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专题27.2相似三角形
一、知识点梳理
要点一、相似三角形
1. 相似三角形的判定:
判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.
判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.
判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.
要点诠释：
此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，
判断的结果可能是错误的.
判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.
要点诠释：
要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个
锐角对应相等，那么这两个三角形相似.
2. 相似三角形的性质：
（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；
（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；
相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.
(3) 相似三角形周长的比等于相似比；
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
要点二、相似三角形的应用
1.测量高度
测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.
要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：
平面镜测量法 影子测量法 标杆测量法
2.测量距离
测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。
1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.
2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.
要点诠释：
1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;
2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高
的比;
3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;
4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．
常见模型：二、题型总结
【题型1相似三角形的判定】
【例1】．如图，D是 边 上一点，添加一个条件后，仍无法判定 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据公共角 ，再分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可．
【详解】∵
A、当 时，再由 ，可得出 ，故选项A不合题意；B、当 时，再由 ，可得出 ，故选项B不合题意；
C、当 时， 不是夹角，所以无法得出 ，故选项C符合题意；
D、当 时，即 ，再由 ，故选项D不合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握判定方法是解题关键．
【变式1-1】．如图，已知 ，那么添加一个条件后，仍不能判定 与 相似的是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据已知条件 得到 结合相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后
答案．
【详解】解： ，
添加A选项后，两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；故A不符合题意；
添加B选项后，两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；故B不符合题意；
选项C中不是夹这个角的两边，所以不相似；故C符合题意；
添加D选项后，两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；故D不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法：如果两个三角形的两条
对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似；
如果两个三角形的三条对应边成比例，那么这两个三角形相似．
【变式1-2】．如图，点B、C在线段 上，且 ， ， 是边长为6的等边三角形．
求证： ．
【答案】见解析
【分析】根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明 ．【详解】证明： 是边长为6的等边三角形，
， ，
，
又 ， ，
， ，
，
．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．
【变式1-3】．如图所示，在 的正方形方格中， 和 的顶点都在边长为 的小正方形的顶点上．
(1)填空： ______， ______；
(2)判断 与 是否相似？并证明你的结论．
【答案】(1) ；
(2) ，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出 的度数，利用勾股定理即可求出线段 的长；
（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明 与 相似．
【详解】（1）解： ，
；
故答案为 ； ；
（2）解： ．
证明： 在 的正方形方格中，
， ，
．
， ， ，， ．
∴
．
【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两
个三角形角和角，边和边的关系．
【题型2 相似三角形的性质】
【例2】．若 ，其相似比为 ，则 与 的面积比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】相似三角形的对应边之比、周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方．
【详解】解： 且相似比为
故选：C
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解决本题的关键．
【变式2-1】．两相似三角形对应高的比为 ，那么这两个三角形的周长比为______．
【答案】
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，周长的比等于相似比解答．
【详解】解： 对应高之比为 ，
相似比为 ，
对应周长之比为 ，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，周长的比等于相似比．
【变式2-2】．已知 与 相似，且 与 的面积比为 ，若 的周长为16，那么 的周
长等于________．
【答案】8
【分析】根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方先求出 与 的相似比，然后根据相似三角形的周长
的比等于相似比解答即可．
【详解】解：∵相似三角形 与 面积的比为 ，
∴它们的相似比为 ，
∴ 与 的周长比为 ，∵ 的周长为16，
∴ 的周长等于8，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了相似三角形面积的比等于相似比的平方，周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关
键．
【变式2-3】．如图，已知 和 的相似比是 ，且 的面积是1，求四边形 的面积．
【答案】3
【分析】先根据相似比求出面积比，从而求出 的面积，最后根据 求解即可．
【详解】解： 和 的相似比是 ，且 的面积是1，
．
．
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方．
【题型3 相似三角形的性质与判定综合】
【例3】．如图，在 和 中， ．
(1)求证： ；
(2)若 ，求
【答案】(1)见解析
(2)9【分析】（1）根据 ，可得 ，再由 ，可证得 ；
（2）由 ，可得 ，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，
∴ ，即 ，
∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
【变式3-1】．如图， 中， 是直角，过斜边中点 而垂直于斜边 的直线交 的延长线于 ，交
于 ，连接 .
