文档内容
模块六 立体几何与空间向量
（测试）
(考试时间：120分钟 试卷满分：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知直线 和平面 ，且 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】若 ， ，则 或 或直线 和平面 相交（包含 ），充分性不成立；
若 ， ，则 ，必要性成立.
所以 ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
2．如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水， ，图1中水面高度恰好为棱台高度
的 ，图2中水面高度为棱台高度的 ，若图1和图2中纯净水的体积分别为 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设四棱台的高度为 ，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长
为6，
则 ，
所以 .
故选：D.
3．如图，一个圆柱形容器中装有某种液体，固定容器在墙面和地面的角落内，容器与地面所成的角为 ，
液面呈椭圆形，椭圆长轴上的顶点 到容器底部的距离分别是10和22，则容器内液体的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图为圆柱的截面图，过 作容器壁的垂线，垂足为 ，因为 平行于地面，故 ，
椭圆长轴上的顶点 ， 到容器底部的距离分别是10和22，
故 ，
在 中， ，即圆柱的底面半径为 ，
所以容器内液体的体积等于一个底面半径为 ，高为(22+10)的圆柱体积的一半，
即为 .
故选：C
4．已知A，B，C三点不共线，点O不在平面ABC内， ，若A，B，C，D
四点共面，则 的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【解析】由 及A，B，C，D四点共面得： ，
即 ，又 ， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
故选：B
5．已知圆锥 的轴截面 是边长为2的正三角形．若 为圆锥侧面上的动点，点 平面 ，
，则三棱锥 体积的最大值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意，点 在圆锥的中截面圆上，它到平面 距离的最大值即为该截面圆半径 ，
而 的面积 ，
所以三棱锥 体积的最大值为 .
故选：C
6．如图，四棱柱 中，四边形 为平行四边形， 分别在线段 上，且
在 上且平面 平面 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】延长 交 于点 ，连接 ，
则 ∽ ，因为 ，所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 平面 ，
所以 ，又四边形 为平行四边形，
所以 ∽ ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 .
故选：B
7．已知正方体 的棱长为2，点 为棱 的中点，则平面 截该正方体的内切球所
得截面面积为（ ）
A． B． C．π D．
【答案】A
【解析】球心 为正方体中心，半径 ，
法一：连接 ，相交于点 ，点 为 的中点，连接 ，可得 ，因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ， 在 上，
则 到平面 的距离等于点 到平面 的距离，设为 ，
， ，
由 平面 、 得： ，
则截面圆半径 ，
所以截面面积 ；
法二：以 为原点， 为 轴建立空间直角坐标系，如图，
则 ， ，A(2,0,0)， ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为⃗n=(x,y,z)，，令 ，则 ，
所以 ，
则 到平面 的距离 ，
截面圆半径 ，所以截面面积 .
故选：A．
8．已知正方体 ，E，F，G分别为棱AB， ， 的中点，若平面EFG截该正方体的
截面面积为 ，点P为平面EFG上动点，则使 的点P轨迹的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意截面EGF则为正六边形，如图所示，
由截面面积为 及三角形面积公式可得 ，解得 ，∴正方体的棱长 .
因为 截面EFG，O为 的中点，也是截面EFG的中心，且 ，
，即 ，解得 .∴使得 的点P的轨迹是以O为圆心，半径为 的圆，所以轨迹长度为 .
故选：C.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
A B C D
9．在四棱柱 中， ， ， 为底面 1 1 1 1
的中心，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对于选项A， ，正确；
对于选项B， ，错误；
对于选项C， ，错误；
对于选项D，易得 为正三角形，
故 ，正确；
故选：AD．
10．如图，已知正方体 的棱长为2，则下列说法正确的是（ ）
A．B． 平面
C．直线 与平面 所成的角为
D．点 与平面 的距离为
【答案】ABD
【解析】A选项，以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，
，
故 ，
故 ，所以 ，
故 ，A正确；
B选项，因为 ， ，所以四边形 为平行四边形，
故 ，
又 平面 ， 平面 ，故 平面 ，B正确；
C选项，平面 的一个法向量为 ，
又 ，故设直线 与平面 所成的角大小为 ，
则 ，
故直线 与平面 所成的角不为 ，C错误；
D选项， ，
则 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，
令 ，则 ，故 ，
故点 与平面 的距离为 ，D正确.
