信息并进行简单的推
断；简单随机事件及其发生的概率。
“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。在学习活动中，学生将综合
运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题。“综合与实践”的教学活动应当保证
每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合。
在数学课程中，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算
能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的
应用意识和创新意识。
数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现
实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。
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符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运
算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思
考的重要形式。
空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出
物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。
几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，
有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程
中都发挥着重要作用。
数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判
断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合
适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只
要有足够的数据就可能从中发现规律。
运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运
算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。
推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活
中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验
和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确
定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过
程中，合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。
模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：
从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数
量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提
高学习数学的兴趣和应用意识。
应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，
解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题
可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，
综合实践活动是培养应用意识很好的载体。
创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提
出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是
创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。
四、课程目标
（一）总目标
通过义务教育阶段的数学学习，学生能：
1.获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
2.体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思
考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。
3.了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步
的创新意识和实事求是的科学态度。
总目标从以下四个方面具体阐述：
●经历数与代数的抽象、运算与建模等过程，掌握数与代数的基础知识和基本技能。
知识
●经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和
技能
基本技能。
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●经历在实际问题中收集和处理数据、利用数据分析问题、获取信息的过程，掌握
统计与概率的基础知识和基本技能。
●参与综合实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活动经验。
●建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维。
●体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象。
数学
●在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，
思考
清晰地表达自己的想法。
●学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。
●初步学会从数学的角度发现问题和提出问题，综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强
应用意识，提高实践能力。
问题
●获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识。
解决
●学会与他人合作交流。
●初步形成评价与反思的意识。
情感 ●积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。
态度 ●在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
●体会数学的特点，了解数学的价值。
●养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯，形成实事求是的科学态度。
总目标的这四个方面，不是相互独立和割裂的，而是一个密切联系、相互交融的有机整体。在课程
设计和教学活动组织中，应同时兼顾这四个方面的目标。这些目标的整体实现，是学生受到良好数学教
育的标志，它对学生的全面、持续、和谐发展有着重要的意义。数学思考、问题解决、情感态度的发展
离不开知识技能的学习，知识技能的学习必须有利于其他三个目标的实现。
（二）学段目标
第一学段（1~3年级）略
第二学段（4~6年级）略
第三学段（7~9年级）
知识技能
1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解有理数、实数、代数式、方程、不等式、函数；
掌握必要的运算（包括估算）技能；探索具体问题中的数量关系和变化规律，掌握用代数式、方程、不
等式、函数进行表述的方法。
2.探索并掌握相交线、平行线、三角形、四边形和圆的基本性质与判定，掌握基本的证明方法和基
本的作图技能；探索并理解平面图形的平移、旋转、轴对称；认识投影与视图；探索并理解平面直角坐
标系，能确定位置。
3.体验数据收集、处理、分析和推断过程，理解抽样方法，体验用样本估计总体的过程；进一步认
识随机现象，能计算一些简单事件的概率。
数学思考
1.通过用代数式、方程、不等式、函数等表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识；
在研究图形性质和运动、确定物体位置等过程中，进一步发展空间观念；经历借助图形思考问题的过程，
初步建立几何直观。
2.了解利用数据可以进行统计推断，发展建立数据分析观念；感受随机现象的特点。
3.体会通过合情推理探索数学结论，运用演绎推理加以证明的过程，在多种形式的数学活动中，发
展合情推理与演绎推理的能力。
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4.能独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。
问题解决
1.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决
简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。
2.经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析
问题和解决问题的一些基本方法。
3.在与他人合作和交流过程中，能较好地理解他人的思考方法和结论。
4.能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识。
情感态度
1.积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。
2.感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决数学问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学
的信心。
3.在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的
价值。
4.敢于发表自己的想法、勇于质疑，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成实事求
是的科学态度。
五、课程实施建议
根据课标的要求给出如下几条建议
（一）教学建议
教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。
数学教学应根据具体的教学内容，注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获得直接经验，
即从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过实践、思考、探索、交流等，
获得数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动地、富有个性地学习,不断提
高发现问题和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力。
在数学教学活动中，教师要把基本理念转化为自己的教学行为,处理好教师讲授与学生自主学习的关
系，注重启发学生积极思考；发扬教学民主，当好学生数学活动的组织者、引导者、合作者；激发学生
的学习潜能，鼓励学生大胆创新与实践；创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提
供丰富多彩的学习素材；关注学生的个体差异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分的发
展；合理地运用现代信息技术，有条件的地区，要尽可能合理、有效地使用计算机和有关软件，提高教
学效益。
1.数学教学活动要注重课程目标的整体实现
为使每个学生都受到良好的数学教育，数学教学不仅要使学生获得数学的知识技能，而且要把知识
技能、数学思考、问题解决、情感态度四个方面目标有机结合，整体实现课程目标。
课程目标的整体实现需要日积月累。在日常的教学活动中，教师应努力挖掘教学内容中可能蕴涵的、
与上述四个方面目标有关的教育价值，通过长期的教学过程，逐渐实现课程的整体目标。因此，无论是
设计、实施课堂教学方案，还是组织各类教学活动，不仅要重视学生获得知识技能，而且要激发学生的
学习兴趣，通过独立思考或者合作交流感悟数学的基本思想，引导学生在参与数学活动的过程中积累基
本经验，帮助学生形成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等良好的学习习惯。
例如，关于“零指数”教学方案的设计可作如下考虑：教学目标不仅要包括了解零指数幂的“规定”、
会进行简单计算，还要包括感受这个“规定”的合理性，并在这个过程中学会数学思考、感悟理性精神。
2.重视学生在学习活动中的主体地位
有效的数学教学活动是教师教与学生学的统一，应体现“以人为本”的理念，促进学生的全面发展。
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（1）学生是数学学习的主体，在积极参与学习活动的过程中不断得到发展。
学生获得知识，必须建立在自己思考的基础上，可以通过接受学习的方式，也可以通过自主探索等
方式；学生应用知识并逐步形成技能，离不开自己的实践；学生在获得知识技能的过程中，只有亲身参
与教师精心设计的教学活动，才能在数学思考、问题解决和情感态度方面得到发展。
（2）教师应成为学生学习活动的组织者、引导者、合作者，为学生的发展提供良好的环境和条件。
教师的“组织”作用主要体现在两个方面：第一，教师应当准确把握教学内容的数学实质和学生的实
际情况，确定合理的教学目标，设计一个好的教学方案；第二，在教学活动中，教师要选择适当的教学
方式，因势利导、适时调控、努力营造师生互动、生生互动、生动活泼的课堂氛围，形成有效的学习活
动。
教师的“引导”作用主要体现在：通过恰当的问题，或者准确、清晰、富有启发性的讲授，引导学生
积极思考、求知求真，激发学生的好奇心；通过恰当的归纳和示范，使学生理解知识、掌握技能、积累
经验、感悟思想；能关注学生的差异，用不同层次的问题或教学手段，引导每一个学生都能积极参与学
习活动，提高教学活动的针对性和有效性。
教师与学生的“合作”主要体现在：教师以平等、尊重的态度鼓励学生积极参与教学活动，启发学生
共同探索，与学生一起感受成功和挫折、分享发现和成果。
（3）处理好学生主体地位和教师主导作用的关系。
好的教学活动，应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一。一方面，学生主体地位的真正落实，
依赖于教师主导作用的有效发挥；另一方面，有效发挥教师主导作用的标志，是学生能够真正成为学习
的主体，得到全面的发展。
3.注重学生对基础知识、基本技能的理解和掌握
“知识技能”既是学生发展的基础性目标，又是落实“数学思考”、“问题解决”、“情感态度”目标的载
体。
（1）数学知识的教学，应注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。
学生掌握数学知识，不能依赖死记硬背，而应以理解为基础，并在知识的应用中不断巩固和深化。
为了帮助学生真正理解数学知识，教师应注重数学知识与学生生活经验的联系、与学生学科知识的联系，
组织学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析，抽象概括，运用知识进行判断。教
师还应揭示知识的数学实质及其体现的数学思想，帮助学生理清相关知识之间的区别和联系等。
数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，
注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于某
些数学知识可以从不同的角度加以分析、从不同的层次进行理解。
（2）在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤
的道理。例如，对于整数乘法计算，学生不仅要掌握如何进行计算，而且要知道相应的算理；对于尺规
作图，学生不仅要知道作图的步骤，而且要能知道实施这些步骤的理由。
基本技能的形成，需要一定量的训练，但要适度，不能依赖机械的重复操作，要注重训练的实效性。
教师应把握技能形成的阶段性，根据内容的要求和学生的实际，分层次地落实。
4.感悟数学思想，积累数学活动经验
数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概
括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。学生在积极参与教学活动的过程中，通过独立思考、合作交
流，逐步感悟数学思想。
例如，分类是一种重要的数学思想。学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类，图形的
分类，代数式的分类，函数的分类等。在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题，分类的过
程就是对事物共性的抽象过程。教学活动中，要使学生逐步体会为什么要分类，如何分类，如何确定分
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类的标准，在分类的过程中如何认识对象的性质，如何区别不同对象的不同性质。通过多次反复的思考
和长时间的积累，使学生逐步感悟分类是一种重要的思想。学会分类，可以有助于学习新的数学知识，
有助于分析和解决新的数学问题。
数学活动经验的积累是提高学生数学素养的重要标志。帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重
要目标，是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果。数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的
过程中积淀，是在数学学习活动过程中逐步积累的。
教学中注重结合具体的学习内容，设计有效的数学探究活动，使学生经历数学的发生发展过程，是
学生积累数学活动经验的重要途径。例如，在统计教学中，设计有效的统计活动，使学生经历完整的统
计过程，包括收集数据、整理数据、展示数据、从数据中提取信息，并利用这些信息说明问题。学生在
这样的过程中，不断积累统计活动经验，加深理解统计思想与方法。
“综合与实践”是积累数学活动经验的重要载体。在经历具体的“综合与实践”问题的过程中，引导学
生体验如何发现问题，如何选择适合自己完成的问题，如何把实际问题变成数学问题，如何设计解决问
题的方案，如何选择合作的伙伴，如何有效地呈现实践的成果，让别人体会自己成果的价值。通过这样
的教学活动，学生会逐步积累运用数学解决问题的经验。
5.关注学生情感态度的发展
根据课程目标，广大教师要把落实情感态度的目标作为己任，努力把情感态度目标有机地融合在数
学教学过程之中。设计教学方案、进行课堂教学活动时，应当经常考虑如下问题：
如何引导学生积极参与教学过程？
如何组织学生探索，鼓励学生创新？
如何引导学生感受数学的价值？
如何使他们愿意学，喜欢学，对数学感兴趣？
如何让学生体验成功的喜悦，从而增强自信心？
如何引导学生善于与同伴合作交流，既能理解、尊重他人的意见，又能独立思考、大胆质疑？
如何让学生做自己能做的事，并对自己做的事情负责？
如何帮助学生锻炼克服困难的意志？
如何培养学生良好的学习习惯？
在教育教学活动中，教师要尊重学生，以强烈的责任心，严谨的治学态度，健全的人格感染和影响
学生；要不断提高自身的数学素养，善于挖掘教学内容的教育价值；要在教学实践中善于用本标准的理
念分析各种现象，恰当地进行养成教育。
6.合理把握“综合与实践”的实施
“综合与实践”的实施是以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。它有别于学习具体知识的
探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授。它是教师通过问题引领、学生全程参与、实践过程相对完
整的学习活动。
积累数学活动经验、培养学生应用意识和创新意识是数学课程的重要目标，应贯穿整个数学课程之
中。“综合与实践”是实现这些目标的重要和有效的载体。“综合与实践”的教学，重在实践、重在综合。
重在实践是指在活动中，注重学生自主参与、全过程参与，重视学生积极动脑、动手、动口。重在综合
是指在活动中，注重数学与生活实际、数学与其他学科、数学内部知识的联系和综合应用。
教师在教学设计和实施时应特别关注的几个环节是：问题的选择，问题的展开过程，学生参与的方
式，学生的合作交流，活动过程和结果的展示与评价等。
要使学生能充分、自主地参与“综合与实践”活动，选择恰当的问题是关键。这些问题既可来自教材，
也可以由教师、学生开发。提倡教师研制、开发、生成出更多适合本地学生特点的、有利于实现“综合与
实践”课程目标的好问题。
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实施“综合与实践”时，教师要放手让学生参与，启发和引导学生进入角色，组织好学生之间的合作
交流，并照顾到所有的学生。教师不仅要关注结果，更要关注过程，不要急于求成，要鼓励引导学生充
分利用“综合与实践”的过程，积累活动经验、展现思考过程、交流收获体会、激发创造潜能。
在实施过程中，教师要注意观察、积累、分析、反思，使“综合与实践”的实施成为提高教师自身和
学生素质的互动过程。
教师应该根据不同学段学生的年龄特征和认知水平，根据学段目标，合理设计并组织实施“综合与
实践”活动。
7.教学中应当注意的几个关系
（1）“预设”与“生成”的关系
教学方案是教师对教学过程的“预设”，教学方案的形成依赖于教师对教材的理解、钻研和再创造。
理解和钻研教材，应以本标准为依据，把握好教材的编写意图和教学内容的教育价值；对教材的再创造，
集中表现在：能根据所教班级学生的实际情况，选择贴切的教学素材和教学流程，准确地体现基本理念
和内容标准规定的要求。
实施教学方案，是把“预设”转化为实际的教学活动。在这个过程中，师生双方的互动往往会“生成”
一些新的教学资源，这就需要教师能够及时把握，因势利导，适时调整预案，使教学活动收到更好的效
果。
（2）面向全体学生与关注学生个体差异的关系
教学活动应努力使全体学生达到课程目标的基本要求，同时要关注学生的个体差异，促进每个学生
在原有基础上的发展。
对于学习有困难的学生，教师要给予及时的关注与帮助，鼓励他们主动参与数学学习活动，并尝试
用自己的方式解决问题、发表自己的看法，要及时地肯定他们的点滴进步，耐心地引导他们分析产生困
难或错误的原因，并鼓励他们自己去改正，从而增强学习数学的兴趣和信心。对于学有余力并对数学有
兴趣的学生，教师要为他们提供足够的材料和思维空间，指导他们阅读，发展他们的数学才能。
在教学活动中，要鼓励与提倡解决问题策略的多样化，恰当评价学生在解决问题过程中所表现出的
不同水平；问题情境的设计、教学过程的展开、练习的安排等要尽可能地让所有学生都能主动参与，提
出各自解决问题的策略，并引导学生通过与他人的交流选择合适的策略，丰富数学活动的经验，提高思
维水平。
（3）合情推理与演绎推理的关系
推理贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程。义务教育
阶段要注重学生思考的条理性，不要过分强调推理的形式。
推理包括合情推理和演绎推理。教师在教学过程中，应该设计适当的学习活动，引导学生通过观察、
尝试、估算、归纳、类比、画图等活动发现一些规律，猜测某些结论，发展合情推理能力；通过实例使
学生逐步意识到，结论的正确性需要演绎推理的确认，可以根据学生的年龄特征提出不同程度的要求。
在第三学段中，应把证明作为探索活动的自然延续和必要发展，使学生知道合情推理与演绎推理是
相辅相成的两种推理形式。“证明”的教学应关注学生对证明必要性的感受，对证明基本方法的掌握和证
明过程的体验。证明命题时，应要求证明过程及其表述符合逻辑，清晰而有条理。此外，还可以恰当地
引导学生探索证明同一命题的不同思路和方法，进行比较和讨论，激发学生对数学证明的兴趣，发展学
生思维的广阔性和灵活性。
（4）使用现代信息技术与教学手段多样化的关系
积极开发和有效利用各种课程资源，合理地应用现代信息技术，注重信息技术与课程内容的整合，
能有效地改变教学方式，提高课堂教学的效益。有条件的地区，教学中要尽可能地使用计算器、计算机
以及有关软件；暂时没有这种条件的地区，一方面要积极创造条件改善教学设施，另一方面广大教师应
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努力自制教具以弥补教学设施的不足。
在学生理解并能正确应用公式、法则进行计算的基础上，鼓励学生用计算器完成较为繁杂的计算。
课堂教学、课外作业、实践活动中，应当根据内容标准的要求，允许学生使用计算器，还应当鼓励学生
用计算器进行探索规律等活动。
现代信息技术的作用不能完全替代原有的教学手段，其真正价值在于实现原有的教学手段难以达到
甚至达不到的效果。例如，利用计算机展示函数图像、几何图形的运动变化过程；从数据库中获得数据，
绘制合适的统计图表；利用计算机的随机模拟结果，引导学生更好地理解随机事件以及随机事件发生的
概率；等等。在应用现代信息技术的同时，教师还应注重课堂教学的板书设计。必要的板书有利于实现
学生的思维与教学过程同步，有助于学生更好地把握教学内容的脉络。
（二）评价建议
1.基础知识和基本技能的评价
对基础知识和基本技能的评价，应以各学段的具体目标和要求为标准，考查学生对基础知识和基本
技能的理解和掌握程度，以及在学习基础知识与基本技能过程中的表现。在对学生学习基础知识和基本
技能的结果进行评价时，应该准确地把握“了解、理解、掌握、应用”不同层次的要求。在对学生学习过
程进行评价时，应依据“经历、体验、探索”不同层次的要求，采取灵活多样的方法，定性与定量相结合、
以定性评价为主。
每一学段的目标是该学段结束时学生应达到的要求，教师需要根据学习的进度和学生的实际情况确
定具体的要求。例如，下表是对第一学段有关计算技能的基本要求，这些要求是在学段结束时应达到的，
评价时应注意把握尺度，对计算速度不作过高要求。
表1 第一学段计算技能评价要求
学习内容 速度要求
20以内加减法和表内乘除法口算 8~10题/分
百以内加减法口算 3~4题/分
三位数以内的加减法笔算 2~3题/分
两位数乘两位数笔算 1~2题/分
一位数除两位或三位数的除法笔算 1~2题/分
教师应允许学生经过较长时间的努力，随着数学知识与技能的积累逐步达到学段目标。在实施评价
时，可以对部分学生采取“延迟评价”（延迟评价是指在平时的学习过程中，对尚未达到目标要求的学生，
可暂时不给明确的评价结果，给学生更多的机会，当取得较好的成绩时再给予评价，以保护学生的学习
积极性）的方式，提供再次评价的机会，使他们看到自己的进步，树立学好数学的信心。）
2.数学思考和问题解决的评价
数学思考和问题解决的评价要依据总目标和学段目标的要求，体现在整个数学学习过程中。
对数学思考和问题解决的评价应当采用多种形式和方法，特别要重视在平时教学和具体的问题情境
中进行评价。例如，在第二学段，教师可以设计下面的活动，评价学生数学思考和问题解决的能力：
用长为50厘米的细绳围成一个边长为整厘米数的长方形，怎样才能使面积达到最大？
在对学生进行评价时，教师可以关注以下几个不同的层次：
第一，学生是否能理解题目的意思，能否提出解决问题的策略，如通过画图进行尝试；
第二，学生能否列举若干满足条件的长方形，通过列表等形式将其进行有序排列；
第三，在观察、比较的基础上，学生能否发现长和宽变化时，面积的变化规律，并猜测问题的结果；
第四，对猜测的结果给予验证；
第五，鼓励学生发现和提出一般性问题，如，猜想当长和宽的变化不限于整厘米数时，面积何时最
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大。
为此，教师可以根据实际情况，设计有层次的问题评价学生的不同水平。例如，设计下面的问题：
（1）找出三个满足条件的长方形，记录下长方形的长、宽和面积，并依据长或宽的长短有序地排列
出来。
（2）观察排列的结果，探索长方形的长和宽发生变化时，面积相应的变化规律。猜测当长和宽各为
多少厘米时，长方形的面积最大。
（3）列举满足条件的长和宽的所有可能结果，验证猜测。
（4）猜想：如果不限制长方形的长和宽为整厘米数，怎样才能使它的面积最大？
教师可以预设目标：对于第二学段的学生，能够完成第（1）（2）题就达到基本要求，对于能完成第
（3）（4）题的学生，则给予进一步的肯定。
学生解决问题的策略可能与教师的预设有所不同，教师应给予恰当的评价。
3.情感态度的评价
情感态度的评价应依据课程目标的要求，采用适当的方法进行。主要方式有课堂观察、活动记录、
课后访谈等。
情感态度评价主要在平时教学过程中进行，注重考查和记录学生在不同阶段情感态度的状况和发生
的变化。例如，可以设计下面的评价表，记录、整理和分析学生参与数学活动的情况。这样的评价表每
个学期至少记录1次，教师可以根据实际需要自行设计或调整评价的具体内容。
表2 参与数学活动情况的评价表
学生姓名：____________时间：____________活动内容：____________
评价内容 主要表现
参与活动
思考问题
与他人合作
表达与交流
教师可以根据实际情况设计类似的评价表，也可以根据需要设计学生情感态度的综合评价表。
4.注重对学生数学学习过程的评价
学生在数学学习过程中，知识技能、数学思考、问题解决和情感态度等方面的表现不是孤立的，这
些方面的发展综合体现在数学学习过程之中。在评价学生每一个方面表现的同时，要注重对学生学习过
程的整体评价，分析学生在不同阶段的发展变化。评价时应注意记录、保留和分析学生在不同时期的学
习表现和学业成就。
例如，可以设计下面的课堂观察表用于记录学生在课堂中的表现，积累起来，以便综合了解学生的
学习表现以及变化情况。观察表中的项目可以根据实际需要自行调整，随时记录学生在课堂教学中的表
现。教师可以有计划地每天记录几位同学的表现，保证每学期每位同学有3~5次的记录；也可以根据实
际情况记录某些同学的特殊表现，如提出或回答问题具有独特性的同学、在某方面表现突出的同学、或
在某方面需要改进的同学。经过一段时间的积累，对于学生平时数学学习的表现，就会有一个较为清晰
具体的了解。
表3 课堂观察表
上课时间：____________科目：____________内容：____________
学生 王 李 陈
项目 涛 明 虎
课堂参与
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提出或回答问题
合作与交流
课堂练习
知识技能的掌握
独立思考
其他
说明：记录时，可以用3表示优，2表示良，1表示一般，等等。
5.体现评价主体的多元化和评价方式的多样化
评价主体的多元化是指教师、家长、同学及学生本人都可以作为评价者，可以综合运用教师评价、
学生自我评价、学生相互评价、家长评价等方式，对学生的学习情况和教师的教学情况进行全面的考查。
例如，每一个学习单元结束时，教师可以要求学生自我设计一个“学习小结”，用合适的形式（表、图、
卡片、电子文本等）归纳学到的知识和方法，学习中的收获，遇到的问题，等等。教师可以通过学习小
结对学生的学习情况进行评价，也可以组织学生将自己的学习小结在班级展示交流，通过这种形式总结
自己的进步，反思自己的不足以及需要改进的地方，汲取他人值得借鉴的经验。条件允许时，可以请家
长参与评价。
评价方式多样化体现在多种评价方法的运用，包括书面测验、口头测验、开放式问题、活动报告、
课堂观察、课后访谈、课内外作业、成长记录等等。在条件允许的地方，也可以采用网上交流的方式进
行评价。每种评价方式都具有各自的特点，教师应结合学习内容及学生学习的特点，选择适当的评价方
式。例如，可以通过课堂观察了解学生学习的过程与学习态度，从作业中了解学生基础知识与基本技能
掌握的情况，从探究活动中了解学生独立思考的习惯和合作交流的意识，从成长记录中了解学生的发展
变化。
6.恰当地呈现和利用评价结果
评价结果的呈现应采用定性与定量相结合的方式。第一学段的评价应当以描述性评价为主，第二学
段采用描述性评价和等级评价相结合的方式，第三学段可以采用描述性评价和等级（或百分制）评价相
结合的方式。
评价结果的呈现和利用应有利于增强学生学习数学的自信心，提高学生学习数学的兴趣，使学生养
成良好的学习习惯，促进学生的发展。评价结果的呈现，应该更多地关注学生的进步，关注学生已经掌
握了什么，获得了哪些提高，具备了什么能力，还有什么潜能，在哪些方面还存在不足，等等。
例如，下面是对某同学第二学段关于“统计与概率”学习的书面评语：
王小明同学，本学期我们学习了收集、整理和表达数据。你通过自己的努力，能收集、记录数据，
知道如何求平均数，了解统计图的特点，制作的统计图很出色，在这方面表现突出。但你在使用语言解
释统计结果方面还存在一定差距。继续努力，小明！评定等级：B。
这个以定性为主的评语，实际上也是教师与学生的一次情感交流。学生阅读这一评语，能够获得成
功的体验，树立学好数学的自信心，也知道自己的不足和努力方向。
教师要注意分析全班学生评价结果随时间的变化，从而了解自己教学的成绩和问题，分析、反思教
学过程中影响学生能力发展和素质提高的原因，寻求改善教学的对策。同时，以适当的方式，将学生一
些积极的变化及时反馈给学生。
7.合理设计与实施书面测验
书面测验是考查学生课程目标达成状况的重要方式，合理地设计和实施书面测验有助于全面考查学
生的数学学业成就，及时反馈教学成效，不断提高教学质量。
（1）对于学生基础知识和基本技能达成情况的评价，必须准确把握内容标准中的要求。例如，对于
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一元二次方程根与系数关系的考查，内容标准中的要求是“了解”，并不要求应用这个关系解决其他问题，
设计测试题目时应符合这个要求。
内容标准中的选学内容，不得列入考查（考试）范围。
对基础知识和基本技能的考查，要注重考查学生对其中所蕴涵的数学本质的理解，考查学生能否在
具体情境中合理应用。因此，在设计试题时，应淡化特殊的解题技巧，不出偏题怪题。
（2）在设计试题时，应该关注并且体现本标准的设计思路中提出的几个核心词：数感、符号意识、
空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想，以及应用意识和创新意识。
（3）根据评价的目的合理地设计试题的类型，有效地发挥各种类型题目的功能。例如，为考查学生
从具体情境中获取信息的能力，可以设计阅读分析的问题；为考查学生的探究能力，可以设计探索规律
的问题；为考查学生解决问题的能力，可以设计具有实际背景的问题；为了考查学生的创造能力，可以
设计开放性问题。
（4）在书面测验中，积极探索可以考察学生学习过程的试题，了解学生的学习过程。
（三）教材编写建议
数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标、实
施数学教学的重要资源。
数学教材的编写应以本标准为依据。教材所选择的学习素材应尽量与学生的生活现实、数学现实、
其他学科现实相联系，应有利于加深学生对所要学习内容的数学理解。教材内容的呈现要体现数学知识
的整体性，体现重要的数学知识和方法的产生、发展和应用过程；应引导学生进行自主探索与合作交流，
并关注对学生人文精神的培养；教材的编写要有利于调动教师的主动性和积极性，有利于教师进行创造
性教学。
内容标准是按照学段制订的，并未规定学习内容的呈现顺序。因此，教材可以在不违背数学知识逻
辑关系的基础上，根据学生的数学学习认知规律、知识背景和活动经验，合理地安排学习内容，形成自
己的编排体系，体现出自己的风格和特色。
1.教材编写应体现科学性
科学性是对教材编写的基本要求。教材一方面要符合数学的学科特征，另一方面要符合学生的认知
规律。
（1）全面体现本标准提出的理念和目标
教材的编写应以本标准为依据，在准确理解的基础上，全面体现和落实本标准提出的基本理念和各
项目标。
（2）体现课程内容的数学实质
教材中学习素材的选择，图片、情境、实例与活动栏目等的设置，拓展内容的编写，以及其他课程
资源的利用，都应当与所安排的数学内容有实质性联系，有利于提高学生对数学实质的理解，有利于提
高学生对所学内容的兴趣。
（3）准确把握内容标准要求
本标准对于义务教育阶段的数学教学内容有明确和具体的目标要求，教材的编写应遵循学生的认知
规律，准确地把握“过程目标”和“结果目标”要求的程度。例如，关于距离的概念，在第二学段要求“知道”
两点间的距离，在第三学段要求“理解”两点间距离的意义，“能”度量两点间的距离。在编写相关内容时，
一方面要把握好“知道”与“理解”“能”之间程度的差异，另一方面也要注意内容之间的衔接。
（4）教材的编写要有一定的实验依据
教材的内容、实例的设计、习题的配置等，要经过课堂教学的实践检验，特别是新增的内容要经过
较大范围的实验，根据实践的结果推敲可行性，并不断改进与完善。
2.教材编写应体现整体性
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教材编写应当体现整体性，注重突出核心内容，注重内容之间的相互联系，注重体现学生学习的整
体性。
（1）整体体现课程内容的核心
教材的整体设计要体现内容领域的核心。本标准在设计思路中提出了几个核心词：数感、符号意识、
空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想，以及应用意识和创新意识，它
们是义务教育阶段数学课程内容的核心，也是教材的主线。因此，教材应当围绕这些核心内容进行整体
设计和编排。
例如，在方程、不等式和函数的各部分内容编排中，应整体考虑模型思想的体现，突出建立模型、
求解模型的过程。
再例如，推理能力包括合情推理和演绎推理，无论是“数与代数”“图形与几何”还是“统计与概率”的
内容编排中，都要尽可能地为学生提供观察、操作、归纳、类比、猜测、证明的机会，发展学生的推理
能力。
（2）整体考虑知识之间的关联
教材的整体设计要呈现不同数学知识之间的关联。一些数学知识之间存在逻辑顺序，教材编写应有
利于学生感悟这种顺序。一些知识之间存在着实质性的联系，这种联系体现在相同的内容领域，也体现
在不同的内容领域。例如，在“数与代数”的领域内，函数、方程、不等式之间均存在着实质性联系；此
外，代数与几何、统计之间也存在着一定的实质性联系。
帮助学生理解类似的实质性联系，是数学教学的重要任务。为此，教材在内容的素材选取、问题设
计和编排体系等方面应体现这些实质性联系，展示数学知识的整体性和数学方法的一般性。
（3）重要的数学概念与数学思想要体现螺旋上升的原则
数学中有一些重要内容、方法、思想是需要学生经历较长的认识过程，逐步理解和掌握的，如，分
数、函数、概率、数形结合、逻辑推理、模型思想等。因此，教材在呈现相应的数学内容与思想方法时，
应根据学生的年龄特征与知识积累，在遵循科学性的前提下，采用逐级递进、螺旋上升的原则。螺旋上
升是指在深度、广度等方面都要有实质性的变化，即体现出明显的阶段性要求。
例如，函数是“数与代数”的重要内容，也是义务教育阶段学生比较难理解和掌握的数学概念之一，
本标准在三个学段中均安排了与函数关联的内容目标，希望学生能够逐渐加深对函数的理解。因此，教
材对函数内容的编排应体现螺旋上升的原则，分阶段逐渐深化。依据内容标准的要求，教材可以将函数
内容的学习分为三个主要阶段：
第一阶段，通过一些具体实例，让学生感受数量的变化过程、以及变化过程中变量之间的对应关系，
探索其中的变化规律及基本性质，尝试根据变量的对应关系作出预测，获得函数的感性认识。
第二阶段，在感性认识的基础上，归纳概括出函数的定义，并研究具体的函数及其性质，了解研究
函数的基本方法，借助函数的知识和方法解决问题等，使得学生能够在操作层面认识和理解函数。
第三阶段，了解函数与其他相关数学内容之间的联系（例如，与方程之间、不等式之间的联系），使
得学生能够一般性地了解函数的概念。
（4）整体性体现还应注意以下几点
配置习题时应考虑其与相应内容之间的协调性。一方面，要保证配备必要的习题帮助学生巩固、理
解所学知识内容；另一方面，又要避免配置的习题所涉及的知识超出相应的内容要求。
教材内容的呈现既要考虑不同年龄学生的特点，又要使整套教材的编写体例、风格协调一致。
数学文化作为教材的组成部分，应渗透在整套教材中。为此，教材可以适时地介绍有关背景知识，
包括数学在自然与社会中的应用、以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解在人类文明发展中数学的
作用，激发学习数学的兴趣，感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美。例如，可以介绍《九章算术》、
珠算、《几何原本》、机器证明、黄金分割、CT技术、布丰投针等。
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3.教材内容的呈现应体现过程性
教材编写不是单纯的知识介绍，学生学习也不是单纯地模仿、练习和记忆。因此，教材应选用合适
的学习素材，介绍知识的背景；设计必要的数学活动，让学生通过观察、实验、猜测、推理、交流、反
思等，感悟知识的形成和应用。恰当地让学生经历这样的过程，对于他们理解数学知识与方法、形成良
好的数学思维习惯和应用意识，提高解决问题的能力有着重要的作用。
（1）体现数学知识的形成过程
在设计一些新知识的学习活动时，教材可以展现“知识背景—知识形成—揭示联系”的过程。这个过
程要有利于激发学习兴趣，理解数学实质，发展思考能力，了解知识之间的关联。例如，分数、负数和
无理数的引入都可以体现这样的过程。
（2）反映数学知识的应用过程
教材应当根据课程内容，设计运用数学知识解决问题的活动。这样的活动应体现“问题情境─建立模
型─求解验证”的过程，这个过程要有利于理解和掌握相关的知识技能，感悟数学思想、积累活动经验；
要有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力，增强应用意识和创新意识。
每一册教材至少应当设计一个适用于“综合与实践”学习活动的题材，这样的题材可以以“长作业”的
形式出现，将课堂内的数学活动延伸到课堂外，经历收集数据、查阅资料、独立思考、合作交流、实践
检验、推理论证等多种形式的活动。提倡在教材中设计更为丰富的“综合与实践”活动题材，供教师选择。
4.呈现内容的素材应贴近学生现实
素材的选用应当充分考虑学生的认知水平和活动经验。这些素材应当在反映数学本质的前提下尽可
能地贴近学生的现实，以利于他们经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程。学生的现实主要包
含以下三个方面：
（1）生活现实
在义务教育阶段的数学课程中，许多内容都可以在学生的生活实际中找到背景。
第一学段，学生所感知的生活面较窄，从他们身边熟悉的、有趣的事物中选取学习素材，容易激发
他们学习数学的兴趣，使他们感受到数学就在自己的身边，也易于他们理解相关的数学知识，体会到数
