讲义答案_教资_33教资笔试历年真题汇总（科一+科二+科三）_科三真题_02初中科三各科电子资料包合集_数学（资料文档）_初中数学_05讲义书电子版-Z

目 录 第二章 义务教育数学课程标准 .............................................. 1 第三章 教学知识 .......................................................... 6 第四章 中学数学课堂教学设计 .............................................. 8 第二节 教学过程的设计 ................................................ 8 第五章 教学评价 ......................................................... 10 第六章 数学案例分析 ..................................................... 11学员专用 请勿外泄 第二章 义务教育数学课程标准 【经典例题】 一、选择题 1.【答案】A。 2.【答案】D。解析：数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。 3.【答案】C。解析：在数学课程中,应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数 据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。 4.【答案】A。解析：新的义务教育《数学课程标准》在“课程的基本理念”里提出：“要重视培养学 生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法”，并在“情感与态度”目标中提出：“养成认真 勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯。” 5.【答案】D。解析：义务教育课程的总目标是知识与技能、数学思考，问题解决和情感态度。 6.【答案】C。解析：义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和 发展性。 7.【答案】B。解析：《小学数学课程标准（2011年版）》中所说的“数学基本思想”主要指数学抽象思 想、数学推理的思想、数学建模的思想。 8.【答案】D。解析：《义务教育数学课程标准（2011年版）》中规定的“图形与几何”领域的9条“基 本事实”之一为“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行”。其余八条分别为：（1） 两点确定一条直线；（2）两点之间线段最短；（3）过一点有且只有一条直线与这条直线垂直；（4）过直 线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；（5）两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；（6）两 角及其夹边分别相等的两三角形全等；（7）三边分别相等的两个三角形全等；（8）两条直线被一组平行 线所截，所得的对应线段成比例。 9.【答案】C。解析：数与式是指有理数、实数、代数式、整式与分式。方程属于方程与不等式。 10.【答案】C。解析：《义务教育数学课程标准（2011年版）》规定的第三学段“图形与几何”领域内 容的是：图形的性质、图形的变化、图形与坐标。 11.【答案】A。解析：这句话可以理解为“所有的三角形内角和都是180°”，所以为全称的肯定判断。 12.【答案】A。解析：义务教育数学课程标准中规定了课程内容的四个部分是：数与代数，图形与 几何，统计与概率，综合与实践。 13.【答案】D。解析：九条基本事实分别为：①两点确定一条直线；②两点之间线段最短；③过一 点有且只有一条直线与已知直线垂直；④两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平 行；⑤过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；⑥两边及其夹角分别相等的两个三角形全等； ⑦两角及其夹边分别相等的两个三角形全等；⑧三边分别相等的两个三角形全等；⑨两条直线被一组平 行线所截，所得的对应线段成比例。 14．【答案】C． 解析：数学课程目标包括结果目标和过程目标．结果目标中了解（知道）＜理解＜掌握． 二、填空题 1.【答案】积极参与、交往互动、共同发展，主体，组织者、引导者与合作者。 2.【答案】①②③⑤。解析：“综合与实践”内容设置的目的在于培养学生综合运用有关的知识与方 法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现 实问题的能力。所以①②③⑤正确。 三、解答题 中公教育学员专用资料 1 报名专线：400-6300-999学员专用 请勿外泄 1.【参考答案】义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展 性。数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的 创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。义务教育的数学课程能为学生未 来生活、工作和学习奠定重要的基础。 2.【参考答案】“数与代数”的主要内容有：数的认识，数的表示，数的大小，数的运算，数量的估 计；字母表示数，代数式及其运算；方程、方程组、不等式、函数等。 3.【参考答案】共划分3个阶段，它们分别是第一学段（1~3年级）；第二学段（4~6年级）；第三学 段（7~9年级）。 4.【参考答案】分为四部分，它们分别是数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践。 5.【参考答案】数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模 型思想、应用意识、创新意识。 6.