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§2.6 二次函数与幂函数
考试要求 1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性
质(单调性、对称性、顶点、最值等)．
知识梳理
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点 ，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为 ；当α为偶数时，y＝xα为 ．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ ．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为 ．
零点式：f(x)＝a(x－x)(x－x)(a≠0)，x，x 为f(x)的 ．
1 2 1 2
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域
值域
对称轴 x＝顶点坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
在上单调递 ； 在上单调递 ；
单调性
在上单调递 在上单调递
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝ 是幂函数．( )
(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ<0.( )
(3)二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)．( )
(4)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．( )
教材改编题
1．已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(8)的值等于( )
A. B．4 C．8 D.
2．已知函数f(x)＝－x2－4x＋5，则函数y＝f(x)的单调递增区间为( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，2]
C．[－2，＋∞) D．[2，＋∞)
3．函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1,2]的值域为( )
A．[－6,2] B．[－6,1]
C．[0,2] D．[0,1]
题型一 幂函数的图象与性质
例1 (1)若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( )
A．－11 D．n<－1，m>1
(2)(2023·德州模拟)幂函数f(x)＝(m2＋m－5) 在区间(0，＋∞)上单调递增，则f(3)等
于( )
A．27 B．9 C. D.
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思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，
即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限
部分由奇偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
跟踪训练1 (1)已知幂函数 (p∈Z)的图象关于y轴对称，如图所示，则( )
A．p为奇数，且p>0
B．p为奇数，且p<0
C．p为偶数，且p>0
D．p为偶数，且p<0
(2)(多选)(2023·哈尔滨模拟)已知函数y＝ (m∈Z)为偶函数且在区间(0，＋∞)上单调
递减，则实数m的值可以为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
题型二 二次函数的解析式
例2 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函
数的解析式．
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思维升华 求二次函数解析式的三个策略：
(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式；
(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式；
(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
跟踪训练2 已知二次函数的图象过点(－3,0)，(1,0)，且顶点到x轴的距离等于2，则二次
函数的解析式为________．
题型三 二次函数的图象与性质
命题点1 二次函数的图象
例3 设abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是( )听课记录：______________________________________________________________
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命题点2 二次函数的单调性与最值
例4 (2023·福州模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.
(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；
(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
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思维升华 二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区
间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对
称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
跟踪训练3 (1)(多选)(2022·茂名模拟)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法
正确的是( )
A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0
C．9a＋3b＋c<0 D．abc<0
(2)(2022·镇江模拟)函数f(x)＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2,2]，则b－a的取值范
围是____．