学的作用。
第二学段、第三学段，学生的活动空间有了较大的扩展，他们感兴趣的问题已拓展到客观世界的许
多方面，他们逐渐关注来源于自然、社会中更为广泛的现象和问题，对具有一定挑战性的内容表现出更
大的兴趣。因此，教材所选择的素材应尽量来源于自然、社会中的现象和问题。如与现实生活有关的图
片和图形（照片、简单的模型图、平面图、地图等），以使学生感受到数学的价值和趣味。
（2）数学现实
随着数学学习的深入，学生所积累的数学知识和方法就成为学生的“数学现实”，这些现实应当成为
学生进一步学习数学的素材。选用这些素材，不仅有利于学生理解所学知识的内涵，还能够更好地揭示
相关数学知识之间的内在关联，有利于学生从整体上理解数学，构建数学认知结构。例如，因式分解知
识的引入可以借助整数的分解，平行四边形概念的引入可以借助三角形，等等。
（3）其他学科现实
数学的许多内容与其他学科知识有着密切的联系，随着学生学习的深入，其他学科的知识也就成为
学生的“现实”，教材在选择数学学习素材时应当予以关注。
5.教材内容设计要有一定的弹性
按照本标准要求，教材的编写要面向全体学生，也要考虑到学生发展的差异，在保证基本要求的前
提下，体现一定的弹性，以满足学生的不同需求，使不同的人在数学上得到不同的发展，也便于教师发
挥自己的教学创造性。例如：
（1）就同一问题情境提出不同层次的问题或开放性问题。
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（2）提供一定的阅读材料，包括史料、背景材料、知识应用等，供学生选择阅读。
（3）习题的选择和编排突出层次性，设置巩固性问题、拓展性问题、探索性问题等；凡不要求全体
学生掌握的习题，需要明确标出。
（4）在设计综合与实践活动时，所选择的课题要使所有的学生都能参与，不同的学生可以通过解决
问题的活动，获得不同的体验。
（5）编入一些拓宽知识或者方法的选学内容，增加的内容应注重于介绍重要的数学概念、数学思想
方法，而不应该片面追求内容的深度、问题的难度、解题的技巧。
（6）设计一些课题和阅读材料，引导学生借助算盘、函数计算器、计算机等工具，进行探索性学习
活动。
6.教材编写要体现可读性
教材应具备可读性，易于学生接受，激发学生学习兴趣，为学生提供思考的空间。教材可读与否，
对不同学段的学生具有不同的标准。因此，教材的呈现应当在准确表达数学含义的前提下，符合学生年
龄特征，从而有助于他们理解数学。
对于第一学段的学生，可以采用图片、游戏、卡通、表格、文字等多种方式，直观形象、图文并茂、
生动有趣地呈现素材，提高他们的学习兴趣。
对于第二学段的学生，由于他们具备了一定的文字理解和表达能力，所以教材的呈现应在运用学生
感兴趣的图片、表格、文字等形式的同时，逐渐增加数学语言的比重。
对于第三学段的学生，随着数学学习、语言学习的深入，他们使用文字和数学符号的能力已经有了
一定程度的发展。教材的呈现可以将实物照片、图形、图表、文字、数学符号等多种形式结合起来。
【经典例题】
一、选择题
1.“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少（ ）次。
A.一 B.二 C.三 D.四
2.《义务教育教学课程标准（2011年版）》提出，“数感”感悟的对象是（ ）。
A.数与量、数量关系、口算 B.数与量、数量关系、笔算
C.数与量、数量关系、简便运算 D.数与量、数量关系、运算结果估计
3.《义务教育教学课程标准（2011年版）》提出，应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、
几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和（ ）。
A.探索性学习 B.合作交流
C.模型思想 D.综合与实践
4.《义务教育教学课程标准（2011年版）》提出的新课标包括，通过义务教育阶段的数学学习，学生
能养成良好的学习习惯，良好的学习习惯主要是指勤奋、独立思考、合作交流和（ ）。
A.反思质疑 B.坚持真理 C.修正错误 D.严谨求是
5.义务教育课程的总目标是从（ ）方面进行阐述的。
A.认识，理解，掌握和解决问题
B.基础知识，基础技能，问题解决和情感
C.知识，技能，问题解决，情感态度价值观
D.知识与技能、数学思考，问题解决和情感态度
6.义务教育阶段的教学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、（ ）、发展性。
A.科学性 B.社会性 C.普及性 D.民族性
7.数学课标中所说的“数学基本思想”主要指（ ），数学推理的思想，数学建模的思想。
A.数学函数思想 B.数学抽象思想
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C.数学对称思想 D.数学化归思想
8.下列命题不是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中规定的“图形与几何”领域的9条“基本事
实”的是（ ）。
A.两点之间线段最短
B.过一点有且只有一条直线与这条直线垂直
C.三边分别相等的两个三角形全等
D.两条平行直线被第三直线所截，同位角相等
9.下列内容属于《义务教育数学新课程标准（2011年版）》第三学段“数与式”的是（ ）。
①有理数②方程③实数④代数式⑤整式与分式
A.①②③④ B.①②④⑤ C.①③④⑤ D.①②③⑤
10.下列不属于《义务教育数学课程标准（2011年版）》规定的第三学段“图形与几何”领域内容的是
（ ）。
A.图形的性质 B.图形的变化
C.图形与位置 D.图形与坐标
11.“三角形内角和180°”，其判断的形式是（ ）。
A.全称肯定判断 B.全称否定判断
C.特称肯定判断 D.特称否定判断
12.《义务教育数学课程标准（2011年版）》中课程内容的四个部分是（ ）。
A.数与代数，图形与几何，统计与概率，综合与实践
B.数与代数，图形与几何，统计与概率，数学实验
C.数与代数，图形与几何，统计与概率，数学建模
D.数与代数，图形与几何，统计与概率，数学文化
13.《义务教育数学课程标准（2011年版）》设定了九条基本事实，下列属于基本事实的是（ ）。
A.两条平行线被一条直线所截，同位角相等
B.两平行线间距离相等
C.两条平行线被一条直线所截，内错角相等
D.两直线被平行线所截，对应线段成比例
14．【2018下半年初级】在下列描述课程目标的行为动词中，要求最高的是（ ）．
A．理解 B．了解 C．掌握 D．知道
二、填空题
1.教学活动是师生_____________、_______________、____________的过程。有效的教学活动是学
生学与教师教的统一，学生是学习的_____________，教师是学习的_____________、_______________、
____________。
2.《义务教育教学课程标准（2011 年版）》，在各学段中安排了 4 个部分的课程内容：“数与代数”、
“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”，其中“综合与实践”内容设置的目的在于______________。
（写出正确结论的编号）
①培养学生综合运用有关知识与方法解决实际问题；
②培养学生的问题意识、应用意识与创新意思；
③积累学生的活动经验；
④加强学生知识与技能的熟悉程度；
⑤提高学生解决实际问题的能力。
三、解答题
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1.简述义务教育阶段数学课程的性质。
2.简述义务教育阶段“数与代数”的主要内容。
3.义务教育课程从学段上划分几个阶段，它们分别是什么？
4.义务教育数学课程内容分哪几部分？
5.数学课程内容中的核心概念是什么？（十大核心概念）
6.《义务教育数学课程标准（2011年版）》中“数据分析观念”的含义是什么？
7.义务教育数学课程的总目标是从哪几方面进行阐述的？
8.简述义务教育数学课程中设置“综合与实践”内容的必要性，并举例说明“综合与实践”的教学特点。
9.简述在数学教学中应当处理好哪几个关系？
10.简要论述《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出的空间观念的含义。
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11.《义务教育课程数学课程标准（2011 年版）》中强调培养学生“符号意识”。简要回答“符号意识”
表现为哪些方面，并举例说明。
12.请列举出数学中常用的数学思想方法有哪些？请结合自己的教学实践对某一种思想方法进行简
要的分析。
13.数学新课程提倡教师要成为学生数学学习活动的组织者、引导者与合作者，请解释教师的引导作
用主要体现在那些方面？
14.结合自己的教学实践，简要谈谈如何让学生在现实情境中体验和理解数学。
15.举例说明，在教学中如何处理“预设与生成”的关系。
16.【2015年下半年初中】阐述确定数学学课程内容的依据。
17．【2017上半年，初级13】书面测验是考查学生课程目标达成状况的重要方式，以“有理数”一章
为例，说明设计数学测验卷应关注的重要问题。
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18．【2017上半年，初级15】推理一般包括合情推理与演绎推理。
（1）请分别阐述合情推理与演绎推理的含义；（6分）
（2）举例说明合情推理与演绎推理在解决数学问题中的作用（6分），并阐述二者间的关系。（3分）
19．【2017下半年，初级13】《义务教育数学课程标准（2011年版）》设置了部分选学内容，以韦达
定理为例简述设置选学内容的意义．
20．【2018下半年初级】简述日常数学教学中对学生进行学习评价的目的．
21．【2018 下高级】论述数学教学中使用信息技术的作用，并阐述使用信息技术与其他教学手段的
关系．
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第三章 教学知识
一、数学教学原则
数学教学原则，应根据数学教学目的和数学学科特点，以及学生学习数学心理特点来确定。目前，
在中学数学教学中，主要应遵循如下基本原则：
1.抽象与具体相结合原则
这一原则是数学教学中抽象思维与生动具体对象统一规律的反映。也就是说，在数学教学中既要促
使学生通过各种感官去具体感知数学的具体模型，形成鲜明的表象，又要引导学生在感知材料的基础上
进行抽象思维，形成正确的概念、判断和推理。
这一原则，既来自数学内部，又符合学生认知过程。它和数学的高度抽象性互为表里，是辩证的统
一。我们知道，数学以现实世界的空间形式和数量关系作为研究对象，表现为思考事物的纯粹的量，广
泛使用抽象符号，使得数学与其他学科相比，抽象程度较高。但是，数学理论不是空中楼阁，数学的抽
象总是相对于具体原型而存在的。正像恩格斯指出的“自然界对一切想象的数量都提供了原型”。数学的
抽象使它具有高度的概括性，也使得数学理论能推广到更为广泛的具体对象之中。
从具体到抽象符合学生在学习过程中从感知到理解，从表象到概念的认识规律。学生认识数学理论
时，是从他的生动直觉开始。理性知识的形成，必须具有感性知识基础。只有在此基础上，进一步区分
这些研究对象所共有的，决定它们性质的本质属性和仅是个别对象特有的非本质属性，这样才能在头脑
中形成理性知识。例如：学习数学概念时，首先，可通过一定的感性材料得到具体对象的感知和表象，
然后抽象概括出对象的本质属性，再用概念去解决具体问题，这个过程体现了由具体到理性的抽象，由
理性到对更为广泛的具体的认识。数学教学实践表明通过实物直观、模像直观、语言直观，使学生形成
鲜明表象，是学生掌握数学理论知识的重要环节，也是贯彻抽象与具体相结合原则的前提。
如何在数学教学中贯彻这一原则呢？
首先要着重培养学生的抽象思维能力。所谓抽象思维能力，是指脱离具体形象、运用概念、判断、
推理等进行思维的能力。按抽象思维不同的程度，可分为经验型抽象和理论型抽象思维。在教学中，我
们应着重发展理论型抽象思维，因为只有理论型抽象思维得到充分发展的人，才能很好地分析和综合各
种事物，才有能力去解决问题。
其次要培养学生观察能力和提高抽象、概括能力。在教学中，可通过实物教具，利用数形结合，以
形代数等手段。例如，讲对数函数有关性质时，可先画出图象，观察图象抽象出有关性质就是一例。
2.严谨性与量力性相结合原则
数学的严谨性，是指数学具有很强的逻辑性和较高的精确性，即逻辑的严格性和结论的确定性。量
力性是指学生的可接受性。
这一原则，说明教学中的数学知识的逻辑严谨性与学生的可接受性之间相适应的关系。理论知识的
严谨程度要适合学生的一般知识结构与智力发展水平，随着学生知识结构的不断完善，心理发展水平的
提高，逐渐增强理论的严谨程度；反过来，又要通过恰当的理论严谨性逐渐促进学生的接受能力。
显然，这一原则是根据数学本身的特点及学生心理发展的特点提出的。但是，在学习过程中，学生
的心理发展是逐步形成的，不同的年龄阶段，其感知、记忆、想象、思维、能力等心理因素都有不同的
发展水平。这种心理发展的渐变性决定了在教学中不可能对数学理论的研究达到完全严密的程度，而应
该在不同的教学阶段，依据不同的教学目的和内容而提出不同的严谨性要求。即数学教学的严谨性是相
对的。
认真了解学生的心理特点与接受能力，是贯彻严谨性和量力性相结合的原则的前提。“备课先备学
生”的经验之谈，就出于此。也就是说，只有全面地了解学生情况，才能使制订的教学计划与内容安排真
正做到有的放矢、因材施教，才能真正贯彻好这一原则。
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在教学中，对严谨性要求，应设法安排使学生逐步适应的过程与机会，逐步提高其严谨程度，做到
立论有据。例如初学平面几何的学生，对严格论证很不适应，教学时应先由教师给出证明步骤，让学生
只填每一步的理由，鼓励学生发扬“跳一跳够得到”的精神，合情合理地提出教学要求，逐步过渡到学生
自己给出严格证明，最后要求达到立论有据，论证简明。但绝不能消极适应学生，人为地降低教材理论
要求，必须在符合内容科学性的前提下，结合学生实际组织教学。
3.理论与实际相结合原则
理论与实际相结合，既是认识论与方法论的基本原理，又是教学论中的一般原理。这一原则是数学
特点所决定的。数学虽是非常现实的，但舍去了与数量关系和空间形式无关的性质，以致它以高度抽象
的形式出现。这就要求在教学的时候，不仅要联系实际来阐明理论，还要适当地、有机地使理论与实际
交叉进行。例如在方程教学时，一般都是以实际问题出发，使学生列出方程，而后再明确该方程定义；
然后寻求该方程的一般解法；最后再让学生作一些有目的的练习。
此原则体现了严密的逻辑系统这一数学特点。例如欲使学生掌握某一定理，如果他对于推证时所用
的其他定理全然无知，或对其实质认识不深刻，他们对这一新的定理也无法掌握。此原则也体现了应用
广泛性这一数学特点。我们在教学中，应随时让学生掌握基础知识的简单用途和用法，为今后解决一般
实际问题奠定基础。同时，学生通过实践更能体会抽象理论用途，便于牢固地记忆且获得一定技能。
此原则也是为培养学生分析问题与解决问题能力所需要的。因为这个能力主要是指如何使学生把实
际问题归结为数学问题的能力。显然，这就要求学生明确抽象理论的实际意义，并了解从实际现象上升
为理论的探讨过程，才能发展学生的能力。因数学的内容是依逻辑的顺序进行安排，并按照理论循序渐
进地展开的，所以并非每一个别的抽象理论都反映具体实际现象。例如因式分解的理论与方法等，理论
与实际相结合不能硬凑。另外，由于数学各项理论内容繁简与学生理解能力强弱不同，故在教学中使理
论与实践结合穿插进行的密度也不一致，因此必须适当、有机地进行。且随着年级的增高、个别理论难
度加大，穿插进行的密度也相对地减小。
4.巩固与发展相结合原则
数学学习过程是巩固与获取有关知识技能的不断向前发展的过程，巩固与发展不能截然分开，应在
发展的过程中进行巩固，在巩固的基础上向前发展。古人提出“温故而知新”就是这个道理。因此在教学
中应很好地调节这两方面的进程，以便获得更好的教学效果。
这一原则要求教师在教学中处理好新知识与旧知识的关系，知识传授与能力发展的关系。其含义有
二：（1）要求学生牢固地掌握所学的知识，随时在记忆中再现这些知识。温故而能知新，探新也可习故，
应结合新知识的学习巩固旧知识。（2）在传授知识的同时使学生能力得到发展。
这一原则是符合当前数学教学实际的。数学教材以系统性强为其特点之一，数学逻辑链条上的一个
环节发生断裂，就可能影响整个知识掌握，因此循序渐进，注意知识的巩固是教师应特别重视的。但也
应看到，知识的巩固不是单线条式的简单累加，它体现在数学教学过程中的各个阶段。在数学知识结构
中，某一数学知识也常常是多个数学知识的交叉点，故应在知识与知识的有机联系中去巩固与发展知识，
在知识的巩固中发展能力，以能力的培养求知识的发展。
这一原则是适合学生的心理发展规律的。在数学学习中，学生心理发展既有连续不断的继承性特点，
又有产生质变的阶段性特点。以心理发展动力看，也产生于两方面，一是已有的知识、智力水平或结构，
二是在一定智力水平上所产生的新的动机和需要，这两方面相互依存。
如何做到在发展的过程中进行巩固呢？
除上面从心理学角度所谈的之外，再谈两点：（1）在学习新知识时，要深刻理解这些知识，必须调
动学生学习知识的自觉性。（2）零碎的、杂乱的、无系统的知识是不可能巩固的。因此，使学生获得有
系统的知识是使知识巩固的又一必要条件，它要求教师在教学时注意概念形成过程，讲清命题间的逻辑
关系等。教学必须条理清晰、前后联系、层次分明，给学生系统知识，使其深刻理解知识，达到巩固的
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目的。
由此可见，为了使学生巩固所学，在教学中应该注意结合新知识教学，使新旧知识穿插对比进行.即
依巩固与发展相结合进行数学教学又是一个基本原则。
二、中学数学教学常用的基本方法
我国中学数学常用的基本方法大致有：讲解法、练习法、谈话法、演示与实验法、阅读法、讨论法
等等。
（一）讲解法
课堂上教师的主要活动是口头讲解、扼要板书，学生的主要活动是听讲、思考、重点记录、做练习，
这种教学方法叫做讲解法。
讲解法主要用于新单元的开始、新概念的引入、新命题的得出、新知识的归纳以及学生提问的集中
答疑，它一般用于小学高年级学生为宜。讲解法的最大缺点是难以及时反馈，目标对象指向大多数，不
利于学优生的发展和学困生的转化。
讲解法的基本要求：科学性、系统性、启发性、针对性、深刻性、语言要生动。
（二）练习法
练习法是学生在教师的指导下，为巩固知识和形成一定的技能、技巧而反复地完成一定动作或活动
方式的一种教学方法。其特点是学生在练习操作过程中，不仅能够积极的感知和掌握数学知识和方法，
而且能获得思维能力的发展。练习内容要紧扣教学要求，目的明确。练习的形式可以是书面的、口头的，
也可以是问答题、实际操作题。
练习法优点：学生能最大的发挥自己的主体作用，使各类学生的能力都能得到提高。
练习法缺点：如果教师组织不好，安排不当，学生会放任自流。
（三）谈话法
谈话法是教师使用谈话、回答的方式，根据学生已有的知识和经验提出问题，启发学生对所提问题
积极思考，从而使学生获得知识的一种教学方法。
谈话法的优点：通过师生间的交流，激起学生对旧知识的回忆，沟通新知识间的联系，提高学生注
意力，使学生的思维目标明确，易发现规律得出结论。这样有利于学生积极思考，努力进取，有利于培
养学生的逻辑思维和语言表达能力，也有利于教师及时获得反馈信息调控教学过程。
谈话法的缺点：教学时间不宜掌控，如果学生对问题不理解不会可能会挫伤学生的积极性与自尊心。
教学中使用谈话法，一般要经过以下步骤：
首先，提出要谈的问题；
其次，把要谈的问题数学化，弄清问题的含义；
再次，组织谈话，鼓励谈论和争论，不断明确方向，集中于问题解决的不断深化；
最后，不断整理和及时反思建议的可行性，即使总结成功的经验和失败的教训，对正确的和错误的
建议进行评价，完成问题解决的目标。
（四）演示与实验法
演示法是教师通过展示实物和模型等直观教具，引导学生通过观察获得感性知识的方法。实验法是
指在教师的指导下，学生运用某些具体材料或学具进行试验，找出对象性质或问题的答案的一种教学方
法。
这两种方法的特点是：教师利用制作的教具演示出抽象概念所包含的内容的对象以及关系，或由学
生动手操作一些学具，可使抽象的概念具体化、形象化，以帮助学生认识和理解。
（五）阅读法
阅读法是在教师指导下，学生通过阅读数学课本来获取数学知识和教学方法。这种教学方法一般在
中、高年级使用。其特点是能够提高学生阅读和自学数学的能力。
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（六）讨论法
讨论法是全班或小组成员在教师的指导下，围绕某一中心问题发表自己的看法和见解，从而进行相
互学习的一种方法。
讨论法的优点在于学生通过对所学内容的讨论，可以集思广益，互相启发，加深理解，提高认识，
同时还可以激发学生的学习热情，培养对问题的钻研精神并训练学生的语言表达能力。运用讨论法需要
学生具备一定的基础知识、一定的理解能力和独立思考的能力，因此，讨论法在高年级运用得比较多。
运用讨论法的基本要求：①讨论前，教师应提出讨论题目和讨论的具体要求，指导学生收集有关资
料。②讨论时，教师要引导学生围绕中心问题、联系实际进行讨论，要让每一位学生都有发言的机会。
③讨论结束时，教师要进行小结，并进一步提出需要进行思考的问题。
（七）自学辅导法
自学辅导法是中科院心理研究所的卢仲衡同志提出的，就是在教师的指导和辅导下，以学生自学为
主的教学过程。
自学辅导法的优点在于能更好的调动学生学习的主动性，并能充分的发挥教师的主导作用，从而提
高学生的学习成绩和培养学生的独立学习、独立思考的能力。
自学辅导的数学教学法最基本的策略就是“先学后教、先练后讲、教师指导、学生自学”。其基本的
教学程序是，教师布置数学自学任务，根据课程目标提出自学目标，在教师课堂巡视、自学引导下，学
生依据自学目标独立地进行阅读、思考，提出数学疑难，查阅资料，相互讨论研究，同学间、师生间进
行交流，最后对自学、讨论、练习进行点评和总结。
三、素质教育和创新教育下的新教学模式
（一）小组教学模式
1.小组教学法的基本含义
小组教学模式是这样一种教学模式，学生通常被分成4-6人一组，通过独立思考与合作交流的方式
展开学习活动，每名学生既作为认知个体，也作为社会个体加入学习活动；学习氛围与来自环境的知识
在学习过程中起着重要作用；小组活动的结果被视为每一名成员的成就——不管是成功还是失败。小组
教学法的核心是提倡学生间的合作学习。
2.小组教学模式的实施
实施小组教学模式的第一步是分组，在班级形成相对固定的学习小组，通常是4-6人一组。每一次
开展活动的一般过程如下：
（1）由教师提供学习任务；
（2）小组活动；
（3）采用分工合作的方式解决问题；
（4）组内交流问题解决的过程，使每一名成员都知道本组对问题求解的过程和最终结论；
（5）全班交流各小组的研究成果，形成若干基本结论。
从小组教学实施的角度来看，有很多需要注意的地方：
（1）研究课题的选择：难度适中，有利于引起认知冲突，有利于用语言表达、交流；
（2）分组：小组成员应具有不同能力特征、不同数学水平、不同性别的学生，而且成员“认知距离”
不宜差别太大；
（3）小组活动时间：不宜过短；
（4）教师的地位和作用：实施小组教学法的一个明显难点是教师对自身教学角色的定位问题。
（5）记分方式：记分方式既可以表现出每一名学生的学习情况，又能体现小组的集体意识。
（二）探究式教学模式
探究式教学模式也称为“引导——发现”模式，其主要目标是学习发现问题的方法，培养、提高创造
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性思维能力。主要操作步骤有：
1.教师精心设置问题链；
2.学生基于对问题的分析，提出假设；
3.在教师的引导下，学生对问题进行论证，形成确切概念；
4.学生通过实例来证明或辨认所获得的概念；
5.教师引导学生分析思维过程，形成新的认知结构。
在进行探究式学习中要注意以下问题：
1.强调“研究性学习”不应忽视传统的“双基训练”。应坚持进行“双基训练”的基础上广泛的开展“研究
性学习”。
2.强调“研究性学习”不应忽视传统的“接受学习”
3.研究性学习是一种突出以学生为主体的新型教学方式，教师“到位但不越位”。
4.实施“研究性学习”必须考虑条件的限制，包括：指导力量、合作学习、辅助资料、成果展示。
教师在教学中运用探究式教学模式，不仅使学生体验数学再创造的思维过程，而且还培养了创新意
识和科学精神。目前，这种教学模式在高中阶段的研究性学习和课题学习中广泛使用。由于“研究性学习”
作为数学课程的一部分列入正式课表，探究式教学正在迅速发展。
（三）发现式教学模式
发现式教学模式是指学生在教师的指导下，通过阅读、观察、实验、思考、讨论等方式，像数学家
那样去发现问题、研究问题，进而解决问题、总结规律，成为知识的发现者。其基本程序是：创设情境；
分析研究；猜测归纳；验证反思。其显著特点是：注重数学知识的发生发展过程，让学生自己发现问题，
主动获取知识。因而，有利于体现学生的主体地位和解决问题的方法。一般适用于新课讲解、解题教学
等课堂教学，也可以用于课外教学活动。
教师在一些重要的定义、定理、公式、法则等新知识的教学中，让学生去揭示结论的探索过程，并
积极为学生创设再发现的机会和条件，使学生在探索发现过程中得到思维能力和创新精神的培养。在课
外活动中，可以让学根据自己已有的知识经验去发现和探索现实生活中的数学问题。
（四）情境教学法
情境教学法是教师为激发学生思考的积极性，创设特定的问题情境，以培养他们独立探究问题本领
的教学方法。
情境教育形成了“形真”“情切”“意远”“理寓其中”四个特点。
所谓“形真”即形象具有亲切感，神韵相似，以鲜明的形象，强化学生感知教材的亲切感。
所谓“情切”即情真意切，情感参与认知活动，充分调动学生的主动性。
所谓“意远”即意境广远，形成形象契机，有效地发挥学生的想象力。
所谓“理寓其中”即蕴涵理念，抽象的理念伴随着形象，有效地提高学生的认识力。
四、数学教学方法的选择
教学有法，但教无定法，我们应明确教学过程的复杂性，根据学生情况、教学内容、教师素质等来
选择教学方法。
1.根据教学目标进行选择
每一节课都有特定的教学目标，教学方法的选择首先要为实现教学目标服务，选择与教学目标相适
应的、能够实现教学目标的教学方法。例如，要使学生掌握新知识，常常选用讲解法;要使学生掌握解题
技能技巧，就采用练习法;要提高学生的口头表达能力并发展其他能力，可采用谈话法等。
2.依据教学内容
教学目标是通过学生在教学过程中掌握特定的知识和方法来实现的。由于各个教学阶段的教学内容
不同，不同的学习内容也都有各自的特点，难易程度也不尽相同，有的是概念教学，有的是命题教学，
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有的是解题教学，因而就要求选取与完成某种教材内容传授任务相适应的教学方法。
3.依据学生的情况
在教学活动中，学生是学习的主体，教师的“教”，是为了学生的“学”，教学方法要适应学生的基础
条件和个性特征。初中学生的抽象思维能力较弱，宜采用直观的方式教学，并逐步以演绎、抽象的方法
取代直观模型，不断地提高抽象思维能力而高中教学则应采用多种教学方法结合的方式去进行。对已有
自学能力和自学习惯的学生，可以在学生自学的基础上，针对学生学习中可能遇到的疑难问题，运用有
针对性的讲解法;而对于尚无自学能力和自学习惯的学生，则需要经过一段时期的自学辅导训练，以讲解
法为主逐步过渡到自学法辅之以重点讲解的教学形式。
另外，选择教学方法还要考虑同一班级中学生的个体差异。在同一班级中，学生的智力发展水平、
数学能力、学习习惯、动机和数学基础都不尽相同，因此，选择教学方法应以面向大多学生为主。若班
级的整体水平较高，则可多采用讲解、发现、谈话等方法，多用问题引导学生思考，着重于对学生能力
的培养；若班级整体水平一般，则可侧重于讲解，辅之话法或讨论法；若班级整体水平较低，则就要选
择讲授为主，适当组织学生活动的方法。目的是使学生树立学习信心，提高学习数学的兴趣，鼓励学生
积极参与教学活动过程，逐步提高班级学生的整体水平。
4.依据教师本身的素养条件和教学条件进行选择
任何教学方法都要由教师来运用，都是在特定条件下才能运用。每一个老师有自己不同的特长、数
学素养和教学风格，同时也受到教学条件(教材、教学设备、教学时间和空间等)的制约。这也是选择教
学方法的条件之一。教学方法的选用，只有适应教师的素养条件、为教师所掌握，才能发挥作用。有的
教学方法虽好，但教师缺乏必要的素养条件，自己驾驭不了，仍然不能在教学实践中产生良好的效果。
教学方法具有科学性与艺术性的双重特性，因此，"教学有法，教无定法"。教师既要根据教学本身所具
有的规律选择和运用教学方法，又要善于对教学方法进行艺术性的再创造，灵活地加以利用。
五、数学教学理论
（一）数学概念
1．数学概念及其特点
概念是反映一类对象的本质属性，即这类对象的内在的、固有的属性。数学概念是反映数学对象本
质属性的思维形式。而数学研究的对象是现实世界的数量关系和空间形式，它们已被舍去了具体物质属
性和具体的关系，是被抽取出的量的关系和形式构造。数学概念是数学思维的载体，是构成数学学科的
基本成分，具有高度的抽象性、概括性、简洁性。
2．数学概念
人类在数学概念形成的过程中有两种不同类型，一种是自发形成的数学概念，另一种是通过规则定
义而形成的数学概念，分别称为自然概念和科学概念。自然概念的形成主要是从大量的具体实例中抽取
出某类事物的一般特征，发现规则，从而获得的概念。科学概念是通过提出有关某类事物共同特征的假
设，并检验这个假设的方式来获得概念。无论是自然概念还是科学概念，它们都必须是一类数学对象的
本质属性的反映。
概念包含内涵和外延两个方面。内涵指概念所反映对象的本质属性。外延是指概念所反映本质属性
的对象的全体。
例如，“偶数”这个概念的内涵是“能够被2整除的自然数”，其外延是偶数的全体。
内涵和外延之间的关系是，当内涵扩大时，外延就缩小，当内涵缩小时，外延就扩大。内涵和外延
之间的这种关系称为反变关系。
例如，在四边形的内涵中增加“两组对边分别平行”这个属性，就得到平行四边形的概念，而平行四
边形的外延比四边形的外延缩小了。而在等腰三角形的内涵中减少“有两边相等”这个属性，这是三角形
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的内涵，而三角形的外延比等腰三角形的外延扩大了。这种反变关系适用于外延之间具有包含和被包含
关系的两个概念之间。
概念分类是依照某种标准，将概念的外延划分为若干个类别，这些类别的全体包括了概念的本质属
性反映的数学对象的全体，而每个类别之间又是相互不交叉的。
例如：三角形概念按照“有没有两边相等”的标准可以分为“等腰三角形”和“不等腰三角形”两大类。
3．数学概念的特征
数学研究的对象是脱离客观事物的具体形式而独立存在的数量关系和空间形式，因而数学概念具有
鲜明的特征。具体地说，数学概念具有如下四个特征。
①抽象性特征。
数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面的本质属性的思维形式，它排除具体的物质形
式，抽象出内在的本质的属性。这种抽象可以脱离具体的实物模型，在已有的数学概念基础上进行多级
的抽象。如从函数→连续函数→可微函数，这是一个函数概念的多级的抽象。显然，随着概念的多级抽
象，所得到的概念的抽象程度就会越来越高，这也就充分表现出了数学概念的抽象化特征。
②符号化特征。
数学概念往往使用特定的数学符号来表示，表现出概念的形式化。
例如，多边形相似用符号“∽”；对数用符号“log b”；求和用符号“Σ”等。
a
数学符号反映了概念的本质属性，这样数学概念的表现形式简明、准确，而且使数学概念可以在符
号体系这种纯形式化中得以抽象和发展。
③系统性特征。
在一个特定的数学体系中，数学概念之间往往存在着某种逻辑关系。数学概念的逻辑关系又使得数
学概念系统化，进而公理化，使数学概念达到系统性最高表现形式。
④简明化特征。
数学概念具有具体与抽象的统一性，一些数学概念借助于数学符号语言，就能够使得一类事物的本
质特性可以用某些简明的形式展示出来。
例如，“水库的容量与水深之间的关系”和“物体在匀速直线运动中，路程与时间的关系”，这两个不
同的问题都可以抽象为函数概念，统一用y f x表示。同时，这种数学概念的简明化特征，使得人们
在较短的时间内掌握数学概念成为可能。
4．数学概念的定义方式
概念的定义就是揭示该概念的内涵和外延的逻辑方法。揭示概念内涵的定义方法叫做内涵式定义，
揭示概念外延的定义方法叫做外延式定义。
不论什么定义，方法都是由三部分组成：被定义项、定义项、定义联项。被定义项是我们需要明确
的概念，定义项是用来明确被定义项的概念，定义联项是用来连接被定义项和定义项的。
例如，“有一个角是直角的三角形叫做直角三角形”中“直角三角形”是被定义项，“有一个角是直角的
三角形”是定义项，“叫做”是定义联项。
数学概念的定义有以下几种方式，
①属加种差定义
所谓“属”与“种”、“种差”中差是指如果一个概念 A 的外延集合是另一个概念 B 的外延集合的字迹，
我们称作概念A是概念B的属概念，概念B是概念A的，具有这种关系的概念之间称作具有属种关系
的概念。在具有属种关系的两个概念中，概念B具有而概念A没有的本质属性称作种差。
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例如，“三角形”与”等腰三角形“两个概念中三角形是属，等腰三角形是种。而“有两边相等”就是“三
角形”与“等腰三角形”的种差。
一般的，属加种差的定义方式可以由公式表示：
被定义项=种差+邻近的属
例如：矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。
用公式表示为：
矩形=有一个角是直角（种差）+平行四边形（属）
面“有两边相等”例如：此形的定义，有一个，被定义项一种差十分邻近的属用公式表示为，角是直
角的平行四边形叫矩形。
②发生式定义
它是以被定义概念所反映的对象产生和形成的过程来下定义的。
例如，圆锥曲线，柱，锥，台的定义都是发生式定义，一般地具有形式：什么是由什么满足什么条
件运动的图形（轨迹）。
③外延定义
它是将一个概念的所有种概念列出的定义方式。
例如“有理数和无理数统称为实数”。
④关系定义
它是以被定义的概念所反映的对象与另一对象之间的关系进行定义的方式。
例如“bb0整除a，就是存在一个整数c，使得abc。”
（二）命题的学习方式
命题学习的关键是获得新命题与原有命题认知结构中的知识间的关系，关系不同，学习难易程度、
新命题和原有认知结构作用的方式也不同。新命题和原有认知结构中的有关知识有三种关系：下位学习、
上位学习、并列学习。
1．下位学习
在下位学习中，新命题可以直接和原有数学认知结构中的有关知识发生关系，直接纳入到原有认知
结构中，充实原有的数学认知结构。在这种学习中，新命题是已有命题的特例。是一般到特殊的关系。
例如：学完了平行四边形学矩形就是下位学习。
2．上位学习
上位学习是通过对已有知识的归纳、综合与概括，改进原来的认知结构为新的认知结构完成的。新
命题中的概念之间的关系是通过归纳、概括比它层次低的有关知识而获得的。
例如：学习了三角形、四边形内角和定理后，进而学习多边形内角和定理，就需要对三角形、四边
形、五边形内角和与边的关系，进行观察、比较、抽象与概括，改建具体内容形成多边形内角和公式。
3．并列学习
并列学习中，新命题与原有认知结构没有像上位学习和下位学习那样的直接关系，学习的关键是寻
找新命题与原有认知结构中的有关命题的联系，使它们在一定意义下能进行类比。
例如：不等式的同解原理和方程的同解原理就是并列关系，学习了方程的同解原理后，学习不等式
的同解原理，就可以通过类比，建立两者关系，从而掌握不等式的同解原理。
六、数学思想方法
数学思想方法是数学的灵魂和精髓，又是知识转化为能力的桥梁。加强数学思想方法的教学，努力
培养学生应用数学思想方法去思维的意识和习惯，既是数学学科本身发展的需要，也是培养创新人才的
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需要。
1.数学思想方法的含义
数学思想方法是数学思想与数学方法的合称。所谓数学思想是指从具体的数学内容中提炼出来的对
数学知识的本质认识，它在数学认识活动中被普遍使用，是建立数学理论和解决数学问题的指导思想。
所谓数学方法是指在研究数学问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径、步骤、程序等，它通过一
些可操作的规则或模式达到某种预期的目的，数学思想与数学方法之间既有紧密的联系，又有明显的区
别，主要表现在以下三个方面：
（1）数学思想和数学方法之间具有必然的联系
这种联系突出表现为它们都与数学知识有密切的联系，数学知识是数学思想的源头和体现，又是数
学方法的基础和载体。另外，在数学方法里面，一般性数学方法容易上升为一种思想，如化归方法常看
成是化归思想，化归思想是各种问题解决中所体现出的转化方法的概括。其实，解决任何问题都需要方
法，如果解决众多不同的问题使用的方法相同，那么这种方法就常被概括为解法思想或思想方法。
（2）数学思想和数学方法之间具有不同的属性和功能
一般认为，数学方法是解决数学问题或数学地解决问题的规则和程序，具有明确性、具体性、操作
性和可仿效性，是理论用于实践的中介，是数学思想的具体化反映;数学思想是对数学知识、方法、规律
的一种本质认识，具有概括性和普遍性的特点，是数学方法的灵魂。数学方法相对“灵活”，而数学思想
相对“固定”，一种数学思想指导下可以生成许多具体方法。数学思想决定数学方法的选择，并且须由数
学方法贯彻。
（3）数学思想和数学方法之间具有相对性
同一个数学成就，当用它去解决个别数学问题时，称之为数学方法;当评价它在数学体系中的价值和
意义时，称之为数学思想。也就是说，当用“数学思想”这个词时，更多的是从知识含义的角度讲的，它
联系着数学的理论内容本质;当用"数学方法"这个词时，更多的是从问题解决策略的角度讲的，它联系着
数学的操作活动行为。例如，对极限而言，由于出发点不同，有时说极限思想，有时说极限方法。又如
统计，宏观上常说统计思想，微观上常说统计方法。
2.数学思想方法的分类
数学思想方法可从以下四个层次认识：（1）基本的和重大的数学思想方法，包括数理逻辑方法、几
何方法、微积分方法、概率统计方法、模糊数学方法、拓扑方法、计算方法、数学模型方法等;（2）与
一般科学方法相应的数学思想方法，包括观察与实验、类比联想、分析综合、归纳演绎等（3）数学中的
特有方法，如数学等价、数学表示、公理化、关系映射反演、数形转换等;（4）中学数学中的解题方法
或技巧，如十字相乘法、配方法、待定系数法、换元法等。
3.中学常用的基本数学思想方法
（1）用字母代替数的思想方法
用字母代替数的思想方法是中学数学中最基本的思想方法之一，也是代数的基本特征。它可以把数
或数量关系简明而普遍地表现出来，也可以使一些复杂的运算变得简单，这是发展符号意识、进行量化
刻画的基础，也是从常量研究过渡到变量研究的基础，从用字母表示数到用字母表示未知元、表示待定
系数、表示函数y=f(x)、表示字母变换等，这一整套的代数方法都离不开字母代替数的思想方法。在具
体解题中，引迸辅助元法、待定系数法、换元法等都体现了用字母代替数的思想方法。
（2）集合与对应的思想方法
集合论是现代数学的基础，它为数学的公理化、结构化、形式化、统一化提供了语言基础与组织方
式。中学数学中，集合是一种基本数学语言和基本数学工具，数学名词的描述(包括概念的内涵与外延的
表示)、数学关系的表达，都可以借助集合而获得清晰、准确和一致的刻画。用集合表示数系或代数式、
用集合表示空间的线面关系、用集合表示平面轨迹及其关系、用集合表示方程(组)或不等式(组)的解、用
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集合表示排列组合并进行组合计数、用集合表示基本逻辑关系与推理格式等，都是集合思想的具体体现。
解题中的分类讨论法、容斥原理都与集合的分拆或交并运算有关，与集合思想紧密联系。集合之间的对
应，则为研究相依关系、运动变化提供了工具，使得能方便地由一种状态确定地刻画另一种状态，由研
究状态过渡到研究变化过程。数轴与坐标系的建立、函数概念的描述等，都体现着集合之间的对应。
（3）函数与方程的思想方法
函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题；方程思想是从问题的数量关
系入手，应用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程（组）、不等式（组）），然后通过解方程或
不等式来解决问题。
（4）数形结合思想
数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，数与形是中学被研究得最多的两个侧面，数与形的结
合是一种极具数学意义的信息转换。数学大师华罗庚曾经说过：“数缺形少直观，形缺数难人微”，这说
明数形结合在数学中是十分重要的。所谓数形结合思想，就是在研究问题时把数和形结合考虑，把问题
的数量关系转化为图形性质，或把图形性质转化为数量关系，从而使复杂问题简单化，抽象问题具体化。
解题中的数形结合，是指对问题既进行几何百观的呈现，又进行代数抽象的揭示，两个方面相辅相成，
而不是简单地代数问题用几何方法或几何问题用代数方法，两方面有机结合才是完整的数形结合。
（5）数学模型的思想方法
现代数学哲学认为数学是模式的科学，数学所揭示的是人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观
察到的数学结构。各种数学概念和各种数学命题都具有超越特殊对象的普遍意义，它们都是一种模式。
并且数学的问题和方法也是一种模式，数学思维方法就是一些思维模式。如果把数学理解为由概念、命
题、问题和方法等组合成的复合体，那么，掌握模式的思想就有助于领悟数学的本质。在中学数学的教
学中，常称“模式”为“数学模型”，它不同于具体的模型。中学数学中的“列方程解应用题”就是数学模型
思想方法的应用。这类题的基本思路是：根据题意(实际问题)列出方程(数学模型)，运用数学方法求解方
程(数学问题的解)；根据问题的实际意义检验方程解的合理性，给出原问题的答案。
（6）转换化归的思想方法
由数学结论呈现的公理化结构，使得数学上任何一个正确的结论都可以按照需要和可能而成为推断
其他结论的依据，于是，任何一个待解决的问题只需通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容
易解决的问题上，即可获得原有问题的解决，这就是转换化归的思想方法，它是一种极具数学特征的思
想方法。简言之，就是指在求解数学问题时，如果对当前的问题感到生疏困惑，可以把它进行变换转化，
化繁为简、化难为易、化生为熟，从而使问题得以解决。这种思想是科学研究与数学学习中常用的方法，
它是解决问题获得新知的重要思想。
中学数学问题解决中的模式识别、分类讨论、消元、降次等策略或方法，都明显体现了转换化归的
思想方法。
（7）类比思想方法
类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学
对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积
公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。
（8）分类讨论思想方法
分类讨论就是按照一定的标准，把研究对象分成为数不多的几个部分或几种情况，然后逐个加以解
决，最后予以总结作出结论的思想方法.其实质是化整为零，各个击破，化大难为小难的策略.