求证：
(1) ；
(2) .
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据 ， ，判定 ；（2）根据 ，得到 ，根据 ，得到 ，结合 ，推出
，得到 ，得到 ．
【详解】（1）∵ 是直角， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴ ，
∵点 为直角 斜边的中点，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
∴ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，相似三角形等，解决问题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的
中线的性质，相似三角形的判定和性质．
【变式3-2】．如图，在 中，D，E分别是 上的点， ， ， ．
(1)求证： ；
(2)求 的长．
【答案】(1)见解析
(2) 的长为5【分析】（1）根据 ，又 ，可证明 ；
（2）根据相似三角形的性质，列出比例式，代入数值，即可求解．
【详解】（1）证明：∵ ，又 ，
∴ ；
（2）解：由（1）得： ，
，
即 ，
解得： ，
答： 的长为5．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形对应边长成比例是解决问题的关键．
【变式3-3】．如图，在正方形 中， 为边 的中点，点 在边 上，且 ，延长 交 的延
长线于点 ．
(1)求证： ∽ ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】 由正方形的性质与已知得出 ，证出 ，即可得出结论；
由 ， 为 的中点，得出 ，由勾股定理得出 ，由 ，得出
，可求得 的长度，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明： 四边形 为正方形，且 ，
，
， ，
，
∴ ；（2）解： ， 为 的中点，
．
在 中， ，
由 知， ，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定得出比
例式是解题的关键．
【题型4 相似三角形的应用】
【例4】．如图，小益利用标杆 测量旗杆 的高度，测得小益的身高 米，标杆 米， 米，
米，则旗杆 的高度是______米．
【答案】
【分析】先求出 米， 米，再根据 ，得到 ，即可得到旗杆 的高度．
【详解】解：如图，
米， 米， 米，
米， 米，
，
，，
，
米，
米，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握用相似三角形的相似比求物体高度是解题关键．
【变式4-1】．数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，把镜子放在离树 的点E处，然后沿着直线 后退到
点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，在用尺子量的 ，观察者目高 ，求树高 为______m．
【答案】4.5
【分析】先证明 ，得出 ，然后代入数据求值即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即 ，解得： ．
故答案为：4.5．【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是证明 ．
【变式4-2】．如图，小明家楼房旁立了一根长4米的竹竿 ，小明在测量竹竿的影子长度时，发现影子不全落在地
面上，有一部分落在楼房的墙壁上，小明测出它落在地面上的影子 长为2米，落在墙壁上的影子 长为1米，
此时，小明想把竹竿移动位置，使其影子刚好不落在墙壁上．试问，小明应把竹竿移到什么位置？（要求竹竿移动的
距离尽可能小）
【答案】向左移动 米
【分析】连接 并延长，交 的延长线于点 ，利用 得到 计算即可．
【详解】解：如图，连接 并延长，交 的延长线于点 ．
， ， ，
，
．
，即 ，
解得 ．
小明应把竹竿向左移动 米．
【点睛】本题主要考查相似三角形的应用，能够熟练运用相似三角形的性质是解题关键．
【变式4-3】．甲乙两位同学利用灯光下的影子来测量一路灯A的高度，如图，当甲走到点C处时，乙测得甲直立身
高CD与其影子长CE正好相等，接着甲沿BC方向继续向前走，走到点E处时，甲直立身高EF与影子恰好是线段
EG，并测得EG=2.5m，已知甲直立时的身高为1.5m，求路灯的高AB的长.【答案】3.75m
【分析】根据 ， ， ，得到 ，从而得到△ABN∽△ACD，利用相似三角形对
应边的比相等列出比例式求解即可．
【详解】解：如图，设AB= x，
由题意知 ， ， ，CD=CE，
∴ ，∠CED=45°，
∴BE=AB=x，
∴△ABG∽△FEG，
∴ ，即 ，
∴x=3.75m