【参考答案】在新课程标准中，将数据分析观念解释为：了解在现实生活中有许多问题应当先做 调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分 析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每 次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。数据分析是统计的核心。 7.【参考答案】《标准》明确了义务教育阶段数学课程的总目标，并从知识技能、数学思考、解决问 题、情感与态度等四个方面作出了进一步的阐述。 8.【参考答案】必要性：我国学生实践能力和综合运用能力相对薄弱，为此《基础教育课程改革纲 要（试行）》在规划新的课程体系时，规定“从小学到高中设置综合实践活动并作为必修课程”，强调通过 学生实践，增强探究和创新意识，学习科学研究的方法，发展综合运用知识的能力，增进学校与社会的 密切联系，培养学生的社会责任感。 同时《基础教育课程改革纲要（试行）》又指出综合实践活动与各学科领域应形成一个有机整体，二 者既有其相对独立性，又存在紧密的联系，在某些情况下，综合实践活动也可和某些学科教学打通进行， 同时，各学科课程中亦应注重培养学生的实践和综合应用能力。为此，课程标准调整了数学学科的结构， 在“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”这些知识性的领域之外，设置了“实践与综合应用”这一数 学学习领域。 教学特点：（1）综合性：对任何主题的探究都必须体现个人、社会、自然的内在整合，体现科学、 艺术、道德的内在整合。 （2）实践性：综合实践活动课程的展开往往以各种活动为载体，强调学生通过活动或亲身体验来进 行学习，但不是为“活动”而“活动”。 （3）开放性：“综合实践活动”课程面向学生整个的生活世界，其内容与学生个人的生活或现实社会 紧密相联系，往往表现为一个没有固定答案的开放性问题，要解决这样的开放性问题，学生不可能到书 本上去找现成的答案，只能通过自己的努力去探索、去发现，才能找到可能的答案。 （4）生成性：综合实践活动课程的展开很少从预定的课程目标入手，它常常围绕某个开放性的主题 或问题来展开。随着活动的不断展开，新的目标、新的问题、新的主题不断生成，学生的认识和体验不 断加深，创造性的火花不断迸发，这便是综合实践活动课程具有“生成性”的集中体现。 （5）自主性：综合实践活动课程的实施十分注重从学生现有的兴趣与经验出发，强调学生的自主选 择与探究。学生不仅可以选择学习的内容、进度与方式，还可以自己对自己的学习过程或结果进行评价 与反思。 9.【参考答案】（1）“预设”与“生成”的关系（2）面向全体学生与关注学生个体差异的关系（3）合情 推理与演绎推理的关系（4）使用现代信息技术与教学手段多样化的关系。 10.【参考答案】主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体； 中公教育学员专用资料 2 报名专线：400-6300-999学员专用 请勿外泄 想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。 11.【参考答案】符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用 符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表 达和进行数学思考的重要形式。 12.【参考答案】抽象、分类、归纳、演绎、模型。例如，分类是一种重要的数学思想。需要运用分 类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；② 运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可 能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。比如数的分类，图形的分类，代 数式的分类，函数的分类等。 13.【参考答案】学生是学习的主人，而教师是数学学习的组织者、引导者和合作者。在每节课的教 学中教师应从学生熟悉的生活经验在寻找有意义的生活素材,创设有助于学生自主学习的问题情境,引导 学生通过实践、思考、探索、交流获得知识、形成技能、发展思维、学会学习，促使学生在教师指导下 生动活泼地、主动富有个性地学习。在数学课堂教学中，教师的引导作用主要体现在： （1）创设丰富有趣的数学情境。兴趣是学生探索新知的直接动力，兴趣高，学生才能学得积极主 动，思维才会敏捷灵活。恰当、适时的导入新课,它可以激发学生的学习兴趣和强烈的求知欲，使学生一 上课就有了明确的探索目标和正确的思考方向。 （2）充分发挥课堂教学作用。课堂教学应当使学生掌握数学知识，达到教学目标，获得一种基本技 能、数学思想以及数学活动的经验。教师也可以通过课堂的教学，可以根据自己在教学中的行为总结教 学优点以及不足，为以后的能够更好实施课堂教学的作经验积累。在教师指导下，让学生主动的获取知 识、应用知识，解决问题。 （3）加强知识的应用。练习辅导是课堂教学的一个重要环节，是实现因材施教、提高教学质量的重 要措施。在练习辅导中，满足不同层次的学生的不同要求，为培养优秀尖子人才创造条件。对学习成绩 较差的学生应给予耐心细致、不厌其烦地个别辅导，给他们机会、口答问题，板演练习等，并经常给予 鼓励、表扬，在练习辅导中灵活的运用个别辅导和集体辅导艺术，及时反馈及时纠错。既能弥补学生掌 握知识的不足，又可以发现教师课堂教学的欠缺，有利于及时总结经验，不断的改进教学工作。 （4）认真钻研把握教材，选择合适、使用的材料，构建问题，让学生主动参与到教学活动之中。鼓 励学生将探究活动拓展到日常生活之中，做到学以致用。 14.【参考答案】（1）数学教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发， 创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动，使学生通过数学活动，掌 握基本的数学知识和技能，初步学会从数学的角度去观察事物、思考问题，激发对数学的兴趣，以及学 好数学的愿望。 （2）教师是学生数学活动的组织者、引导者与合作者；要根据学生的具体情况，对教材进行再加 工，有创造地设计教学过程；要正确认识学生个体差异，因材施教，使每个学生都在原有的基础上得到 发展；要让学生获得成功的体验，树立学好数学的自信心。 ①让学生在生动具体的情境中学习数学 在本学段的教学中，教师应充分利用学生的生活经验，设计生动有趣、直观形象的数学 教学活动， 如运用讲故事、做游戏、直观演示、模拟表演等，激发学生的学习兴趣，让学生在生动具体的情境中理 解和认识数学知识。 ②动手实践、自主探索、合作交流是学生学习数学的重要方式。在本学段的教学中，教师要让学生 在具体的操作活动中进行独立思考，鼓励学生发表自己的意见，并与同伴进行交流。教师应提供适当的 帮助和指导，善于选择学生中有价值的问题或意见，引导学生开展讨论，以寻找问题的答案。 ③加强估算，鼓励算法多样化 中公教育学员专用资料 3 报名专线：400-6300-999学员专用 请勿外泄 估算在日常生活中有着十分广泛的应用，在本学段教学中，教师要不失时机地培养学生的估 算意 识和初步的估算技能。 ④培养学生初步的应用意识和解决问题的能力在本学段的教学中，教师应该充分利用学生已有的生 活经验，随时引导学生把所学的数学知识应用到生活中去，解决身边的数学问题，了解数学在现实生活 中的作用，体会学习数学的重要性。 15.【参考答案】首先，辩证地理解“预设与生成”的关系，既要改变过去那种只有“预设”、完全封闭、 一切尽在“教师掌控之中”的现象，又要避免不适当地、漫无边际地“生成”，影响课堂教学质量，减损国 家要求及教育“引导”、“塑造”的责任。 其次，教师在备课及进行教学设计时，要“详略得当”。所谓“详”一是在教学目标和内容的设计上， 尽可能地将“三维目标”和有关内容加以整合，而不能仅有“知识点”；二是尽量考虑周到，预先设想可能 出现的情况及多样化的对策。所谓“略”是指教案不要太详尽，宁可“粗一点”，给现实的、活生生的教学 留下一定的时空，最终在教学中完成，在教学后完善，决不能像过去那样把教学的每一环节、教师的每 一句话及学生的可能回答都写出来，使得原本富有生命力的教学成了完全预定的、僵死的“走教案”、“演 教案剧”。 再次，在课堂中，教师要“与时俱进”、“与境俱进”，及时抓住并灵活处理具有“生成价值”的问题、 回答、细节、情境等，让教学充满灵动、智慧与活力；但是，这种“生成”必须与预设的学习目标、学习 主题有某种内在联系(这种联系不一定局限于本节课或本单元的目标和内容)，或是拓展，或是深化，这 样才能既保证课堂教学的“开放”与“灵活”，促进学生自主和富于个性化、创造性地学习，又达到国家对 青少年一代的基本要求。 16.【参考答案】 数学课程标准、单元目标和具体数学知识点三者的结合。确定教学内容时，特别要注意以下三点： 一是数学知识的主要特征。一个数学知识点内容是极为庞杂的，我们应该选择该数学知识点最本质 的东西作为教学的重点 二是学生的需要。确定知识点的教学内容也不是由教材一个要素决定的，还涉及到学生认知发展阶 段性的问题。因此也不可能是教材有什么我们就教什么、学什么，我们只能选择教材内容与学生认知发 展相一致的内容作为教学内容。 三是编者的意图。编者的意图主要是通过例题以及课后的练习题来体现的。数学例题以及课后练习 题的重要性在数学课程中要远远高于其他学科，因为数学例题以及练习题是数学课程内容建设一个不可 或缺的组成部分。在其他课程中，练习题最多只是课程内容的重现，有的只属于教学领域，作为一种教 学手段，对课程本身并没有很大影响。但数学课不是这样，数学课“教什么”在相当程度上是由练习题或 明或暗指示给教师的。 17．【参考答案】中公教育解析：（1）学生在学习有理数这一章的时候应该掌握正数、负数，有理数 以及有理数的加减法，所以在设计题型的时候，涵盖的知识点应包括以上知识点，达到全面性要求，以 便宏观了解学生对本章知识的掌握程度； （2）题型练习多样化，要有选择、填空、判断、解答；试题的难度要有梯度，照顾到不同学习层次 的学生，以便了解全体学生对本章知识掌握的程度，指导今后的教学工作。 （3）题目设置在检测学生掌握本章知识的基础上，应有对难点、易错点的考查。比如说“学生理解 负数的意义”“有理数减法计算时符号的判断”。 18．【参考答案】中公教育解析：（1）合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过 观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理。 演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理。简言之， 演绎推理是由一般到特殊的推理。 中公教育学员专用资料 4 报名专线：400-6300-999学员专用 请勿外泄 （2）合情推理:在初中学习角平分线的性质时，我们通过将一个角平分对折，通过观察折线上的点 到角两边的距离或进行测量，猜想得到角平分线上的点到角两边的距离相等，得到一般规律。 演绎推理：角平分线的性质这一课，我们通过两个三角形全等，得到对应两边相等，从而证明角平 分线上的点到角两边距离相等，使得定理更加严谨。 合情推理从推理形式上看，是由部分到整体、个别到一般、由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由 一般到特殊的推理。从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理 在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。就数学而言，演绎推理是证明数 学结论、建立数学体系的重要思维过程。但数学结论、证明思路等的发现，主要靠合情推理。因此，合 情推理与演绎推理是相辅相成的。 19．【答案】对于选学课程来说，可以扩宽学生的知识与技能化，以韦达定理为例，韦达定理与一元 二次方程根的判别式的关系是密不可分的，根的判别式是判定方程是否有实根的充要条件，而韦达定理 说明了根与系数的关系，无论方程有无实数根，利用韦达定理可以快速求出两方程根的关系，因此韦达 定理应用广泛，在初等数学、解析几何、平面几何、方程论中均有体现． 20．【参考答案】见解析． 解析：评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学生的学习和改进教师的教学， 应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系．对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注 他们学习的过程；要关注学生学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助 学生认识自我，建立信心．