（9）特殊与一般思想
通过对个例认识与研究，形成对事物的认识；由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到
理论；由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程；构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立
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特殊位置，利用特殊值、特殊方程。
4.中学数学思想方法的教学原则
在实施数学思想方法的教学时，除了应贯彻通常的数学教学原则外，实践表明，还应该遵循下列四
条原则。
（1）渗透性原则
中学数学的课程内容是由具体的数学知识与数学思想方法组成的有机整体，现行数学教材的编排一
般是沿知识的纵向展开的，大量的数学思想方法只是蕴涵在数学知识的体系中，并没有明确的揭示和总
结。因此，数学思想方法的教学必须贯彻渗透性原则，即在具体数学知识的教学中通过精心设计的数学
活动过程，着意引导学生领会蕴涵在其中的数学思想方法，使他们在潜移默化中达到理解与掌握，这是
因为，首先，虽然数学思想方法与具体的数学知识是一个有机整体，它们相互关联、相互依存、协同发
展，但是具体数学知识的教学并不能替代数学思想方法的教学。一般来说，数学思想方法的教学总是以
具体数学知识为载体，在知识的教学过程中实现的。其次，数学思想方法是具体数学知识的本质与内在
联系的反映，具有高度的抽象性与概括性。所以，数学思想方法的形成绝不是一朝一夕可以实现的，必
须日积月累、长期渗透才能逐渐为学生所掌握。
（2）循序渐进原则
数学思想方法的形成难于知识的理解和一般技能的掌握，它需要学生深入理解事物之间的本质联系。
学生对每种数学思想方法的认识都是在反复理解和运用中形成的，是从个别到一般、从具体到抽象、从
感性到理性、从低级到高级地沿着螺旋式方向上升的。
（3）系统性原则
数学思想方法的教学与具体数学知识教学一样，只有形成具有一定结构的系统，才能更好地发挥其
整体功能。所谓系统性原则是指为了使学生更好地理解和掌握数学思想方法，教师应把握好每一种数学
思想与它所概括的一类数学方法、所串联的具体数学知识形成的体系，并有计划、有目的、有层次地在
教学中予以落实。
（4）实践性原则
数学思想方法教学是数学活动过程的教学，重在思辨操作，即让学生亲身感受、体会、思索、提炼。
离开数学活动过程，数学思想方法也就无从谈起。只有组织学生积极参与教学过程，学生在教师的启发
引导下通过自己的内化，才能逐步领悟、形成和掌握数学思想方法。正如波利亚所说：“思想应该在学生
头脑中产生出来，教师仅仅只起一个产婆的作用。”
5.中学数学思想方法的教学途径
（1）在知识的形成过程中渗透数学思想方法
数学知识的发生过程实际上也是数学思想方法的发生过程。任何一个概念，都经历着由感性到理性
的抽象概括过程；任何一个规律，都经历着由特殊到一般的归纳过程。在概念的形成、结论的推导、规
律的揭示等过程中，都体现了某种数学思想方法，并受某种数学思想方法的指导，这些过程是渗透数学
思想方法的极好机会。因此，教师要重视这些知识发生过程的设计，引导学生以探索者的姿态去参与概
念的形成和规律的揭示过程。这样，学生获得的就不仅是数学概念、定理、法则，更重要的是发展了抽
象概括思维和归纳思维，还可以养成良好的思维品质。学生像“数学家”一样自主探索、亲身经历知识的
发生、发展过程，自然会加深对其中思想方法的理解和领悟。
（2）在问题解决的过程中揭示数学思想方法
数学问题解决的过程，实质是数学命题的不断变换和数学思想方法反复运用的过程，数学思想方法
是数学问题解决的观念性成果，它存在于数学问题解决的过程之中，数学问题的探索与解决，都遵循数
学思想方法的指导。数学问题的惟广、引申和解决过程，既是新的数学问题发现和解决的过程，也是数
学思想方法深化的过程。因此，在数学问题解决的教学中，要突出数学思想方法对问题解决的统摄和指
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导作用，要让学生真正领悟隐含于数学问题中的数学思想方法，掌握有关数学思想方法方面的知识，并
把这些知识消化吸收成具有“个性”的数学思想，逐步形成用数学思想方法指导思维活动的习惯，这样，
在解决问题时才能举一反三，融会贯通。
（3）在知识的总结归纳过程中概括数学思想方法
数学思想方法贯穿在整个中学数学教材的知识点中，以内隐的方式融于数学知识体系。要使学生把
这种思想内化成自己的观点，应用它去解决问题，就要善于把隐藏在各种知识背后的数学思想适时地作
出归纳、概括。概括数学思想方法要纳人教学计划，在课后小结、单元小结或复习时，应有目的、有步
骤地引导学生参与数学思想方法的提炼、概括过程，注意在纵横两方面整理出数学思想方法及其系统。
这样，不仅可以使学生从数学思想方法的高度把握知识的本质和内在的规律，而且还可以使学生逐步体
会数学思想方法的精神实质，进一步提高分析问题、解决问题的能力。
（4）引导学生在反思中领悟数学思想方法
数学思想方法的获得，要求教师进行有意识的渗透和训练，但更多的是要靠学生自身在反思过程中
领悟，这一过程无人能够替代。如果说数学思想方法是可传授的话，那么教师肯定是把其中富有思考意
义的东西机械化了，从而将失去了它应有的价值在数学教学中，教师要善于引导学生自觉地检查自己的
思维活动、反思自己是怎样发现和解决问题、运用了哪些基本的思考方法和技巧、走过哪些弯路、有哪
些容易发生的错误、原因何在、该记住哪些经验教训等，从而帮助学生真正领悟数学知识与解题过程中
隐藏的数学思想方法，促进思维能力的发展。
七、中学数学学习方式
（一）合作学习
合作学习是指促进学生在异质小组中彼此互助，共同完成学习任务，并以小组总体表现为奖励依据
的教学理论与策略体系，是合作认知、合作情感、合作技能与合作行为在教学过程中的具体体现与运用。
异质分组：按学生的性别、知识基础、学习能力、组织能力、性格特点的差异进行分组，在小组中
保持差异可以直接有效地促进优势互补。但存在如下缺点：（1）小组合作学习往往变成一些成绩好、反
应较快学生的“一言堂”，其他学生缺少思考空间和发言机会；（2）小组讨论时，多数学生只表达自己的
意见，不愿听取其他学生的意见，或者认为小组其他成员的意见没有讨论的必要；（3）成绩较差的学生
往往成为被动接受者，逐渐丧失讨论的信心和兴趣。
同质分组：即按学生的性别、知识基础、学习能力、组织能力、性格特点相近进行分组。避免了上
述异质分组产生的问题。研究发现，由于学生兴趣相近，组内合作十分融洽，组内讨论十分热烈，组内
竞争转化为组间竞争和组间交流。
异质分组和同质分组各有优缺点，教学中根据实际情况灵活选择。一般来说，对活动性、操作性较
强的学习活动，宜采用“异质分组”，可以强化组内合作；对思考性、探索性较强的学习活动，宜采用“同
质分组”，可以强化组内交流，组间互补。
（二）探究学习
探究学习是在20世纪50年代美国掀起的“教育现代化运动”中，由美国著名科学家、芝加哥大学教
授施瓦布倡导提出的，他认为学生学习过程与科学家的研究过程在本质上是一致的，因此，学生应像“小
科学家”一样去发现问题、解决问题，并在探索过程中获取知识、发展技能、培养能力，特别是创造能力，
同时受到科学方法、精神、价值观的教育，并发展自己的个性。
1.探究学习的特点
（1）学生学习主动，有兴趣、有信心、有责任感的探索和解决问题
探究学习强调学生自主活动，由学生自己设计并控制学习的整个过程，这充分 体现了对他们的思
想观点的尊重和鼓励。
（2）学生通过亲身实践获得知识和技能，学习效率高
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探究学习和发现学习相比，把学生视为“小科学家”，即让学生通过一系列的科学探索活动去发现科
学结论，而不是将现成的结论直接告诉学生。
（3）教室从封闭走向开放，实现课内外和校内外的联合
探究学习是一种开放性、参与式的教学形式，它不局限于一间教室或一所学校，也不局限于一门课
或几本书。
2.探究学习应注意的问题
（1）面向全体学生，并关照个别差异
（2）注重为学生提供相关的支持条件
（3）注重发挥教师自身的指导作用
（4）要注重分析探究中学生独特的感受、体验和理解
（5）要强调学生之间的合作与交流
（6）引导学生关注探究的连续性和艰巨性
（三）自主学习
1.自主学习的特征
自主性、有效性、相对性
2.自主学习与自学的区别
第一，自主学习是在教学条件下进行的，而且在目前情况下，主要是在班级中发生的；而自学是一
种与教学条件下的学习相对的学习方式（至少在它出现之初如此）。
第二，自主学习的动机是内在的或自我激发的，即自主学习是源于自我目标、自我价值等的驱动而
展开的。
第三，自主学习者的学习方法是有计划的或已经熟练到自动化的程度。
第四，自方学习的时间是定时而有效的。
第五，自主学习都对学习结果有较强的自我意识。
第六，自主学习者对物质环境很敏感，所以他们能根据需要随机应变地选择或组织自己的学习环境。
第七，自主学习者可以随时向教师或同学寻求帮助。
【初中经典例题】
1.【2017年上半年高中】“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，这个定义方式属于（ ）
A.公理定义 B.属加种差定义 C.递归定义 D.外延定义
2.【2016年上半年初中】“严谨性与量力性相结合”是数学教学的基本原则。
（1）简述严谨性与量力性相结合教学原则的内涵。
（2）初中数学教学中“负负得正”运算法则引入的方式有哪些？请写出至少两种。
（3）在初中“负负得正”运算法则的教学中，如何体现“严谨性与量力性相结合”的教学原则？
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3.【2015 下半年初中】叙述“严谨性与量力性相结合”数学教学原则的内涵，并以“是无理数”的教学
过程为例说明在教学中如何体现该教学原则。
4．【2017下半年，初级15】数学的产生与发展过程蕴含着丰富的数学文化。
（1）以“勾股定理”教学为例，说明在数学教学中如何渗透数学文化；（6分）
（2）阐述数学文化对学生数学学习的作用。（9分）
【经典例题】
1.抽象是数学的本质特征，数学的抽象性表现在哪些方面，请举例。
2．给出“平行四边形”和“实数”的定义，并说出它们的定义方式。
3.抽象是数学的本质特征，数学的抽象性表现在哪些方面，请举例。
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第四章 中学数学课堂教学设计
第一节 数学教学设计
一、数学课堂教学设计进行的原则
1.情意原则——激发动机与兴趣
如何组织和指导学生，才能使他们以最大的热情、最佳的精神状态投人到数学学习中？无疑要激发
学生的动机与兴趣。这个问题的解决，需考虑以下三个方面：
（1）问题性：创设问题情境，以问题引导学习，形成认知冲突，激发求知欲，激活思维。同时，通
过“追问”等方式，使学生的这种心理倾向保持在一个适度状态。
（2）“思维最近发展区”内的学习任务：采取有步骤地设置思维障碍等方法，铺设恰当的认知阶梯，
呈现与学生“思维最近发展区”相适应的学习任务，可以激发学生的学习热情。但一个班级那么多学生，
学习基础各不相同，设置的学习任务要适应个别差异，这是一个难题，需要教师的智慧。
（3）使用“反馈调节”机制：学习任务难易不当，都不利于学生保持高水平学习热情。应通过教学反
馈，及时发现问题，通过调整设问方式，增加提示信息或进一步设置障碍等方法调整学习任务的难度。
例1“三角函数诱导公式”教学中几种提问的比较。
（1）你能利用圆的几何性质推导出三角函数的诱导公式吗？
（2）α 的终边、α+180°的终边与单位圆的交点有什么关系？你能由此得出 sinα 与 sin(α+180°)之间
的关系吗？
（3）我们可以通过查表求锐角三角函数值，那么，如何求任意角的三角函数值呢？能否将任意角的
三角函数转化为锐角三角函数？
（4）问题情境：三角函数与(单位)圆是紧密联系的，它的基本性质是圆的几何性质的代数表示。例
如，同角三角函数的基本关系表明了圆中的某些线段之间的关系。圆有很好的对称性：以圆心为对称中
心的对称图形；以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形。你能否利用这种对称性，借助单位圆，讨
论一下终边与角α的终边关于原点、ｘ轴、ｙ轴以及直线ｙ＝ｘ对称的角与角α的关系以及它们的三角
函数之间的关系？
问题（1）过于宽泛，没有对“圆的几何性质”与“三角函数”两者的关系作任何说明，指向不明，学生
“够不着”；
问题（2）过于具体，学生只要按照问题提出的步骤进行操作就能获得答案，思考力度不够；
问题（3）与当前学习任务没有关系，“功利”而且肤浅，没有思想内涵，与诱导公式的本质相去甚远，
不能导致探究诱导公式的思维活动。
问题（4）体现了如下特点：从沟通联系、强调数学思想方法的角度出发，在学生“思维最近发展区”
提出恰当的、对学生数学思维有适度启发的问题，所以具有适切性、联系性、思想性，可以直接导致学
生探究、发现诱导公式的思维活动。
2.结构原则——教学内容结构化，保持思想方法的一致性
结构化教学内容具有如下特点：
（1）以核心知识(基本概念及由内容所反映的数学思想方法)为联结点，精中求简，易学、好懂、能
懂、会用，能切实减轻学生负担;
（2）形成概念的网络系统，联系通畅，便于记忆与检索；
（3）具有自我生长的活力，容易在新情境中引发新思想和新方法。
由上述理由，所以在考虑课程、教材和教学改革时，结构化值得关注。
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在教学设计中，专家教师与新手教师的重要差别在于教学内容的组织。优秀教师通过深入钻研大纲、
教材，对教材的整体把握准确，对各部分内容的地位及其内在逻辑关系了如指掌，他们对数学问题的深
层结构很敏感，他们习惯于按问题答案所涉及的数学概念、原理对问题进行分类；他们掌握并善于运用
能揭示知识本质的典型材料，能从学生的现状出发重新组织教材，能自然地将学过的知识融大新情境，
以旧引新，以新固旧。在对学生进行“双基”训练时也是紧紧围绕这种逻辑关系，有计划地设置障碍，使
知识得到前后呼应。总之，优秀教师能根据教材和学生特点，使课堂教学呈现精当的层次序列。所以，
知识结构化是教学设计应遵循的一个重要原则。
根据结构化原则，教学设计中应当做到：
（1）教学目标明确，重难点突出，集中精力于核心内容。
（2）教学内容安排注重层次结构，张弛有序，循序渐进，由浅入深，由易到难，先简后繁，先单一
后综合。
（3）每堂课都围绕一个中心论题而展开和深化，精心组织相关的数学成分，使相应的核心概念或重
要思想成为一个有机整体，相关的数学术语、定义、符号、概念、技能等因素都得到仔细的展开；课与
课之间建立精当的序列关系，保持知识的连贯性，思想方法的一致性。易错、易混淆的问题有计划地复
现和纠正，使知识得到螺旋式的巩固和提高。
例2平面向量的结构化设计。
我们知道，“位置”是空间最基本原始的概念。空间中由 A 到 B 的有向线段 AB两点所标记的两个
位置之间的差别的具体化描述。位移向量(自由向量，则是一个将这种“位置差别“加以定量化的基本几何
量，其本质内涵是AB的方向与长度，也就是当两个有向线段为同向平行且大小相等时，两者所表达的
位移向量定义为相等。与物理学中的位移合成类似，在此基础上，可以通过位移向量的合成定义向量的
加法。与数及其运算类似，在定义向量的加法的基础上，可以定义向量的减法和数乘运算。从几何角度
考察向量运算，则有如下结果：
一个点A、一个方向e可以定性刻画一条直线，引进向量数乘运算k e，那么直线上每一个点X就
1
可以定量表示为k e；
1
一个点A、两个不平行的方向e ，e 在“原则”上确定了平面(定性刻画)；引入向量的加法运算e +e ，
1 2 1 2
那么平面上每一个点X就可以定量表示为k e +k e 。
1 1 2 2
同样地，引进向量的数量积的定义 aꞏb= a b cosα,几何中讨论的长度、角度、面积等就转化为对向
量的表达和运算。
另外，从代数的角度考虑，引进一个量及其运算就自然要考察其运算律。而从对运算律的几何含义
的考察中发现，空间的基本性质和几何的基本定理都能系统地转换成向量代数中的运算律。例如：向量
加法的定义植根于空间的平行性。在欧氏几何中，关于平行的基本定理就是平行四边形各种特征性质之
间的转换，而平行四边形定理所转换而得到的，就是向量加法的交换律；相似放缩是欧氏空间的特色，
这也就是向量的数乘运算的来源。而关于相似形的基本定理，即相似三角形定理，用向量数乘运算来表
达就是数乘分配律。
关于长度和角度的基本定理，即勾股定理和余弦定理，可以用向量的数量积来有效地计算，而数量
积本身又有一套十分简明有力的运算律，特别是分配律。本质上，数量积的分配律是勾股定理的提升和
精简所得，也可以说是勾股定理代数化的最佳形式。
根据上述分析，我们可以这样来构建平面向量教学的结构系列：
（1）借助位移、有向线段引人向量概念；
（2）借助位移的合成定义向量的加法运算，再类比数的减法、乘法运算引进向量的减法运算和数乘
运算；
（3）考察向量运算的几何意义，运算律及其几何含义；
（4）从度量长度、角度等的需要出发，引人向量的数量积概念，考察其几何意义，运算律；
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（5）与解析法建立联系，考察向量的分解(平面向量基本定理)及坐标表示，并考察在坐标表示下的
一些基本问题(向量运算的坐标表示，向量度量关系的坐标表示等)。
概念是知识结构化的关键。概念按照从具体形象到表象再到抽象的等级排列，概念的拥有量、抽象
水平以及使用概念的灵活性是一个认知行为的基本要素。可以说，课堂教学是形成概念序列的思维活动。
因此，从结构化角度加强概念教学，使学生形成逻辑关系清晰、联系紧密的概念序列，对于掌握知识、
发展能力是至关重要的。下列做法值得关注：
（1）概念教学遵循从具体到抽象的原则，采取“归纳式”，让学生经历从典型、丰富的具体事例中概
括概念本质的活动，而不是给出概念定义，举例说明，练习巩固；
（2）正确、充分地提供概念的各种变式；
（3）适当应用反例，罗列一些似是而非、容易产生错误的对象让学生辨析，是促进学生认识概念的
本质、确定概念的外延约有效手段；
（4）在概念的系统中学习概念，使学生有机会从不同角度认识概念，建立概念的多元联系，这不仅
便于发挥知识的结构功能，使概念具有生长活力，有益于知识的获得、保持和应用，而且对发展学生的
概括能力有特殊意义；
（5）精心设计练习，在应用中强化概念间的联系，巩固概念网络，加深概念理解。
3.过程原则——“两个过程”有机整合，精心设计概括过程
“两个过程”就是数学知识的发生发展过程和学生的数学学习过程。
改进教师的教学方式和学生学习方式是时代发展的要求。把改革的基点放在便全体学生独立思考上，
使讲授式教学与活动式教学相结合，接受式学习和发现式学习相结合，形成互补，从而使学生被动接受
的局面得到改变。这里，“结合”“互补”都是在“两个过程”的有机整合中，不断引导学生的概括活动实现
的。
贯彻过程原则，必须做好两个还原：
（1）还原知识的原发现过程，这就要求我们在教学设计中思考数学知识结构的建立、推广和发展过
程；数学概念的产生过程；解题思路的探索过程；数学思想方法的概括过程等。
（2）学生思维过程的还原，这就要求我们在教学设计中，为学生构建一条“从具体到抽象，由此及
彼、由表及里，从个别到一般，从片面到全面”的思维通道。有了这两个还原，概括过程的主导思路也就
明确了，以这条思路为依据设置问题情境，引导学生开展类比、猜想、特殊化和推广等思维活动，使他
们经历概括过程。显然，强调“过程性”的核心是强调教学过程的思想性，使学生在课堂中有高度的思维
参与，经历实质性的数学思维过程。
在设计概括过程时，如下措施值得注意：
①通过分析“两个过程”，明确概括过程的主导思路，围绕这条思路确定猜想和发现的方案；
②在把概括的结论具体化的过程中，推动对概念细节的认识；
③通过变式、反思、系统化，建立概念的联系，形成概念体系；
④强调类比、特殊化、推广等具有普适性的逻辑思考方法的应用。
具体的，我们可以尝试以科学认识的形成与发展途径为参照设计概括过程：
①创设问题情境，引起学生对新知识的注意与思考；
②开展观察、试验、类比、猜想、归纳、概括、特殊化、一般化等活动，形成假设；
③利用己有知识进行推理论证活动，检验假设，获得新知识，并纳入到已有认知结构中；
④新知识的应用，加深理解(理在用中方知妙)，建立相关知识的联系，巩固新知识。
例3不等式基本性质的猜想、证明和应用。
知识的发生发展过程：从等式到不等式;在运算过程中的“不变性”。
思维的过程：类比等式的基本性质得到关于不等式基本性质的猜想，并以实数大小的基本事实为依
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据进行推理论证。
因此，概括过程的主导思路是：类比等式的基本性质猜想不等式的基本性质，以实数大小的基本事
实为依据进行证明或证伪。
教学设计思路如下：
（1）引导学生回忆规定实数大小的方法(顺序公理，数形结合)；
（2）引导学生认识实数大小的基本事实的本质和作用(实数大小比较归结为统一的与0的大小比较
或判断差的符号问题)；
（3）引导学生回忆等式基本性质的获得过程及其基本思想(考察运算中的不变性)；
（4）引导学生类比等式的基本性质提出一些不等式的基本性质的猜想；
（5）尝试用实数大小的基本事实证明性质；
（6）辨析不等式的基本性质(与等式问题比较，考查异同；不同语言表述性质，等)；
（7）尝试从基本性质出发，得出一些新的结论(如a>b,c>d则a+c>b+d，1 1 等)；
> >0
b a
（8）概括思想方法(与实数性质、等式性质的联系性;在数与运算的系统中考查关于实数大小的基本
定理等)。
4.调控原则——强调“反馈一调节”机制的应用，有效监控教学活动
任何有计划的活动都需要有一个调控机制，这样才能使活动目标有效达成。为了使教学活动维持在
最佳状态，追求教学的高效益，“反馈一调节”机制的使用是必需的。实际上就是通过及时调控，始终使
学生在自已的“思维最近发展区”内活动。
在“反馈一调节”机制的使用中，非常重要的是学生自我监控的参与，因此这是一个涉及“元认知”的
问题，对于提高学生的数学能力，特别是思维能力是至关重要的。自我监控能力的培养是一个重要但未
被重视的问题。
反馈信息要注重差异，调节则要有意识地采取分化性措施。在课堂教学设计中，下面几个方面值得
考虑：
（1）给不同需求的学生提供不同类别的专门帮助；
（2）布置可选择的作业集合，满足不同学生的不同需求；
（3）认真考虑学生的个人爱好，机智地将其纳人课堂教学。
二、中学数学课堂教学设计的基本内容
教学设计就是为达到教学目标，教师对课堂教学的过程与行为所进行的系统规划，主要解决两个问
题：
1.教什么：教学目标的设计，包括显性目标和隐性目标。基于对教学内容、学生情况的分析。
2.怎样教：教材的分析、教学方法的选择、教学过程的设计等，基于对教学资源、学生和教师自身
情况的分析。下面我们分别具体说明。
（一）教材分析方面
数学教材具体展现了课程标准规定的教学内容，是教学的重要依据。数学教材及是数学著作，又不
是一般的数学著作，具有以下几个特点
科学性：数学教材具有数学的特点，又严密的逻辑体系，反映科技发展的水平，在整体上形成知识
网络。
教学性：编写数学教材的目的是为了数学教学，它要符合学生的认知特性，符合学生心理发展规律，
深入浅出，循序渐进，有利于教师进行教学。
教育性：教材不单纯是数学知识，它的编写体系体现数学知识的发生、发展的过程和数学理论的思
想脉络，使学生在探索知识的过程中，认识数学的内在规律，掌握数学思想和数学方法，培养辩证唯物
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主义观点和良好的个性品质。
分析和处理教材是教学设计的基本环节和核心任务，此环节教师一定要有“不是教教材，而是用教
材”的教材观，但关键是怎样用好教材。
1.教材分析的意义
数学教材的分析是数学教师进行教学设计的基础，数学教师只有在深刻理解数学教材的基础上，才
能灵活的运用数学教材、组织教材和处理教材，深入浅出的上好每一堂数学课，取得良好的教学效果。
数学教材分析是数学教师教学工作的重要内容，也是数学教师进行教学研究的主要方法之一。数学教材
分析能充分体现教师的教学能力和创造性的劳动。通过数学教材分析能不断提高教师的业务素质和加深
对数学教育理论的理解。因此，数学教材分析对于提高数学教学质量和提高数学教师的自身素质都有极
其重要的意义。
2.教材分析的要求
（1）深入钻研数学教学大纲，深刻领会数学教材的编写意图和目的要求，掌握数学教材的深度和广
度。
（2）从整体和全局的高度把握数学教材。了解数学教材的结构、地位作用和前后联系。
（3）从更深和更高的层次理解数学教材。了解有关数学知识的背景，发生和发展过程，与其他知识
的联系，以及在生产和生活实际中的应用。
（4）分析数学教材的重点、难点和关键，了解学生容易混淆，可能产生错误的地位和应该注意的问
题。
（5）了解例题和习题的编排、功能和难易程度。
（6）了解新知识和原有认知结构之间的关系，起点能力和应该注意的问题。
3.教材的分析
深入地分析教材和全面地掌握教材是课堂教学设计的基础，是取得较好教学效果的前提条件。大量
事实证明，只有对教材进行深入细致的分析，真正领会教材的实质，对教材的处理符合学生的认识规律，
才能促进学生的学习，取得良好的教学效果。
分析组织教材的基本要求是，钻研教学大纲，明确教学目的，领会教材编写意图；分析教材的系统
体系，明确各部分在整个教材中的地位与前后联系；分析教材的重点、难点及其内容的组织结构，根据
学生的认知特点及教学条件等灵活地处理教材。
（1）钻研教学大纲
教学大纲是各科教学的指导性文件，是编写教材和进行教学的依据。大纲中的说明部分详细规定了
课程的性质、任务、教学目的要求、确定教学内容的原则、教学内容的安排及教学中应该注意的问题等，
还部分列出了教学内容的知识点，并规定了各个知识点教学要求的层次。为此，在分析教材和组织教材
的时候也应以教学大纲为依据，以大纲的要求为目的。
（2）全面掌握教材
教材是一个整体，要进行教学设计不仅要掌握一章一节的教材，还要深入、全面地熟悉全学年以至
本学科各年级的教材。全面熟悉、掌握教材，有以下三个方面的意义。
①只有全面熟悉教材、吃透教材，才能掌握教材的逻辑系统、重点和难点，做到前后照应，反复渗
透。许多重点、难点内容联系到许多旧知识，如果先学知识不巩固，就会直接影响到新知识的学习。只
有全面地熟悉、掌握教材，才能做到新旧知识密切联系。
②只有全面地掌握教材，才能对教材做整体分析，全面地贯彻教学大纲的精神和要求，深刻地理解
教学的目的和任务。也只有这样，才能把知识、技能、思想品德等的培养目标具体化，并把它们合理地
分配到全学期各单元以至每节课的教学中去。
③只有全面、深入地掌握教材，在教学中才能基于教材又不拘于教材。只有对教材的结构顺序、教
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学内容的特点非常熟悉，才能安排必要的补充材料，恰当地选择教学媒体，促进学生的学习。
（3）分析重点和难点
任何学科的教材都有一定的知识结构，其主要体现在学科的逻辑系统上，同时也照顾到学生不同年
龄的心理特点和发展水平。但是，根据同一教学大纲编写的教材，其知识结构往往也各不相同；即使同
一教材，不同教师在具体处理时，知识结构的安排也不尽相同。如何选择一个最佳的结构，使学习产生
最好的效果呢？教师普通采用的方法是抓教学重点。这是我国很早就有的从厚到薄、由薄反约、以简驭
繁、以纲带目的处理教材、组织教材，使教材知识结构优化的方法。
①教材的重点是指在整个教材体系或课题体系中处于重要地位和作用的内容。确定教材内容是否是
重点，一般考虑该内容相对于教材的有关部分是否是和核心，或者考虑它是不是以后学习其他内容的基
础，或者考虑它是不是具有广泛的应用。在确定重点时，应“由大到小，由粗到细”进行。例如在“相似形”
一章中，相似三角形是重点；在“相似三角形”中，相似三角形的定义及三个判定定理是重点，其中又以
第一个定理为重点之重点。这样层层分析，就会使重点更加明确，便于教学时掌握。
②难点主要指学生接受起来比较困难的知识点。教师只有深入了解学生实际，才有可能充分分析学
生学习中的困难。
我们在教学过程中一定要认真分析教材的重点和难点。有时在预设的过程中，想法很多，追求形式，
追求课堂的外显效果，回头反思时，才发现原来那些都不是本节课的重点，也不是要突破的难点，纯粹
图个"热闹"而已。因此，教学反思时，要审视教学环节是否围绕教学重点而展开，正视学生的学习起点，
以学生的有效发展为选择环节的价值取向。对于教学的重点、难点，要“不遗余力，把力气花在刀刃上”。
这样的课堂才会是高效的课堂，才不会是华而不实的课堂。
（二）学情分析
教学的对象是学生，教师在备课或搞教学设计的过程中，关注学生情况应该是天经地义、理所当然
的事情，这既反映教师教学设计的基本出发点，也体现了教师是否切实将以学生发展为本的教学理念落
到实处，所以，学情分析是教好一堂课的前提和关键。很多老师按常规备课、写教案、做教学设计，教
案写得很好而教学效果不佳，很重要的一个原因就是脱离教学实际(特别是学生实际)。按照认知建构的
观点，学习过程是知识不断重建的过程，这一过程必须以学生原有的认知结构为基础。因此，教师在教
学设计中，必须要认真分析学生的情况，这样的教学才能有的放矢。
学情涉及的内容非常宽广，学生各方面情况都有可能影响学生的学习。学生现有的知识结构、学生
的兴趣点、学生的思维情况、学生的认知状态和发展规律，学生生理心理状况、学生个性及其发展状态
和发展前景，学生的学习动机、学习兴趣、学习内容、学习方式、学习时间、学习效果，学生的生活环
境，学生的“思维最近发展区”、学生感受、学生成功感等都是进行学情分析的切如点。学情分析主要可
从以下几个方面来进行：
1.分析学生原有的认知基础：即学生学习该内容时所具备的与该内容相联系的知识、技能、方法、
能力等，以确定新课的起点，做好承上启下、新旧知识的有机衔接工作。
如学习“椭圆及其标准方程”一节“认知基础”：
认知基础上看，学生已掌握了一些椭圆图形的实物与实例，对曲线和方程的概念有了一些了解，对
用坐标法研究几何问题有了初步的认识。
从学生现有的学习能力看，通过一年多的实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些
研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。
又如“指数函数”一节“认知基础”：学生已经学习了函数的知识，指数函数是函数知识中的一部分重
要内容，学生若能将其与学过的正比例函数、一次函数、二次函数进行对比着去理解指数函数的概念、
性质、图形，则一定能从中发现指数函数的本质，所以对已经熟悉掌握函数的学生来说，学习本课并不
是太难。
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2．分析学生的个体差异：现代学生的个体存在着较大的差异，学生由于遗传素质、社会环境、家庭
条件和生活经历的不同，形成了独特的个性。教师只有了解学生的个体差异，教学上才能有的放矢。学
生的个体差异主要有学习习惯、学习兴趣、知识基础、学习能力、智力因素和非智力因素等。
3．了解学生的生理、心理：中学生的认识能力有一个逐步发展的过程。初中生的抽象思维能力较
低，对教材中概念、原理、规律等知识的理解比较困难，他们形象思维能力强，精力旺盛，可注意力容
易分散。初中生对事物的认识还很感性，相对于初中生来说高中生的认识能力稍强，他们的抽象思维能
力较高，在解决问题时会更加理性。通过分析了解不同层次学生的生理心理与学习该内容是否相匹配及
可能产生的知识误区，充分预见可能存在的问题，在课堂上有针对性地加以分析，使教学工作具有较强
的预见性、针对性和功效性。
4．了解学生对本学科学习方法的掌握情况：教学过程不仅需要教师的活动，而且更需要学生的活
动，只有教师教得最优化和学生学得最优化融合在一起，才能保证教学效果的最优化。陶行知说过，好
的先生不是教书，不是教学生，乃是教学生学。由此可见，在课堂教学中对学生进行学法指导是非常必
要的，它是提高课堂有效教学的必要条件。不同年级的学生都有自己的一套学习方法，不同的教学内容
需要不同的学习方法，教师只有事先了解学生对本学科学习方法的掌握情况，才能根据不同的教学内容
进行相应的学法指导，才能创造出教学效果的最优化。
5.分析学习知识时可能要遇到的困难：学生在学习中可能遇到的问题和阻力往往会成为他们进一步
学习的困难与发展的障碍，教师如果能及时发现这些困难与障碍，并且能够及时地帮助学生克服这些困
难和障碍，学生就能获得真实的发展。因此，在备课中要努力去关注和发现学生在学习中可能存在的困
难和障碍，具体分析这些困难和障碍产生的原因，思考相应的具体针对性的教学策略。
教师要想使自已的教学效果达到最佳状态，必须要分析好学生的实际情况。学情分析既要分析学生
的整体具有的特点，同时更要分析学生间的个体差异，要具体分析，切忌空泛化。不同特点的学生，对
