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§2.6 二次函数与幂函数
课标要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性
质(单调性、对称性、顶点、最值等)．
知识梳理
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数____________叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点__________和____________，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点__________，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为________________；当α为偶数时，y＝xα为____________．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝_____________________________.
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为____________．
零点式：f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，x，x 为f(x)的____________．
1 2 1 2
(2)二次函数的图象和性质
y＝ax2＋bx＋c y＝ax2＋bx＋c
函数
(a>0) (a<0)
图象
(抛物线)
定义域值域
对称轴 x＝________
顶点
坐标
奇偶性 当b＝0时是________函数，当b≠0时是非奇非偶函数
在上单调递________； 在上单调递___________；
单调性
在上单调递________ 在上单调递________
自主诊断
1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝ 是幂函数．( )
(2)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.( )
(3)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．( )
(4)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．( )
2．已知幂函数y＝f(x)的图象过点(8,2)，则f(9)的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．9
3．(2023·南京模拟)已知函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈(－2,2)，则函数f(x)的值域为( )
A．(2,10) B．[1,2)
C．[2,10] D．[1,10)
4．已知函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，－3]上单调递减，则实数a的取值范围是
________.
题型一 幂函数的图象与性质
例1 (1)(2023·合肥模拟)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取
±2，±四个值，则相对应曲线C ，C ，C ，C 的n依次为( )
1 2 3 4
A．－2，－，，2 B．2，，－，－2
C．－，－2,2， D．2，，－2，－
(2)(2023·无锡模拟)“n＝1”是“幂函数f(x)＝(n2－3n＋3)x2n－3在(0，＋∞)上单调递减”的(
)A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
跟踪训练1 (1)幂函数y＝ (0≤m≤3，m∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上
单调递增，则m的值为( )
A．0 B．2 C．3 D．2或3
(2)(2023·临沂模拟)如图所示是函数y＝ (m，n均为正整数且m，n互质)的图象，则( )
A．m，n是奇数，且<1
B．m是偶数，n是奇数，且<1
C．m是偶数，n是奇数，且>1
D．m，n是奇数，且>1
题型二 二次函数的解析式
例2 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函
数的解析式．
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思维升华 求二次函数解析式的三个策略
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式．
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式．
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
跟踪训练2 已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，对称轴为直线x＝2，且方程f(x)＝0的两个
根的平方和为10，则f(x)的解析式为__________________________________________.
题型三 二次函数的图象与性质
命题点1 二次函数的图象
例3 (多选)(2023·银川模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正
确的是( )A．2a＋b＝0
B．4a＋2b＋c<0
C．9a＋3b＋c<0
D．abc<0
命题点2 二次函数的单调性与最值
例4 (2024·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.
(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；
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(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
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二次函数定轴动区间和动轴定区间问题
在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论：
(1)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次
函数在动区间上的最值”．
(2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称
这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”．
典例 (1)已知函数f(x)＝－x2＋x在区间[a，b]上的最小值为3a，最大值为3b，则a＋b等于(
)
A．－4 B. C．2 D.
(2)若函数f(x)＝x2－2bx＋3a在区间[0,1]上的最大值为M，最小值为m，则M－m的值( )
A．与a无关，与b有关
B．与a有关，与b无关
C．与a有关，且与b有关D．与a无关，且与b无关
跟踪训练3 (1)(2024·宣城模拟)已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(m