答：路灯高AB约为3.75m．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，理解题意，运用相似三角形的性质
得出关系式是解题关键．
【题型5 与相似有关的动点问题】
【例5】．如图，在 中， ，点M从点A开始沿 边向点C以 的速度运动，点N从点C开始沿
边向点B以 的速度运动，当点M到达点C时，点M，N同时停止运动．若 ， 的长是
的两根（其中 ，单位： ）．
(1)求 ， 的长；
(2)如果点M，N分别从点A，C同时出发，那么几秒后， 的面积为 ？(3)如果点M，N分别从点A，C同时出发， 是否能和 相似？如果能，请求出运动的时间；如果不能，请
说明理由．
【答案】(1) ，
(2) 或者
(3)能， 或
【分析】（1）根据一元二次方程的十字相乘法即可计算出两个根；
（2）利用 即可算出；
（3）利用三角形的相似比即可算出；
【详解】（1）解： ，
解得 ， ．
，
， ．
（2）当运动时间为 秒时， ， ，
依题意，得 ，
整理得 ，
解得 ， ，两者均符合要求．
答：点M，N分别从点A，C同时出发，那么1秒或5秒后， 的面积为 ．
（3）设运动 秒时， 和 相似， ， ，
，可以分2种情况，
①若 ，此时 ，即 ，
解得 ；
②若 ，此时 ，即 ，
解得 ．
答：运动 或 时， 和 相似．【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质和解一元二次方程，解题的关键是灵活运用所学的知识．
【变式5-1】．如图，在平面直角坐标系内，已知点 ，点 ．动点 从点 开始，在线段 上以每秒 个
单位长度的速度向点 移动，同时动点 从点 开始，在线段 上以每秒 个单位长度的速度向点 移动，设点
移动的时间为 ．
(1)求出 的长度；
(2)用含有 的式子表示 和 ；
(3)当 为何值时， 与 相似？
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）根据勾股定理进行解答即可；
（2）利用题意得出 即可；
（3）由 得 ，①当 时， ，②当 时，
利用其对应边成比例，得出方程，解方程即可求得 的值
【详解】（1）解：因为点 、点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
（2）设点 移动的时间为 ，依题意， ，
（3）依题意， ， ，，则 ，
①当 时， ，
∴ ，
即 ，
解得： ，
②当 时， ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
综上所述， 或 时 与 相似．
【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
【变式5-2】．如图， 中， ， ， ，动点P从点B出发，在 边上以每秒
的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在 边上以每秒 的速度向点B匀速运动，运动时间为t
秒（ ），连接 ．
(1)请用含t的代数式表示： ______， ______；
(2)求当t为何值时， 与 相似？
【答案】(1) ，
(2) 或
【分析】（1）根据题意列式即可；（2）根据勾股定理即可得到结论；分两种情况：①当 时， ；当 时，
，再根据 代入计算即可．
【详解】（1）解：根据题意知： ， ，
故答案为： ， ；
（2）∵ ， ， ，
∴ ；
分两种情况讨论：
①当 时，
，
∵ ，
∴ ，
解得， ，
②当 时，
，
∴ ，
解得， ；
∴ 或 时， ．
【点睛】本题考查了相似三角形动点问题以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
【变式5-3】．如图，在 中， ， ，动点M从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，动点N
从点A出发以4cm/s速度向点C运动．若M，N两动点同时运动，设两点运动时间为xs．
(1)当 时，求证： ；
(2)当x为何值时， ．【答案】(1)见解析
(2)当 时，
【分析】（1）当 时，求出 ，得到 ，再根据 ，即可证明；
（2） ，当经过 后，算出 ， ，根据 ，得出 建
立等式求解．
【详解】（1）证明：当 时， ， ，
， ，
；
（2）证明： ，
当经过 后， ，
， ，
，
，
，
，
当 时， ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，利用时间表示相应
线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．
三、课后练习
1．已知 ，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】直接利用相似三角形的性质求解．
【详解】∵△ABC∽ A′B′C′,
△
∴又∵AB＝8，A’B’＝6，
∴ = .