教材的兴趣点、关注点不同，这种现象普遍存在于我们的学生身上，我们做教师的要加以理解，要多角
度、多层次、多方位地实施教学。
（三）教学目标的制定
教学目标是教学目的的系统化、具体化，是教学活动每一阶段所要实现的教学结果，是衡量教学质
量的标准。教学目标的设计必须建立在对学生情况全面了解、对教学内容精确分析的基础上。
制定合理教学目标的要求：
1.反映数学的学科特点，反映当前学习内容的本质。
2.要有计划性，可评价性。
3.格式要规范，用词要考究。
数学课程的总目标是从知识和技能、数学思考、解决问题、情感态度价值观等方面来阐述的。作为
一节课的课时目标，虽不强求这些方面都必须达成，但其中的一个或几个方面的目标是要达成的。
在表述对象上应该统一，不能以教师角度来描述的——“使学生……”，这种表述显然是不正确的，
另一条又是以学生角度来描述的——“经历……过程”。通常情况下，以学生为主体来表述比较恰当，也
能够充分体现学生的主体地位。
在用词上要慎重，既要有刻画知识技能的目标动词“了解、理解、掌握、灵活运用”，又要有刻画数
学活动水平的过程性目标"经历(感受)、体验(体会)和探索"等，只有明确了每一个词的含义，才能结合自
己的教学预设制定教学目标。否则容易"词不达意"，想的和写的不统一。
“等差数列”一节的教学目标
（1）知识与技能目标：理解等差数列的概念，能够独立推导出等差数列的通项公式。
（2）过程与方法目标：经历实践活动自己探索的过程，逐步培养自主探索、分析、归纳、推理能力。
（3）情感态度与价值观目标：体会等差数列在实际生活中的应用价值，体验数学来源于生活，并服
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务于生活。
4.要全面，不能“重知轻思”“重知轻情”等。
新课标将教学目标分为三个方面：知识与技能目标、过程与方法目标、情感、态度与价值观目标。
也就是说我们不仅要关注学生知识的获得，还要关注学生情感的变化。但在制定教学目标时，有时往往
会特别关注知识和技能方面的目标，而忽略其他方面的目标。
5.注意教学目标的层次性。
我们可从三个层次来制定教学目标：
第一层次，以记忆为主要标志，培养以记忆为主的基本能力。测试基本事实、方法的忆水平，标准
是：获得的知识量以及掌握的准确性。
第二层次，以理解为主要标志，培养以理解为主的基本能力，测试能否顺利地解决常规性、通用性
问题，包括能否满意地解决综合性问题。测试标准是：运用知识的水平，如正确、敏捷、灵活、深刻等。
第三层次，以探究为主要标志，培养以评判为主的基本能力，测试能否对解决问题的过程进行反思，
即检验过程的正确性、合理性及其优劣。标准是思维的深刻性、批判性、全面性、独创性等。
6.要实在具体，不浮华。
要防止教学目标“高大全”，有的甚至是“假大空”，目标“远大”、空洞，形同虚设。例如，一堂课的
目标中含有：
（1）培养学生的数学思维能力和科学的思维方式;
（2）培养学生勇于探索、创新的个性品质；
（3）体验数学的魁力，激发学生的爱国主义热情;等这些词句就如同虚设。
数学教学科学化，从制定教学目标上看，一要全面，二要具有可操作性，这是建立在对教学内容、
学生数学学习规律准确把握基础上的，需要有对细节的不断追求。制定目标的水平是衡量教师专业化水
平的重要标志。从当前的实际情况看，许多教师对自己所教的数学内容并没有一个清晰的“目标分类细
目结构图”，有的甚至对数学知识结构图也是模糊不清的。简言之，教师的数学素养和对数学教材的理解
水平都有很大的提高空间，这是提高教师素质急需解决的问题。
（四）教学方法方面
教学方法指的是教学的途径和手段，是教学过程中教师教的方法和学生学的方法的结合，是完成教
学任务的方法的总和。教学方法是根据教学内容和教学对象的接受能力情况确定的。选择教学方法应从
多方面考虑：如何提出问题，创设情境，激起疑问，引发动机，启迪思考，调动学生学习数学的积极性;
如何利用直观教具、多媒体，为学生感知新知创造条件；如何利用学生已有的知识，启发学生经过思考，
推导出新的结论，获得新知；如何通过归纳、分析、综合等方法史学史突破难点,掌握重点。
常用的教学方法有讲授法、谈话法、练习法、演示法、讨论法、尝试教学法、问题探究法和情境教
学法，确定教学方法的指导思想是回归学生主体，原则性与灵活性相结合，教学形式注重个体化。
但切记“教学有法，但无定法”。在选择教学方法时切勿墨守成规，千篇一律，一定要遵循教学规律
和学生实际，教学的实际情况是不断发展变化的，相应的教学方法也是不断发展变化的。
三、现代信息技术教学技能
以计算机多媒体技术和网络技术为核心的信息技术，不仅给我们的社会生活带来了广泛而深刻的影
响，也冲击着现代教育。由于数学具有很强的抽象性、逻辑性，特别是几何，还要求具备很强的空间想
象力，计算机多媒体技术在数学教学中的运用和推广，为数学教学带来了一场革命。在中学数学教学中
应用多媒体技术以辅助教学，深受广大数学教师的青睐。MathCAD、数理平台、几何画板等数学软件的
开发使多媒体技术在中学数学中应用更加广泛。
与传统的教学相比，在中学数学教学中应用多媒体技术的优越性主要有以下几个方面：
1.有利于学生学习积极性的提高
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将多媒体信息技术融于课堂教学，利用多媒体信息技术图文并茂、声像并举、能动会变、形象直观
的特点为学生创设各种情境，可激起学生的各种感官的参与，调动学生强烈的学习欲望，激发动机和兴
趣。同时，形象直观能突破视觉的限制，多角度地观察对象，并能够突出要点，有助于概念的理解和方
法的掌握。
同时在教学中还可常用“几何画板”教学软件，它操作简单、功能丰富、动感十足，能够满足数学教
学中化抽象为形象直观的要求。
【案例】初三几何“点的轨迹”，学生最终会知识“轨迹”是一些直线或射线，但学生对“轨迹”是毫无
想象力的。“几何画板”能有效地解决这一问题，它显示的“点”一步步地动态有形地组成直线或射线，旁
边还能显示轨迹中“点”的条件，这种动态的有形的图形是十分完整的，清晰的，它远远超出老师“把轨迹
比喻成流星的尾巴”。
2.有利于问题的探索和发现
初中生的认知特点是由感性到理性逐步发展的。多媒体技术教学软件能够有效创设逼真的情境，提
供给学生情境化的学习活动，使课堂由静态的学习变为图文声像并茂的动态传播过程。通过一环扣一环
问题的创设和层层深入的启发，使学生求知欲望由潜伏状态转入活跃状态，有力地调动了学生的思维积
极性和主动性，开发学生的非智力因素，从而有助于学生智力的提高和发展。
【案例】初三几何“探究性活动：镶嵌”，可分三个阶段进行。第一阶段为进入问题情境阶段，教师
投影“美丽的镶嵌世界”，把学生引进一个五彩缤纷的图案王国之中，并提出探究的各种问题。第二阶段
为实践体验阶段，学生利用校园网资料，搜集一些平面镶嵌图案，在教师的启引下，由简单到复杂，逐
步探究各种问题，并总结规律和归纳结论。第三阶段为表达交流阶段，每组学生把探究成果贴在“我的成
果”目录中，互相交流，对比、归纳。特别一提的是，教师提供了边长相等的3～24边正多边形，配上不
同颜色，鼓励学生设计一、二个地板的平面镶嵌图，课堂气氛顿时高涨起来，学生经过设计，复制、粘
贴、组合，排列出的图案千姿百态，有些图案大出教师意外，很有创意。由此可见丰富的信息资源，开
拓了视野，激活了思维，增强了想象，从而培养了学生的创新精神，改变学生学习方式，让学生乐意并
有更多的精力投入到现实的探索性的数学活动中去。
3.有利于课堂教学质量的提高
利用多媒体工具开展数学实验研究，引导学生主动参与学习，通过学生自主建构知识，能够有效地
突破数学教学的难点，从而提高课堂教学质量。
同时运用多媒体教学能够增加课堂容量。这样既节约了空间和时间，又提高了教学效率。教师可先
在电脑上准备好上课要用的例题、习题、图形，甚至于一些解题步骤，以便上课时选用。在此过程中可
以大量地节省时间，腾出更多的时间让学生思考与练习，保证了教学中教师的精讲与学生的多练，达到
提高教学质量的目的。
四、有效数学教学
（一）数学的有效教学
有效的课堂教学是保证教学质量的关键。有效教学需要从学生的角度去认识。有效的课堂教学是指
教师遵循教学活动规律，以尽可能少的时间、精力和物力投入，取得尽可能好的教学效果。课堂教学活
动的有效性正是在教学效果中体现出来的，教师和学生共同活动引起学生身心素质变化，使之符合预定
的目标。通过一段时间的教学，学生有无进步或发展，是衡量教学是否有效的唯一指标。
有效的数学教学并非要求教师遵循一套死板的行为规则，而是要求教师依据有效教学理念的指导，
运用自己的专业判断在具体情境中灵活地作出专业决策，即在适当的时间、地点，以适当的方式，对适
当的人做适当的事。这需要教师具有持续的反思和创新意识，细致地分析教学过程的各个环节，保证各
个环节的有效性。
（二）有效的教学设计
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1.站在系统的高度设计教学
（1）数学知识的本质要求
数学学科内在知识的逻辑联系非常紧密，形成了一个层层相连不可分离的整体结构。学生学习时考
虑到其接受水平及学习阶段，需要将学习内容进行分解。但是这种分解不能割裂知识体系，应站在系统
的高度设计教学，即教学内容融为一体是必要的。
（2）学生学习规律的要求
心理学的遗忘规律指出，如果所学内容之间缺乏必要的逻辑联系，不仅难以记忆，而且遗忘速度快。
教学实践表明先见“森林”再见“树木”的教学设计，往往优于先见“树木”再见“森林”的效果。依课程结构
策略内容设计，不仅调动了学生内在的学习动机，提高了其参与度，而且符合学生的认知规律。
（3）多维教学目标的要求
发展是教学的主要任务，思维和能力的发展基于知识的有效迁移。当代心理学的研究表明学生头脑
中的知识只有做到条件化、结构化、熟练化、策略化，才会有效迁移，才能成功地用以解决问题。如果
教师能够依从一定的教学目的，遵循知识系统，并考虑学生的身心发展，合理安排内容，学生将会比较
容易地实现思维的发展也会比较容易地将知识转化为能力。
2.有效教学设计的环节
数学教学时数学活动的教学，从本质上说，数学活动是一种思维活动，而数学思维活动又集中表现
为提出问题和解决问题，因而问题成为数学教学活动的载体，于是，从某种意义上说，数学教学设计就
是问题的设计。教学过程设计的中心任务就是要设计出一个（一组）问题，把教学过程组织成为提出问
题和解决问题的过程，把教学和学生的教学活动整合到提出问题、解决问题的过程中去——教师通过提
出问题来激发、调控学生的思维活动，来揭示知识发生的过程，让学生在解决问题的过程中，做数学，
学数学，体验数学，增长知识，形成能力，获得发展，从而完成数学教学的任务。
（1）问题和情境
①问题
问题是数学教学活动的载体。在有效教学的设计中应该特别关注问题的有效性，因为题目并不等同
于“问题”，要知道一个题目是否成为问题是由能不能激发起解题这的思维活动为条件的。因此，在教学
中必须针对学生的状况，特别是思维状况来设置，必须成为学生的问题。
②情境
所谓情境就是环境，在教学中，情境可以理解为学生从事学习活动、产生学习行为的环境和背景。
所谓问题情境，就是指能触发问题，有利于问题产生的环境。教师要认识到，从提出题目，到学生将其
接受为问题之间，必须有一个思维过程，所以不能随心所欲地“提出问题”，而必须让学生看到提出的问
题是有根据的、合理的、有价值的、有趣的；提出的问题过程是自然的、符合逻辑的等等。
（2）初始问题的设置
初始问题是作为教学起点的问题，对于实际的教学进程具有决定性的影响，一个好的初始问题，必
须具备初始性、生成性、结构性和合理性的特点。
初始问题是能导致数学概念、定理、法则、方法得以产生的问题，大致可以分成应用性初始问题和
结构性初始问题两大类。应用性初始问题是产生于实际问题中的初始问题；结构性初始问题是从原有的
知识结构出发，通过逻辑的或审美的思考，提出的问题。在备课时，教师可以从知识的应用中（如书中
的习题或例题）设计应用性初始问题；也可以从新旧知识的联系中，针对知识的增长点，设置结构性初
始问题。
（3）解决问题的过程
①让学生参与解决问题的过程
学生是学习活动的主体，初始问题提出来以后，课的整体方向和框架也被确定了，所以教师应该放
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手让学生去思考、去探索、去尝试，不要多加干预。
②设计问题串
问题串是由一连串具有逻辑联系的问题构成的问题系列，可以看成是数学思维过程的“路标”，浓缩
了数学思维过程，在教学设计中，教师可以通过问题串设计规划教学过程。在课堂教学中，可以灵活地
用问题串对学生的思维活动进行调控。
设置问题串是教师的一项基本功。所谓备课无非是对教学内容的“历史地理性的重建”，而问题串正
是这种重建的成果。这就需要教师根据教学对象、教学内容和教学环境的具体情况创造性地进行工作。
（4）学生活动
新课程标准指出：学生的数学学习活动不应只限于对概念、结论以及技能的记忆、模仿和接受，独
立思考、自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等都是学习数学的重要方式。
为了有效地开展学生活动，在进行教学设计时要注意如下问题：
①学生活动体现了学生在学习中的主体地位
学生是学习活动的主体，知识不能简单地由教师或者其他人传授给学生，而是由每个学生依据已有
的知识和经验主动地加以建构。因此，学生活动应该贯穿于整个教学过程。
②作为教学环节之一的“学生活动”是意义建构的组成部分
当前，在很多课堂教学设计中专门设置了“学生活动”的教学环节，其意图是在教学结构的层面，保
证学生活动受到重视，确保学生活动成为意义建构的重要组成部分，这也有利于学生主体作用的落实。
③学生活动的目的是促进学生的理解
为了使学生活动是有效的，教师必须明确意识到学生活动只是手段，知识的建构（理解）才是目的。
④从总体上说，学生活动必须是思维活动
学习是学习者以自身已有的知识和经验为基础的主动的建构活动，它必须是通过学习者的内省和反
思才能完成。因此，有效的学习活动，必须是思维活动，至少是有助于思维活动的活动。
（5）反思活动
在教学中，不论是教师的启发还是学生自己的活动，包括学生自己忽然而至的灵感和直觉，都只有
经过反思才能真正地产生作用，才能帮助学生达到“悟”的境界。那种企图以自己的思维代替学生的思维，
以一般的活动代替思维活动，以直觉思维代替反省思维的做法都是不会产生预期的结果的。
五、教学过程实施方面
1.教学过程实施要求
（1）数学课堂教学要充分尊重学生的主体性，创建平等自由民主的课堂。
教师要改变在课堂上的角色，不能以权威者自居，应认识学生在学习过程中的“主体”地位，把学生
视为教学过程中的主要认识者，视为发展的对象，而充分调动其积极性、主动性和自主性，变被动学习
为主动学习，使学生真正成为学习的主人。教师则由知识的传递者，变成学生主动学习的指导者、组织
者与合作伙伴，把自己看做是学生中的一员。
在课堂教学过程中，教师必须要随时随地就教学目标、教学内容、教学方法、教学重难点及课时安
排等征求学生的意见，及时了解他们的心态和需要，不断改进教学计划，在师生的互动中即兴创造，超
越预定的目标要求。因为某节课的教学任务的完成与否并不影响学生的整体发展，课堂教学最重要的是
在民主、信任、合作的气氛中培养学生的参与意识与自主精神。
（2）善于创设积极、活跃、愉悦乃至振奋的数学课堂教学氛围。
课堂教学气氛是在课堂教学情境的作用下，在学生心理需求的基础上产生的情绪情感状态，反映了
对情境的反应和投入学习的程度。课堂氛围作为学生集体的一种精神面貌和情绪倾向，与学生的主体地
位的体现和发挥密不可分。
（3）转变学生的学习方式，提倡自主、合作与探索的学习方式。
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中学数学教学要以研究性学习为载体，倡导学生的自主探索精神，让学生成为学习的主人，使学生
的主体意识、能动性和创造性不断得到发展，发展学生的创新精神和实践能力。
个性培养不仅要注重独立性的培养，同时也要注重合作意识的培养。合作学习对学生良好性格的形
成、集体观念的建立、合作意识的培养等都有重要意义。
2.课堂教学实施对于教师的要求
（1）鼓励质疑问难。教师要鼓励和培养学生由敢问到会问，并尝试着去解答自己提出的疑问，要注
意引导学生从习以为常的现象或“理所当然”的想法中找出矛盾，展开问题，培养学生“于无疑处见有疑”
的能力。
（2）鼓励争辩。教师应明确信息时代自己已不再是无所不知，无厮不能，要时刻注意理性霸权和老
师权威在个性教育中的消极作用。课堂教学既要激励学生之间的讨论、争辩和辩论，还要鼓励学生敢于
和老师争论问题。
（3）鼓励标新立异。“标新”和“立异”都是一种创新，它关键在于“新”和“异”，这实际上就是一种创
造。在教学中，教师要善于发现和鼓励学生提出与别人不同的见解，敢于打破“常规”，另辟蹊径，独树
一帜，敢于在“新”和“异”上做文章，但要求他们说出根据，绝不是胡思乱想。
（4）鼓励相互评价。在相互评价的过程中，学生最能说上话，最能表达个人的想法，最能起到相互
激励的作用并提高自己。
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第二节 教学过程的设计
一、课堂导入技能
导入新课，是指在一堂课开始，教师引导学生进入学习状态的教学环节，它是课堂教学的第一个环
节。导入既是学生学习新知的起点，又是激发学生学习兴趣、吸引学生注意力的触发点，它能迅速引起
学生的认知冲突，使学生进入最佳学习状态，是架设学习内容和学生生活经验之间的桥梁。
（一）课堂导入技能作用
1.激发学习兴趣，引起学习动机
兴趣是一个人积极探究某种事物或进行某种活动的意识倾向。学习兴趣是学生对学习活动或学习对
象的一种力求认识或趋近的意识倾向。兴趣是入门的向导，是感情的体现，能促使动机的产生。学习兴
趣是一种学习动机，是学习积极性中很现实、很活跃的心理成分。当一个人对某种学科发生兴趣时，就
会使各种感觉器官和大脑处于最活跃的状态，总是积极主动，心情愉快地进行学习，而不会觉得是一种
负担。
在数学教学之初，或学习新课题时，教师应精心设计数学学习情境，将学生置于该情境之中，激发
学习兴趣，千方百计地诱发学生的求知欲，使学生有一种力求认识世界，渴望获得知识，不断追求真理
的意向，产生学习的自觉性，迸发出极大的学习热情。
2.引起学生注意，为进入新知识的学习做好心理准备
注意是一种常见的重要心理现象。注意力是我们心灵的唯一门户，意识中的一切，必然都要经过它
才能进入。在引入新课时，教师可通过精心设计的数学活动情境，给予学生较强烈的、较新颖的刺激，
帮助学生收敛课前的各种其他思维活动，让学生的注意迅速集中，并指向特定的教学任务和程序之中，
为完成新知识的学习做好心理上的准备。
例如，这时教师根据教学内容和学生已有知识，设计问题引导学生积极发言，把学生的注意力吸引
到问题是的讨论之中，并由此引向新的学习目标和任务之中。
3.承上启下，以旧引新，建立新旧知识间的联系
数学以其系统性、严密性而著称，数学知识之间具有严密的逻辑关系；同时，学习是循序渐进的，
它要以掌握较低层次的知识为前提，才能保证对与此相联系的较高层次知识的理解和掌握。同类知识要
提升到新的层次，更需要原有知识作铺垫。在学习新知识之前，教师根据学生认知结构中已有的与新知
识的内容密切相关的知识，注意引导学生温故而知新，通过复习、提问、作习题等教学活动，或提供新
旧知识联系的支点，为学习新知识、新概念做好知识上的铺垫，使学生自然地进入新知识的学习；或利
用知识迁移规律，自如地引入新课，使学生感到新知识并不陌生，便于将新知识纳入原有的认知结构之
中；或揭示学生因某些经验、知识的不足而形成的错误观念。
4.使学生明确教学活动的目标
课堂教学是一种目的性很强的活动。要课题引入中，教师经过精心设计，给学生以充分剌激，激发
起学生强烈的求知欲和力求解决问题的强烈愿望。当学生的积极性被调动起来，思维处于活跃状态时，
教师就应注意因势利导，适时地讲明节课学习的内容、要达到的目标、完成的任务及学习活动的方向和
方法，使每个学生都明白他们要做什么，应达到什么程度，或要得到什么结果，从而使学生学习活动有
明确的导向。只有如此才能使学生持久地保持注意力，并自觉地控制和调节自己的学习活动。
（二）常用的课堂导入方法
1.直接导入法
直接导入法就是开门见山紧扣教学目标要求直接给出本节课的教学目的，以引起学生的有意注意，
诱发探求新知识的兴趣，使学生直接进入学习状态。这种导入能使学生迅速定向，对本节课的学习有一
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个总的概念和基本轮廓。他能提高学生自学的效率和质量，适合条理性强的教学内容。
例如在学习函数单调性的证明时，直接提出函数单调性的定义，告诉学生直接从图象观察出来的单
调性并不精确，只有通过定义证明才行，提出用定义证明的方法步骤，进行证明。这种方法直截了当，
让学生容易理解。
2.复习导入法
复习导入法即所谓“温故而知新”，主要是利用新旧只是间的逻辑联系，即旧知识是新知识的基础，
新知识是旧知识的发展与延伸，从而找出新旧知识联接的交点，由旧知识的复习迁移到新知识的学习上
来导入新课。通过这种方法导入新课，可以淡化学生对新知识的陌生感，使学生迅速将新知识纳入原有
的知识结构中，能有效降低学生对新知识的认知难度。使用这种导入方法，教师一定要摸清学生原有的
知识水平；要精选复习、提问时新旧知识联系的“支点”。例如，等比数列的概念及计算公式可以先复习
等差数列的概念及计算公式再来导入。
3.趣味导入法
趣味导入法就是把与课堂内容相关的趣味知识，如数学家的故事、数学典故、数学史、游戏、谜语
等传授给学生来导入新课。俄国教学学家乌申斯基认为：没有丝毫兴趣的强制性学习将会扼杀学生探求
真理的欲望。”美国著名心理学家布鲁诺也说过：“学习的最好刺激乃是对所学知识的兴趣。”趣味导入可
以避免平铺直叙之弊，可以创设引人入胜的学习情境，有利于学生从无意注意迅速过渡到有意注意。
【经典例题】请你设计一个引入“圆与圆位置关系”的激趣情境，并完成本节课的引入的教学设计。
【答案要点】设计内容：教师：古希腊大哲学家芝诺的学生问他：“老师，难道你也有不懂的地方
吗？”芝诺风趣地打了一个比方：“如果用小圆代表你学到的知识，用大圆代表我学到的知识，那么大圆
的面积是多一些，但两圆之外的空白都是我们的无知面，圆越大，其圆周接触的无知面就越多。”请你谈
谈其中的道理？
紧接着教师在黑板上画两个圆，让学生讨论：知识越多的人越会感到自己不懂的东西越多，愈学愈
发现自己的无知……
教师：“学然后知不足，教然后知困”，顺势引出课题。
设计反思：
以哲学家的大圆和小圆故事为教学情境引入，为枯燥的课题注入活力，又与本节课圆与圆地位置关
系有机地结合起来。同时激发了学生的学习兴趣和学习积极性，通过情境的创设，为学生创造亲自体验、
领悟的氛围。同时又渗透一个简单的道理：知识好比无限的海洋，等待同学们去探宝，富有启发及教育
意义，又关注学生情感，态度，有效地激发了学生的学习动机，实现了三维目标之情感态度目标。
4.悬念导入法
悬念导入是教师从不同侧面不断巧设带有启发性的悬念性问题，创设学生的认知矛盾，唤起学生的
好奇心和求知欲，激起学生解决问题的愿望来导入新课。在悬念中既巧妙地提出了学习任务，又创造出
探求知识的良好情境。这种导入类型能使学生由“要我学“转为”我要学”，使学生的思维活动和教师的讲
课交融在一起，使师生之间产生共振。但是悬念的设置要恰当适度，不悬会使学生一眼望穿，则无念可
思；太悬学生则无从下手，也就会无趣可激；只有在悬中寓实，才能引起学生开动脑筋、琢磨思考，兴
趣盎然的去探索。
【经典例题】请你设计一个引入“对数概念”的置悬情境，并完成本节课的引入的教学设计。
【答案要点】设计内容：
问题1：已知（甲）2x=16，（乙）x1.1=1.5，求x。
提问学生是求什么的运算，如何求x？
学生易知（甲）是指数运算，系已解决的问题，而对（乙）则茫然。
教师因势利导指出以前所学的知识，显然不够，而需要引出对数概念。由此引出课题。
教学反思：
思维从疑而来，古人云：“学起于思，思源于疑。”学习中如果有了疑团，就会引起学生的求知欲望，
因此，在教学中要有意识地设置一些与本节内容有关的悬念，使学生产生疑问，有效地激发学生获取知
识过程中，强烈地探求问题奥妙。设置疑惑和悬念，要注意所设疑惑和悬念的度，不“悬”学生不思而解，
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达不到激发学习热情的目的，过“悬”，学生望而生畏，百思不得其解，也会挫伤学习积极性。
二、主题探究（讲授新课）
“主题”是指课堂教学的主题，“探究”是指师生对本课主题的学习和研究。传统的教学论把这一环节
叫做“讲授新课”，是因为传统的课堂以学科体系、知识传授和教师讲解为主。而新课程倡导独立探索、
合作交流、动手实践等学习方式，既要求教师的“讲授”，也要求师生的“对话”、生生的“合作”。主题探
究环节的处理方法可以百花齐放，不拘一格，但其教学的核心是“探究”而非“接受”。
为了充分发挥其应有的功能，教师要做到以下几点：（1）要创设数学思维的情景，让学生展开充分
的思维参与到学习活动中去，即参与到概念、判断、推理的形成过程，法则、定理、性质的推导过程，
问题的分析与解决过程中去。教师在启发引导时，要善于在知识的生长点上设疑，特别是当学生不能凭
原有的知识和方法解决新的问题、陷入了迷惑不解的困境时，这儿既是新旧知识发生矛盾的焦点，又是
教师进行启发引导的最佳情境，更是学生思维发展的良好契机。教师在设计时，一要注意暴露学生学习
过程的困难、障碍、错误和疑问，并且引导学生自己尝试、发现、解决；二要注意寻找学生思维的闪光
点及时赞扬，鼓励学生提出创造性见解，增强学生的自我意识和自信心，进一步激发他们的创造性。与
此同时，应特别关注学困生，要多给其一些指导和帮助，如：一些简单的问题让他们来回答，一些简单
的练习题让他们来板演，使他们体验成功的愉快。三要注意加强操作、思维、语言的有机结合，先从操
作中获取大量的感性材料形成表象，在此基础上让学生进行认真的对比、分析、判断、综合等思维活动，
再引导学生把思维的过程或总结概括的结论作简炼语言有层次地准确加以表述，既加强了学生的动手操
作，又发展了思维，发展了语言，有利于培养学生的思维能力。（2）整个新知的探求过程中，要体现学
生为主体，教师为主导的思想，学生是探求新知识的主体。凡是学生能回答的由学生说，说不完整的让
学生间互相补充；凡是学生可以做实验尽可能让学生动手去做；凡是学生自己能归纳的内容让学生自己
去总结；凡是可由学生评价的放手让学生自己去评价可学生间相互评价。在探求新知过程中，教师的主
导作用是指路子、出点子、想法子，引导和鼓励学生独立思考、主动实践、积极探索。（3）在传授知识
的同时，要注意能力的培养、思想方法的提炼和学习方法的指导。（4）要创设愉快和谐，民主的课堂氛
围。课堂教学要讲究情感化和艺术化，学生的积极情感主要是在教师情感的影响、诱导下产生的。为此
教师在探求新知识的过程中要努力创设师生情感交流的气氛，促进学生积极情感的形成，从而来提高数
学课堂教学的效率和质量。
三、课堂提问技能
课堂提问技能是教师引出一个信号以激起学生的语言反应的一种行为方式，它是教师在课堂教学中
进行师生交流的一种重要的技能。能否进行恰到好处的提问，是衡量教师教学能力的一个重要尺度。
（一）课堂提问的原则
1.目的性原则
课堂提问应有明确的目的，便于有效引导学生积极思维，为实现教学目标服务。内容应结合教学目
的，围绕本节课的教学重点和难点来进行设置。所以，课堂提问忌不分主次轻重，为提问而提问，要有
的放矢，紧紧围绕重点、针对难点、扣住疑点，体现强烈的目标意识和明确的思维方向，避免随意性、
盲目性和主观性。如果脱离这一点，往往会导致“问无实质，问多无趣”，影响课堂教学效果和学生能力
的发展。
2.启发性原则
我国古代教育名著《学记》中提出：“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”的教学原则，旨在强调教师
的作用在于引导、启发，而不是强迫、代替。现代认知心理学认为，新学知识只有纳入原有的认知结构，
并在原有的认知结构中找到联结点，才能将新知识同化，才能牢固地掌握新知识。故在数学教学中，教
师要善于利用提问来引导、启迪学生的思维，使之应启而发，切忌问学生“对不对”、“是不是”、“好不好”
等这样的问题。
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3.适度性原则
课堂提问要根据思维“最近发展区”原理，选择一个“最佳时机”进行。适度性原则有两方面：一方面，
在教学过程中要恰到好处地掌握提问的频率和时间。一节课不能提问不断，否则学生无法冷静有效地思
考，反而破坏了课堂结构的严密性和完整性。但也不能没有提问，否则整堂课会毫无生机。另一方面，
问题的难易程度要科学适度。没有难度或难度太大的问题，都会使学生失去兴趣。浅显的随意提问引不
起学生的兴趣，他们随声附和的回答并不能反映思维的深度，超前的深奥提问又使学生不知所云，只有
适度的提问，才能达到理想的效果。那么什么样的提问才是适度的呢？
4.兴趣性原则
早在两千多年前，孔子就认为：“疑是思之始，学之端”。现代教育心理学告诉我们，当教学内容引
起学生兴趣时，学生学习就能集中注意力，就能对所学知识更好地感知、记忆、思维和想象，从而获得
较多、较牢固的知识与技能。
【案例】在讲授“有理数的乘方”的时候，先提问：一张白纸厚度只有 0.076 毫米，三次对折后的厚
度是0.076×2×2×2＝0.608毫米，还不到1毫米。假如对折30次，那么它的厚度是多少？会不会高过桌
子？会不会高过屋顶？会不会高过教学楼？……学生们则立刻活跃起来，争论激烈，当教师宣布结果：
“比珠穆朗玛峰还要高！”学生惊讶不已，迫不及待地想知道是如何列式计算的。这种形式的提问，就能
把枯燥无味的数学内容变得趣味横生。
5.循序渐进性原则
数学提问的设计要按照课程的逻辑顺序，要考虑学生的认知顺序，遵循由浅入深，由易到难，由表
及里等一系列规律，让学生能够拾级而上，循序渐进，步步深入。前后颠倒，信口提问，只会扰乱学生
的思维顺序。
6.全面性原则
素质教育是面向全体学生的教育，使每个学生在原有基础上都能够得到应有的提高和发展，因此提
问要面向全体学生，要调动每一个学生思考问题的积极性和主动性，让每一个学生都参与到教学过程中
来，切忌教室内有“被遗忘的角落”；要有亲切的态度，民主的作风，让学生敢于发表自己的见解和不同
的意见，充分施展学生的自我个性，暴露学习中的问题；要认真听取学生的回答，运用适当夸张的语气
和鼓励、赞扬的言辞去激发学生的求知欲望。
7.充分思考性原则
提问后适当的停顿便于学生思考，学生答完问题后再稍停数秒，往往可以引出该生或他生更完整确
切的补充，也可体现学生的主体地位。
8.及时评价性原则
对学生的回答教师要做出明确的反应，或肯定，或否定，或追问。恰当的反应可强化提问的效果，
同时还要重视学生的反应，鼓励他们质疑问难，作深层次思考，调动学生的积极思维。千万不能说：“不
对，这么简单的问题都答不出来。”
（二）课堂提问的类型
1.复习、回忆提问
数学是一门逻辑性、抽象性较强的学科，学生每认识一个新的数学对象，都要建立在学生已有的认
知结构上，如果学生对新的数学对象所涉及的某一旧知识认识模糊，就会给新的学习带来影响。为排除
这些障碍，教师在课堂上要提一些复习、回忆性的问题，为新的学习做好准备。另一方面，通过复习、
回忆提问，使新旧知识相互连贯，强化了所学知识。其次还能检查学生的复习情况。
它的一般形式是：“前面我们学习了……现请同学们叙述一下……什么是……”这类提问往往限制学
生的独立思考和思维的更新，它一般用于新课的引入或某一问题论证的开始，使学生回忆起所学概念或
事实。
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2.理解提问
这是比复习、回忆提问更高一级的提问，包括：
（1）一般理解
学生学习了某一概念、定理、法则或公式后，能用自己的话对所提问题进行回答。比如说讲了一元
二次方程的解法后，要学生归纳解一元二次方程的步骤是什么。
（2）深入理解
要求学生能用自己的话讲述概念、定理、性质等的实质，要求学生对已知信息形式或结构做出改变
而不是简单的复述。如学习了不等式概念，可以问“请学生们观察几个不等式，两边同时加上或减去同一
个数，不等号的方向产生改变了吗？如果两边同时乘以或除以同一个数，结果会怎样呢？”。多提一些这
样的问题，对培养学生思维的深刻性是很有好处的。
（3）对比理解
把相似或相近的两个概念组合在一个问题中，要学生区别异同，达到更深入、更本质的理解。如“请
同学们比较一下，不等式的性质与等式的性质有区别吗？”这类提问往往用于对所学知识与技能进行检
查，以及时了解学生掌握的情况，教师视学生回答的情况组织教学。也常用于某些相似的数学概念或原
理的讲解之后，或课程结束时的小结。
3.应用提问
这种提问的目的是了解学生是否能在理解新知识的基础上应用新知识和旧知识来解决问题，它包括
以下两个方面：
（1）一般应用
会使用新知识解决一般性问题。如学习了等腰三角形，问：已知一个角的度数，可以求出其他的两
个角的度数吗？
（2）灵活应用
应用新知识解决较复杂的问题。一般是为了检查学生的灵活应用程度而提的问题。
4.归纳提问
通过观察积累了一定的实际材料后，就可以进行归纳提问。归纳包括不完全归纳和完全归纳两种。