故选：ABD
11．已知圆台 上、下底面半径分别为1，4，半径为 的球 内切于圆台，则（ ）
A．
B．圆台侧面展开图扇环的圆心角为
C．过 的截面与底面所成角为60°时， 到截面距离为D．在圆台内放一正方体，正方体可绕其中心自由转动，则该正方体棱长的最大值为
【答案】ABD
【解析】对A，圆台 上、下底面半径分别为1，4，
，
则半径为 的球 内切于圆台，所以 ，故A正确；
对B，由A母线长为5，设圆台侧面展开图扇环的圆心角为 ，则根据扇形弧长 ，所
以 ，故B正确；
对C，过 的截面与底面所成角为60°时， 圆面 ，
所以 ， 到截面距离为 ，故C错误；
对D，由题意A，圆台中能放下的最大球的半径为 ，直径为 ，
故在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体为该球的内接正方体，棱长为 ，故D正
确；
故选：ABD
第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知正四棱台上底面边长为 ，下底面边长为 ，侧棱与底面所成角为45°，则该正四棱台的体积
为 .
【答案】
【解析】
如图，点 分别为上下底面的中心，连接 ，
在正四棱台中，有 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ，
在平面 内，过点 作 于点 ，又平面 平面 ，所以 平面
，
所以 是 在平面 上的射影，所以 是直线 与平面 所成角的平面角，
又侧棱与底面所成角为45°，所以 ，
因为上底面边长为 ，下底面边长为 ，所以 ， ，
则 ， ，所以 ，则四棱台的高为 ，
所以该正四棱台的体积为 .
故答案为： .
13．如图，装有水的正方体无盖容器放在水平桌面上，此时水面为 ，已知 ．为了将
容器中的水倒出，以 为轴向右倾斜容器，使得水能从容器中倒出，当水刚好能从容器中倒出时，水面
距离桌面的高度为 ．【答案】
【解析】如图，平面 与水面的夹角为 ，
则平面 与水平桌面的夹角为 ．
由题意可得三棱柱 的体积为 ，
所以 ，解得 ，
所以 ．
水面距离桌面的高度为 ．
故答案为： .
14．棱长为1的正方体 中，点 在棱 上运动，点 在侧面 上运动，满足
平面 ，则线段 的最小值为 .【答案】
【解析】以 为坐标原点， 分别为 轴，建立空间直角坐标系，如图，
则 ，设 ， ，
所以 ，
，
因为 平面 ，
所以 ，
故 ，
，故 ，
其中 ，
故 ，故当 时， ，此时 满足要求，
所以线段PQ的最小值为 .
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
如图，在棱长为2的正方体 中， 、 分别是 、 的中点， 是 的中点.
(1)判断 、 、 、 四点是否共面（结论不要求证明）；
(2)证明： 平面 ；
(3)求异面直线 与 所成角的余弦值.
【解析】（1） 、 、 三个不共线的点确定平面 ，显然 平面 ，
所以 、 、 、 四点不共面. （3分）
（2）如图，以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴，建立如图空间直角坐标系，则 ， ，故
又平面 的法向量为
所以 ，故 .
又 平面 ，故 平面 . （8分）
（3）由（2）可知 ，
又 ， ，故 ，
所以 ，
故异面直线 与 所成角的余弦值为 . （13分）
16．（15分）
如图，四棱锥 中，底面 为正方形，平面 平面 ，且 ，
点 在线段 上， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．【解析】（1）设 ，则 ，取 中点 ， 中点为 ，
则 ，平面 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，所以 平面 ，
而 ，所以 ，
则以 所在的直线分别为 轴，建立空间直角坐标系，（3分）
则
因 ,则 ，
于是， ，
则 ，
即 平面 ，
所以 平面 ；（7分）
（2） ,
设 是平面 的一个法向量，
则 令 ，则 ，（9分）
设 是平面 的一个法向量，则 令 ，则 ，（12分）
设平面 与平面 的夹角为 ，
，
平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为 . （15分）
17．（15分）
如图，在平行六面体 中， ， 且 ，设 与
的交于点 .
