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§6.3 等比数列
考试要求 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比
数列与指数函数的关系．
知识梳理
1．等比数列有关的概念
(1)定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于 常数，
那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 ，公比通常用字母
q(q≠0)表示.
(2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使 成等比数列，那么G叫做a与
b的等比中项，此时，G2＝ .
2．等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{a}的首项为a，公比是q，则其通项公式为a＝ .
n 1 n
(2)等比数列通项公式的推广：a＝a qn－m.
n m
(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S＝na；当q≠1时，S＝ ＝ .
n 1 n
3．等比数列性质
(1)若m＋n＝p＋q，则 ，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2w＝m＋n，则
，其中m，n，w∈N*.
(2)a，a ，a ，…仍是等比数列，公比为 (k，m∈N*)．
k k＋m k＋2m
(3)若数列{a}，{b}是两个项数相同的等比数列，则数列{a·b}，{pa·qb}和也是等比数列
n n n n n n
(b，p，q≠0)．
(4)等比数列{a}的前n项和为S ，则S ， ， 仍成等比数列，其公比
n n n
为qn.(n为偶数且q＝－1除外)
(5)若或则等比数列{a}递 ．
n
若或则等比数列{a}递 ．
n
常用结论
1．等比数列{a}的通项公式可以写成a＝cqn，这里c≠0，q≠0.
n n
2．等比数列{a}的前n项和S 可以写成S＝Aqn－A(A≠0，q≠1,0)．
n n n
3．数列{a}是等比数列，S 是其前n项和．
n n
(1)若a·a·…·a＝T，则T，，，…成等比数列．
1 2 n n n
(2)若数列{a}的项数为2n，则＝q；若项数为2n＋1，则＝q，或＝q.
n
思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( )
(2)当公比q>1时，等比数列{a}为递增数列．( )
n
(3)等比数列中所有偶数项的符号相同．( )
(4)数列{a}为等比数列，则S，S－S，S －S 成等比数列．( )
n 4 8 4 12 8
教材改编题
1．设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．设等比数列{a}的前n项和为S.若S＝3，S＝15，则S 等于( )
n n 2 4 6
A．31 B．32 C．63 D．64
3．已知三个数成等比数列，若它们的和等于 13，积等于 27，则这三个数为
________________．
题型一 等比数列基本量的运算
例1 (1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{a}的前3项和为168，a－a＝42，则a 等于( )
n 2 5 6
A．14 B．12 C．6 D．3
(2)(2023·桂林模拟)朱载堉(1536～1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，
他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把
一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十
二等程律”．即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音的频率
是最初那个音的2倍．设第二个音的频率为f，第八个音的频率为f.则等于( )
1 2
A. B. C. D．4
听课记录：______________________________________________________________
思维升华 等比数列基本量的运算的解题策略
(1)等比数列中有五个量a ，n，q，a ，S ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃
1 n n
而解．
(2)解方程组时常常利用“作商”消元法．
(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．
跟踪训练1 (1)设正项等比数列{a}的前n项和为S ，若S ＝3，S ＝15，则公比q等于(
n n 2 4
)
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是( )
A．插入的第8个数为
B．插入的第5个数是插入的第1个数的倍
C．M>3
D．N<7
题型二 等比数列的判定与证明
例2 已知数列{a}的各项均为正数，记S 为{a}的前n项和，从下面①②③中选取两个作
n n n
为条件，证明另外一个成立．
①数列{a}是等比数列；②数列{S＋a}是等比数列；③a＝2a.
n n 1 2 1
注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
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思维升华 等比数列的三种常用判定方法
(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{a}是等比
n
数列．
(2)等比中项法：若数列{a}中，a≠0且a＝a·a (n∈N*)，则{a}是等比数列．
n n n n＋2 n
(3)前n项和公式法：若数列{a}的前n项和S ＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{a}是
n n n
等比数列．
跟踪训练2 在数列{a}中，a＋2a ＝aa ＋a＋a ，且a＝2，a＝5.
n n＋1 n n＋2 n n＋2 1 2
(1)证明：数列{a＋1}是等比数列；
n
(2)求数列{a}的前n项和S.
n n
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题型三 等比数列的性质
例3 (1)(2023·黄山模拟)在等比数列{a}中，a ，a 是方程x2－13x＋9＝0的两根，则的值
n 1 13
为( )
A. B．3 C．± D．±3
(2)已知正项等比数列{a}的前n项和为S 且S －2S ＝6，则a ＋a ＋a ＋a 的最小值为
n n 8 4 9 10 11 12
______．
听课记录：______________________________________________________________
________________________________________________________________________思维升华 (1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，
三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问
题的突破口．
(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
跟踪训练3 (1)(2023·六安模拟)在等比数列{a}中，若a ＋a ＝16，a ＋a ＝24，则a ＋a 等
n 1 2 3 4 7 8
于( )
A．40 B．36 C．54 D．81
(2)等比数列{a}共有奇数个项，所有奇数项和S ＝255，所有偶数项和S ＝－126，末项是
n 奇 偶
192，则首项a 等于( )
1
A．1 B．2 C．3 D．4
(3)在等比数列{a}中，a>0，a ＋a ＋a ＋…＋a ＝4，aa·…·a ＝16，则＋＋…＋的值为(
n n 1 2 3 8 1 2 8
)
A．2 B．4 C．8 D．16