不完全归纳不能作为数学的证明方法，但可作为猜想的依据。因此不完全归纳提问在数学中有广泛的应
用。教学中，教师可以通过归纳提问，使学生掌握猜想数学结论和命题证明的方法。
5.比较提问
比较提问是教师针对所研究的某一数学对象的彼此联系相近或相似的几个方面要学生研究它们的
异同的提问。有比较才有鉴别，因此，这是一种重要的学习方法。通过比较提问，促成学生积极思维，
深刻认识数学对象的本质。
6.分析、综合提问
为了认识研究对象，把它分解成若干个不同的部分加以考查，这是分析；将分析出的各部分再结合
起来进行考虑就是综合。该类型提问主要针对综合型题，先化整为零，分解成若干个小问题逐一分析，
然后再综合起来，最终解决问题。教师应灵活提出小问题，最后再提出怎样解决原题的问题，逐步培养
学生的分析、综合解决问题的能力。使用本法时教师应积极诱导，不能急于求成，更不能包办代替学生
说出答案。
7.评价提问
评价提问是要求学生对分析问题的理由是否充分、结论是否正确、方法的优劣等做出评价性回答的
提问，其形式一般如下：
“你认为结论是否正确？”
“你认为这种理由是否充分？为什么？”
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“这两种解法哪种更好？为什么？”
四、巩固强化
练习是数学课堂教学的一个重要组成部分，它不仅有助于学生对知识的理解，巩固形成熟练的技能、
技巧，而且对学生智力发展和能力提高起着重要作用。巩固练习要遵循以下几点：（1）练习要有目的性，
要围绕教学目标进行。（2）练习要及时，使学生对当堂所获得信息反复循环，实现记忆层次的转化（瞬
时记忆——短时记忆——长时记忆）。（3）练习要有层次性。它有两个含义：一是教师要根据教材本身的
逻辑性，以及学生的认知的有序性选择练习题，做到由易到难、以简驭繁，既有坡度又有跨度；二是教
师对练习题的设计要考虑不同层次学生的需要，即要使中下生“吃得消”，又要使优秀生“吃得饱”（4）练
习要多样化，为巩固概念，选编基础变式题；为纠正差错选编判断、选择题；为拓宽思路，选编多变、
多解题等等。同时，练习时教师应充分利用口答、笔算、抢答、板演等多种形式激发练习的兴趣，提高
练习效率。（5）练习中要有反馈。没有反馈的练习是盲目的练习，教师要根据当堂练习的反馈及时给与
激励性的评价，对出现的问题，要及时解决，予以纠正。特别是在学生板演练习前，教师要有预见地有
意识地让能充分暴露练习时可能出现的各种错误或失误的学生来板演，通过反馈再次强调、纠正，真正
起到课堂练习的效果。
五、总结拓展
这一环节不仅是对知识的归纳总结，对学习方法和知识获取途径的总结，更是一个课堂教学强化、
拓展的过程。与引入一样，好的总结，可以再次激起学生的思维高潮，起到画龙点睛，启迪智慧的效果，
能使本节课的教学内容得到升华和总结，也能为学生的继续学习拓展新的道路。课堂教学结束前，教师
要引导学生回忆、整理、归纳本节的知识，使之条理化、系统化。同时教师要强调重点内容和应注意的
问题，准确评价学生对本节课知识的理解掌握情况，指出下一步要求。需要强调的是教师在引导学生对
知识的梳理的同时，要注意引导学生对获取知识所用的方法和思路进行回忆、总结、明确，即进行学法
小结。整个课堂小结要做到两个突出：突出教学目标，突出基础知识、基本技能、基本数学思想方法，
语言要简明扼要。
六、布置作业
作业一般有课堂练习和课后作业两种，前者是要求学生在课堂上用少量时间完成的作业，其目的是
检查学生对这堂课所学知识的掌握情况，因此要紧扣课堂教学内容。后者是要求学生课后完成的作业，
其目的在于进一步强化和巩固所学知识和方法，或者为下次课所作的学前准备。不论是哪种作业，都要
有针对性、层次性、引导性和典型性。
七、板书的设计
1.教学板书的概念
教学板书是教师在教学过程中，根据教学的需要，配合语言、多媒体等，运用文字、符号、图表向
学生传播信息的教学行为方式。板书是教师必备的基本教学技能。
2.教学板书的作用
体现教学意图；突出教学重点；揭示教材思路；强化直观形象；便于集中注意；提高教学效率
3.教学板书的设计原则
鲜明的目的性；一定的针对性；高度的概括性；清晰的条理性；周密的计划性；适当的灵活性
4.教学板书的设计方法
锤炼语言；借用符号；运用线条；制作表格；创造图形；调谐色彩
八、教学反思
教学反思，是教师对自己教学活动的回顾、检验与认识，本质上是对教学的一种反省认知活动。教
师以自己的实践过程为思考对象，在“回放过程”的基础上，对其中的成败得失及其原因进行思考，得到
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一定的能用以指导自己教学的理性认识，并形成更为合理的实践方案。
教学反思是教师专业发展和自我成长的核心因素，实践十反思二成长。“经验之中有规律”。教师的
反思能力决定着他的教育教学实践能力和在工作中开展研究的能力。如果教师对自己的教育教学实践缺
乏反省，不对自已的教学经验进行概括，课堂教学实践后不反思，那么他们就很难成长为专家型教师。
通过反思，教师不断更新教学观念，改善教学行为，提升教学水平，同时形成对教学现象、教学问题的
深层次思考和创造性见解，使自己真正成为“研究型教师”。
1.教学反思的内容
数学教师的教学反思从以下几方面开展：
（1）对教学设计的反思
教学设计是课堂教学的蓝本，是对课堂教学的整体规划和预设，勾勒出了课堂教学活动的效益取向。
设计教学方案时，教师对当前的教学内容及其地位(概念的”解构”、思想方法的“析出”、相关知识的联系
方式等，学生已有知识经验，教学目的，重点与难点，如何依据学生已有认知水平和知识的逻辑过程设
计教学过程，如何突出重点和突破难点，学生在理解概念和思想方法时可能会出现哪些情况以及如何处
理这些情况，设计哪些练习以巩固新知识，如何评价学生的学习效果等，都已经有了一定的思考和预设。
教学设计的反思就是对这些思考和预设是否与教学的实际进程具有适切性进行比较和反思，找出成功和
不足之处及其原因，从而有效地改进教学。
（2）对教学过程的反思
具体可以从如下几个方面进行反思：
各教学环节的时间分配是否合理(特别要反思是否把时间用在核心概念和思想方法的理解和应用
上）；
教学重点和难点的处理情况；
是否启发了学生提问，学生提问的质量如何；
问题是否恰时恰点，学生是否有充分的独立思考机会；
核心概念的“解构”、思想方法的“析出”是否准确、到位；
是否关注到学生的个性差异，学生活动是否高质高效，有没有“奇思妙想”、创新火花，有没有抓住
这种机会；
是否渗透和强调了数学能力的培养；
教学内容的“价值观因素”是否得到充分挖掘，并用学生能理解的方式进行展示；
教学媒体使用是否得当；
教师语言、行为是否符合教育教学规律，学生有什么反应；
各种练习是否适当；
教学过程是否存在着“内伤”等等。
（3）对教学效果的反思
对数学教学效果的反思，是指在教学活动结束后，教师对整个活动所取得的成效的价值判断，包括
学生所获得的发展和教师自己的价值感受两个方面。前者主要考查学生的数学“双基”的掌握，数学能力
发展，数学学习方法的掌握，数学的科学、人文价值的认识，以及理性精神的养成等诸方面；后者主要
考查教师自己在教学活动中对教学内容和学生情况的了解程度的变化，个人教学经验的变化，实施有效
教学能力的提升，教学思想观念的变化等。其中，教学是否达到了预期的目标，学生行为是否产生了预
期的变化，是教学效果反思的重点。
（4）对个人经验的反思
这是教师对自已教学活动的持续不断的反思过程，是教师专业化成长的必由之路。对个人经验的反
思有两个层面，一是反思自已日常教学经历，便之沉淀为真正的经验；二是对经验进行解释、归纳和概
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括，提炼出其中的规律，使之成为有一定普适性的理论。
在教学反思实践中，可以使用“反思档案”，其中包括：一是忠实记录并分析所发生的种种情况，使
之成为文本形式的经验；二是对文本经验本身不断加工和再创造，使经验得到升华，改善教师的理念与
操作体系，甚至可以自下而上地形成新的教学理论。
2.教学反思的方法与步骤
（1）截取课堂教学片断及其相关的教学设计
截取的片断应该是与自己感兴趣的问题紧密相关的，描述了一个完整的教学事件。因此，为了更加
真实地反映实际情况，需要我们事先对教学设计进行深入分析，从中析出自己感兴趣的问题，并在听课
过程中有目的、有计划、有系统地对课堂中师生之间的相互作用过程进行仔细观察，包括活动的形式、
内容和结果等，做出“全程记录”，并要通过观看录像进行仔细核对。
有必要时，应当通过“追问”的方式，如“当时你是怎么想的”,“你为什么这样说”等，向学生进一步搜
集相关信息。
（2）提炼反思的问题(案例问题)
案例问题是案例的灵魂，是反思活动的主要线索。这些问题不仅要围绕反思的主题，揭示案例中的
各种困惑，更重要的是要有启发性，能够引发其他人的反思和讨论。因此，提炼反思问题时应注意：第
一，围绕当前的课堂教学活动；第二，是被广大教师普遍关注的；第三，重要但容易被忽视的；第四，
课堂教学改革中的疑难问题；第五，不同层次的教师能够参与讨论的；第六，可以与一定的理论相衔接
的。
好的反思问题是那些能够引发大家思考和讨论的问题，是“大家都有话可说”的问题，而不是“最后能
达成一致意见的问题”。
（3）个人撰写反思材料
撰写反思材料时，应围绕自己感兴趣的反思问题。可以通过分析教师的教学和学生的课堂反映，即
教师是怎么教的、学生是怎么说怎么想的，考察其中的利弊、得失，并进行原因分析，分析时应当有一
定的理论高度，最后应当给出改进的方案。
（4）集体讨论
讨论时应当有成员之间完全平等交流的氛围，各种意见应当得到充分表达，不同观点应当注意相互
包容。讨论应当有忠实的原始记录。
（5）个人再反思，并撰写反思论文
在撰写论文时，除了对第（3）步写出的反思材料进行修改、完善外，还应对自己在整个活动中的“心
路历程”也有所反映。
九、数学教案的撰写
（一）教案的基本要求
1.结构清晰完整
教案编写应该注重结构的完整和基本要素的完备，要能够比较清晰地反映出课堂教学的目标要求、
基本内容和教学策略，尤其是课堂教学进程的组织，包括教学步骤的安排、各教学环节之间的衔接和教
学时间的控制、分配等，要符合教学的规律。
2.文字简明精要
教案编写应该讲究语言的简洁性，文字表达尽量能够写得简练、精要、晓畅。重要的一点在于精选
教学内容，突出教学重点和中心环节，重要的内容详写，次要的内容则可略写。
3.形式灵活实用
形式是为内容服务的，提倡教案形式的灵活性，就是要因人而异、因文而异，依据教学实际的需要，
灵活地采用不同的教案形式，防止模式化，更好地为实现教学目标服务。
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4.计划全面周到
教案编写应该体现教学过程的计划性，事先要对教学活动的各个方面进行缜密的考虑，力求恰当合
理，为顺利施教提供可靠的蓝本。此外，教案编写时还要带有一定的预见性，对课堂实施中可能会遇到
的各种问题和突发性事件作好充分的准备，以便及时应对，保证教学活动顺利进行。
（二）教案的基本结构
1.课题名称。指该节课教学的总题目。可以是教材中的某篇课文的标题，可以是该节课的教学任务
名称，可以是该节课的教学内容的总称。
2.教学目标。要求确定并表述该课题结束时应达到的预期结果标准。
3.重点难点。根据学生发展水平和教学目标，分析确定该课题的教学重点和教学难点。
4.教学方法。要求分析、选择并确定该课题教学进程中采用的教与学相互作用的活动方式。
5.教材教具。根据教学实际情况，准备需要使用的各种教学材料和教学用具、设备。
6.教学时间。标明该课题教学所安排的课时。
7.教学过程。这是教案设计、编写中最为重要的项目，也是教案的主体部分。要求表述清晰、重点
突出、内容得当、步骤合理、结构完整。
8.教学板书。板书就是教学过程中教师在黑板上书写的内容。要求条理清楚、简明扼要、突出重点、
书写工整。教学板书具有非常重要的教学作用：它能够很好地体现教学意图；概括出教学内容的重点；
强化直观形象以吸引学生学习的注意力；有利于学生对教学内容的理解、记忆和巩固。
9.教学反思。
教学设计格式
一、教学目标
1.知识与技能目标
2.过程与方法目标
3.情感、态度与价值观目标
二、教学的重点、难点
三、教学准备
四、教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计理念
（本部分内容视具体教学内容灵活处理）
五、板书设计
六、教学反思（略）
【典型教案范例】
《指数函数及其性质》教案
一、教学目标
1.知识与技能目标：理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象和性质。
2.过程与方法目标：通过观察图象，分析、归纳、总结、自主建构指数函数的性质，领会数形结合
的数学思想方法，培养发现、分析、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值和应用价值，培养善于观
察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。
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二、教学重点、难点
教学重点：指数函数的概念、图象和性质。
教学难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质。
三、教学准备
多媒体课件、直尺
四、教学过程
（一）创设情景，导入新课
问题 1：某种细胞分裂时,由 1 个分裂成 2 个,2 个分裂成 4 个,……一个这样的细胞分裂 x 次后,得到
的细胞分裂的个数y与x之间,构成一个函数关系,能写出x与y之间的函数关系式吗？
问题 2：一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的质量约是原来的 84%.求出这种物
质的剩留量随时间(单位：年)变化的函数关系。设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示。
（二）新课讲授
1．指数函数的定义
一般地，函数 y ax a 0且a 1 叫做指数函数，其
中x是自变量，函数的定义域是 R.
问题：指数函数定义中，为什么规定“a0且a1”
如果不这样规定会出现什么情况？
练1：指出下列函数那些是指数函数：
(1)y 4x (2)y x4 (3)y 4x
1
x
(4)y
4x
(5)y
2．指数函数的图像及性质
在同一平面直角坐标系内画出指数函数 y 2x与
x
1
y 的图象（画图步骤：列表、描点、连线）。
2
x
1
由学生自己画出y 3x与y 的函数图象
3
（三）巩固练习
例1：比较下列各题中两值的大小
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（四）小结作业
（1）什么是指数函数？
（2）指数函数的图像与性质？
五、板书设计
六、教学反思
略
【初中经典例题】
1.数学课堂教学设计遵循的原则不包括（ ）。
A.循序渐进原则——由易到难，由表及里
B.情意原则——激发动机与兴趣
C.结构原则——教学内容结构化，保持思想方法的一致性
D.过程原则——“两个过程”有机结合，精心设计概括过程
2．【2017 上半年，初级 12】《义务教育数学课程标准（2011 年版）》用行为动词“了解”“理解”“掌
握”“运用”等描述结果目标，请解释“了解等腰三角形的概念”的具体含义。
3.初中“正数和负数”（第一节课）设定的教学目标如下：
①通过丰富的实例，进一步体会负数的意义；
②理解相反意义的量，体会数的扩充过程；
③用负数表示现实情境中的量，体会数学应用的广泛性。
完成下列任务：
（1）根据教学目标①，给出至少三个实例，并说明设计意图；
（2）根据教学目标②，给出两个实例，并说明设计意图；
（3）根据教学目标③，设计两个问题，让学生用负数表达，并说明设计意图。
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（4）相对小学阶段的负数的教学，本节课的教学重点是什么？
（5）作为初中阶段的起始课，其难点是什么？
（6）本节课的教学内容对后续哪些内容的学习有直接影响？
4.在讲“不等式及其解集”一课中，教学目标为：（1）了解不等式概念，理解不等的解集，能正确表
示不等式的解集；（2）培养学生的“数感”渗透数形结合的思想。根据这一教学内容，完成下列任务：
（1）根据教学目标，写出本节课的教学重点与难点。
（2）如何引出该课内容，举例说明。
（3）不等式的解是唯一的吗？
5.请列举数学课堂教学导入的两种方法，并举例说明。
6．【2017上半年，初级17】针对一元二次方程概念与解法的一节复习课，教学目标如下：
进一步了解一元二次方程的概念；
进一步理解一元二次方程的多种解法（配方法、公式法、因式分解法等）；
会运用判别式判别一元二次方程根的概念；
通过对相关问题的讨论，在理解相关问题的同时，体会数学思想方法，积累数学活动经验．
问题：根据上述教学目标，完成下列任务．
（1）为了落实上述目标，请设计一个教学片断，并说明设计意图．（18分）
（2）配方法是解决一元二次方程的通性通法．请设计问题串，以帮助学生进一步理解配方法在解一
元二次方程的作用．（12分）
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第五章 教学评价
一、数学教学评价概述
（一）数学教学评价的含义
数学教学评价就是通过对数学教学过程以及结果的考查，对教学效果、学生的学习质量及个性发展
作出科学的判断，继而调整、优化教学过程的数学教学实践活动。数学教学评价主要包含教与学两方面
的评价，它是数学教学工作经常性的重要课题。例如，总结教学经验、观摩教学的评议、教学评优、检
查与讲评学生作业、课堂提问、各种形式的测验与考试等，都是对教学的评价。
（二）中学数学教学评价的基本理念
1.以促进发展为目的
2.体现以人为本思想
3.注重对学生数学学习过程的评价
4.评价要体现多元性
5.重视以学论教
注：详见课程标准
（三）数学教学评价的功能
数学教学评价的作用主要体现在以下几个方面：
1.导向作用
导向作用是指被评价者把教育评价所依据的价值标准作为自已的价值标准，把教育评价所依据的目
标作为自己努力达到的目标，教学评价就像一个“指挥棒”，指导着教师的教和学生的学。
2.鉴定作用
鉴定是指通过教学评价对评价对象作出某种裁定。评价者能确切地掌握被评价者的水平，便于确认
和筛选;被评价者根据自身获得的评价，确定提高的方向。
3.诊断作用
通过教学评价，可以总结出教学活动中成功的经验和失败的教训，教学评价的目的不仅是区分优劣
或鉴定是否达到标准，而是希望通过评价找出优点，发扬光大，发现问题和不足，以便及时补救。
4.信息反馈和决策调控作用
评价与被评价者可以根据评价提供的反馈信息进行自我检查，调整、改进自己的工作。教学评价的
结果，不仅要对教学成果的成败作出判断，而且要利用评价的结果反馈信息，调整、改进教学计划和教
学进程，以便更好地改迸教学。
总之，做好数学教学评价的工作，可以为教师提供来自学生方面的反馈信息，及时了解学生学习数
学的各种障碍，同时，教师本人也可以从中检查出自己教学的不足，及时进行调节。因此，它是数学教
学活动中必不可少的一环。
二、教学评价的原则
1.坚持“以学生的发展为本”
基础教育课程改革的核心理念是“以学生的发展为本”。要发挥教学评价的教育功能，“建立促进学生
全面发展的评价体系”。确定数学课堂教学评价指标体系，要从学生全面发展的需要出发，注重学生的学
习状态和情感体验，注重教学过程中学生主体地位的体现和主体作用的发挥，强调尊重学生人格和个性，
鼓励发现、探究与质疑，以利培养学生的创新和实践能力。
2.促进教师的成长
建立促进教师不断提高的课堂评价体系，强调教师对自己行为的分析与反思，建立以教师自评为主，
校长、同行、学生、家长共同参与的评价制度，使教师从多渠道获得评价的信息，不断提高教学水平。
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3.既强调结果又强调过程
形成性评价和终结性评价相结合。在评价过程中，不同的评价目的，会有不同的评价内容和评价标
准。总的来说，教育评价有两种目的，形成性目的和终结性目的。其中终结性目的在于区分评价对象的
优劣程度，并以分等鉴定为标志；形成性目的则在于分析、诊断教育过程与活动中存在的问题，为正在
进行的教育活动提供反馈信息，以提高进行中的教育活动的质量为最终目的。数学课堂教学评价应更多
地侧重现实评价的形成性目的。
4.体现开放性，坚持可行性
课堂教学具有丰富的内涵，学生、教师，以及学科和教学条件诸方面的不同，使课堂教学情况千变
万化。确定课堂教学评价指标体系，既要体现课堂教学的一般特征，又要为不同学科和不同条件的课堂
教学留有可变通的余地。提倡创新，鼓励个性化教学。
可行性是实施评价的前提。课堂教学评价指标体系要符合当前课堂教学改革的实际，评价标准是期
待实现的目标，但又必须是目前条件下—能够达到的，以利于发挥评价的激励功能；评价要点必须是可
观察、可感受、可测量的，便于评价者进行判断；评价办法要注重质性评价和综合判断，力求简单，易
于操作。
三、数学课堂教学评价
数学课堂教学作为学生获取数学知识和数学基本技能的主渠道，教学的质量直接影响到学生学习的
好坏，而且，通过对课堂教学有效的评价，可以提高教师的教学水平，不断提高教学质量，促进教师的
专业发展。在相关研究的基础上，本部分主要从教学目标、教学内容、教学方法、教学效果、教师素养
几个方面加以论述。
1.教学目标
明确具体的教学目标是实施课堂教学的前提。教学目标作为选定教学内容和教学方法的依据，同时
也是为学生明确学习要求和评价教学成效的重要依据，所以教学目标不但要写在教案上，而且应充分体
现在课堂教学中。教学目标的确定应依据教学大纲、教材和学生的实际，一般应包括知识、能力和情感
三个方面。在制定教学目标之前，教师要深入研究课程标准，认真钻研教材，准确把握教学的重点与难
点，掌握本课知识与前后知识之间的内在联系，分清了解、理解、掌握和运用四个层次的具体要求，制
定各课时的明确、具体的教学目标，以便于实施教学。教学语言的组织、总体的设计、例题的选择以及
习题的配置等都要围绕教学目标进行，做到重点突出、难点分散。对于同一知识点，在不同的课型中，
目标则可能不同。如概念课的教学目标在于使学生接受某种新知识，而复习课的教学目标则是在学生掌
握这种知识的基础上向深度和广度发展，以培养学生的能力，即在层次上应有不同的要求。
2.教学内容
教学内容是课堂教学的核心，主要是指教师在课堂教学中完成教学大纲要求的情况、知识的深度与
广度以及内容、轻重的安排处理等情况。教师在教学过程中，要注意课题的引入是否最有效地激发了学
生的兴趣；概念的分析是否准确、透彻；定理、公式的推证方法是否最简洁、严密；例题的选取是否最
具典型性，能否有效地突出本课时的重点，求解的方法是否多样化；学生的练习题的难易是否合理；小
结是否起到画龙点睛的作用等等。对课堂教学内容评价的主要依据是从知识上是否具有科学性、思想性、
教育性；内容的深浅度是否符合学生的实际，分量是否适中；整个教学内容是否围绕教学目标、反映教
学目标;例题的教学及练习的选配是否合理；教学内容的安排是否注意了重点突出、难点突破；学生在回
答问题时是否有思考的时间和空间；在教学活动中是否渗透了数学思想方法，是否重视了知识的形成、
发展过程等几个方面来进行的。
“数学教学要立足于把学生的思维活动展开，辅之以必要的讨论和总结，并加以正确的引导。在教学
中，应当注意数学概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解题思路的探索过程，
解题方法和规律的概括过程，使学生在这些过程中展开思维，从而发展他们的科学精神和创新意识，形
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成获取、发展新知识，运用新知识解决问题，以及用数学语言进行交流的能力。”所以，在对具体的数学
课堂教学进行评价时，也有直接用对教学过程的评价来代替对教学内容的评价，其评价的内容还包括在
教学中是否面向了全体学生，启发诱导是否得当；是否调动了学生学习兴趣，课题的引人是否具有新意；
是否重视了“四基”的教学，难点是否突破有方；是否暴露了思维过程，对创新意识和创新能力是否进行
了培养；教学信息反馈是否及时，是否进行了适度调节等等。
3.教学方法
教学方法是课堂教学活动中重要的组成部分，在教学目标明确后，教学方法就成为能否完成教学目
标的重要因素。在一个班级中，学生的年龄虽然相仿，但他们各自的智力水平、学习能力、成熟的程度、
数学基础等不尽相同，选择教学方法一般是在利用已有条件的基础上，根据实际情况灵活应用。例如，
班级同学对知识掌握得较好时，可采用讨论、独立探究等方法，使学生获取更多的知识，增强更多的能
力；若发现有的同学对知识的掌握不够好时，可采用讲授、启发、讨论等方法，要注意对概念和定理的
引人、理解和运用，重视由感性到理性的认识过程。同时，在选用教学方法时，要注意教学手段的使用，
合理、恰当地运用现代化的多媒体辅助教学手段，可提高课堂效率和教学效果，对实现教学目标、改善
和提高教学效果有着积极的意义。
灵活的教学方法是课堂教学成功的保证。教学方法是多种多样的，每一种教学方法都有它的特点和
适用范围。对教学方法的评价主要是指教师在课堂教学中所使用的教学方法是否符合学生的实际，是否
有利于启迪学生的思维与发展学生的数学能力，课堂教学结构的设计是否合理，教学手段的使用是否恰
当。
4.教学效果
教学效果是衡量在课堂教学中是否落实了教学目标的重要依据，课堂教学效果的好坏直接影响到教
学质量。评价课堂教学效果主要是看在课堂教学中学生学习是否积极主动；在教学中教师是否激发了学
生学习数学的好奇心和求知欲；教师通过让学生独立思考是否达到了活跃学生思维的目的；整堂课的教
学中师生配合是否协调，教学目标是否达标;从学生的接受和反馈情况来看，学生当堂知识掌握的合格率
是否较高等等。
5.教师素养
教师的素养是课堂教学中极为关键的因素。对课堂教学的评价绝不应忽略对教师素养的评价。一个
教师的素养体现在教学的各个环节之中，包括教学目标的确定、教学内容的取舍、教学方法的设计、教
学手段的运用、教学的组织能力、教学机智与表现力。教学教师素养的外在表现形式往往是：教态是否
亲切自然，普通话是否准确；数学语言是否科学、准确、简练、生动、严密，富有感染力；板书是否工
整规范，具有系统性；是否具备驾驭课堂、灵活运用教学方法的能力；是否具有较强的应变能力；是否
能灵活运用教学辅助手段，等等。除此之外，更重要的是在教学过程中看教师是否具有数学观念，是否
具有思维的习惯，是否具有广博的知识，是否具备对数学问题的深刻理解能力。
【经典例题】
1．对学生数学学习的评价，既要关注学习结果，也要关注学习过程，你认为对学生数学学习过程的
评价应关注哪些方面？试举例说明。
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2.学生数学学习评价主体应该是多元化，请列举四种评价的主体，并简述评价主体多元化的意义。
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第六章 数学案例分析
一、分析案例的角度
是否发挥主导地位
是否互动
是否启发、激发兴趣
教师 是否关注每一位学生
是否尊重学生（质疑和创新）
是否提问、评价
出现错误，勇于承认或因势利导
学生 是否动脑，动手，动眼，交流（动口，动耳）
是否遵循教学原则
教学方法使用是否恰当
教学环节
是否渗透数学思想
两个注重（注重知识的产生过程、注重学生的思维过程）
二、案例分析试题
【初中经典例题】
1.【2015年下半年初中】某教师关于“反比例函数图象”教学过程中的三个步骤为：
第一步：复习回顾
提出问题：我们已经学过一次函数的哪些内存？是如何研究的？
第二步：引入新课
提出问题：反比例函数的图象是什么形状呢？
引导学生利用描点法画出y=1/x的图象。
列表：
x … -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 …
y=1/x … -1/6 -1/5 -1/4 -1/3 -1/2 -1 1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 …
描点。
连线：引导学生用光滑的曲线链接描点，并用计算机演示图象的生成过程。在此过程中启发学生思
考，由于x,y都不能为0，所以函数图象与x轴、y轴不能有交点（如下图）
y
x
O 12345
（1）该教学过程的主要特点是什么？
（2）在第二步的连线过程中，如果你是该老师，如何引导学生思考所连的线不是直线，而是光滑曲
线。
（3）对于第三步的③，如果你是该老师，如何引导学生思考函数图象在第一象限（或第三象限）的
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变化？
2．【2017上半年，初级16】案例：为了帮助学生理解正方形的概念、性质，发展学生推理能力、几
何直观能力等，一节习题课上。甲、乙两位教师各设计了一道典型例题。
【教师甲】如图1，在边长a的正方形ABCD中，E为AD边上一点（不同于A，D），连CE，在
该正方形选取点下，连接DF，使DF=CE。请解答下面的问题：
（1）满足条件的线段DF有几条？
（2）根据（1）的结论，分别判断DF与CE的位置关系并加以证明。
【教师乙】如图2，在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为AD，AB边上的点（E，F均不与
正方形顶点重合），且AE=BF，CE，DF相交于点M。
证明：（1）DF=CE；（2）DF⊥CE。
问题：（1）分析两位教师例题设计的各自特点。（10分）
（2）直接写出教师甲的例题中两个问题的结论（不必证明）。（4分）
（3）结合两位教师设计的例题，你还能启发学生提出哪些数学问题（请写出至少两个问题）。（6分）
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3．【2017下半年，初级16】案例：
某学校的初二年级教学备考组针对“一次函数”，拟对“兴趣班”的学生上一次拓展课，经过讨论，拟
定了如下教学目标：
①进一步理解一次函数解析式ykxb(k 0)中参数的含义；
②探索两个一次函数图象的位置关系。
为了落实教学目标②，针对参数K，甲、乙两位老师给出了不同的教学思路：
【教师甲】
先出示问题：一次函数图象是直线，两个一次函数表示的直线平行时，它们对应的一次函数解析式
中参数K有什么特点呢？
然后，给出一般结论：若函数 y k xb(k 0)，y k xb (K 0) 表示的两条直线平行，则有
1 1 1 2 2 2
K K ，接着通过具体实例，让学生体会参数K的含义。
1 2
【教师乙】
让学生在同一坐标系下，作一次函数图象，在此过程中体会k的含义，如，将学生分两组，分别画
1 1
一次函数yx1，yx2；y x3，y x1的图象，再让学生观察每组图象的位置关系，从而
2 2
体会参数k的含义。
问题：
（1）对该备课组拟定的教学目标进行评析；（6分）
（2）分析甲、乙两位教师教学思路的特点。（14分）
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4.案例：
阅读下列3个教师有关“代数式概念”的教学片断。
教师甲的情境创设：
“一隧道长l米，一列火车长180米，如果该列火车穿过隧道所花的时间为t分钟，则列车的速度怎
l180 l180
么表示？”学生计算得出 ，教师指出：“ ”、“10a＋2b”这类表达式称为代数式。
t t
教师乙的教学过程：
复习上节内容后，教师在黑板上写下代数式的定义：“由运算符号、括号把数和字母连接而成的表达
式称为代数式”，特别指出“单独一个数或字母也称为代数式”；然后判断哪些是代数式，哪些不是；接着
通过“由文字题列代数式”及“说出代数式所表示的意义”进一步解释代数式的概念；最后让学生练习与例
题类似的题目。
教师丙的教学过程：
让学生自学教材，但是教材并没有说“代数式”是怎么来的，有什么作用。接着教师大胆地提出开放
式问题：“我们怎样用字母表示一个奇数？”当时教室里静极了，学生们都在思考。
先有一位男生举手回答：“2a－1”。
“不对，若a＝1.5呢？”一位男生说。
沉默之后又有一位学生大声地说：“a应该取整数！”
有些学生不大相信：“奇数77能用这个式子表示吗？”
不久，许多学生算出来：“a取39”。
此时，教师趁势作了一个简单的点拨：“只要 a 取整数，2a－1 定是奇数，对吗？那么偶数呢？”他
并没有作更多的解说，点到为止，最后的课堂小结也很简单：“数和式有什么不同？”“式中的字母有约束
吗？”“前面一节学过的式子很多都是代数式！……”从师生们自如的沟通来看，他们都已成竹在胸。
问题：
（1）你认可教师甲的情境创设吗？说明理由；
（2）你认可教师乙的教学过程吗？说明理由；
（3）你认可教师丙的教学过程吗？说明理由。
5.案例：下面是“零指数幂”教学片段的描述，阅读并回答问题：
片段一：观察下列式子，指数有什么变化规律？相应的幂有什么变化规律？猜想
20 ?