故选B.
【点睛】此题考查相似三角形的性质，难度不大
2．如图， ，且 ，则 与 的相似比为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据两个相似三角形的相似比等于这两个相似三角形的对应边的比，所以对于这道题， 与 的相
似比只要找到 即可．
【详解】∵ ，∴ ，
∴ 与 的相似比为 .故选项B正确.
【点睛】此题考查的是相似三角形的相似比的概念，利用相似比是相似三角形的对应边的比，结合已知条件找到两条
对应边的长度是关键．
3．在△ABC和△DEF中，AB=AC，DE=DF，根据下列条件，能判断△ABC和△DEF相似的是（ ）
A． B． C．∠A=∠E D．∠B=∠D
【答案】B
【详解】在 ABC和 DEF中，
△ △
∵ = = ，
∴ ABC∽ DEF，
故△选B. △
4．若 ，且相似比为 ，则 与 对应高的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“相似三角形对应高的比等于相似比”可得答案．
【详解】根据“相似三角形对应高的比等于相似比”，
可知 与 对应高的比为 ．
故选B．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质以及判定，掌握相似三角形的性质以及判定定理是解题的关键．5．若 ，相似比为1:2，则 与 的面积的比为（ ）
A．1:2 B．2:1 C．1:4 D．4:1
【答案】C
【详解】试题分析：直接根据相似三角形面积比等于相似比平方的性质.得出结论：
∵ ，相似比为1:2，
∴ 与 的面积的比为1:4.
故选C.
考点：相似三角形的性质.
6．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据相似三角形的判定方法一一判断即可．
【详解】解：因为 中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故选B．
【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
7．如图，身高为 的小明想测量一下操场边大树的高度，他沿着树影 由B到A走去，当走到C点时，他的影
子顶端正好与树的影子顶端重合，测得 ， ，于是得出树的高度为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出 的长度，然后根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
【详解】解：如图，
∵ ， ，
∴ ，
∵小明与大树都与地面垂直，
∴ ，
∴ ，
即 ，
解得 ，
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，判断出相似三角形，利用相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
8．如图，小颖为测量学校旗杆AB的高度，她在E处放置一块镜子，然后退到C处站立，刚好从镜子中看到旗杆的顶
部B．已知小颖的眼睛D离地面的高度CD＝1.5m，她离镜子的水平距离CE＝0.5m，镜子E离旗杆的底部A处的距离
AE＝2m，且A、C、E三点在同一水平直线上，则旗杆AB的高度为（ ）
A．4.5m B．4.8m C．5.5m D．6 m【答案】D
【分析】根据题意得出 ABE∽△CDE，进而利用相似三角形的性质得出答案．
【详解】解：由题意可△得：AE＝2m，CE＝0.5m，DC＝1.5m，
∵△ABC∽△EDC，
∴ ，
即 ，
解得：AB＝6，
故选D．
【点睛】本题考查的是相似三角形在实际生活中的应用，根据题意得出 ABE∽△CDE是解答此题的关键．
9．如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40△．
求证：△ABC∽△AED．
【答案】证明见解析.