对于课程标准提出的评价理念可以从以下三个方面理解． （1）评价目标多元化 新课程提出多元化的评价目标，评价的对象既包括学生，也包括教师．以往的评价更多的关注学生 的成就，关注学生的表现，忽视对教师教学过程的评价．通过教学过程和学生学习状况的考查，不只是 看学生的表现，还促使教师认识教学中存在的问题，及时改进教学方式，调整教学进度和教学目标． （2）评价内容多维性 数学课程的总体目标，对义务教育阶段学生的数学素养提出四个方面的具体要求，包括知识与技能、 数学思考、解决问题、情感与态度．评价的具体内容应围绕这些方面展开，形成多维度、全面性的评价 内容体系．对不同内容的评价可以通过设计反映不同内容的问题，如对某一方面知识与技能的评价；也 可以在综合的问题情境中进行评价，如在一项调查活动中，对知识的理解与运用、学生解决实际问题的 能力以及学生参与投入的态度进行评价；还可以通过对学生平时学习情况的考查来评价． （3）评价方法多样化 评价中应针对不同学段学生的特点和具体内容的特征，选择恰当有效的方法．对学生知识技能掌握 情况的评价，应当将定量评价和定性评价相结合，结果评价与过程评价相结合．不同的评价方法在教学 过程中起着不同的作用，不能希望一种评价方法会解决所有的问题．封闭式的问题、纸笔式的评价可以 简捷方便的了解学生对某些知识技能的掌握情况，而开放式问题、综合性的、在丰富的情境中的评价有 助于了解学生的思考过程和学习过程． 21．【参考答案】见解析． 解析：信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式产生了很大的影响．数学课程 的设计与实施应根据实际情况合理地运用现代信息技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实 效．要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信 息技术作为学生学习数学和解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐意并有可能投入 到现实的、探索性的数学活动中去． 在数学教学中信息技术可以结合其他多种教学手段，并能起到互补的作用．如不借助信息技术的情 况下去利用创设情境的方式去模拟实际情境，学生可能很难想象出相应的实际情景，这里就可以结合信 中公教育学员专用资料 5 报名专线：400-6300-999学员专用 请勿外泄 息技术手段直接呈现图片或视频；或者在处理图形的动态变化时，如仅通过板书的形式一步步变化，一 是作图比较繁琐，二是连贯性不强，这里就可以结合几何画板等工具直接呈现． 第三章 教学知识 【初中经典例题】 1.【答案】B。解析：数学概念的定义方法有：直觉定义法、属加种差定义法、发生式定义法、逆式 定义法、约定性定义法、刻画性定义、过程性定义。A项概率的公理化定义是概率所必须满足的基本特 性，如随机试验中每一个事件A发生的概率需满足0(cid:3409)P(cid:4666)A(cid:4667)(cid:3409)1的特性；B项属加种差定义法是中学数 学中最常用的定义方法，即“邻近的属+种差=被定义概念”，也就是说被定义概念具有而它的属概念的其 他种概念不具有的属性。题干中“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，它邻近的属为平行四边形，种 差为其一角为直角；C项递归定义也称归纳定义，是指用递归的方法给一个概念下定义，它由初始条件 和归纳条件构成；D项外延是指一个概念所概括的思维对象的数量或范围。故本题答案为B选项。 2.【参考答案】（1）数学的严谨性，是指数学具有很强的逻辑性和较高的精确性，即逻辑的严格性 和结论的确定性。量力性是指学生的可接受性。这一原则，说明教学中的数学知识的逻辑严谨性与学生 的可接受性之间相适应的关系。理论知识的严谨程度要适合学生的一般知识结构与智力发展水平，随着 学生知识结构的不断完善，心理发展水平的提高，逐渐增强理论的严谨程度；反过来，又要通过恰当的 理论严谨性逐渐促进学生的接受能力。 显然，这一原则是根据数学本身的特点及学生心理发展的特点提出的。但是，在学习过程中，学生 的心理发展是逐步形成的，不同的年龄阶段，其感知、记忆、想象、思维、能力等心理因素都有不同的 发展水平。这种心理发展的渐变性决定了在教学中不可能对数学理论的研究达到完全严密的程度，而应 该在不同的教学阶段，依据不同的教学目的和内容而提出不同的严谨性要求。即数学教学的严谨性是相 对的。 （2）测量模型：某气象站测得海拔每升高1千米，温度降低0.6度，观察地的气温是0度，问在观 察地点以下3千米的地方，气温是多少度？我们规定，气温升高为正，气温下降为负，观察地点以上为 正，观察地以下为负，易得出问题算式（-0.6）×（-3）=1.8 寻找模式法：由正数与负数，负数与零相乘的法则，可以得出下列式子： （-4）×（+3）=-12； （-4）×（+2）=-8； （-4）×（+1）=-4； （-4）×（0）=0； （-4）×（-1）=？； （-4）×（-2）=？； （-4）×（-3）=？； 仔细观察可以发现，从上到下，被乘数是不变的，乘数每减少1，积就增加4，因此，0增加4得到 4，然后是8和12，所以（-4）×（-1）=4； （-4）×（-2）=8； （-4）×（-3）=12；从而引出“负负得正”运算法则。 （3）在初中“负负得正”运算法则的教学中，可以根据学生的认知水平和学生接受的难易程度入手， 设法安排学生逐步适应的过程与机会，从正数乘以负数积为负数入手，从上到下，被乘数是不变的，乘 数每减少1，积就增加一个数4。然后再利用一些数学模型解析“负负得正”运算法则，达到严谨性与量力 性相结合。 中公教育学员专用资料 6 报名专线：400-6300-999学员专用 请勿外泄 3.【参考答案】（1）数学的严谨性，是指数学具有很强的逻辑性和较高的精确性，即逻辑的严格性 和结论的确定性。量力性是指学生的可接受性。 这一原则，说明教学中的数学知识的逻辑严谨性与学生的可接受性之间相适应的关系。理论知识的 严谨程度要适合学生的一般知识结构与智力发展水平，随着学生知识结构的不断完善，心理发展水平的 提高，逐渐增强理论的严谨程度；反过来，又要通过恰当的理论严谨性逐渐促进学生的接受能力。 显然，这一原则是根据数学本身的特点及学生心理发展的特点提出的。但是，在学习过程中，学生 的心理发展是逐步形成的，不同的年龄阶段，其感知、记忆、想象、思维、能力等心理因素都有不同的 发展水平。