24 16
23 8
22 4
212
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20 ?
上面算式中,从上向下每一项指数减1，幂减半，猜测 20 1 。
片段二：用细胞分裂作为情境，验证上面的猜测：一个细胞分裂1次变为2个，分裂2次变为4个，
分裂3次变为8个，那么，一个细胞没有分裂时呢？
片段三：应用同底数幂的运算性质：2m 2n 2mn（m,n为正整数，m>n）我们可以尝试m=n的
情况，有23 23 233 20，根据23 23 88 1，得出：20 1
片段四：在学生感受20 1的合理性的基础上，做出零指数幂的规定，即a0 1a0 ，验证这个
规定与原有的幂的运算性质是无矛盾的，即所有的幂的运算性质可以扩展到零指数幂。
问题：
（1）请确定这四个片段的整体教学目标？
（2）验证运算法则amn am an
m,nZ
，可以拓展到自然数集。
（3）这四个片段对数学运算法则的教学有哪些启示？
6.案例：
下面是某位同学用开方法解方程的过程
求方程中𝑥的值 (cid:4666)3𝑥(cid:3397)1(cid:4667)(cid:2870)(cid:3398)4(cid:3404)0
解：(cid:4666)3𝑥(cid:3397)1(cid:4667)(cid:2870)(cid:3398)4(cid:3404)0
移项(cid:4666)3𝑥(cid:3397)1(cid:4667)(cid:2870) (cid:3404)4
开平方3𝑥(cid:3397)1(cid:3404)2
移项3𝑥 (cid:3404)1
(cid:2869)
所以𝑥 (cid:3404)
(cid:2871)
问题：
（1）该同学的解题过程哪步错了？分析其原因；
（2）针对该生情况，请你设计一个辅导教学片段（可以为师生问答形式），并说明设计意图；
（3）除了开方法外，本题还可以用哪些方法解答（至少列举两种）？
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7.案例：
教师：下面是距离S（米）与时间t（分钟）关系的图像，请大家根据图像创设问题情境。
S(米)
800
400
O 10 20 30 40 50 60 t(分)
生1：小明到小亮家问数学题，从家出发20分钟后到达距他家800米远的小亮家，小亮用了10分
钟给他讲题，又经过 30分钟小明回到家。
生2：父亲吃过晚饭外出，步行20钟后，到达离家800米远的报刊亭，看了10分钟的报纸，然后
往回走，散步30分钟后到家。
……
同学们一边欣赏精彩的故事，一边考虑情节是否符合题意。这时，教师发现课堂中一向积极踊跃的
课代表小洁略皱眉头。
师（亲切）：看来我们的课代表有疑问呀，告诉大家你在想什么？
小洁：在大家创设的问题情境中，中间一段时间都是看报、学习、休息、吃饭之类的，这些都是不
动的情况。老师，我在想这条水平的线段能不能表示运动的情况？
听了小洁的话，大家愣住了，热闹的讨论变成了安静的思考，老师的心更是一惊：随着时间的推移
而距离不变，当然是静止的，难道不对吗？备课时只想到静止的情况，没有思考过是否可以运动呀。但
有没有运动的呢？一连串的问号令她一时也想不出答案。
……
问题：（1）请分析该教师所落实的函数的教学目标。
（2）该教师在课堂教学中主要充当了什么角色？针对小洁同学的疑问，如果你是该教师，你该如何
回应？
（3）针对小洁同学的问题，是否存在这样的问题情境？如果不存在，请简述理由；如果存在，请设
计这样的问题情境。
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附录 内容标准
第三学段（7~9年级）
（一）数与代数
1.数与式
（1）有理数
①理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小。
②借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道｜a｜的含
义（这里a表示有理数）。
③理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）。
④理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算。
⑤能运用有理数的运算解决简单的问题。
（2）实数
①了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。
②了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数
（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根。
③了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值。
④能用有理数估计一个无理数的大致范围。
⑤了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并会按问题的要求对结果取近似值。
⑥了解二次根式、最简二次根式的概念，了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法
则，会用它们进行有关的简单四则运算。
（3）代数式
①借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义。
②能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示。
③会求代数式的值；能根据特定的问题查阅资料，找到所需要的公式，并会代入具体的值进行计算。
（4）整式与分式
①了解整数指数幂的意义和基本性质；会用科学记数法表示数（包括在计算器上表示）。
②理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行
简单的整式乘法运算（其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘）。
③能推导乘法公式：（a+b）（a-b）=a2-b2；（a±b）2=a2±2ab+b2，了解公式的几何背景，并能利用公式
进行简单计算。
④能用提公因式法、公式法（直接利用公式不超过二次）进行因式分解（指数是正整数）。
⑤了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分；能进行简单的分式加、减、
乘、除运算。
2.方程与不等式
（1）方程与方程组
①能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。
②经历估计方程解的过程。
③掌握等式的基本性质。
④能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程。
⑤掌握代入消元法和加减消元法，能解二元一次方程组。
⑥能解简单的三元一次方程组。
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⑦理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。
⑧会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。
⑨了解一元二次方程的根与系数的关系（不要求应用这个关系解决其他问题）。
⑩能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
（2）不等式与不等式组
①结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质。
②能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等
式组成的不等式组的解集。
③能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题。
3.函数
（1）函数
①探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。
②结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。
③能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。
④能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围，并会求出函数值。
⑤能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。
⑥结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论。
（2）一次函数
①结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式。
②会利用待定系数法确定一次函数的表达式。
③能画出一次函数的图像，根据一次函数的图像和表达式
y kxb(k 0)
探索并理解k 0和
k 0时，图像的变化情况。
④理解正比例函数。
⑤体会一次函数与二元一次方程的关系。
⑥能用一次函数解决简单实际问题。
（3）反比例函数
①结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。
k
②能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式y (k 0)探索并理解k 0和k 0时，图像
x
的变化情况。
③能用反比例函数解决简单实际问题。
（4）二次函数
①通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。
②会用描点法画出二次函数的图像，通过图像了解二次函数的性质。
y a(xh)2 k
③会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 的形式，并能由此得到二次
函数图像的顶点坐标，说出图像的开口方向，画出图像的对称轴，并能解决简单实际问题。
④会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解。
⑤知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。
（二）图形与几何
1.图形的性质
（1）点、线、面、角
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①通过实物和具体模型，了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等。
②会比较线段的长短，理解线段的和、差，以及线段中点的意义。
③掌握基本事实：两点确定一条直线。
④掌握基本事实：两点之间线段最短。
⑤理解两点间距离的意义，能度量两点间的距离。
⑥理解角的概念，能比较角的大小。
⑦认识度、分、秒，会对度、分、秒进行简单的换算，并会计算角的和、差。
（2）相交线与平行线
①理解对顶角、余角、补角等概念，探索并掌握对顶角相等、同角（等角）的余角相等同角（等角）
的补角相等的性质。
②理解垂线、垂线段等概念，能用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线。
③理解点到直线的距离的意义，能度量点到直线的距离。
④掌握基本事实：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
⑤识别同位角、内错角、同旁内角。
⑥理解平行线概念；掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平
行。
⑦掌握基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
⑧掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。了解平行线性质定理的
证明。
⑨能用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
⑩探索并证明平行线的判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等（或同旁内角互补），
那么两直线平行；平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等（或同旁内角互补）。
（3）三角形
①理解三角形及其内角、外角、中线、高线、角平分线等概念，了解三角形的稳定性。
②探索并证明三角形的内角和定理。掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
证明三角形的任意两边之和大于第三边。
③理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角。
④掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
⑤掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
⑥掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等。
⑦证明定理：两角及其中一组等角的对边分别相等的两个三角形全等。
⑧探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两
边距离相等的点在角的平分线上。
⑨理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到
线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
⑩了解等腰三角形的概念，探索并证明等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等；底边上
的高线、中线及顶角平分线重合。探索并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三
角形。探索等边三角形的性质定理：等边三角形的各角都等于 60°，及等边三角形的判定定理：三个角
都相等的三角形（或有一个角是60°的等腰三角形）是等边三角形。
⑪了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余，直角
三角形斜边上的中线等于斜边的一半。掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
⑫探索勾股定理及其逆定理，并能运用它们解决一些简单的实际问题。
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⑬探索并掌握判定直角三角形全等的“斜边、直角边”定理。
⑭了解三角形重心的概念。
（4）四边形
①了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线等概念；探索并掌握多边形内角和
与外角和公式。
②理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性。
③探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；探索
并证明平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边
形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。
④了解两条平行线之间距离的意义，能度量两条平行线之间的距离。
⑤探索并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条
边相等，对角线互相垂直；以及它们的判定定理：三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四
边形是矩形；四边相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。正方形具有矩形和菱形
的一切性质。
⑥探索并证明三角形的中位线定理。
（5）圆
①理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并了解点与圆的位置关
系。
②探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。
③探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它
所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形
的对角互补。
④知道三角形的内心和外心。
⑤了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，探索切线与过切点的半径的关系，会用三角尺过圆
上一点画圆的切线。
⑥探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。
⑦会计算圆的弧长、扇形的面积。
⑧了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系。
（6）尺规作图
①能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作一个角的平分
线；作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线。
②会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边
上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形。
③会利用基本作图完成：过不在同一直线上的三点作圆；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接
正方形和正六边形。
④在尺规作图中，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法。
（7）定义、命题、定理
①通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义。
②结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念。会识别两个互逆的命
题，知道原命题成立其逆命题不一定成立。
③知道证明的意义和证明的必要性，知道证明要合乎逻辑，知道证明的过程可以有不同的表达形式，
会综合法证明的格式。
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④了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的。
⑤通过实例体会反证法的含义。
2.图形的变化
（1）图形的轴对称
①通过具体实例了解轴对称的概念，探索它的基本性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连线被
对称轴垂直平分。
②能画出简单平面图形（点，线段，直线，三角形等）关于给定对称轴的对称图形。
③了解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、圆的轴对称性质。
④认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形。
（2）图形的旋转
①通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转。探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所
得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。
②了解中心对称、中心对称图形的概念，探索它的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的
连线经过对称中心，且被对称中心平分。
③探索线段、平行四边形、正多边形、圆的中心对称性质。
④认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。
（3）图形的平移
①通过具体实例认识平移，探索它的基本性质：一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点
的连线平行（或在同一条直线上）且相等。
②认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用。
③运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。
（4）图形的相似
①了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。
②通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。
③掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
④了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三
角形相似；三边成比例的两个三角形相似。了解相似三角形判定定理的证明。
⑤了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。
⑥了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。
⑦会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。
⑧利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的
三角函数值。
⑨会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值，求它的对应锐角。
⑩能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题。
（5）图形的投影
①通过丰富的实例，了解中心投影和平行投影的概念。
②会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，能判断简单物体的视图，并会根据视
图描述简单的几何体。
③了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型。
④通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用。
3.图形与坐标
（1）坐标与图形位置
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①结合实例进一步体会用有序数对可以表示物体的位置。
②理解平面直角坐标系的有关概念，能画出直角坐标系；在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出
点的位置、由点的位置写出它的坐标。
③在实际问题中，能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置。
④会写出矩形的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形。
⑤在平面上，能用方位角和距离刻画两个物体的相对位置。
（2）坐标与图形运动
①在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，
并知道对应顶点坐标之间的关系。
②在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知
道对应顶点坐标之间的关系。
③在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的
图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化。
④在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标（有一个顶点为原点、有一个边在横坐标
轴上）分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的。
（三）统计与概率
1.抽样与数据分析
（1）经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的
数据。
（2）体会抽样的必要性，通过实例了解简单随机抽样。
（3）会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据。
（4）理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述。
（5）体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差。
（6）通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴涵
的信息。
（7）体会样本与总体关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数、总体方差。
（8）能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流。
（9）通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势。
2.事件的概率
（1）能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可
能结果，了解事件的概率。
（2）知道通过大量地重复试验，可以用频率来估计概率。
（四）综合与实践
1.结合实际情境，经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的
过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题。
2.会反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告或小论文，并能进行交流，进一步获得
数学活动经验。
3.通过对有关问题的探讨，了解所学过知识（包括其他学科知识）之间的关联，进一步理解有关知
识，发展应用意识和能力。
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附录 数学史
公元前4世纪的希腊哲学家希腊哲学家亚里士多德定义数学为“数学是量的科学”
16世纪英国哲学家培根将数学分为“纯粹数学”与“混合数学”这里“混合数学”相当于应用数学，而培
根所谓的“纯粹数学”则定义为：“处理完全与物质和自然哲学公理相脱离的量的科学”
在17世纪，笛卡儿认为：“凡是以研究顺序（order）和度量（measure）为目的的科学都与数学有关”
19世纪恩格斯这样来论述数学：“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关系”根据恩格斯的论
述，数学可以定义为：“数学是研究现实世界的空间形式与数量关系的科学”
19 世纪晚期，集合论的创始人康托尔（1845—1918）曾经提出：“数学是绝对自由发展的学科，它
只服从明显的思维，就是说它的概念必须摆脱自相矛盾，并且必须通过定义而确定地、有秩序地与先前
已经建立和存在的概念相联系”
20世纪50年代，前苏联一批有影响的数学家试图修正前面提到的恩格斯的定义来概括现代数学发
展的特征：“现代数学就是各种量之间的可能，一般说是各种变化着的量的关系和相互联系的数学”这里
的“量”，被赋予了丰富的现代涵义：它不仅包括现实世界的各种空间形式与数量关系，而且包括了一切
可能的空间形式与数量关系（如几何学中的高维空间、无穷维空间；代数学中的群、域；分析中的泛函、
算子；……等等）
从 20 世纪 80 年代开始，又出现了对数学的定义作符合时代的修正的新尝试主要是一批美国学者，
将数学简单地定义为关于“模式”的科学：“数学这个领域己被称作模式的科学，其目的最要揭示人们从自
然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性”这一定义实际上是用“模式”代替了“量”，而所谓
的“模式”有着极广泛的内涵，包括了数的模式，形的模式，运动与变化的模式，推理与通信的模式，行
为的模式，……这些模式可以是现实的，也可以是想象的；可以是定量的，也可以是定性的
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第一章 中国古代数学史
一、萌芽和初创期
中国是世界文明古国之一数学是中国古代科学中一门重要学科，其发展源远流长，成就辉煌根据它
本身的特点，可以分为5个时期，
古代史：（1）先秦萌芽时期；（2）汉唐初创时期；（3）宋元全盛时期；（4）西学输入时期；
近现代史：（5）近现代数学发展时期
1．先秦萌芽时期－算筹制度
早在远古时代，人们通过生产和生活的实践活动，逐渐有了数量概念和认识了各种简单的几何图形
《易ꞏ系辞》说：“上古结绳而治后世圣人易之以书契”距今约 5—6 千年的仰韶文化时期出上的陶器上已
刻有表示数目字的符号，说明此时人们已开始用文字符号取代结绳记事了西安半坡村出土的陶器上有直
线、三角、方、菱形等各种对称及一些较复杂的几何图案，半坡村遗址上有圆形和正方形的屋基《史记．夏
本记》说夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具农业和天文的需要促使早期数学知识萌
发
商代中期（约公元前 13 世纪）出现了甲骨文，其中有十进位制的记数法，共有 13 个独立的符号，
记数用合文书写，出现的最大数字为三万商代人还用10个天干和l2个地支组成甲子、乙丑等60个名称
来记60天的日期到周代（公元前11世纪到公元前3世纪）又将以前的八卦发展成为六十四封，表示64
种事物西周初期能用矩测量高、深、广、远，知道勾股形中的勾三、股四、弦五及环矩为圆等知识西周
青铜器上的金文数字与商代数字基本一致，是我们今天文字记数的源泉此时我国已有整数和分数的四则
运算，《韩诗外传》中还记载了公元前7世纪齐桓公招贤纳士之事，将会背诵“九九”乘法表的人当作贵客
款待，而这在当时已经是比较一般的学问了
春秋战国时期（公元前8世纪－公元前3世纪）算筹已得到普遍使用算筹是一种特制的小竹棍，也
有用木、骨、铁等材料制做的解放以后在湖南、陕西、湖北、河北等地均有出土的实物算筹式记数法采
用10进位值制《墨经》（约公元前4世纪）中说“一少子二而多子五，说在建位”即一在个位少于二，在
十位就多子五，每个数字的大小除由它本身表示的数值决定外，还要看它在整个数中所处的位置《孙子
算经》（约公元4世纪）中对算筹式记数法描述说：“一纵十横，百立千僵，干、十相望，万、百相当……”，
说明记数有纵横两种形式记数时为避免混淆将纵横式交错放置，以空位表示零这是世界上最早的 10 进
位值制记数体系，其优越性十分明显，对世界数学的发展有划时代的意义到了汉代还出现了表承正数的
红筹和表示负数的黑筹用算筹进行运算据推测可能在西周或更早时期就已产生．到 15 世纪珠算普及之
前，算筹制度在中国沿用了两干多年，为个国古代数学的发展起了重要作用
战国时期齐国人著的《考工记》中有许多关关于分数、角度和标准量器的资科，其中分别用矩、勾、
倨、宣等等来表示直角、锐角、钝角、45度，还有用规（圆周）的部分（圆弧）表示刀和弓的大小战国
时期百家争鸣也促进了数学的发展，一些学派还总结和概括出与数学有关的许多抽象概念，其个著名的
有《墨经》中关于某些几何名词的定义和几何命题例如圆，一中同长也（从中心到周界有相同的长度）；
方，柱隅四谫也（四边四角皆正）；平，同高也（高度相等）；直，参也（三点相齐）；次（相切），无间
而不相接也（既无大小又下相合）；端（点），体之无厚而最前者也（部分中没有大小并处于最前缘者），
等等墨家还给出有穷和无穷的定义，说‘域不容尺，有穷；莫不容尺，无穷也”（在区域前缘连一横线也
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容不下为有穷，不论区域多大，在其前缘总能容下一线之宽为无穷）稍后于墨子的庄子记叙了惠施等人
的名家学说，例如至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一；无厚不可积也，其大干里等，还记叙了
辩者桓团、公孙龙等人提出的23条问题，其中一个问题是“—尺之棰，日取其半，万世不竭”至今讲极限
时还常常被引用墨家和各家关于数学定义和数学命题的讨论对中国古代数学理论的发展很有意义，但这
种重视抽象性和逻辑严密性的新思想没有得到很好地继承和发展
2．汉唐初创时期
这一时期包括从秦汉一直到隋唐l000多年间的数学发展，秦汉是封建社会的上升时期，经济、文化
和科学技术都得到迅速发展中国古代四人发明之—的造纸术就是东汉形成的，它对数学教育的发展和数
学知识的传播起到不可估量的作用雕版印刷术的发明也在这一时期，对数学的发展同样起了重要作用中
国古代数学体系正是形成于这个时期，其主要标志是算术已成为—个专门的学科，以及一大批数学书籍
的出现
《汉书ꞏ艺文志》记载有《杜忠算术》16卷和《许商算术》2卷，这是最早见于著录的数学专著，但
均已失传1983年12月在湖北江陵张家山出土3大批竹简，其中有数学著作《算数书》该书抄写于西汉
初年（约公元前 2 世纪）．成书时间应更早，是一部比较完整的，也是目前可以见到的中国最早的数学
专著全书采用问题集形式，共有60多个小标题，90多个题目，内容包括整数和分数四则运算、比例问
题、面积和体积问题等等
农业生产要求更精确的历法，约在战国晚期，已有了每年 365 又 1／4 日的“四分历”随着天文学的
发展，数学知识也不断丰富《周髀算经》正是在这样的条件下出现的《周髀算经》还有较复杂的开方问
题和分数运算，并创造许多数学名词（如勾、股、弦、开方等），是研究古代天文学史和数学史的较完整
的宝贵文献
《九章算术》的出现标志着中国古代数学体系的形成它经历了几代人的整理、删补和修订，约成书
于东汉初年内容采用问题集形式，共246问，列为九章，分别是方田（各种形状的田地面积计算）、粟米
（各种粮食谷物间按比例交换）、衰分（按比例分配）、少广（开平方、开立方）、商功（体积计算问题）、
均输（按比例摊派赋税和徭役）、盈不足（根据两次假设求解问题）、方程（求解一次方程组）、勾股（有
关勾股测量的各种问题），是战国、秦、汉封建社会创立并巩固时期数学发展的总结主要成就有：世界上
最早的系统分数理论，包括分数的四则运算和约分、通分、求最大公约数等方法；先进的比例算法，提
出从已知三个数求第四个数的今有术；开平人与开立方的方法，包括二次方程数值解法，是世界上最早
记载这一具体运算法则的文献，在运算过程中还发展了筹算的位值制，并开辟了求解数字高次方程的途
径；各种面积和体积公式，包括各种直线形以及圆、环、圆锥、圆台、椎体（阳马）等面积和体积的正
确的计算公式；勾股形解法，包括勾股定理的应用和求勾股数的方法，以及二次方程的解法等；线性方
程组解法，用算筹表示一次联立方程组，类似于由方程各系数构成的矩阵，创立遍乘、直除、连减等消
元方法，比西方同类算法要早1500多年；负数概念和正、负数加、减法则，反映出对意义相反数量的正
确理解，实现数量范围的一次新扩充，在世界数学发展史上遥遥领先就《九章算术》的特点来说，它形
成了—个以筹算为中心，与古希腊数学完全不同的独立体系它注重应朋，内容大多来自生产和生活实践，
理论密切联系实际，对以后中国数学发展的影响非常深远此后一千多年中《九章算术》—直被当作教科
书，隋肩时期还曾传到朝鲜、日本，成为这些国家当时的数学教科书它的一些成就如十进位值制、今有
术、盈不足术等还传到印度和阿拉伯，并通过这些国家传到欧洲，促进世界数学的发展
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魏晋时期中国数学在理论上有了较大发展其个赵爽和刘徽的工作被认为是中国古代数学理论体系
的开端赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明的最早的数学家之一，他约公元3世纪初对《周髀算
经》做了深入研究，为该书写了序，并作了详细的注释，其中补充的“勾股圆方图及注”和“日高图及注”
是数学史上极有价值的文献“勾股圆方图”注文共有530余字，简练地总结了后汉时期勾股算术的辉煌成
就，最早给出勾股定理的证明和解勾股形的5个公式，并对二次方程的解法提出新的见解“日高图及注”
亦用图形面积证明了汉代普遍应用的重差公式，成为刘徽工作的先导
刘徽注释《九章算术》的年代是根据《隋书ꞏ律历志》确定的，他的注不仅对《九章算术》的方法、
公式和定理进行一般的解释和推导，而且在论述过程中多有创新，还撰写《重差》作为该书第 10 卷唐
初以后，《重差》以《海岛算经》为名单行他重视逻辑推理，同时又注意几何直观的作用主要成就有：创
立割圆术，为圆周率的研究工作奠定了理论基础和提供了科学的算法他的基本思想是将圆内接正多边形
的边数不断加倍．使其周长和面积逐渐通近团的周长和面积，他指出“割之弥细．所失弥少，割之又割，
以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”他利用这种极限思想证明了圆的面积公式，并首次用理论的
方法算得圆周率的近似值 157／50 和 3927／1250，其计算程序较古希腊数学家阿基米德的割圆方法简
便；提出用无穷分割的方法证明直角方锥与直角四面体的体积之比恒为2：1，解决了一般立体体积的关
键问题
南北朝时期中国长期处于战争和分裂状态，但由于社会的需要，数学仍在继续发展《孙子算经》给
出“物不知数问题”，导致求解一次同余组“N三2（mod3）三3（mod5）三2（mod7），解答为N＝7×2十
21×3 十 15×2—2×105＝23”该问题与古代历法中推算上元积年有关，南宋数学家秦九韶创造“大衍求一
术”，完满地解决了这一问题
祖冲之父子的工作在这一时期具有代表性，他们在《九章算术》刘徽注的基础上，将传统数学大大
向前推进了一步，成为重视数学思维和数学推理的典范他们同时在天文学上做出突出贡献《大明历》
隋朝大兴土木，客观上促进了数学的发展唐初王孝通撰《缉古算经》（约630年），主要是讨论木土
工程中计算土方、工程的分工与验收以及仓库和地窖的计算问题
唐朝在数学教育方面有了长足发展656年国子监设立算学馆，设有算学博士和助教王孝通等人做过
算学博士算学馆共招生 30 人，由太史令李淳风等人编纂注释《算经十书》，作为算学馆学生用的课本，
科举取士还设置明算科．考试内容也从十部算经中选题《算经十书》除了已提到《周髀算经》、《九章算
术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《张丘建算经》、《夏侯阳算经》、《缉古算经》外，还有《五曹算经》、《五