【分析】由∠BAE=∠CAD知∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，再根据线段的长得出 ，
据此即可得证．
【详解】∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，即∠BAC＝∠EAD，
∵AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40，
∴ ，
∴△ABC∽△AED．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等
的两个三角形相似．
10．如图，竖立在点B处的标杆 长2.1米，某测量工作人员站在D点处，此时人眼睛C与标杆顶端A、树顶端E
在同一直线上（点D、B、F也在同一直线上），己知此人眼晴与地面的距离 长1.6米，且 米， 米，
求所测量树的高度为_____________米．【答案】
【分析】过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，由题意可得， ，求得 的长度，即可求
解．
【详解】解：过点 作 ，交 于点 ，交 于点 ，如下图：
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ， ， ，
∴ （米）， （米）， （米）
∴ （米），
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，
解得 （米），
（米）
故答案为：
【点睛】此题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据题意，作辅助线，构造出相似三角形．
11．如图，已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处，折痕与BC交
于点O．
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）若PO：PA=1：2，则边AB的长是多少？【答案】（1）证明见解析；（2）边AB的长为10．
【详解】试题分析：（1）利用折叠和矩形的性质可得到∠C=∠D，∠APD=∠POC，可证得相似；
（2）根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求
出AB长．
试题解析：解：（1）如图．∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°．由折叠可得：
AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B，∴∠APO=90°，∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC．∵∠D=∠C，
∠APD=∠POC，∴△OCP∽△PDA．
（2）∵PO：PA=1：2，∴ = = = ，∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP．∵AD=8，∴CP=4，BC=8．设
OP=x，则OB=x，CO=8﹣x．
在Rt△PCO中，∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x，∴x2=（8﹣x）2+42，解得：x=5，∴AB=AP=2OP=10，∴边AB
的长为10．
点睛：本题主要考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、直角三角形的性质和勾股定理等知识的综合应用．在
（1）中掌握好相似三角形的判定是解题的关键，在（2）中利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求得PC的长
是解题的关键．
12．中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”．修建高铁时常常要逢山
开道、遇水搭桥．如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M、N为山的两侧)，工程人员为了计算MN两点之间
的直线距离，选择了在测量点A、B、C进行测量，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM=1200米，AN=2000米，
AB=30米，BC=45米，AC=18米，求直线隧道MN的长．【答案】MN=3000米
【详解】试题分析：
由已知条件易证△ABC∽△ANM，然后利用相似三角形对应边成比例即可求出MN的长.
试题解析：
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴△ABC∽△ANM，
∴ ，
∵BC=45，
∴MN=3000.
答：直线隧道MN长为3000米.
13．在同一时刻两根木杆在太阳光下的影子如图所示，其中木杆AB=2米，它的影子BC=1.6米，木杆PQ的影子有一
部分落在墙上，PM=1.2米，MN=0.8米，求木杆PQ的长度．
【答案】2.3米
【分析】先根据同一时刻物高与影长成正比求出QD的影长，再根据此影长列出比例式即可
【详解】解：如图，过点N作ND⊥PQ于D，则DN=PM，∴△ABC∽△QDN，
．
∵AB=2米，BC=1.6米，PM=1.2米，NM=0.8米，
=1.5（米），
∴PQ=QD+DP=QD+NM=1.5+0.8=2.3（米）．
答：木杆PQ的长度为2.3米．
【点睛】此题考查相似三角形的应用和平行投影，解题关键在于掌握相似三角形的性质.
14．如图，在 中， 、 分别在 、 上， 于点 ， 于点 ， ．
(1)求证： ；
(2)若 ， ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据题目给出的条件，先判断 和 相似，从而得到 ，即可证明 和
相似．
（2）由（1）知 和 相似， 和 相似，从而得到 ， ，然后利用等式的性质即
可求出 的值．【详解】（1）证明：∵ ，
∴
在 和 中，
∴
∴
在 和 中，
∴
（2）由（1）知 ，
∴ ，
∴
又∵ ，
∴
即
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质的综合运用，需要有一定的推理论证能力，熟练掌握相似三角形的判定
和性质是解本题的关键．
15．如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，
以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t．
（1）用含t的代数式表示：AP= ，AQ= ．
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？
【答案】（1）AP=2t，AQ=16﹣3t；（2）运动时间为 秒或4秒．
【分析】（1）根据路程=速度 时间，即可表示出AP，AQ的长度．
（2）此题应分两种情况讨论，当△APQ∽△ABC时；当△APQ∽△ACB时；利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）AP=2t，AQ=16﹣3t．
（2）∵∠PAQ=∠BAC，
∴当 时，△APQ∽△ABC，
即 ，
解得
当 时，△APQ∽△ACB，
即 ，
解得t=4．
∴运动时间为 秒或4秒．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键，注意不要漏解．