这种心理发展的渐变性决定了在教学中不可能对数学理论的研究达到完全严密的程度，而应 该在不同的教学阶段，依据不同的教学目的和内容而提出不同的严谨性要求，即数学教学的严谨性是相 对的。 （2）在证明“是无理数”的教学过程，对严谨性要求，应设法安排使学生逐步适应的过程与机会，逐 步提高其严谨程度，要求做到推理有据，证明要步步有根据、处处有逻辑。在推理有据的同时并不排斥 直观和猜想，强调思维的严谨性，允许猜想，辩证的处理好推理的有据和猜想的关系。 由于学生对无理数不熟悉，在实际教学过程中我们采用反证法，先假设是有理数。教学中可以由教 师给出证明步骤，让学生只填每一步的理由，鼓励学生发扬“跳一跳够得到”的精神，逐步过渡到学生自 己给出严格证明，最后要求达到立论有据，论证简明。“因为如果x是有理数，那么x可以写成最简分数 p p2 q（p、q是整数，p与q互质）的形式，于是2= x2= q2 即p2＝2q2，由于2q2是偶数，所以p也是偶数。 不妨设p＝2a，可得4a2＝2q2，即q2＝2a2，而2a2是偶数，所以q应是偶数，这样p、q都是偶数了，它 们的公约数是2，与p、q互质矛盾.可见，x不是有理数，而是无理数.” 在教学过程中，不能消极适应学生，降低理论要求，必须在符合内容科学性的前提下，结合学生实 际组织教学。 4．【参考答案】（1）在导入部分，通过数学史毕达哥拉斯在朋友家做客，发现地板中三角形的三边 关系行导入，让学生感受数学文化；在新课讲授阶段，通过运用赵爽弦图对勾股定理进行证明，由求边 的关系转化到求面积关系渗透转化的思想方法，在用面积证明勾股定理的过程中，通过移、补、凑、合 而面积不变，向学生展示割补原理并渗透数形结合思想；在巩固提高阶段，通过运用勾股定理解决生活 中的实际问题，培养学生的应用意识；在小结作业阶段，让学生寻找有关勾股定理的资料，并对相关问 题进行探究，进一步培养学生的探索精神。 （2）①数学文化有利于激发学生的学习兴趣。 数学文化给学生带来的不仅仅是数学命题、数学方法、数学问题和数学语言等，还包括数学思想、 数学意识、数学精神等．在教学中可以适当的对学生进行数学文化的教育，如通过数学家的故事，数学 问题的发现等内容的介绍来激发学生的学习兴趣。 ②数学文化教育有利于培养学生的创新意识和探索精神。 新一轮数学改革的理念中，强调培养学生的创新意识和探索精神。培养学生的数学思维能力，也是 当代数学教育改革的核心问题之一。在数学文化中数学历史事件、历史过程、历史故事都能够激发起学 生的创新意识，培养学生的探索精神。 ③数学文化教育有利于发展学生的数学应用意识。 数学文化的意义不仅在于知识本身和它的内涵，还在于它的应用价值数学源于生活，其理论的核心 部分都是在人类社会的生产、生活实践之中发展起来的。因此，教学中我们应当有意识地结合学生已有 的知识结构，加强数学与实际生活的联系。增强数学的应用性，将数学知识生活化，让学生体验到数学 文化的价值就在于生活的各个领域中都要用到数学。 【经典例题】 中公教育学员专用资料 7 报名专线：400-6300-999学员专用 请勿外泄 1.【参考答案】数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为研究对象的，所以表现在以下几个方 面： （1）表现在对空间形式和数量关系这一特性的抽象，如运算律，空间几何的一些证明。 （2）表现为思考事物的纯粹的量，广泛使用抽象符号，不仅数学概念是抽象的，而且数学方法也是 抽象的，并且大量使用抽象的符号。如空间几何图形的位置关系的定义，数量间的加减乘除方法的归类。 （3）它在抽象过程中抛开较多的事物的具体的特性，因而具有十分抽象的形式。数学的抽象是逐级 抽象的，下一次的抽象是以前一次的抽象材料为其具体背景，如数形结合得出函数单调性和奇偶性性质 的。 （4）高度的抽象必然有高度的概括，表现为高度的概括性，并将具体过程符号化，当然，抽象必须 要以具体为基础。 （5）数学语言具有高度抽象性，因此数学阅读需要较强的逻辑思维能力。学会有关的数学术语和符 号，正确依据数学原理分析逻辑关系，才能达到对书本的本真理解。同时数学有它的精确性，每个数学 概念、符号、术语都有其精确的含义，没有含糊不清或易产生歧义的词汇，结论错对分明，因此数学阅 读要求认真细致，同时必须勤思多想。 2．【参考答案】平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形；定义方式：关系定义（属概念加 种差定义法）；实数的定义：有理数和无理数统称实数；定义方式：外延定义法。 3.【参考答案】数学是以现实世界的空间形式和数量关系作为研究对象的，所以表现在以下几个方 面： （1）表现在对空间形式和数量关系这一特性的抽象，如运算律，空间几何的一些证明。 （2）表现为思考事物的纯粹的量，广泛使用抽象符号，不仅数学概念是抽象的，而且数学方法也是 抽象的，并且大量使用抽象的符号。如空间几何图形的位置关系的定义，数量间的加减乘除方法的归类。 （3）它在抽象过程中抛开较多的事物的具体的特性，因而具有十分抽象的形式。数学的抽象是逐级 抽象的，下一次的抽象是以前一次的抽象材料为其具体背景，如数形结合得出函数单调性和奇偶性性质 的。 （4）高度的抽象必然有高度的概括，表现为高度的概括性，并将具体过程符号化，当然，抽象必须 要以具体为基础。 （5）数学语言具有高度抽象性，因此数学阅读需要较强的逻辑思维能力。学会有关的数学术语和符 号，正确依据数学原理分析逻辑关系，才能达到对书本的本真理解。同时数学有它的精确性，每个数学 概念、符号、术语都有其精确的含义，没有含糊不清或易产生歧义的词汇，结论错对分明，因此数学阅 读要求认真细致，同时必须勤思多想。 第四章 中学数学课堂教学设计 第二节 教学过程的设计 【初中经典例题】 1.【参考答案】A。解析：循序渐进原则不在数学课堂教学设计所遵循原则里。 2．【参考答案】“了解等腰三角形的概念”的具体含义：一个三角形中如果有两条边相等，这么这个 三角形称为等腰三角形。相等的两边称为等腰三角形的腰，另一条边称为底边；两腰的夹角称为顶角， 两腰与底边的夹角称为底角。 3.【参考答案】（1）①温度：20摄氏度，-23摄氏度。 中公教育学员专用资料 8 报名专线：400-6300-999学员专用 请勿外泄 ②盈亏：一个小贩第一天赚了200元,我们可以用+200 表示，那么如果第二天亏损了100元，我们 就用-100表示。 ③海拔：我国新疆吐鲁番盆地的海拔高度是-154 米表示（比海平面底 154 米），太白山的海拔高度 是3767米，表示（比海平面高3767米） （2）①如果规定向东走1米，记做+1，则向相反的方向，即向西走2米，记做-2。那么向北走3米， 就用-3表示，对吗？ ②收入为正数，则支出可以认为负数。例如，某商店昨天卖货的收入为500元，记为+500，那么今 天进货的支出300元，可记为-300。 （3）①昨天赚了500元，记做+500，今天亏了200元，怎么用数表示？ ②一个物体向右移动了1米，记做+1，在向左移动5米，怎么用数表示呢？ （4）正确理解负数的意义，掌握正负数的表示。 （5）体会数的扩充过程，能够用负数表示生活中的量，理解0的意义。 （6）为接下来学习数轴、相反数、绝对值以及有理数作了铺垫。 4.【参考答案】（1）教学重点：不等式的解集的表示。教学难点：不等式解集的确定。 （2）根据教学重点与目的，通过一个实例来引出不等式的表示。例如：某班同学去植树，原计划每 位同学植树 4 棵，但偶遇某组的 10 名同学另有任务，未能参加植树，其余每位同学植树 6 棵，结果仍 未能完成计划任务，若设该班同学的人数为x，此时的x应满足怎样的关系式？依题意得4x>6(x-10)。 （3）不等式的解不是唯一的，所有不等式的解用解集在数轴上表示。 5.【答案】（1）直接导入法 直接导入法就是开门见山紧扣教学目标要求直接给出本节课的教学目的，以引起学生的有意注意， 诱发探求新知识的兴趣，使学生直接进入学习状态。这种导入能使学生迅速定向，对本节课的学习有一 个总的概念和基本轮廓。他能提高学生自学的效率和质量，适合条理性强的教学内容。如在讲切割定理 时，先将定理内容写在黑板上，让学生分清已知、求证后，师生共同证明。 （2）复习导入法 复习导入法即所谓“温故而知新”，主要是利用新旧只是间的逻辑联系，即旧知识是新知识的基础， 新知识是旧知识的发展与延伸，从而找出新旧知识联接的交点，由旧知识的复习迁移到新知识的学习上 来导入新课。通过这种方法导入新课，可以淡化学生对新知识的陌生感，使学生迅速将新知识纳入原有 的知识结构中，能有效降低学生对新知识的认知难度。使用这种导入方法，教师一定要摸清学生原有的 知识水平；要精选复习、提问时新旧知识联系的“支点”。例如在学习勾股定理逆定理时，可先复习勾股 定理的内容，再求以线段a,b为直角三角形直角边求斜边c的长，再提出“以上述三边长为边的三角形是 什么样？”的问题，引出勾股定理逆定理。 （3）类比导入法 类比就是当两个对象都有某些相同或类似属性，而且已经了解其中一个对象的某些性质时，推测另 一个对象也有相同或类似性质的思维形式。所谓联想，就是由一事物想到与之相似的另一事物。采用类 比联想导入简洁明快，同时能高效地调动学生思维的积极性。 例如讲相似三角形性质时，可以与全等三角形性质类比。 （4）趣味导入法 趣味导入法就是把与课堂内容相关的趣味知识，如数学家的故事、数学典故、数学史、游戏、谜语 等传授给学生来导入新课。俄国教学学家乌申斯基认为：没有丝毫兴趣的强制性学习将会扼杀学生探求 真理的欲望。”美国著名心理学家布鲁诺也说过：“学习的最好刺激乃是对所学知识的兴趣。”趣味导入可 以避免平铺直叙之弊，可以创设引人入胜的学习情境，有利于学生从无意注意迅速过渡到有意注意。 例如讲一元二次方程根与系数关系时，可提出问题： 中公教育学员专用资料 9 报名专线：400-6300-999学员专用 请勿外泄 “方程3x2  x4  0的一个根为x 1，不解方 1 程求出另一根x，”，解决这个问题的学生感到困 难，教师给出答案。 c／a=-4／3，所以x2=-4／3÷（-1)=4／3，请同学 们验算。激发同学们兴趣。 6．【参考答案】 （1）问题1：方程(m2)xm 3mx10是关于x的一元二次方程，m的值为（ ）；若是关 于x的一元一次方程，m的值为（ ）。 师生活动：教师出示问题，学生独立思考、回答。为了帮助学生有逻辑的思考，可追问以下问题． 追问1：一元二次方程的一般式是什么？由此你能给出m需要满足的条件吗？ 追问2：一元一次方程的一般式是什么？m需要满足什么条件？ 追问 3：我们还学过哪种整式方程？写出一般式．比较你所学过的各种整式的方程，说明它们的未 知数个数与次数。 设计意图：学生要会辨析几种整式方程的概念，分析出符合定义的未知数的次数．通过此题引导学 生进一步理解一元二次方程的概念及一般式，回顾已学的其他整式的方程，加强知识的前后联系，帮助 学生建立有关方程的知识体系。 问题2解方程： x2  2x 1 25 ．你能给出哪些解法？你认为哪种解法最适合本方程？ 师生活动：教师出示问题，学生独立思考、解答、展示。教师反馈并提出以下问题。 追问1：一元二次方程有哪些解法？他们在什么情况下最适用？ 追问2：这几种解法之间有何联系？在基本思想上有何共同点？ 设计意图：本题主要复习一元二次方程的解法，通过比较不同的解法，体会如何根据方程特点选择 解法．方程左边可以写成完全平方式，所以可用配方法；也可将方程整理成一般式，用公式法；还可以 用因式分解法。让学生深入思考这几种解法之间的联系，体会配方法的重要意义以及“降次”的基本思想． （2）问题1：分解因式x2 120x 3456． 追问1：有的同学说可以通过十字相乘法分解，大家可以试试？你发现了什么？ 追问2：数字太大，需要试验多次，降低了我们的速度，还有其他的方法吗？ 问题2：化简 72 10 ． 追问1：注意观察这个二次根式，被开方数还是一个无理数，那么怎样才能化简呢？ 72 10 追问2：被开方数 怎样才能凑成一个数的平方呢？ 第五章 教学评价 【经典例题】 1.【参考答案】数学学习评价，既要关注学生数学知识与技能的理解和掌握，也要关注学生学习数 学的情感与态度；既要关注学生数学学习的结果，更要关注他们在学习数学过程中的变化和发展；另外 评价是与教学过程并行的同等重要的过程，评价提供的是学生强有力的信息，教师要及时给予学生指导 和反馈，促进学生改进.评价还应体现以人为本的思想，构建个体的发展.具体地说，对学生数学学习过程 评价应关注以下几个方面： （1）评价学生在学习过程中表现出来的对数学的认识、数学思想的感受、数学学习态度、动机和兴 趣等方面的变化，评价学生在学习过程中的自信心、勤奋、刻苦以及克服困难的毅力等意志品质方面的 中公教育学员专用资料 10 报名专线：400-6300-999学员专用 请勿外泄 变化.注重学生数学学习的积极情感和良好学习品质的形成过程. （2）评价学生能否理解并有条理地表达数学内容，是否积极主动地参与数学学习活动，是否愿意和 能够与同伴交流、与他人合作探究数学问题.