经算术》和《缀术》后来《缀术》失传，南宋时用《数书记遗》补齐十书李淳风等人编纂的《算经十书》
对于保存古代数学经典起了重要作用，他们对《周髀算经》、《九章算术》及《海岛算经》所作的注解长
期为人称道，特别是在《周髀算经》注中，不仅修改了缺陷，还给出测量中计算的新方法
汉唐时期中国数学在计算技术上有了很大的改革，发展了很多“珠算”算法，对计算技术的发展起了
巨大的推动作用
二、全盛期和没落期
1．宋元全盛时期
这一时期约从1000年到14世纪初，共300多年
北宋王朝统一了中国，使农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷
术三大发明得到广泛应用仅沈括《梦溪笔谈》（约1088）小就有200多条论述自然科学的记载，内容涉
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及数学、物理学、化学、天文、地质、地理、气象、工程技术、生物和医学等等，其中指南针和活字印
刷术是最早的记载这钟情形为数学发展创造了良好的条件 1084 年秘书省第一次印刷出版《算经十书》，
1213年鲍瀚之又进行翻刻，这又影响到宋元数学的发展在明代中叶珠算广泛流传之前，中国古代数学以
筹算为主，并形成独有的特色宋元数学使这种“筹算数学”达到极盛从11世纪到14世纪出现了一批著名
的数学家和数学著作，例如贾宪（11 世纪中叶）的《黄帝九章算法细草》（已失传），刘益（12 世纪中
叶）的《议古根源》（已失传），秦九韶的《数书九章》（1247年），李冶的《测圆海镜》（1248年）和《益
古演段》（1259年），杨辉的《详解九章算法》（1261年）、《日用算法》（1262年）和《杨辉算法》（1274—
1275年），朱世杰的《算学启蒙》（1299年）和《四元玉鉴》（1303年）等等，其初很多领域都达到古代
数学的高峰，一些成就还是当时世界数学的高峰
主要列举如下：
高次方程数值解法其基础是贾宪的“增乘开方法”杨辉在《九章算法纂类》中载有贾宪的“增乘开平
方法”和“增乘开立方法”在《详解九章算法》中裁有贾宪的“开方作法本源图”、“增乘方法求廉草”和用增
乘开方法开4次方的例子．其中4开方作法本源图现称“贾宪二角”，即指数为正弦数的二项式定理系数
表，西方称为“帕斯卡三角形”（17世纪）12世纪中叶刘益把增乘开方法推广到数字高次方程（包括系数
为负的情形），给出一个四次方程的解1247年秦九韶将增乘开方法推广到求解一般高次方程的一种普遍
的数字解法，他把解法分成各种类型，如n次顶系数不等于1的方程，奇次幂系数均为零的方程等当方
程的根不是整数时，他采取继续求根的小数，或用减根变换方程各次幂的系数之和为分母、常数为分子
表示根的非整数部分在求根的第 2 位数时，他还提出以一次项系数除常数项为根的第 2 位数的试除法，
其演算程序与西方l9世纪提出的鲁菲尼－霍纳方法基本一致，但时向上早了500多年
高次方程立法与高次联立方程立法与解法，即天元术与四元术宋代以前，数学家要列出一个方程，
往往需要复杂的数学推导技巧和大量的文字说明，随着解方程方法的完善，列方程的方法也被深入研究
用天元（相当于现在的 x）作为未知数符号，列出高次方程，古代称为天元术这是中国数学史上首次引
入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题现存最早的天元术著作是李冶的《测圆海镜》李冶在
一次项系数右旁记—“元”字（或在常数项右旁记一“太”字），元以上的系数分别表各正次幂，元以下的系
数表示常数和各负次幂（有时顺序倒转过来）列方程的具休方法是，根据问题的已知条件，列出两个相
等的多项式，今二者相减，即得—个数字高次方程，这也是世界上最早的多项式代数运算从天元术推广
到多元的高次联立方程是宋元数学家的一大贡献，继二元、二元的专著论述后，朱世杰的《四元玉鉴》
系统总结了四元术他用天、地、人、物代表四个未知数，将常数放在中央，其右侧仍记一“太”字，四元
的各次幂放在上、下、左、右四个方间上，按幂次逐一向外扩展，其他各项放在四个象限中他提出四元
消元法，先选择一元为未知数，其他元组成的多项式作为这未知数的系数，列成若干个一元高次方程式，
然后用互乘相消法逐步消去这一未知数重复这一步骤便可消去其他未知数，得到一个一元高次方程，最
后用增乘开方法求解这一成果被认为是中国筹算代数学的最高降．比西方的同类算法早400多年
一次同余式组解法它起源于天文学中推算“上元积年”，早在西汉历法中已有这方面的数据，但设有
具体算法的记载《孙子算经》“物不知数”给出具体例子的解法，到秦九韶《数书九章》时把它一般化，
后人称之为“大衍求一术”，完满地解决了这一问题他还讨论了模数的各种情形，分别给出将它们变为两
两互素的模数的方法，比西方同类结果早500年现在这一类问题的解法被公认为“中国剩余定理”
高次内插法与高阶等差级数求和，即招差术和垛积术元代天文学家王询，郭守敬等人在《授时历》
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中根据“平、定、立”三差，创用三次内插法推算日月运行的速度和位置，解决了三次内插值问题秦九韶
在“缀术推星”题和朱世杰在《四元玉鉴》“如象招数”题中都提到内插法（招差术），朱世杰还得到一个四
次函数的内插公式西方到17过纪才有这类结果，时间晚300多年科学家沈括在《梦溪笔谈》卷18中提
出“隙积术”，开始研究某些物品按一定规律堆积起来求总数的问题，并推算出长方台垛的求和公式，开
创高阶等差级数求和的先河杨辉在《详解九章算法》中讨论了方亭垛、方锥垛和三角垛的求和问题，给
出了正确的公式解答朱世杰在《四元玉鉴》和《算学启蒙》中把高阶等差级数求和与二项式系数表结合
起来，得到一系列重要的高阶等差级数求和公式
宋元时期民间数学教育有了较大发展如李冶曾在封龙山隐居讲学，秦九韶“尝从隐君子受数学”，杨
辉本人是一个数学教育家，朱世杰更是“以数学名家周游湖海二十余年”，“四方之来学者日众”《算学启
蒙》等书是很好的数学入门书《乘除变通本末》中还给出一个“习算纲目”，实为教学大纲其中提倡循序
渐进与熟读精思，注重培养和提高计算能力等许名数学书中出现歌谣式的数学问题和算法口诀，说明数
学的传授已走出官学的大门，逐渐深入到民间
2．西学输入时期
这一时期约从 14 世纪中明代建立到 20 世纪初清代结束共 500 多年，属封建社会晚期 13 世纪初的
考试制度中已砍掉数学内容，明代时大兴八股考试制度，鄙视知识分子．使数学除珠算外出现全面衰落
到明清之际西方数学开始传入我国时，国家天文台已经很少有人可以进行历法的编制工作了 16 世纪末
以后、西方初等数学陆续传入中国，位中国数学研究出现了一个中西融合贯通的局面鸦片战争以后，近
代（高等）数学开始传入中国，中国数学转入一个以学习西方数学为主的时期直到19世纪末和20世纪
初，中同的近代数学研先才真正开始
商业数学的发展从明初到明中叶，商品经济有所发展，与之相适应的记数制度相计算方法有了较大
发展小国古老的算筹式记数法在13世纪已现易于记载的纵横两式“简易数码”，到16世纪发展成为笔划
较少的习用数码，也称为商业数码，它在应用时还有更简洁的书写体形式明朝数学家吴敬在《九章算法
比类大全》中记载了便于乘法的“格子算”，称之为“写算”，以区别筹算和珠算明代最大的数学成就还是
珠算的普及明初《魁本对相四言杂字》（1371）是—部儿童看图识字的课本，书中画有算盘图《鲁班木经》
（15世纪上半叶）中有近代形式的算盘式样，并将它作为家庭必需品列入一般的木器家具手册中，说明
珠算已普及随后珠算著作陆续出现，吴敬《九章算法比类大全》（1450）和王文素《古今算学宝鉴》（1524）
记载了一些只有珠算中才能有的口诀，如“去一五下还四”等；徐心鲁《盘珠算法》（1573）和柯尚迁《数
学通轨》（）578）除了给出上有二珠，下有五珠，中间用木制横梁隔开的算盘图式外，还出现加法和减
法口诀，是珠算术的重要组成部分，到程大位的《直指算法统宗》（1592）问世后，珠算理论已成系统成
为中国古算书中在国内外流传和影响最广的数学著作之一，对珠算的普及起了重要作用，亦标志着从筹
算到珠算转变的完成在世界同类计算工具中中国算盘可以说是最好的但是由于珠算流行，筹算几乎绝迹，
建立在筹算基础上的古代数学传统也逐渐失传，数学出现长期停滞，而此时西方数学却大大地向前发展
了
早期传入的西方数学中外数学交流由来已久，《隋书ꞏ经籍志》著录了已失传的《婆罗门算法》等书，
唐代的《开元占经》介绍了许多印度数学知识，如印度数码，圆弧量法，正弦函数表等，可惜未被中国
数学家采用朱世杰《算学启蒙》中的大数和小数记法吸取了印度佛教经典中的“极”、“恒河沙”、“虚”、
“空”等名称西安元朝安西王府遗址出土的铁板上，画有东阿拉伯数码表示的六阶纵横图到 16 世纪上半
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叶西方国家以传教士为先导，开始在远东实行文化和经济渗透1582年意大利传教士利玛窦到中国，1606
年以后．先后与徐光启翻译《几何原本》前6卷（1607）、《测量法义》1卷（1607一1608），其中《几
何原本》是现传的中国第一部数学翻译著作，也是影响最大的一部著作，其严谨的逻辑体系和演绎方法
深受徐光启推崇，认为它是“度数之宗”，主张“举世无一人不当学”，这部译著也被后人称赞为“字字精金
美玉，是千古不朽之作”其中绝大部分名词都是首创，有许多至今仍在沿用徐光启本人撰写的《测量异
同》和《勾服义》就是应用《几何原本》的逻辑推理方法论证中国的勾股测望术他主持编译的《祟损历
书》137卷（1629—一1633）主要介绍欧洲天文学家第谷的地心学说，其中天文学和数学基本理论占全
书30％，内容还包括德国数学家雷格蒙塔努斯（即玉山若干）的三角学、英国数学家纳皮尔的算筹和意
大利科学家伽利略的比例规等等，说明徐光启对数学理论的重视《同文算指》是一部介绍西方算术知识
的著作，依据德国数学家克拉维乌斯实用算术编译，吸收了程大位《算法统宗》里的一些内容，其中系
统介绍了西方的笔算，使笔算逐渐得到推广，对中国算术发展有较大影响但书中把记数和运算符号改换
成中国数字，没有使用原著的印度－阿拉伯数码，是一件憾事在输入的西方数学中仅次于几何的是三角
学在此之前三角学只有零星知识，而此后获得迅速发展介绍西方三角学的著作有邓玉函编译的《大测》
2卷〔1631〕、《割圆八线表》6卷和罗雅谷的《测量全义》10卷（1631）其中《大测》主要说明三角八
线（正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、正欠、余矢）的性质、造表方法利用表方法；《割圆八线表》
是间隔为分的五位三角函数表；《测量全义》增加《大测》所缺的平面三角知识，给出积化和差公式及球
面三角的若干定理，并肘有一份间隔 15’的四位三角函数表，此外在《崇祯历书》中还片断介绍了有关
圆锥曲线的数学知识
中西数学的会通入清以后，传教士仍然受到清王朝的信任和重用，继续进行改历工作传统数学的整
理和研究 1723 年雍正继位后明令禁止中外交往，闭关锁国，导致西方科学停止输入中国，同时在国内
实行高压政策，屡兴文字狱，加强思想控制这种情形使一般学者不能接触西方数学，又不敢过问经世致
用之学，只好埋头故纸堆，进行辑佚、考证、校勘和注疏工作乾嘉年间逐渐形成一个以考据学为主的乾
嘉学派l773年开设四库全书馆，辑录《永乐大典》保存佚书和征集私家戴书，于1781年编成《四库全
书》近八万卷，其中数学著作有《算经十书》和宋元时期的著作负责这些著作纂修和校对的是戴震和李
潢戴晨对《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五经算术》4 部著作详加校勘，改正许多误文夺字
李潢著有《九章算术细草图说》9卷，《海岛算经细草图说》1卷和《缉古算经考注》2卷，亦多有独到
见解其他还有若干整理和研究成果
近代数学的传入 1840 年鸦片战争后，闭关锁国政策被迫中止英国人在上海设立墨海书馆，介绍西
方数学后受“洋务运动”促进，同文馆内添设算学（1866）、上海江南制造局内添设翻译馆，由此开始第二
次翻译引进的高潮主要泽者和著作有：李善兰与英国传教士伟烈亚力合译的《几何原本》后9卷（1857），
使中国有了完整的《几何原本》中译本；《代数学》13卷（1859），以英国数学家德摩根的符号代数著作
为底本；《代面级拾级》18卷（1859），是中国第一部微积分学译本；李善兰与英国传教士艾约瑟合译《圆
锥曲线说》3卷，等等
中国数学教育在这一时期有较快发展19世纪中叶相继办起一批教会学校，如上海约翰书院（1848）、
格致书院（1874），山东文会馆（1864），北京文汇书院（1888）等，一般都讲授数学课程，选用原文数
学著作或由传教士们编译的数学课本1862年北京创办同文馆，是中国最早自办的新式学校，1866年添
设算学馆，李善兰任总教习后又设立上海广方言馆，天律北洋水师学堂等，多设有数学课程，选用李善
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兰、华蘅芳等人翻译的书籍1898年建立京师大学堂，同文馆并入1905年废除科举，建立西方式学校教
育，使用的课本也与西方其他各国相仿此外，19 世纪末出现几个专门出版数学书的“算学书局”1897 年
黄庆澄在浙江温州创办《算学报》，1960 年杜亚泉布上海出版《中外算报》，1912 年崔朝庆在成都创办
《数学杂志》，这些都促进了数学知识的普及和数学研究的开展
三、中西会通及向西方学习阶段
这一时期是从20世纪初至今的—段时间，常以1949年新中国成立为标志划分为两个阶段
中国近现代数学开始于清末民初的留学活动较早出国学习数学的有：1903年留口的冯祖荀，1908年
留美的郑之蕃，1910年留美的胡明复和赵元任，1911年留美的姜立夫，1912年留法的何鲁，1913年留
日的陈建功相留比利时的熊庆来（1915年转留法），1919年留日的苏步青等人他们中的多数回国后成为
著名数学家和数学教育家，为中国近现代数学发展做出重要贡献其中胡明复 1917 年取得美国哈佛大学
博士学位，成为第一位获得博士学位的中国数学家他的博士论文《平直积分微分方程论》两年后发表于
《美国数学会学报》，成为中国数学家第—篇公开发表的现代数学论文随着留学人员的回国，各地大学
的数学教育有了起色最初只有北京大学1912年成立时建立的数学系，1920年姜立夫在天津南开大学创
建数学系，1921年和1926年熊庆来分别在东南大学（今南京大学）和清华大学建立数学系，不久武汉
大学、齐鲁大学、浙江大学、中山大学陆续设立了数学系，到1932年各地已有32所大学设立了数学系
或数理系
1930年熊庆来在清华大学首创数学研究部，开始招收研究生，陈省身、吴大任成为国内最早的数学
研究生 1931 年陈建功和苏步青在浙江大学开办数学讨论班，这一形式后来也推广到其他学校二、三十
年代出国学习数学的还有江泽涵（1927）、陈省生（1934）、华罗庚（1936）、许宝騄（1936）等人，他们
都成为中国现代数学发展的骨干力量同时外国数学家也有来华讲学的，例如英国的罗素（1920），美国的
伯克霍夫（1934）等人
1935年中国数学会成立大会在上海召开，共有33名代表出席1936年《中国数学会学报》和《数学
杂志》相继问世，这边标志着中国现代数学研究的进一步发展
解放以前的数学研究集中在纯数学领域，在国外内外共发表论著600余种在分析学方面，陈建功的
三角级数论，熊庆来的亚纯函数与整函数论研究是代表作，另外还有泛函分析、变分法、微分方程与积
分方程的成果；在数沦和代数方面，华罗庚等人的解析数论、几何数论和代数数论以及近代代数研究取
得令世人瞩目的成果；在几何与拓扑学方面，苏步青的微分几何学，江泽涵的代数拓扑学，陈省身的纤
维丛理论和示性类理论等研究做了开创性的工作；在概率论与数理统计方面，许宝騄在一元和多元分析
方面得到许多基本定理及严密证明此外，李俨和钱宝倧开创了中国数学史的研究，他们在古算史料的注
释整理和考证分析方面做了许多奠基性的工作，使我国的民族文化遗产重放光彩
新中国成立后，党和国家非常重视科学事业的发展1949年11月即成立中国科学院1951年3月《中
国数学学报》复刊（1952年改为《数学学报》），1951年10《中国数学杂志》复刊（1953年改为《数学
通报》）1951年8月中国数学会召开建国后第—次全体代表大会，讨论了数学发展方向和各类学校数学
教学改革问题
建国后的数学研究取得长足进步 50 年代初期就出版了华罗庚的《堆垒素数论》（1953）、苏步青的
《射影曲线概论》（1954）、陈建功的《直角函数级数的和》（1954）和李俨的《中算史论丛》5集（1954—
1955）等专著，到1966年，共发表各种数学论文约2万余篇除了在数论、代数、几何、拓扑、函数论和
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概率论与数理统计、数学史等学科继续取得新成果外，还在微分方程、计算技术、运筹学、数理逻辑与
数学基础等分支有所突破，有许多论著达到世界先进水平，同时培养和成长起一大批优秀数学家
60 年代后期，中国的数学研究基本停止，教育瘫痪、对外交流中断，后经多方努力状况有所改变
1970年《数学学报》恢复出版，并创刊《数学的实践与认识》1973年陈景润在《中国科学》上发表《大
偶数表示为一个素数及一个不超过二个素数的乘积之和》的论文，在哥德巴赫猜想的研究中取得突出成
就
1976年以后，中国数学迎来发展的新时期1978年11月中国数学会召开第三次代表大会，标志着中
国数学的复苏 1978 年恢复全国数学竞赛，1985 年中国开始参加国际数学奥林匹克数学竞赛 1981 年陈
景润等数学家获国家自然科学奖励1983年国家首批授予18名中青年学者以博士学位，其中数学工作者
占 2／31986 年中国第一次派代表参加国际数学家大会，加入国际数学联合会，吴文俊应邀作了关于中
国古代数学史的 45 分钟演讲近十几年来数学研究硕果累累，发表论文专著的数量成倍增长，质量不断
上升但同世界先进水平相比还有较大差距者一辈数学家仍在辛勤耕耘，—大批中青年数学工作者脱颖而
出中国已两次（1989 年，1990 年）获得国际数学奥林匹克团体总分第一名，预示着数学事业的发展后
继有人1985年在庆祝中国数学会成立50周年年会上，已确定中国数学发展的长远目标代表们立志要不
懈地努力，争取使中国在世界上早日成为新的数学大国
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第二章 中国数学家代表作及贡献
1．赵爽，三国时期东吴的数学家曾注《周髀算经》，《周髀算经注》中有一篇《勾股圆方图注》全文
五百余字，并附有数幅插图（已失传），这篇注文简练地总结了东汉时期勾股算术的重要成果，最早给出
并证明了有关勾股弦三边及其和、差关系的二十多个命题，他的证明主要是依据几何图形面积的换算关
系。
2．朱世杰（公元1300年前后）朱世杰数学代表作有《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）。
3．祖暅，祖冲之之子，同其父祖冲之一起圆满解决了球面积的计算问题，得到正确的体积公式现行
教材中著名的“祖暅原理”，在公元五世纪可谓祖暅对世界杰出的贡献。
4．祖冲之（429-500），中国南北朝时代南朝数学家、天文学家、物理学家他的最杰出贡献是求得相
当精确的圆周率。经过长期的艰苦研究，他计算出圆周率在 3.1415926 和 3.1415927 之间，成为世界上
最早把圆周率数值推算到七位数字以上的科学家。
5．杨辉，字谦光，钱塘（今杭州）人，中国古代数学家和数学教育家，生平履历不详。
主要著述：《详解九章算法》，《日用算法》，《乘除通变本末》，《田亩比类乘除捷法》，《续古摘奇算
法》，其中后三种为杨辉后期所著，一般称之为《杨辉算法》。
6．熊庆来（1893—1969），字迪之，云南弥勒人，他是中国近代数学研究和教育的奠基人。
7．许宝騄（19l0910一19701218）是中国数学家，生卒于北京。许宝騄是中国概率统计领域内享有
国际声誉的第一位数学家，他的主要工作是在数理统计和概率论两个方面。
8．徐光启（公元 1562—1633 年）字子先，编写了著名的《数理精蕴》，融合了中西数学，主要翻
译了《几何原本》这也是现传的中国第一部数学翻译著作，是影响最大的一部著作。
9．汪莱（1768一1813），是中国古代数学家，《参两算经》的最早的数学作品。1796一1798年，
汪莱先后与自己的同乡好友巴树谷、江玉讨论数学，完成《弧三角形》和《勾股形》两部书稿。1789年，
巴树谷将此两书合为一本，取名《衡斋算学》，这就是汪莱数学著作的最早刊本。
10．苏步青是中国现代数学家，中国数学会的发起人之一，担任过中国数学会学报的主编，参与筹
建中国科学院数学研究所，后又创办复旦大学数学研究所，创办《数学年刊》杂志并任主编他的主要研
究领域为微分几何学。
11．沈括在我国北宋时代，创立了“隙积术”和“会圆术”。
12．秦九韶（约公元 1202 年至 1261 年）系南宋普州（安岳）人，字道古，四川安岳人他与李冶，
杨辉，朱世杰并称宋元数学四大家。
秦九韶著作的主要成就：
（1）完整保存了中国数码字计数法：自然数、分数、小数、负数都有专门论述；
（2）首创连环求等，求几个数的最小公倍数；
（3）更进一步认识比例，比例项数达到5项之多，层层变换有条不紊；
（4）一次同余式组的程序化解法，创大衍求一术；
（5）三斜求积公式，使“海伦公式”不专美于前；
（6）线性方程组的直除法（即加减消元法），将系数矩阵化为单位矩阵；
（7）用正负开方术数值解多项式。
13．李善兰（公元1811年～1882年）与英国传教士伟烈亚力合译的《几何原本》后9卷（1857），
使中国有了完整的《几何原本》中译本；李善兰与英国传教士艾约瑟合译《圆锥曲线说》3卷，等等。
14．李冶（公元1192年～1279年）写成数学史上的不朽名著--《测圆海镜》。《测圆海镜》的成书标
志着天元术（未知数列方程的一般方法）成熟，它无疑是当时世界上第一流的数学著作但由于内容较深，
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粗知数学的人看不懂而且当时数学不受重视，所以天元术的传播速度较慢。
15．刘徽（生于公元 250 年左右），是中国数学史上一个非常伟大的数学家，在世界数学史上，也
占有杰出的地位．他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。
《九章算术》约成书于东汉之初，共有246个问题的解法。在许多方面：如解联立方程，分数四则
运算，正负数运算，几何图形的体积面积计算等，都属于世界先进之列，但因解法比较原始，缺乏必要
的证明，而刘徽则对此均作了补充证明。在这些证明中，显示了他在多方面的创造性的贡献。他是世界
上最早提出十进小数概念的人，并用十进小数来表示无理数的立方根。在代数方面，他正确地提出了正
负数的概念及其加减运算的法则；改进了线性方程组的解法；在几何方面，提出了'割圆术'，即将圆周
用内接或外切正多边形穷竭的一种求圆面积和圆周长的方法。他利用割圆术科学地求出了圆周率π=314
的结果。刘徽在割圆术中提出的'割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣，
这可视为中国古代极限观念的佳作。
16．贾宪，中国古代北宋时期杰出的数学家曾撰写的《黄帝九章算法细草》（九卷）和《算法斆古
集》。
17．华罗庚（公元1910年—1985年）一生留下了十部巨著：《堆垒素数论》、《指数和的估价及其在
数论中的应用》、《多复变函数论中的典型域的调和分析》、《数论导引》、《典型群》（与万哲先合著）、《从
单位圆谈起》、《数论在近似分析中的应用》（与王元合著）、《二阶两个自变数两个未知函数的常系数线性
偏微分方程组》（与他人合著）、《优选学》及《计划经济范围最优化的数学理论》，其中八部为国外翻译
出版，已列入 20 世纪数学的经典著作之列。此外，还有学术论文 150 余篇，科普作品《优选法评话及
其补充》、《统筹法评话及补充》等，辑为《华罗庚科普著作选集》。
18．程大位（公元1533年～1606年）写成《算法纂要》4卷，先后在休宁刊行。程大位本人也因此
被誉为“珠算一代宗师”。
19．陈景润（公元1933—1996）攻克了世界著名数学难题“哥德巴赫猜想”中的（1+2），创造了距摘
取这颗数论皇冠上的明珠（1+1）只是一步之遥的辉煌他证明了“每个大偶数都是一个素数及一个不超过
两个素数的乘积之和”，使他在哥德巴赫猜想的研究上居世界领先地位这一结果国际上誉为“陈氏定理”，
受到广泛征引。并有《数学趣味谈》、《组合数学》等著作。
20．陈省身（公元1911年～2004年12月3日）
在数学领域，沃尔夫奖与菲尔兹奖是公认的能与诺贝尔奖相媲美的数学大奖菲尔兹奖主要奖励在现
代数学中做出突出贡献的年轻数学家，而沃尔夫奖主要奖励在数学上做出开创性工作、具有世界声誉的
数学家到1990年为止，世界上仅有24位数学家获得过沃尔夫奖，而陈省身教授就是其中之一他由于在
整体微分几何上的杰出工作获得1984年度沃尔夫奖，成为唯一获此殊荣的华人数学家。
陈省身先生1911年生，浙江嘉兴人他对整体微分几何的深远贡献，影响了整个数学，被公认为“20
世纪伟大的几何学家”，先后获美国国家科学奖章、以色列沃尔夫奖、中国国际科技合作奖及首届邵逸夫
数学科学奖等多项荣誉除了在数学上做出的巨大成就，陈省身教授还培养了一大批世界级的科学家，其
中包括诺贝尔物理学奖获得者杨振宁，菲尔兹奖获得者丘成桐，中国国家自然科学奖一等奖获得者吴文
俊等。
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第三章 国外数学学派以及数学家
一、古希腊数学学派与数学家
（一）希腊早期主要学派
希腊波斯战争（公元前492一前449）以后，雅典成为希腊民主政治与经济文化的中心，希腊数学
也随之走向繁荣，学派林立，主要有：伊利亚学派、诡辩学派、雅典学院（柏拉图学派）、亚里士多德学
派。
上述诸派多以哲学探讨为主，但他们的研究活动极大地加强了希腊数学的理论化色彩，主要表现在
以下三个方面：
1．三大几何问题古希腊三大著名几何问题是：
（1）化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形；
（2）倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍；
（3）三等分角，即分任意角为三等分。
希比亚斯（Hippias，约公元前5世纪）为解决三等分任意角Φ的问题，引入了一条割圆曲线
希波克拉茨（Hippocrates，公元前5世纪）在探索化圆为方时，成功地解决了一个把曲边图形化为
直边图形的问题。
如图，设ΔABC为等腰直角三角形，斜边为AC，中点为O，半圆AEB以AB为直径，则半圆AEB
面积=扇形AOB面积。
∴月牙形AEB面积=半圆AEB面积-弓形ADB面积=扇形AOB面积-弓形ADB面积=△AOB面积。
希腊人对三大几何问题的所有解答都无法严格遵守尺规作图的限制直到 1831 年，法国数学家万采
尔（Vantzal，1814～1848）首先证明倍立方问题和三等分任意角问题不能用尺规作图来解决，接着德国
数学家林德曼（Lindemann， 1852～1939）于1882年又证明了π的超越性，因而否定了用尺规化圆为
方的可能性，这三大问题才彻底得以解决希腊人虽然没有能解决三大作图问题，但他们的探讨引出了许
多重要发现，对整个希腊数学产生了巨大影响。
2．无限性概念的早期探索
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希腊人在理性数学活动的早期，已经接触到了无限性、连续性等深刻的概念，对这些概念的探讨，
也是雅典时期希腊数学的特征之一。
3．逻辑演绎结构的倡导
雅典时期，数学中的演绎化倾向有了实质性的进展，这主要应归功于柏拉图、亚里士多德和他们的
学派。
（二）泰勒斯（Thales，公元前636—公元前546年）；
下述五个命题的发现是应归功于泰勒斯的：
1．圆被任一直径二等分；
2．等腰三角形的两底角相等；
3．两条直线相交，对顶角相等；
4．两个三角形，有两个角和一条边对应相等，则这两个三角形全等；
5．（泰勒斯定理）内接于半圆的角必为直角。
泰勒斯对数学的贡献更重要的是在于泰勒斯对它们提供了某种逻辑推理。
例如对于“两条直线相交，对顶角相等”泰勒斯是这样证明的：∠a加∠c等于平角，∠b加∠c也等
于平角，因为所有的平角都是相等的，所以∠a等于∠b（等量减等量，余量相等）。
这表明，从泰勒斯开始，人们已不再仅仅利用直观和实验来寻求数学结论了换句话说，实际上泰勒
斯已经将逻辑学中的演绎推理引入了数学，奠定了演绎数学的基础，这使得他获得了第一位数学家和论
证几何学家鼻祖的美誉。
泰勒斯还被西方学者称为“测量学的鼻祖”。据说他曾利用相似直角三角形通过测量手杖和金字塔的
影长求出金字塔的高度，还用全等三角形的知识计算出海船到海岸的距离。
（三）毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前572～约公元前497）成立毕达哥拉斯学派
1．“万物皆数”的思想
毕达哥拉斯学派认为：事物的本原是数世界上的万事万物及其运动变化规律都可以用整数或者整数
之比表示出来这种“万物皆数”的观念从另一个侧面强调了数学对客观世界的重要作用，这也是数学化思
想的最初表述形式。
2．对自然数的分类
毕达哥拉斯学派的初步数学化思想促进了对自然数的研究，他们定义了许多概念
一个数等于其（除本身以外的）全部因子之和称之为完全数，如28（＝1＋2＋4＋7＋14）；
一个数小于其（除本身以外的）全部因子之和称之为亏数，如12（＜1＋2＋3＋4＋6）；
一个数大于其（除本身以外的）全部因子之和称之为盈数，10（＞1＋2＋5）。
若两个数中任一个数（除本身以外的）全部因子之和都等于另一个数则称为亲和数如220与284为
亲和数因为220的因子之和为（1＋2＋4＋5＋10＋11＋20＋22＋44＋55＋110＝）284，而284的因子和
为（1＋2＋4＋71＋142＝）220。
3．对形数的研究
毕达哥拉斯学派许多关于数的规律的发现，都是借助图形的直观分析而得到的他们常把数以点的形
式排成各种图形如图：
由图知易1，1+2，1+2+3，1+2+3+4+…这些和数都是三角形数，第n个三角形数是
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n(n1)
123n
2
又如
其中1，4，9，16，…是正方形数，第n个正方形数是n2由此易得，前n个奇数之和即为n的平方。
4．关于数学美的研究
毕达哥拉斯学派还认为，“美是和谐与比例”，他们认为，最美的图形在平面上是圆，在空间是球，
整个地球、天体和宇宙是一个圆球，宇宙中的各种物体都作均匀的圆周运动。最完美的数是10，因为10
＝1＋2＋3＋4，并将1，2，3，4称为四象。在音乐研究中他们发现，如果一根弦是另一根弦长的两倍，
那么两者发出的音就相差8度认为音乐的基本原则是数量原则，音乐节奏的和谐是由高低、长短、轻重
各种不同的音调，按照一定数量比例组成的。
他们研究了一些美的比和比例关系，提出了算术平均值（以M表示）、几何平均值（以G表示）和
调和平均值（以H表示）：对A，B为两已知数，
AB 2
M ,G AB,H
2 1 1
A B
他们发现，M∶G=G∶H， A∶H=M∶B，称前者为完全比例，后者为音乐比例以此为出发点，毕
达哥拉斯学派建立了他们的音乐理论毕达哥拉斯把“美是和谐与比例”的科学美学思想用于音乐和天文
学，并十分广泛地将其应用到建筑、雕刻、地学、生物学、医学等领域。
5．关于勾股定理的研究
西方学者认为，有关直角三角形的“勾股定理”最早是由毕达哥拉斯学派发现的。据传，毕达哥拉斯
学派为了庆祝这条定理的发现，特地宰了一百头牛来祭神，感谢科学艺术女神缪斯对他们的垂青，因此
有人诙谐地将这个定理称为“百牛定理”。但迄今为止并没有毕达哥拉斯发现和证明这一定理的直接证据。
6．第一次数学危机——不可公度的发现
毕达哥拉斯学派相信：在几何上相当于对于任何两条给定的线段，总能找到第三条线段作为单位线
段，将所给定的两条线段划分为整数段，他们称这样的两条线段为“可公度量”，即有公共的度量单位。
毕达哥拉斯学派发现正方形的对角线和其一边构成不可公度线段相传该学派的成员希帕索斯
（Hippasus，约公元前 470 年左右）还因为研究这一问题被抛入大海处以极刑由于不可公度量的发现，
毕达哥拉斯学派“万物皆数”的信条受到了冲击，这在数学史上称为“第一次数学危机”。
希腊人对待这次危机的态度不是积极地去解决它，而是想方设法去回避它，这就使得从毕达哥拉斯
学派开始的对数的研究转向对形的探讨，虽然这种转向最终导致了几何学的迅速发展，但在客观上使得
希腊数学是代数方面的发展与其几何学的成就是很不相称的。
（四）芝诺（Zeno,约公元前490-430年）
第二次数学危机的萌芽是芝诺针对当时对无限、运动和连续等人们认识模糊不清的概念，提出了45
个违背常理的悖论，把这些矛盾暴露出来，在希腊数学界引起了巨大的震动其中关于运动的三个悖论尤
为引人注目：二分说、阿基里斯追龟说、飞箭静止说。
芝诺的这些悖论已涉及到对于当时的希腊数学家而言还很模糊的无限与连续的概念更重要的是，人
们明知他的悖论是不符合常理的，却又不能驳倒他，这就促使人们开始思考一个理论能否自圆其说的问
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题，毫无疑问，这也成为公理化思想方法产生的一个重要原因。
（五）柏拉图(Plato，公元前427～347年),成立柏拉图学派
巴拉图是古希腊著名的哲学家和教育家在公元前387年，柏拉图在雅典创建了欧洲历史上第一所综
合性的、传授知识、培养上层统治者的学校“柏拉图学院”。
柏拉图学派中最杰出的数学家应首推欧多克索斯（Eudoxus,约公元前4世纪）
他对数学的最大贡献是运用公理法建立了比例理论进一步完善了安蒂丰的“穷竭法”，将“穷竭法”改
造成为一种严格的证明方法此外，他还研究了“中末比”问题，并用求两个已知量的两个比例中项的方法，
解决了立方倍积问题。
（六）亚里士多德(Aristotle，公元前 384～公元前322)
他对数学的最大贡献是建立了形式逻辑学，把形式逻辑规范化和系统化，使之上升为一门科学他提
出了矛盾律、排中律等思维的规律；把逻辑学理解为论证的学问；从个别到一般的归纳和从一般到个别
的演绎；他还研究了三段论法的格和规则，这些都为数学推理提供了基本的逻辑依据。亚里士多德的著
作中也有许多重要的几何定理如多边形外角之和等于四直角，在包围给定面积的所有平面图形中，圆的
周长最小等。
（七）亚历山大学派
公元前300年左右，古希腊先后出现了欧几里得、阿基米德和阿波罗尼奥斯三大数学家，是亚历山
大学派的代表人物，他们的成就标志了古典希腊数学的颠峰。
1．欧几里得与《几何原本》
“原本”原意是指一学科中具有广泛应用的最重要的定理欧几里得在这本原著中用公理法对当时的
数学知识作了系统化、理论化的总结全书共分13卷，包括有5条公理、5条公设、119个定义和465条
命题，构成了历史上第一个数学公理体系。
第1卷作为全书之首，给出了一些最基本的定义，如“点是没有部分的”；“线是没有宽度的长”；“面
是只有长度和宽度的”；等等书中也涉及一些经典的公理和公设。
公设：（1）假定从任意一点到任意一点可作一直线；
（2）一条有限直线可不断延长；
（3）以任意中心和直径可以画圆；
（4）凡直角彼此相等；
（5）若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同
旁内角和小于两直角的一侧相交。
公理：（1）等于同量的量彼此相等；
（2）等量加等量，和相等；
（3）等量减等量，差相等；
（4）彼此重合的图形是全等的；
（5）整体大于部分。
第2卷主要讨论几何代数。
第 3 卷是与圆有关的一些问题，包括圆、弦、割线、切线以及圆心角和圆周角的一些熟知的定理。
第4卷在引入了圆的内接和外切图形的概念以后讨论了给定圆的某些内接和外切正多边形的尺规作
图问题。
第5卷讨论了有关量的比例理论。
第6卷主要是将比例理论应用于平面几何，其中包括相似三角形等。
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第7、8、9卷主要研究初等数论从检验两个整数是否互素开始，建立起了关于数值的比例理论以及
数的基本性质，给出了求两个或多个整数的最大公因子的“欧几里得算法”，讨论了比例、几何级数，还
给出了许多关于数论的重要定理。
第 10 卷讨论无理数，重点研究了形如（其中 a，b 皆为有理线段）的无理量，并对所有 25 种可能
的形式进行了分类。
后3卷是立体几何内容第11卷给出了立体几何中一些概念的定义；第12卷用穷竭法证明了棱锥与
棱锥、圆锥与圆锥、圆柱与圆柱以及球与球之间的体积比；第 13 卷论述正多边形的性质及其内接于圆
时的性质、研究了如何将五种正多面体内接于一个球的问题，并依赖关于多面体各面角之和必小于3600
的结论，证明了凸正多面体不多于5种。
以外，欧几里得还写了许多其他出色的著作他对天文学和光学都有研究，但在纯数学方面保留下来
的仅有两本：
（1）《数据》（The Data）这是在《几何原本》基础上进一步研究几何学的一本问题集，共95个问
题；
（2）《论图形的分割》（On Divisions of Figures）研究将图形分割后成比例的问题，共有36个问题
欧几里得《原本》可以说是数学史上的第一座理论丰碑它最大的功绩，是在于数学中演绎范式的确
立，这种范式要求一门学科中的每个命题必须是在它之前已建立的一些命题的逻辑结论，而所有这样的
推理链的共同出发点，是一些基本定义和被认为是不证自明的基本原理—公设或公理这就是后来所谓的
公理化思想。
2．阿基米德的数学成就
阿基米德著述极为丰富，内容涉及数学、力学及天文学等，其中流传于世的有：《圆的度量》、《抛物
线求积》、《论螺线》、《论球和圆柱》、《论劈锥曲面和旋转椭球》、《引理集》、《处理力学问题的方法》、
《论平面图形的平衡或其重心》、《论浮体》、《砂粒计数》、《牛群问题》。
阿基米德的数学著作集中探讨与面积和体积计算相关的问题。
在关于圆的著作发表在单行本《圆的度量》中，全篇包括三个命题：用“穷竭法”证明了圆面积公式；
断言圆与它的外切正方形面积之比为11/14；推算出圆周率在223/71与22/7之间。
将运动观点引入数学，也是阿基米德数学思想的重要组成部分，这集中反映在《论螺线》一书中在
这本书中，阿基米德从运动观点出发指出了螺线的定义，他说：“在平面上有一直线，把它的一个端点固
定，使直线围绕定点作匀速运动，如果直线上有一点同时从定点开始，沿直线作匀速运动，那么动点最
后将描出一条螺线”用我们熟知的极坐标刻画，其方程即为ρ＝ａθ。
在《论球和圆柱》中，阿基米德运用穷竭法证明了与球的面积和体积有关的公式。
对数学的贡献主要有：
（1）在平面几何方面
10 1
①开创计算π值的古典方法，利用内接和外切正多边形逼近，求得3 3 ；
71 7
②证明圆面积等于以圆周长为底、半径为高的三角形的面积；
③证明任何直线截抛物线所得弓形面积等于同底等高的三角形面积的4/3；
④定义了螺线ρ＝aθ，并证明螺线第一圈与初始线所围成的面积等于半径为2πa的圆面积的1/3；
⑤椭圆与圆的面积之比等于椭圆长短轴之积与圆半径平方之比。
（2）在立体几何方面
①球表面积等于大圆面积的4倍；
②圆的外切圆柱体的体积是球体积的3/2，其表面积（包括上下底）也是球表面积的3/2；
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③任一正圆柱侧面积等于以圆柱高与底面直径的比例中项为半径的圆面积；
④任一圆锥的表面积等于以圆锥母线与底面半径的比例中项为半径的圆面积；
