文档内容
模块四 三角函数与解三角形（测试）
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．△ABC的三个内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，若 ， ，则 ＝
（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】B
【解析】由正弦定理得 ，所以 .
故选：B
2．南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一.如图，某人准备测量双子塔中其中一
座的高度（两座双子塔的高度相同），在地面上选择了一座高为 的大楼 ，在大楼顶部 处测得双子
塔顶部 的仰角为 ，底部 的俯角为 ，则双子塔的高度为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得 ， ， ，
则在 中， ，即 ，
在 中， ，
由正弦定理得 ，即 ，
所以 .
故选：D.
3．在 中，若 ，则角 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由正弦定理可知， 可化为 ，
又 ，则 ，即 ，
再根据正弦定理可知， ，
又 ，即 ，则 ，
又 ，所以 .
故选：D.
4．在 中， ，则 的面积为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由余弦定理得 ，
由 两边平方得 ，
所以 ，所以 .
故选：C
5．在 中，若 ，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】因为 ，由正弦定理可得 ，即 ，
所以 ，可得 或 ，
所以 或 ，所以 的形状为等腰或直角三角形.
故选：D．
6．在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 ，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】
,
故选：B．
7．已知在锐角 中， ，点 在边 上，若 ，
则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，由正弦定理可得 ，
解得 ，因为 ，故 .
而 ，
故 ，则 ，
解得 .
故选：D
8．已知 是锐角三角形，角 所对的边分别为 为 的面积， ，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，
得 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 ，
由正弦定理得 ，
由 ，得 ，
所以 ，所以 ，所以 .
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．在△ 中，内角 所对边分别为 ，若 ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】因为 ，由正弦定理可得 ，
所以 ，即 ，故A正确；
由余弦定理 ，即 ，
又 ，所以 ，即 ，故B错误；
因为 ，由正弦定理可得 ，
所以 ，故C正确；
因为 ， ，所以
，故D正确.
故选：ACD
10．在 中，D在线段 上，且 ， ，若 ， ，则（ ）A． B． 的面积为
C． 为锐角三角形 D． 的周长为
【答案】ABD
【解析】A选项，设 ，则 ，
由余弦定理得 ，
解得 ，负值舍去，故 ，
由正弦定理得 ，
其中 ，
故 ，解得 ，A正确；
B选项， ，
，B正确；
C选项，由于 ，故 为锐角，
又 ，故 ，故 ，
在 中，由余弦定理得
，
故 ，
因为 ，故在 中，最大角为 ，由余弦定理得 ，
故 为钝角，C错误；
D选项， 的周长为 ，D正确.
故选：ABD
11．在 中，内角 所对的边分别为 ，若 成等差数列， ， 是 中点，则
下面正确的是（ ）
A． 面积的最大值为 B． 周长的最大值为
C．中线 长度的最大值为 D．若 为锐角，则
【答案】BCD
【解析】由 成等差数列，可得 ，因为 ，所以 ，
又由余弦定理得 ，可得 ，
对于A中，由 ，所以 ，
所以 面积的最大值为 ，
当且仅当 时，等号成立，所以A不正确；
对于B中，由 ，
可得 ，所以 ，所以 周长的最大值为 ，
当且仅当 时，等号成立，所以B正确；
对于C中，因为 ，可得
又因为 是 中点，可得 ，
则 ，所以 ，即中线 长度的最大值为 ，
当且仅当 时等号成立，所以C正确；
对于D中，设 的外接圆的半径为 ，可得 ，
由正弦定理 ，可得 ，
因为 ，可得 ，则 ，
所以，当 为锐角时，可得 ，所以D正确.
故选：BCD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．在 中，已知 ，则 的值为 .
【答案】 /0.625
【解析】在 中，由正弦定理得 ，而 ，
因此 ，即 ，所以 .