注重学生参与数学学习，和同伴交流、合作的过程. （3）评价学生在学习过程中是否肯于思考、善于思考，能否不断反思自己的数学学习过程，并改进 学习方法.注重学生思考方法和思维习惯的养成过程. （4）评价学生从实际情境中抽象出来的数学知识以及应用数学知识解决问题的意识和能力.（举例 略.） 2.【参考答案】教师、家长、学生、社会；意义：（1）强调评价过程中主体间的双向选择，通过勾 通和协商，能够关注评价结果的认同问题。（2）通过加强自评、互评，能使评价成为教师、管理者、学 生、家长共同积极参与的交互活动。（3）增进双方的了解和理解，形成积极、友好、平等和民主的评价 关系，进而使评价者在评价过程能中有效地对被评价者的发展过程进行监控和指导，帮助被评价者认同 评价结果，最终促进其不断改进，获得发展。 第六章 数学案例分析 二、案例分析试题 【初中经典例题】 1.【参考答案】 （1）在导入过程运用了温故知新导入，优势是可以帮助学生复习已经学习过过的知识，从学习过的 知识过程当中找到前后联系，从而引出新课题，帮助学生快速进入课堂。 在新课教学过程中让学生通过动手操作画出反比例函数图象，但是在引导学生运用列表法的时候选 出的点不够有代表性，x 轴不能都是整数，可以随机的选取一部分分数，为下边讲解函数图象是一条光 滑的曲线做准备。 另外在此过程中利用现代教学手段，计算机演示是一种很好的教学方法，可以很直观的将函数图象 的动态画面展示给学生，方便学生建立数形结合的意识。 第三步，组织学生观察讨论曲线特点，根据选取图像中若干特殊点，总结在第一象限以及第三象限 的变化情况。 （2）反比例函数图象的特点是光滑的曲线，而不是折线，这是区别一次函数图象最大的特点，首先 我会请学生分小组讨论这个问题。如果反函数的图象的点是用折线连起来会是什么图形，用曲线连起来 会是什么图形。给学生 3 分钟时间讨论，在讨论的过程中我会给与学生提示，我们选取的点是有限的， 其实反比例函数的点是无数个的，为什么正多边形的边无限增多就变成了光滑的圆。讨论结束有小组代 表回答，鉴于这个问题有难度，在学生回答结束之后我会给予详细的讲解：反比例函数的图像可通过描 点法给出，折线是由若干直线组合而成，而直线必须对应一 个一次函数，显然反比例函数不能对应到一 次函数上，所以它不是折线，而是曲线。另外我们只是描了图像上少数的几个点，图像构架比较空，所 以自然地认为看起来应该用折线连，如果多描几个点，多到密密麻麻的情况，就会明白其实这个就和“正 多边形边数越多越接近圆，圆就是正多边形边数无限大时的情况”的道理是一样的。逐步提升学生有限 无限思想。 （3）在此环节我将组织学生通过选取若干特殊点进行比较，独立思索曲线的变化情况，并鼓励学生 大胆说出自己的想法，并给予鼓励，已达到锻炼学生从数学模型中抽象出数学结论的能力，对于数学图 像的变化得到初步的锻炼以及提升。 2．【参考答案】 中公教育学员专用资料 11 报名专线：400-6300-999学员专用 请勿外泄 （1）教师甲设计的典型例题具有开放性，诱发学生思考，符合新课标的要求“要关注学生的个体差 异，有效地实施有差异的教学，使每个学生都得到充分发展”，因此在习题课上设计开放性的例题，可以 满足不同学生的学习需求；具有探索性，根据新课标：“学生不仅能主动地获取知识，而且能不断丰富数 学活动经验，学会探索，学会学习”的要求，在习题课上给学生提供充分从事数学活动和探索问题的时间 和课件，促进学生数学知识和方法的掌握、巩固和提高。 教师乙设计的典型例题具有层次性，递进式的呈现，满足学生多样化的学习需求。设计的例题由易 到难，循序渐进，一步步引导学生将问题深化，发展思维能力。 （2）满足条件的线段DF有2条。 当F在BC边上时，DF与CE相交； 当F在AB边上时，DF⊥CE。 证明：∵四边形ABCD是正方形 ∴AD=CD，CDEDAF ∵DF=CE ∴ADF DCF ADF DCF DCECDF 900 ADF CED 900 即DF⊥CE。 （3）问题1：【教师甲】在边长为a的正方形ABCD中，E为线段AD边上延长线上一点，连CE， 在该正方形边的延长线上选取点F，连接DF，使DF=CE。请解答下面的问题。 （1）满足条件的线段DF有几条。 （2）根据（1）的结论，分别判断DF与CE的位置关系，并加以证明。 问题 2：【教师乙】如果 E、F 分别为 AD、AB 边延长线上的点，则 DF=CE 与 DF⊥CE 是否成立。 3．【参考答案】 （1）本次课为拓展课，针对的学生是兴趣班的学生。评析分为以下几点： ①该备课组所拟定的目标，目标主体正确，行为动词恰当。 ②就知识与技能目标而言，进一步理解参数含义符合拓展课的需求以及兴趣班的学情，而探索两个 函数图象的关系体现了本堂课的具体过程；就过程与方法目标而言，有过程却无明显的方法体现，这一 点上目标拟定有所不足。 ③三维目标还包括情感态度与价值观目标，尤其是兴趣班学生的拓展课，一定要体现出学生正确积 极的情感态度和价值观，而该备课组所拟定的目标在这一点上没有具体呈现。 （2）甲教师先出示了问题，之后给出了平行直线中，一次函数解析式中 k 值相等的结论．这样做 的设计思路是为了让学生直接对问题的结论有一个深刻的印象，产生一定的认知，再举出一些具体的实 例，让学生有的放矢的体会参数k的含义，这样也是对结论进行了巩固。但是这样的设计思路也有一些 不足，没有考虑到学生的自主性，对学生发现问题的能力培养上是有所欠缺的，启发性有些不足。 乙教师，在授课中并没有直接的给出参数k的含义，而是在学生动手实践、自主探索与合作交流的 基础上得到本节课的知识内容。先将学生分组，进一步合作画图归纳总结出答案，使课程内容不仅包括 了数学的结果，也包括了数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法，体现了学生是学习的主体，有利 于学生对于知识的学习和掌握。 4.【参考答案】（1）甲教师情境创设的优点在于运用学生熟悉的物理背景来进行情境导入，降低了 认知的难度。 中公教育学员专用资料 12 报名专线：400-6300-999学员专用 请勿外泄 缺点在于看似联系实际，其实脱离学生的现有认知水平，使学生的认知起点与数学逻辑起点失调， 无法引起学生的思维共鸣，使问题情境中隐含的数学问题与数学方法不能与教学目标相衔接，不能形成 学生原有认知水平及生活经验的正迁移。 （2）乙教师的教学过程存在优点也存在缺陷。