(1)证明: 平面 ；
(2)若 ，且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【解析】（1）因为底面 为平行四边形，且 ，
所以 为菱形，所以 .
又 ， ， 平面 ，且 ，
所以 平面 .
因为 平面 ，所以 . （3分）
在 和 中：
（ ）.
所以 .又 为 中点，所以 .
又 ， 平面 ，且 ，
所以 平面 . （6分）
（2）由（1）可知， ， ， 两两垂直，所以以 为原点，建立如图空间直角坐标系：
因为 ， ， ，
所以 ， ， .
所以 ， ， ， .
所以 ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则 ，（10分）
取 ，得 .
所以 ， ， .
设直线 与平面 所成的角为 ，
则 . （15分）
18．（17分）
在空间直角坐标系 中，点 分别在 轴上.(1)证明： 是锐角三角形；
(2)已知 .
①求 面积的最大值；
②设二面角 的大小分别为 ，证明：
.
【解析】（1）设点 ，
则 ，
在 中，由余弦定理，
，
所以A是锐角，同理B、C也是锐角，故 是锐角三角形，命题得证；（4分）
（2）①仍采用（1）中的设点，且不妨设 ，由题意， ，
由（1）， ，
则 ，
，
不妨设 是 中最小的数，则 ，由基本不等式，，（5分）
令 ，
则 ，
令 ，
解得 或 （舍去）或 （舍去），（7分）
故当 时， ，
当 时， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ，所以 ，
所以 ，
故 ，即 面积的最大值为 ．（9分）
②仍采用①中的设点，
先求 ：显然平面BCO的一个法向量 ，
设平面ABC的一个法向量 ，
又 ，则 ，令 ，解得 ，故 ，
，
同理得 ， ，（13分）
故有 ，
要证 ，即等价于证：
------ ．
①
事实上，有 ，
即 ，
则①式得证，故 ，
取等当且仅当 ，命题得证．（17分）
19．（17分）
如图所示，用一个不平行于圆柱底面的平面截该圆柱所得的截面为椭圆面，得到的几何体称之为“斜
截圆柱”．图一与图二是完全相同的“斜截圆柱”， 是底面圆 的直径， ，椭圆所在平
面垂直于平面 ，且与底面所成的二面角的大小为 ．在图一中， 是椭圆上的动点，点 在底面
上的投影为点 ．在图二中，椭圆上的点 在底面上的投影分别为点 ，且点 均在直径
的同一侧．(1)当 时，求 的长度．
(2)（i）在图二中，当 时，若点 ， ， ， 将半圆均分成7等份，求
；
（ii）证明： ．
【解析】（1）如图1，取 的中点 ，过点 作与该斜截圆柱的底面平行的平面，交 于点 ，
交 的延长线于点 ，与 交于点 ．
因为 ， ，所以 ， ．
过点 作 的垂线，交圆 于 ， 两点，过点 作 交 于点 ，又 圆面 ，
圆面 ，所以 ． （4分）
又因为 ，所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ，所以 为椭圆面与圆 所在平面的夹角，即为椭圆面与底
面所成的角，所以 ，则 为等腰直角三角形， ．设 ，如图2，作圆 所在平面的俯视图，则 ，
由 ， ，得 ，则 ，得 ，
所以 ，当 时， ．（7分）
（2）（i）当 时， ，则 ， ， ，则
． （9分）
（ii）由（1）知 ，即 是关于 的函数，即将斜截圆柱的侧面沿着 展开，其椭圆面
的轮廓线即为函数 的图象，如图3所示．如图4，将 ， ， ， ， 绘制于函数 的图象上，并以 ，
为边作矩形，则矩形的面积即为 ，所以
即为这些矩形的面积之和． （12分）
而两个该斜截圆柱可拼成一个底面半径为1，高为4的圆柱，因此该斜截圆柱的侧面积为 ，
所以函数 图象与坐标轴围成的图形的面积为 ． （15分）
又因为无论点 是否均匀分布在半圆弧 上，这些矩形的面积之和都小于函数
图象与坐标轴围成的图形的面积，所以
，得证. （17分）