故答案为：
13．将一副三角板按如图所示的位置拼接：含30°角的三角板（ ）的长直角边与含45°角的三角板（
）的斜边恰好重合. 与 相交于点 ，若 ，则 .
【答案】
【解析】由题可知 ，设 ，则 ， ，
由余弦定理 ，
则 ，
解得 ，∴ ， ，
则 ， ， .
由 可得： ，
则 ，解得 ，
则 ，所以 .
故答案为：
14．拿破仑是法国伟大的军事家､政治家，对数学也很有兴趣，他发现并证明了著名的拿破仑定理：“以
任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心恰为另一个等边三角形的
顶点”.在 中，以 为边向外构造的三个等边三角 它们的中心依次为 .
若 ，则 的面积为 .
【答案】 /
【解析】由 ，而 ，
所以 ，
由题意 ，故 ，
所以 三点共线，则 ，故等边三角形 的面积 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知 中，角 的对边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 .
【解析】（1）因为 ，即 ，
所以 ，
又 ，所以 .
（2）因为 的面积为 ， ，
所以 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，即 ，
化简得 ，解得 ，
又 ，所以 .
16．（15分）在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， ， ．
(1)求角 ；
(2)若 是线段 的中点，且 ，求 ；
(3)若 为锐角三角形，求 的周长的取值范围．
【解析】（1）由题及正弦定理可知： ，
，
又 ， ，
， ，
， .
（2）由（1）及余弦定理得： ，即 ，①
又因为 ，则 ，
所以 ，②
由 得： ，
所以 ．
（3）由（1）得 ，则 ，即 ，
由正弦定理可知 ， ，
所以 ．
因为 为锐角三角形，所以 ， ，即 ， ，则 ，即 ，
则 ，故 的周长的取值范围为 ．
17．（15分）
已知在钝角 中，角 所对的边长分别为 ， ，且 为正整数.
(1)求边长 ；
(2)已知 ，求 .
【解析】（1） 为钝角三角形，
又 角 为钝角，
，
，
三角形的任意两边之和大于第三边，
，即 ，即 ，
为正整数， .
（2）由（1）知： ，
，
，
在 中， ，在 中， ，即 ，解得 .
18．（17分）
设 的内角 ， ， 所对的边分别为 ，且 .
(1)求
(2)若 ，求 的周长;
(3)如图，点 是 外一点，设 ，且 ，记 的面积 ，求 关
于 的关系式，并求 的取值范围.
【解析】（1）由正弦定理可知， ，
所以 ，
所以 ，即 .
由余弦定理 ，所以 .
（2）因为 ，所以等号两边同时平方可得， .
又由（1）知 ，所以 ，即 ，所以 ，
所以 的周长为 .
（3）由正弦定理可得， ，即 ，，即 .
因为四边形 的内角和为 ，且 ，所以 ，
所以 .
，记 ，
令 ，
则 .
因为在 中 ，所以 ，所以 ，
所以当 时， 单调递增.
当 ，即 时， ；当 ，即 时， ，
则 ，所以 .
19．（17分）
法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点
距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：
①当 的三个内角均小于 时，满足 的点 为费马点；
②当 有一个内角大于或等于 时，最大内角的顶点为费马点.
请用以上知识解决下面的问题：已知 的内角 所对的边分别为 ，点 为 的费
马点，且
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积；(3)若 ，求实数 的最小值.
【解析】（1）由 ，
得 ，
得 ，
得 ，
得 ，即 ，
所以 为直角三角形， .
（2）由（1）知 ，所以 的三个角都小于 ，
因为点 为 的费马点，
所以 ，设 ，
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
因为 ，
所以 ，解得 ，
由 ，
得.
（3）由（2）知 .
设 ，
由 得 .
由余弦定理得：
在 中， ，
在 中， ，
在 中， ，
因为 ，所以 ，
整理得 .
因为 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，整理得 ，
解得 或者 （舍去），
所以实数 的最小值为 .
