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训练 5 函数的性质
一、单项选择题
1．(2023·扬州模拟)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是( )
A．y＝－ B．y＝x－sin x
C．y＝tan x D．y＝x3－x
答案 B
解析 y＝－是奇函数，但在整个定义域内不是增函数，故A错误；
y＝x－sin x，因为y′＝1－cos x≥0，x∈R，
所以在定义域上是增函数且是奇函数，故B正确；
y＝tan x在定义域上是奇函数但不是单调函数，故C错误；
y＝x3－x在R上是奇函数但不是单调函数，故D错误．
2．函数f(x)＝的部分图象大致为( )
答案 B
解析 f(－x)＝＝－f(x)，故f(x)为奇函数，排除D；
f(1)＝0，排除A；
当0sin x，
故有f(x)<0，排除C.
3．(2023·大连模拟)已知函数f(x)＝sin x－ax，对于任意实数x ，x ，且x≠x ，都有<0，则
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a的取值范围为( )
A．a≤－1 B．a>1
C．a<－1 D．a≥1
答案 D解析 由题意知，f(x)在定义域内单调递减，
∴f′(x)＝cos x－a≤0在x∈R上恒成立，即cos x≤a在x∈R上恒成立，
∴a≥1.
4．(2023·保定模拟)已知奇函数f(x)的定义域为[－3,3]，若对任意的x，x∈[0,3]，当xx－x恒成立，则满足不等式af(a)＋(3－a)f(a－3)<6a－9的a的取值范围为(
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)
A. B.
C. D.
答案 C
解析 令函数g(x)＝xf(x)－x2，x∈[－3,3]．
因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，
g(－x)＝－xf(－x)－(－x)2＝xf(x)－x2
＝g(x)，所以g(x)为偶函数．
因为对任意的x，x∈[0,3]，当xx－x恒成立，
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即xf(x)－x>xf(x)－x恒成立，
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即g(x)>g(x)，
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所以g(x)在[0,3]上单调递减，
所以g(x)在[－3,0]上单调递增．
又因为af(a)＋(3－a)f(a－3)<6a－9，
所以af(a)－a2<(a－3)f(a－3)－(a－3)2，
即g(a)0，若f(2)＝4，则不等式f(x)－>0的解集为______________．
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答案 (－2,0)∪(2，＋∞)
解析 令F(x)＝xf(x)，由f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，
可得F(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，由对任意的x，x∈(0，＋∞)，x≠x，满足>0，
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可得F(x)＝xf(x)在(0，＋∞)上单调递增，
由f(2)＝4，可得F(2)＝8，
所以F(x)在(－∞，0)上单调递减，且F(－2)＝8，
不等式f(x)－>0，即为>0，
即>0，
可得或
即或
解得x>2或－2>，可得－1