⑤球冠侧面积等于以其大圆弧所对弦长为半径的圆面积；
⑥椭圆、抛物线和双曲线绕轴旋转而生成的旋转体体积公式；
⑦发现了浮力定律并用它来解决了皇冠难题；
此外，阿基米德还研究了等比级数求和公式、大数的记数法等等。
3．阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论
阿波罗尼奥斯的贡献涉及几何学和天文学但他最重要的数学成就是在前人工作的基础上创立了相
当完美的圆锥曲线理论《圆锥曲线论》就是这方面的系统总结阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶（直圆或
斜圆）锥得到所有的圆锥曲线，并给以正式的命名，现在通用的椭圆、双曲线和抛物线就是他提出的。
《圆锥曲线》共8卷，有487个命题，现存前7卷第1卷给出了圆锥曲线的定义和基本性质，在这
一卷中，阿波罗尼斯首创了通过改变截面的角度，从一对对顶圆锥得到三种圆锥曲线的方法，并依据曲
线的作法推导出它们的特征关系式，进而导出了圆锥曲线的弦、直径、共轭直径、切线等的定义和性质，
甚至还得到类似于在坐标变换下曲线性质的不变性的结论需要指出的是，阿波罗尼斯的方程是用几何语
言叙述的。
第2卷讨论双曲线渐近线的作法、性质和共轭双曲线的性质；圆锥曲线的直径和轴的求法；有心圆
锥曲线的中心的概念；怎样求作满足某种条件的圆锥曲线的切线。
第3卷讨论了切线与直径所围成的图形的面积；极点和极线的调和性质；椭圆和双曲线的焦点的性
质。
第4卷讨论了极点和极线的其他性质；讨论了圆锥曲线相交的各种情况；证明了两条圆锥曲线至多
有4个交点。
第5卷在尚存7卷中最富独创性，讨论了从一点到圆锥曲线所能作的最长和最短线段，并给出了过
一定点的法线的作图和计算。
第6卷讨论了圆锥曲线的全等、相似和圆锥曲线弓形的作图和性质。
第7卷讨论有心圆锥曲线的两条共轭直径的性质。
《圆锥曲线论》可以说是希腊演绎几何的最高成就几何学中的新时代，要到 17 世纪，笛卡儿等人
起来打破希腊式的演绎传统后才得以来临。
二、印度数学家
公元 3 世纪至 12 世纪是印度数学的繁荣时期，而其繁荣的标志表现为出现了一些著名的天文学家
兼数学家他们主要是：阿耶波多（Aryabhata，约476～550）、婆罗门笈多（Brahmagupta，598～665）、
摩诃毗罗（Mahavira,850年左右）和婆什迦罗（Bhaskara,1114～1185）．
阿耶波多，又译圣使，出生于华氏城（今称巴特那）其著作有《阿耶波多文集》，其中有一章专讲数
学，介绍了比例、开方、二次方程、一次不定方程、算术级数等问题，他得出了圆周率为31416的较好
的近似值。
婆罗门笈多，又译梵藏其著作《婆罗门修正体系》，包括“算术讲义”、“不定方程讲义”等章，其中有
算术、勾股定理、面积、体积等内容，并讨论了二次方程，线性方程组及一次和二次不定方程的解法还
利用内插公式造了一张正弦表特别是该著作曾译成阿拉伯文，对伊斯兰教国家的数学和天文学都产生过
重大影响。
摩诃毗罗著有《数学九章》一书，其内容主要是算术运算、开平方和开立方、二次方程及组合问题，
也讲到解二次不定方程等。
婆什伽罗对天文学和数学都有研究，是古代印度最杰出的数学家他的名著有《丽罗娃提》和《算法
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本原》，这两部著作除了整理前人的成果之外还论述了有理数的四则运算、线性方程组和不定方程他指
出二次方程有两个根，并对形如的二次不定方程提出解法，他的著作还被译成波斯文，对海外影响很大。
印度数学的贡献主要有：
1．在印度数学中最值得称道的是印度数码和10进位值制记数法
公元3世纪，古印度的一位科学家巴格达发明了阿拉伯数字。最古的计数目大概至多到3，为了要
设想“4”这个数字，就必须把2和2加起来，5是2加2加1，3这个数字是2加1得来的，大概较晚才
出现了用手写的五指表示 5 这个数字和用双手的十指表示 10 这个数字。这个原则实际也是数学计算的
基础。罗马的计数只有到Ⅴ（即5）的数字，Ⅹ（即10）以内的数字则由Ⅴ（5）和其它数字组合起来。Ⅹ
是两个Ⅴ的组合，同一数字符号根据它与其他数字符号位置关系而具有不同的量。这样就开始有了数字
位置的概念，在数学上这个重要的贡献应归于两河流域的古代居民，后来古鳊人在这个基础上加以改进，
并发明了表达数字的1，2，3，4，5，6，7，8，9，0十个符号，这就成为记数的基础。八世纪印度出现
了有零的符号的最老的刻版记录。当时称零为首那。
2．印度人也很早就引进了负数。
3．印度人分数的概念也是较早的。
4．开平方和开立方的方法。
5．还给出了一些级数求和公式。
三、阿拉伯数学家
（1）早期：8世纪中叶～9世纪
这一时期最重要的数学家是阿尔ꞏ花拉子米(Al-Khowarizｍi，约 780～850),其最著名的是《代数学》
花拉子米首次把代数学作为一门有别于其他学科的、独立的数学分支来处理此书内容分三大部分：
第一部分讲述现代意义下的初等代数；第二部分论及各种实用算术问题；第三部分列举了有关继承遗产
的各种类型的问题其中第一部分是全书最有价值的部分，在这里，花拉子米系统地讨论了6种类型的一
次或二次方程的解法，并介绍了配平方法。
塔比ꞏ库拉（ThabitibnQurra，826～901），一位知识渊博的数学家和天文学家，曾创办了一所翻译学
校，有力地推进了希腊著作的翻译。
（2）中期：10世纪～12世纪
这时期是阿拉伯数学发展的高峰期，出现的著名数学家有巴塔尼，阿布ꞏ瓦法和奥马ꞏ海雅姆。
巴塔尼(al-Battani，约858～929)主要研究天文学，著作有《星的科学》由于天文学研究的需要，主
要致力于三角学的研究。
巴塔尼从三角线出发，用代数方法得到下列关系(用现代记号表示)：
ctg cos tg sin sin 1 cos 1
, , , 。
r sin r cos r csc r sec
等等由此可见，巴塔尼掌握了6种三角线的概念和相互关系，他还研究了三角形的解法，其基本方
法是作出某一条边上的高，把问题转化为直角三角形来解。
阿布ꞏ瓦法(Abual-Wafa，940～998)曾翻译过丢蕃图的著作，本人对三角学和算术都有重要贡献对三
角学的贡献在于把所有三角线都定在同一个圆中。
奥马ꞏ海雅姆(OmarKhayyami，1044～1223)著作有《代数学》，在这部著作中，他详尽地研究了三次
方程的根的几何作图法，提出了利用圆锥曲线图形求根的理论，这是阿拉伯数学最重大的成就之一海雅
姆的《代数学》用圆锥曲线来解代数方程，是该著作中也是阿拉伯数学中最有创见的成就之一。
（3）后期：13世纪～15世纪上半叶
这一时期阿拉伯帝国走向崩溃这一时期的重要数学家有纳西尔丁ꞏ图西和卡西。
纳西尔丁ꞏ图西（Nasiral－Diual－Tusi，1201～1274），是一位学识渊博的学者，编制《伊尔汉历》，
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对科学发展有很大的影响他对三角学的重要贡献是编写了一本脱离天文学的著作《论四边形》。
虽然阿布ꞏ瓦法对三角学的贡献在于把所有三角线都定在同一个圆中，而三角学的系统化则应归功
于纳西尔丁ꞏ图西，他在《论四边形》中指出，由球面三角形的三个角可以求出三条边，反之由三条边可
求出三个角，并且从基本概念和比例开始，直到给出各种类型问题的解法，较完整地建立起三角学的系
统这部著作在15世纪时即传入欧洲，对欧洲三角学的发展产生了重要的影响。
卡西（al－Kashi，？～1429）是乌兹别克人，著名的天文学家和数学家，著有《算术之钥》此书内
容广泛，特别在二项式展开、高次方程的数值解法等方面都有引人注目的贡献有人认为，他的高次方程
的解法可能是从中国传入的他精于计算，算得的值精确到小数点后16位1卡西的工作在阿拉伯几何中，
最精彩的篇章是卡西关于圆周率的计算。
拓展：分数的由来
三千多年前，古埃及为了在不能分得整数的情况下表示数，用特殊符号表示分子为1的分数。两千
多年前，中国有了分数，但是，秦汉时期的分数的表现形式不一样。印度出现了和我国相似的分数表示
法。再往后，阿拉伯人发明了分数线，今天分数的表示法就由此而来。
200多年前，瑞士数学家欧拉，在《通用算术》一书中说，要想把7米长的一根绳子分成三等份是
不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它．如果我们把它分成三等份，每份是 米．像 就是一种新
的数，我们把它叫做分数。
四、第二次数学危机——微积分的发展
十七、十八世纪关于微积分发生的激烈的争论，被称为第二次数学危机。无穷小量究竞是不是零？
无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学
危机。
（一）微积分的开端
1．约翰尼斯ꞏ开普勒（Johannes Kepler，1571——1630）与旋转体体积
开普勒方法的要旨，是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积及旋转体的体积例如他认
为球的体积是天数个小圆锥的体积的和，这些圆锥的顶点在球心，底面则是球面的一部分；他又把圆锥
看成是极薄的圆盘之和，并由此计算出它的体积，然后进一步证明球的体积是半径乘以球面面积的三分
之一。
2．卡瓦列里（Cavalieri，Francesco Bonaventura，1598——1647）不可分量原理
他在《用新方法促进的连续不可分量的几何学》中发展了系统的不可分量方法认为线是由无限多个
点组成；面是由无限多条平行线段组成；立体则是由无限多个平行平面组成他分别把这些元素叫做线、
面和体的“不可分量”。
卡瓦列里利用这条原理计算出许多立体图形的体积，他对积分学创立最重要的贡献还在于在 1639
利用平固下的不可分量原理建立了等价于下列积分式子：
3．勒内ꞏ笛卡尔（1596——1650）的“圆法”
1637年，笛卡尔出版了《更好地指导推理和寻求真理的方法论》（简称《方法论》），包括三个附录：
《几何学》、《折光》和《气象》。其中《几何学》大约占100页，包括了笛卡尔关于坐标几何和代数的思
想，首次明确提出了点的坐标和变数的思想，并借助坐标系用含有变数的代数方程来表示和研究曲线。
《几何学》的问世，是解析几何产生的重要标志。
笛卡儿的这种代数方法在推动微积分的早期发展方面有很大的影响，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑
点而踏上研究微积分的道路的。
笛卡儿圆法在确定重根时会导致极繁复的代数计算，1658 年荷兰数学家胡德提出了一套构造曲线
切线的形式法则，称为“朗德法则”朗德法则为确定笛卡儿圆法所需的重根提供了机械的算法，可以完成
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求任何代数曲线的切线斜率时所要进行的计算。
4．皮埃尔ꞏ德ꞏ费马（Pierre de Fermat，1601——1665）求极大值和极小值方法
按费马的方法设函数f（x）在点a处取极值，费弓用“a+e”代替原来的未知量a，并使f（a+e）与f
（a）逼近，即：f（a+e）～f（a）。这里所提到的“e”就是后来微积分学当中的“⊿x”。
5．伊萨克ꞏ巴罗（Isaac Barrow，1630——1677）的“微分三角形”
巴罗是牛顿的老师是英国剑桥大学第一任“卢卡斯数学教授”，也是英国皇家学会的首批会员当巴罗
发现和认识到牛顿的杰出才能时，便于 1669 年辞去了卢卡斯教授的职位，举荐自己的学生——当时才
27岁的牛顿来担任巴罗让贤，已成为科学史上的佳话。
（二）牛顿（1643——1727）的“流数术”
1．流数术的初建牛顿对微积分问题的研究始于 1664 年秋，当时他反复阅读笛卡儿《几何学》，对
笛卡儿求切线的“圆法”发生兴趣并试图寻找更好的方法就在此时，牛顿首创了小o记号表示x的无限小
且最终趋于零的增量。
1665年11月发明“正流数术”（微分法），次年5月又建立了”反流数术”（积分法）。
1666年10月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论文，此文现以《流数简论》著称，《流
数简论》是历史上第一篇系统的微积分文献。
2．流数术的发展《流数简论》标志着微积分的诞生牛顿于 1667 起直到 1693 年，先后写成了三篇
微积分论文，它们分别是：（1）1669年的《运用无限多项方程的分析》；（2）1671年的《流数法与无穷
级数》；（3）1691年的《曲线求积术》。
牛顿微积分学说最早的公开表述出现在 1687 年出版的力学名著《自然哲学的数学原理》之中因此
《原理》也成为数学史上的划时代著作《原理》在创导首末比方法的同时保留了无限小瞬，这种做法常
常被认为自相矛盾而引起争议实际上，在牛顿的时代，建立微积分严格基础的时机尚不成熟，在这样的
条件下，牛顿在大胆创造新算法的同时，坚持对微积分基础给出不同解释，说明了他对微积分基础所存
在的困难的深邃洞察和谨慎态度。
全书从三条基本的力学定律出发，运用微积分工具，严格地推导证明了包括开普勒行星运动三大定
律、万有引力定律等在内的一系列结论，并且还将微积分应用于流体运动、声、光、潮汐、彗星乃至宇
宙体系，充分显示了这一新数学工具的威力。
（三）莱布尼茨（1646——1716）的微积分
1．特征三角形莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究．特征三
角形，也称“微分三角形”，在巴罗的著作中已经出现．帕斯卡在特殊情形下也使用过这种三角形．莱布
尼茨在1673年提出了他自己的特征三角形。
2．分析微积分的建立早在1666年，莱布尼茨在《组合艺术》一书中讨论过数列问题并得到许多重
要结论。
1684 年莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大与极小值和求切线的新方法》，刊登在
《教师学报》上，这也是数学史上第一篇正式发表的微积分文献．该文是莱布尼茨对自己 1673 年以来
微分学研究的概括，其中定义了微分并广泛采用了微分记号dx，dy莱布尼茨假设横坐标x的微分dx是
任意的量，纵坐标y的微分dy就定义为它与dx之比等于纵坐标与次切距之比的那个量《新方法》中明
确陈述了莱布尼茨1677年已得到的函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分公式，并包含了在求拐点以
及光学等方面应用。
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（四）危机解除
直到 19 世纪 20 年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、
狄里赫利等人的工作开始，到威尔斯特拉斯、狄德金和康托的工作结束，中间经历了半个多世纪，基本
上解决了矛盾，为数学分析奠定了一个严格的基础。
波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西在 1821 年
的《代数分析教程》中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出
无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分；
狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上，威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出
现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。
19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的
基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。
五、瑞士数学家莱昂哈德ꞏ欧拉（Leonhard Euler，1707——1783）。
欧拉是 18 世纪数学界的中心人物。他是继牛顿（Newton）之后最重要的数学家之一。在他的数学
研究成果中，首推第一的是分析学。欧拉把由伯努利家族继承下来的莱布尼茨学派的分析学内容进行整
理，为 19 世纪数学的发展打下了基础。他还把微积分法在形式上进一步发展到复数范围，并对偏微分
方程，椭圆函数论，变分法的创立和发展留下先驱的业绩。在《欧拉全集》中，有 17 卷属于分析学领
域。他被同时代的人誉为“分析的化身”。
主要成就：
1．数论
欧拉的一系列成奠定作为数学中一个独立分支的数论的基础。欧拉的著作有很大一部分同数的可除
性理论有关。欧拉在数论中最重要的发现是二次反律。
2．代数
欧拉《代数学入门》一书，是16世纪中期开始发展的代数学的一个系统总结。
3．无穷级数
欧拉的《微分学原理》（Introductio calculi differentialis，1755）是有限差演算的第一部论著，他第一
个引进差分算子。欧拉在大量地应用幂级数时，还引进了新的极其重要的傅里叶三角级数类。1777 年，
为了把一个给定函数展成在（0，“180”）区间上的余弦级数，欧拉又推出了傅里叶系数公式。欧拉还把
函数展开式引入无穷乘积以及求初等分式的和，这些成果在后来的解析函数一般理论中占有重要的地位。
他对级数的和这一概念提出了新的更广泛的定义。他还提出了两种求和法。这些丰富的思想，对 19 世
纪末，20世纪初发散级数理论中的两个主题，即渐近级数理论和可和性的概念产生了深远影响。
4．函数概念
18世纪中叶，分析学领域有许多新的发现，其中不少是欧拉自已的工作。它们系统地概括在欧拉的
《无穷小分析引论》、《微分学原理》和《积分学原理》组成的分析学三部曲中。这三部书是分析学发展
的里程碑四式的著作。
5．初等函数
《无穷小分析引论》第一卷共18章，主要研究初等函数论。其中，第八章研究圆函数，第一次阐述
了三角函数的解析理论，并且给出了棣莫弗（de Moivre）公式的一个推导。欧拉在《无穷分析引论》中
研究了指数函数和对数函数，他给出著名的表达式——欧拉恒等式（表达式中用 表示趋向无穷大的数；
1777年后，欧拉用表示虚数单位 ），但仅考虑了正自变量的对数函数。1751年，欧拉发表了完备的复
数理论。
6．单复变函数
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通过对初等函数的研究，达朗贝尔和欧拉在 1747－1751 年间先后得到了（用现代数语表达的）复
数域关于代数运算和超越运算封闭的结论。他们两人还在分析函数的一般理论方面取得了最初的进展。
7．微积分学
欧拉的《微分学原理》和《积分学原理》二书对当时的微积分方法作了最详尽、最有系统的解说，
他以其众多的发现丰富可无穷小分析的这两个分支。
8．微分方程
《积分原理》还展示了欧拉在常微分方程和偏方程理论方面的众多发现。他和其他数学家在解决力
学、物理问题的过程中创立了微分方程这门学科。
在常微分方程方面，欧拉在 1743 年发表的论文中，用代换给出了任意阶常系数线性齐次方程的古
典解法，最早引人了“通解”和“特解”的名词。1753年，他又发表了常系数非齐次线性方程的解法，其方
法是将方程的阶数逐次降低。
欧拉在18世纪30年代就开始了对偏微分程的研究。他在这方面最重要的工作，是关于二阶线性方
程的。
9．变分法
1734 年，他推广了最速降线问题。然后，着手寻找关于这种问题的更一般方法。1744 年，欧拉的
《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》一书出版。这是变分学史上的里程碑，它标志着变分法
作为一个新的数学分析的诞生。
10．几何学
坐标几何方面，欧拉的主要贡献是第一次在相应的变换里应用欧拉角，彻底地研究了二次曲面的一
般方程。
微分几何方面，欧拉于 1736 年首先引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长这一几何量作
为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何研究。1760年，欧拉在《关于曲面上曲线的研究》中建
立了曲面的理论。这本著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的里程碑。
欧拉对拓扑学的研究也是具有第一流的水平。1735年，欧拉用简化（或理想化）的表示法解决了著
名的歌尼斯堡七桥游戏问题，得到了具有拓扑意义的河－桥图的判断法则，即现今网络论中的欧拉定理。
六、德国数学家希尔伯特（1862——1943）
1900年8月，德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家大会上作了题为《数学问题》的著名讲演希尔
伯特在讲演的前言和结束语中，对各类数学问题的意义、源泉及研究方法发表了许多精辟的见解，而整
个演说的主体，则是他根据19世纪数学研究的成果和发展趋势而提出的23个数学问题，这些问题涉及
现代数学的许多重要领域一个世纪以来，这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣。
我们来看看他的23个问题：
1．连续统假设自然数（可数）集基数与实数集（连续统）基数之间不存在中间基数1963年，美国
数学家科恩证明了：连续统假设的真伪不可能在策梅洛—弗兰克尔公理系统内判别；
2．算术公理的相容性1931年，哥德尔证明了希尔伯特关于算术公理相容性的“元数学”纲领不可能
实现相容性问题至今未决；
3．两等底等高四面体体积之相等1900年德恩证明了确实存在第三问题成为最先获解的希尔伯特问
题；
4．直线为两点问的展短距离问题提得过于一般；
5．不要定义群的函数的可微性假设的李群概念格利森、蒙哥马利、席平等于1952年对此问题给出
了肯定解答；
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6．物理公理的数学处理在量子力学、热力学等部门，公理化巳取得很大成功至于概率论公理化已由
科尔莫戈罗夫等建立（1933）；
7．某些数的无理性与超越性1934年，盖尔丰德和施奈德各自独立地解决了问题的后半部分；
8．素数问题包括黎曼猜想，哥德巴赫猜想和孪生素数猜想，均未解决；
9．任意数域中最一般的互反律之征明已由高木贞治（t921）和阿廷（1927）解决；
10．丢番图方程可解性判别970年，马蒂雅舍维奇证明了，不存在判定任一给定丢番图方程有无整
数解的一般算法；
11．系数为任意代数数的二次型哈塞（1929）和西格尔（1936，1951）在此问题上获得重要结果；
12．阿贝尔域上的克罗内克定理在任意代数有理域上的推广尚未解决；
13．不可能用仅有两个变数的函数解一般的七次方程连续函数情形1957年已由阿诺解决；
14．证明某类完全函数系的有限性1958年被水田雅宜否定解决；
15．舒伯特计数演算的严格基础代数几何的严格基础已由范德瓦尔登（1938-1940）和魏依（1950）
建立，但舒伯特演算的合理性尚待解决；
16．代数曲线与曲面的拓扑有很多重要结果；
17．正定形式的平方表示已由阿廷于1926年解决；
18．由全等多面体构造空间部分解决；
19．正则变分问题的解是否一定解析 1904 年伯恩斯坦证明了一个变元的解析非线性椭圆型方程其
解必定解析该结果后又被推广到多变元椭圆组；
20．一般边值问题成果丰富；
21．具有给定单值群的微分方程的存在性长期以来人们一直认为普菜相依 1908 年已对此问题作出
肯定解答但八十年后发现晋莱相依的证明有漏洞 1989 年前苏联数学家 AA 鲍里布鲁克关于此问题举出
了反例，使第二十一问题最终被否定解决；
22．解析关系的单值化一个变数情形已由寇贝解决；
23．变分问题的进一步发展。
我们看到，希尔伯特问题中近一半已经解决或基本解决有些问题虽末最后解决，但也取得了重要进
展希尔伯特问题的解决与研究，大大推动了数理逻辑、几何基础、李群论、数学物理、概率沦、数论、
函数沦、代数几何、常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、变分法等一系列数学分支的发展，有些问
题的研究（如第二问题和第十问题）还促进了现代计算机理论的成长重要的向题历来是推动科学前进的
杠杆，但一位科学家如此自觉、如此集中地提出一整批问题，并如此持久地影响了一门科学的发展，这
在科学史上是不多见的。
七、第三次数学危机——集合论悖论
1．集台论悖论罗素的悖论是：以 M 表示是其自身成员的集合（如一切概念的集合仍是一个概念）
的集合，N表示不是其自身成员的集合（如所有人的集合不是一个人）的集合然后问：集合N是否为它
自身的成员？如果N是它自身的成员，则N属于M而不同于N，也就是说N不是它自身的成员；另一
方面，如果N不是它自身的成员，则N属于N而不属于M，也就是说N是它自身的成员无论出现哪一
种情况，都将导出矛盾的结论。
1919年罗素又给上述悖论以通俗的形式即所谓“理发师悖论”：某乡村理发师宣布了一条原则，他给
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所有不给自己刮脸的人刮脸，并且只给村里这样的人刮脸试问：理发师是否自己给自己刮脸?如果他给
自己刮脸，他就不符合他提出的原则，因此他不应该给自己刮脸；如果他不给自己刮脸，那么根据他的
原则，他就应该给自己刮脸为了消除悖论，数学家们首先求助于将康托尔以相当随意的方式叙述的“朴
素集合论”加以公理化第一个集合论公理系统是1908年由策梅洛提出的，后又经弗兰克尔改进，形成了
今天常用的策梅洛—弗兰克尔公理系统。
2．数学基础三大学派解决集合论悖论的进一步尝试，是从逻辑上去寻找问题的症结集合论公理化
运动是假定了数学运用的逻辑本身不成问题，但数学家们对于这一前提陆续提出了不同的观点，并形成
了关于数学基础的三大学派，即：以罗素为代表的逻辑主义；以布劳威尔为代表的直觉主义和以希尔伯
特为代表的形式主义。
（1）逻辑主义
逻辑主义的基本思想在罗素 1903 年发表的《数学的原理》中已有大概的轮廓，罗素后来与怀特黑
德（1861—1947）合著的三大卷《数学原理》（1910 一 1913），是逻辑主义的权威性论述按照罗素的观
点，“数学就是逻辑”，全部数学可以由逻辑推导出来——数学概念可以借逻辑概念来定义，数学定理可
以由逻辑公理按逻辑规则推出在集合论悖论问题上，他们认为类相对于其自身成员是高一级类型的对象
这样，集合本身就不能是它自己的成员。
（2）直觉主义
直觉主义对数学基础采取了完全不同的观点直觉主义的先驱是克罗内克和庞加莱，但作为一个学派
则是荷兰数学家布劳威尔开创的布劳威尔 1907 年在他的博士论文《论数学基础》中搭建了直觉主义数
学的框架，1912年以后又大大发展了这方面的理论直觉主义的基本思想是：数学独立于逻辑，数学的基
础是一种能使人认识“知觉单位”1 以及自然数列的原始直觉坚持数学对象的“构造性”定义，是直觉主义
哲学的精粹。
按照这种观点，要证明任何数学对象的存在，必须同时证明它可以用有限的步骤构造出来因此直觉
主义不承认仅使用反证法的存在性证明在集合论中，直觉主义也只承认可构造的无穷集合（如自然数列），
这就排除了“所有集合的集合”那样的矛盾集合的可能性今天，直觉主义提倡的构造性数学已成为数学科
学中一个重要的学科群体，并与计算初科学密切相关但是，直觉主义的一个重要缺陷是在于：严格限制
使用排中律将使古典数学中大批受数学家珍视的东西成为牺牲品。
（3）形式主义
形式主义纲领的要旨是：将数学彻底形式化为一个系统在这个形式系统中，人们必须通过逻辑的方
法来进行数学语句的公式表述，并用形式的程序表示推理：确定一个公式——确定这公式蕴含另一个公
式——再确定这第二个公式，依此类推，数学证明便由这样一条公式的链构成在这里，语句只有逻辑结
构而无实际内容，从公式到公式的演绎过程不涉及到公式的任何意义，这是形式主义与逻辑主义的重要
区别。
上述关于数学基础的三大学派，在20世纪前30年问非常活跃，相互争论非常激烈现在看来，这三
大学派都未能对数学基础问题作出令人满意的解答但它们的研究却将人们对数学基础的认识引向了空
前的深度 1930 年代，在哥德尔定理引起的震动之后，关于数学基础的争论渐趋淡化，数学家们更多地
专注于数理逻辑的具体研究，三大学派在基础问题上积累的深刻的结果，都被纳人数理逻辑研究的范畴
而极大地推动了现代数理逻辑的形成与发展。
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3．数理逻辑的发展以数学的方法研究逻辑，最先为莱布尼茨所提倡，在 19 世纪，布尔、施罗德、
皮尔斯、佩亚诺和弗雷格等为实现菜布尼茨的思想作出努力并取得了实质进展但现代数理逻辑从内容到
方法，主要是在20世纪关于数学基础的热烈争论中发展起来。
现代数理逻辑的四大分支——公理化集合论、证明论、模型论和递归论，这些都源于 20 世纪早期
关于数学基础问题的探讨（1）公理化复合论为消除集合论悼论而产生了第一个集合论公理系统——策
梅洛－弗兰克尔系统（Z－F系统）虽然Z－F系统本身的相容性问题远未解决，但对这一公理系统的研
究已引出了数理逻辑的重大成果，其中最引入注目的便是关于连续统假设的进展。
（2）证明论希尔伯特开拓的证明论引出了哥德尔不完全性定理在哥德尔之后，证明论仍然向前发
展首先是数学家们在放宽工具限制的情况下继续寻求相容性证明 1936 年，甘笒采用超限归纳法证明了
算术公理系统的相容性，就是这方面一个突出的例子 1960 年代以来，又有人证明了数学分析某些片断
的相容性除了相容性证明，证明论还被拓广到包括证明的结构及复杂度等问题的研究。
（3）模型论在歌德尔不完全性定理之后，波兰数学家塔斯基（1901—1983）提出了形式语言真假问
题，开创了研究形式语言及其解释（模型）之间关系的模型论模型论的一个重大成果是非标准分析的建
立。
（4）递归论判断给定数学问题是否可计算或存在算法解，统称判定问题判定问题是递归论的主要
课题。
八、世界三大猜想
世界三大数学猜想即费马猜想、四色猜想和哥德巴赫猜想。
费马猜想：当整数n2时，关于x,y,z的不定方程 xn yn zn无正整数解。
证明于1994年由英国数学家安德鲁ꞏ怀尔斯（Andrew Wiles）完成，遂称费马大定理。
四色猜想：“任何一张平面地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色。”用数学
语言表示，即“将平面任意地细分为不相重叠的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这四个数字之一
来标记，而不会使相邻的两个区域得到相同的数字。”
证明于1976年由美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)借助计算机完成，遂称
四色定理；
哥德巴赫猜想：①任何不小于4的偶数，都可以是两个质数之和（如：4=2+2）；②任何不小于7的
奇数，都可以是三个质数之和（如：7=2+2+3）。
这就是数学史上著名的“哥德巴赫猜想”。
尚未解决，目前最好的成果（陈氏定理）乃于 1966 年由中国数学家陈景润取得。这三个问题的共
同点就是题面简单易懂，内涵深邃无比，影响了一代代的数学家。
九、其它著名的外国数学家
1．菲波那契（意大利数学家）
曾在埃及、叙利亚、希腊以及西西里岛等地游历，获得许多数学知识，对印度－阿拉伯计算方法的
实用性尤为欣赏。著有《算盘书》，共15章，主要介绍算术与代数，内容包括：印度－阿拉伯数码的读
法与写法；整数与分数的计算；平方根与立方根的求法；线性方程组和二次方程的解法等，书中还给出
了数学在实物交易、合股、比例法和测量几何中的应用。著名的“斐波那契数列”问题即载于此书。还有
一部纯几何著作《实用几何》，运用欧几里得等人的方法介绍了直线形的面积、圆的度量、球和圆柱等。
2．韦达
他的《分析方法引论》是一部最早的符号代数的著作。在这部著作中，韦达不仅用字母表示未知量
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和未知量的乘幂，而且还用来表示一般的系数。通常他用辅音字母来表示已知量，用元音字母表示未知
量，用拉丁语表示各次方幂。
韦达一生写了许多关于三角学、代数学和几何学的著作，其中主要有：《三角学的数学基础》、《几何
补编》、《有效的数值解法》和《论方程的整理与修正》。
3．施蒂费尔
其著作《整数算术》讨论了几何级数与其指数之间的关系，指出几何级数 1,r,r2,r3,…的各项与其指
数数列0，1，2，3……的各项相互对应，几何数列中两项之相商）所得的项，其项的指数等于该几何数
列的指数数列中两项的和（差）。他甚至还把两个数列之间的这种联系推广到负指数和分数指数的情形。
但他最终并没有提出对数的概念。
4．纳皮尔
借助于运动概念与连续的几何量的结合来引入对数。布里格斯与纳皮尔合作，决定利用y=10x关系，
则当x=x +x 时，y=y y 来设计对数，这就是今天所谓的以10为底的常用对数。
1 2 1 2
5．埃瓦里斯特ꞏ伽罗瓦（Évariste Galois，1811——1832），法国数学家，与尼尔斯ꞏ阿贝尔并称为现
代群论的创始人。
伽罗瓦使用群论的想法去讨论方程式的可解性，整套想法现称为伽罗瓦理论，是当代代数与数论的
基本支柱之一。它直接推论的结果十分丰富：他系统化地阐释了为何五次以上之方程式没有公式解，而
四次以下有公式解。他漂亮地证明高斯的论断：若用尺规作图能作出正 p 边形，p 为质数的充要条件为
。（所以正十七边形可做图）。他解决了古代三大作图问题中的两个：“不能任意三等分角”，
“倍立方不可能”。
拓展：五次方程组的解
数学史上，人们曾经希望得到--般的五次以上代数方程的根式解，但经过长期的努力仍无结果。公
元1778年，法国数学大师拉格朗日提出了五次方程解不存在的猜想。公无1824年，挪威年轻数学家阿
贝尔成功地证明了五次以上一般方程没有根式解。公元 1828 年，法国天才数学家伽罗瓦巧妙而简洁地
证明了存在不能用开方运算求解的具体方程，同时还提出了一个代数方程能用根式求解的判定定理。
虽然指数方程、对数方程等超越方程和五次以上高次代数方程不能用代数运算求解，但其数值解法
却随着现代计算技术的发展得到了广泛的运用，如二分法、牛顿法、拟牛顿法、弦截法等。
6．约翰ꞏ卡尔ꞏ弗里德里希ꞏ高斯（Johann Carl Friedrich Gauss ，1777——1855）
高斯已经指出，正三边形、正四边形、正五边形、正十五边形和边数是上述边数两倍的正多边形的
几何作图是能够用圆规和直尺实现的。高斯在数论的基础上提出了判断一给定边数的正多边形是否可以
几何作图的准则。例如，用圆规和直尺可以作圆内接正十七边形。这样的发现还是欧几里得以后的第一
个。
这些关于数论的工作对代数数的现代算术理论（即代数方程的解法）作出了贡献。高斯还将复数引
进了数论，开创了复整数算术理论，复整数在高斯以前只是直观地被引进。1831年（发表于1832年）
他给出了一个如何藉助于x，y平面上的表示来发展精确的复数理论的详尽说明。
高斯是最早怀疑欧几里得几何学是自然界和思想中所固有的那些人之一。欧几里得是建立系统性几
何学的第一人。他模型中的一些基本思想被称作公理，它们是透过纯粹逻辑构造整个系统的出发点。在
这些公理中，平行线公理一开始就显得很突出。按照这一公理，通过不在给定直线上的任何点只能作一
条与该直线平行的线。
1830年前后，极值（极大和极小）原理在高斯的物理问题和数学研究中开始占有重要地位，这一工
作对于能量守恒原理的发展作出了贡献。
数学著作 出版时间 著作介绍
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《算术研究》 1801年 介绍了同余、二次互逆定理
《曲面的一般研究》 1827年 阐述了空间曲面的微积分几何学
关于代数基本定理的博士论文 1799年 证明了每个复系数方程必有复数解
【例题】
1．下面哪位不是数学家？（ ）．
A．祖冲之 B．秦九韶 C．孙思邈 D．杨辉
1．【答案】C。解析：孙思邈是医学家和药物学家，故选C。
2.创立解析几何的主要数学家是（ ）。
A.笛卡尔，费马 B.笛卡尔，拉格朗日
C.莱布尼茨，牛顿 D.柯西，牛顿
2.【答案】A。解析：创立解析几何的主要数学家是笛卡尔，费马。拉格朗日、柯西在数学分析方面
贡献杰出。莱布尼茨在高等数学方面的成就巨大。牛顿在数学方向主要是微积分学。
3.发现勾股定理的希腊数学家是（ ）。
A.泰勒斯 B.毕达哥拉斯 C.欧几里德 D.阿基米德
3.【答案】B。
4.【2015年下半年高中】20世纪初对国际数学教育产生重要影响的是（ ）。
A.贝利-克莱茵运动 B.大众教学
C.新数学运动 D.PISA项目
4.【答案】A。解析：第一次数学课程改革发生在20世纪初，史称“克莱因—贝利运动”。英国数学
家贝利提出“数学教育应该面向大众”“数学教育必须重视应用”的改革指导思想；德国数学家克莱因认为，
数学教育的意义、内容、教材、方法等，必须紧跟时代步伐，结合近代数学和教育学的新进展，不断进
行改革。
5．【2017 下半年初中】与意大利传教士利玛窦共同翻译了《几何原本》（Ⅰ-Ⅵ卷）的我国数学家是
（ ）．
A．徐光启 B．刘徽 C．祖冲之 D．杨辉
5．【答案】A．中公教育解析：《几何原本》是意大利传教士利玛窦和徐光启根据德国人克拉维乌斯
校订增补的拉丁文本《欧几里得原本》（15卷）合译的，定名为《几何原本》；B．刘徽，中国古典数学
理论的奠基人之一，代表作品《九章算术注》和《海岛算经》；C．祖冲之，南北朝数学家，首次将圆周
率精确到小数第七位；D．杨辉，南宋数学家和数学教育家，著有数学著作《详解九章算法》、《日用算
法》、《乘除通变本末》、《田亩比类乘除捷法》、《续古摘奇算法》，后三本合称为《杨辉算法》。
6.【2016年下半年高中】数学发展史上曾经历过三次危机，触发第三次数学危机的事件是（ ）。
A．无理数的发现 B．微积分的创立
C．罗素悖论 D．数学命题的机器证明
6.【答案】C。解析：第三次数学危机为数学罗素悖论的产生。第三次数学危机引发了关于数学逻辑
基础可靠性的问题，导致无矛盾的集合论公理系统的产生。在这场危机中集合论得到较快的发展，数学
基础的进步更快，数理逻辑也更加成熟。到现在，从整体来看，第三次数学危机还没有解决到令人满意
的程度。
7.【2015 上半年初、高中】简述“尺规作图”的基本要求，并写出古希腊时期“几何作图三大问题”的
具体内容。
7.【参考答案】
尺规作图的基本要求：
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（1）它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同；
（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧。只可以用它来将两个点连在一起，
不可以在上画刻度；
（3）圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度。它只可以拉开成你之前构造过的长度。
古希腊时期“几何作图三大问题”：这是三个作图题，只使用圆规和直尺求出下列问题的解，直到十
九世纪被证实这是不可能的：
（1）立方倍积，即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。
（2）化圆为方，即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。
（3）三等分角，即分一个给定的任意角为三个相等的部分。
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