优点是一开始复习了上节内容，进行了新旧知识间的 过渡，降低了学生对新知识的认知难度；采取了直接导入的方法，开门见山的介绍本节课题，引起学生 的注意，使学生迅速进入学习状态，对本节内容的基本轮廓有了大致了解；整个教学过程条理清楚、重 难点突出；最后进行巩固练习，加深了学生对新知识的识记和掌握。 缺点在于没有进行合适的情境创设，将知识全盘塞给学生，剥夺了学生研究问题的策略，无法激发 学生学习新知识的兴趣，学生只能机械地配合老师的教学，整个过程中，缺乏师生间的互动，忽略了学 生的主体地位。 （3）丙教师的教学过程存在优点也存在缺陷。优点是充分发挥了学生的主体地位，开放性问题激发 了学生自主探究的兴趣，有利于培养他们的独立思考能力和创新意识。 缺点在于首先教师没有给出学生自主探究的准备时间，没有提供丰富的自学素材；另外教师导入的 开放式问题并不能充分突出代数式这节的核心——“数”与“式”的区别；在探究过程中，教师没有科学合 理地发挥自己的主导作用，小结也显得过于潦草和模糊。 5.【参考答案】（1）知识与技能目标：理解零指数幂的意义，掌握𝑎(cid:2868) (cid:3404)1(cid:4666)𝑎 (cid:3405)0(cid:4667)。 过程与方法目标：通过观察、猜想、归纳，培养学生的逻辑推理能力。 情感态度与价值观目标：体会数学与生活的紧密联系，培养数学学习兴趣。 （2）因为𝑎(cid:3040)(cid:2878)(cid:3041) (cid:3404)𝑎(cid:3040)(cid:3401)𝑎(cid:3041)(cid:3435)𝑚，𝑛 ∈𝐙(cid:2878)(cid:3439)，𝑎(cid:2868) (cid:3404)1(cid:4666)𝑎 (cid:3405)0(cid:4667)。 所以当𝑚 (cid:3404)𝑛 (cid:3404)0时，则左边(cid:3404)𝑎(cid:3040)(cid:2878)(cid:3041) (cid:3404)𝑎(cid:2868) (cid:3404)1，右边(cid:3404)𝑎(cid:3040)(cid:3401)𝑎(cid:3041) (cid:3404)𝑎(cid:2868)(cid:3401)𝑎(cid:2868) (cid:3404)1，所以𝑎(cid:3040)(cid:2878)(cid:3041) (cid:3404)𝑎(cid:3040)(cid:3401)𝑎(cid:3041)； 当𝑚，𝑛中有一个等于0时，不妨设𝑚 (cid:3404)0，𝑛 (cid:3405)0， 则左边(cid:3404)𝑎(cid:3040)(cid:2878)(cid:3041) (cid:3404)𝑎(cid:2868)(cid:2878)(cid:3041) (cid:3404)𝑎(cid:3041)，右边(cid:3404)𝑎(cid:3040)(cid:3401)𝑎(cid:3041) (cid:3404)𝑎(cid:2868)(cid:3401)𝑎(cid:3041) (cid:3404)𝑎(cid:3041)，所以𝑎(cid:3040)(cid:2878)(cid:3041) (cid:3404)𝑎(cid:3040)(cid:3401)𝑎(cid:3041)， 综上，对于任意的自然数有𝑎(cid:3040)(cid:2878)(cid:3041) (cid:3404)𝑎(cid:3040)(cid:3401)𝑎(cid:3041) （3）①遵循抽象与具体相结合的原则，通过生活实例抽象出数学规律； ②遵循严谨与量力性相结合的原则，根据课程特点选择适当教学方式，符合学生的认知规律； ③利用发现式教学模式，注重知识的发生发展过程； ④引导学生自己发现问题，主动获取知识。 6【. 参考答案】（1）该同学在开平方3x12这一步出现了错误，原因是对平方根的概念没有掌握。 1 其次在最后得出根x  这一步也出现了错误，原因是对一元二次方程根的个数及写法没有掌握。 3 （2）师：32 ? (3)2 ？ 生：9 师：根据平方根的定义，9的平方根为多少？ 生：3 师：a(a 0)的平方根为多少？ 生：当a＞0时，平方根有两个 a 当a0时，平方根为0 （由数字到字母，由具体到抽象，让学生理解平方根的概念及掌握开平方运算） 师：x2 16，x ? 生：4 师：本题中(3x1)2 40，开平方那一步怎么运算，可以得到几个答案，也就是有几个根？ 中公教育学员专用资料 13 报名专线：400-6300-999学员专用 请勿外泄 生：3x12或3x12，可以得到两个答案，本题有两个不相等的实数根。 师：(2x3)2 160这个题目写出完整的步骤 生：解： (2x3)2 16  0 移项 (2x3)2 16 开平方 2x3  4或2x 3  4 移项 2x 1或2x  7 1 7 所以方程的两根 x  ，x   1 2 2 2 师：非常好。步骤也很完整。以后注意细节，继续努力。 （由易到难，由浅入深，让学生能运用开方法解方程） 在整个辅导教学片段中，通过师生问答形式，根据学生已有的知识提出问题，启发学生反思自己做 题中的错误以及错误的原因所在，帮助学生真正领悟开方法解方程的正确解题方法，并通过巩固练习的 方式，一步一步，由易到难，由具体到抽象促进能力的提高。 （3）①公式法： 解：(3x1)2 4  0 3x2 2x1 0 a 3，b  2，c  1 △b2 4ac 16＞0 方程有两个不相等的实 数根 b b2 4ac 24 x   2a 6 1 即：x  1，x  1 2 3 ②因式分解法： 解：(3x1)2 40 因式分解得：(3x3)(3x1)0 于是得：3x30或3x10 1 x 1，x  1 2 3 7.【参考答案】（1）知识与技能目标：理解函数图像表示的意义； 过程与方法目标：通过观察图像，提高学生分析图像，提出问题，解决问题的能力和语言表达能力； 情感态度与价值观目标：体会函数是刻画现实世界中的一类运动变化规律的模型，使学生养成运用 无限运动、发展、变化的观点认识客观世界的思维习惯. （2）该教师在课堂教学中是一个组织者。 如果我是该教师，会这么做：诚恳的跟学生说：“老师一时也没想到，要不咱们比一比，看谁先想 到？”课堂上，表扬小洁具有勇于质疑、勤于思考的精神，并与同学们一起分享。 （3）存在。吃过晚饭，小洁从家出发20分钟后，沿着以他家为圆心，800米为半径的圆形道路上 散步，走了10分钟，又经过 30分钟到家。因为在圆周上的点到圆心的距离处处相等，所以沿着圆周既 可以运动也可以静止，既可以前进又可以来回走动，既可以原路返回又可以从别的路返回。 中公教育学员专用资料 14 报名专线：400-6300-999