文档文本内容
测试一 集合、逻辑
12测试二 不等式
34测试三 函数及其表示、函数的性质
56测试四 基础初等函数、函数图像
789测试五 函数的最值
1011测试六 三角函数的概念、三角变换
121314测试七 三角函数
151617测试八 解三角形
1819测试九 导数的概念与运算
2021测试十 导数的基础问题
2223测试十一 导数的综合应用
242526测试十二 数列的概念、等差等比数列
272829测试十三 等差数列与等比数列综合
3031测试十四 平面向量（一）、（二）
3233测试十五 平面向量（三）
3435测试十六 立体几何
363738测试十七 直线方程
3940测试十八 圆的方程
4142测试十九 椭圆
434445测试二十 双曲线
464748测试二十一 抛物线
4950测试二十二 圆锥曲线综合练习
515253测试二十三 概率统计
545556575859参 考 答 案
测试一
测试二
60测试三
61测试四
62测试五
63测试六
64测试七
6566测试八
6768测试九
测试十
6970测试十一
717273测试十二
7475测试十三
76测试十四
7778测试十五
79测试十六
808182测试十七
83测试十八
84测试十九
8586测试二十
87测试二十一
8889测试二十二
909192测试二十三
939495人大附中2020-2021学年度高三年级数学练习
人大附中 2020-2021 学年度高三年级八月练习
数 学
命题人：王鼎 审题人：吴中才 2020年08月18日
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效。
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题
目要求的一项。
1．已知集合A={x|x−1(cid:116)0}，B={0， 1， 2}，则A B=（ ）
A．{0} B．{1} C．{1， 2} D．{0， 1， 2}
2．已知i为虚数单位，若iz=−1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑
堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，其体积为（ ）
2
A．1 B． 2
C．2 D．2 2 1 1 1
主视图 左视图
6
(cid:167) 1 (cid:183)
4． 2x− 展开式中x2项的系数为（ ）
(cid:168) (cid:184)
(cid:169) 3 x(cid:185) 俯视图
A．−160 B．−20 C．20 D．160
5．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四
个节气，每个节气的晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻
的仪器，晷长即为所测量影子的长度）．二十四节气及晷长变
化如图所示，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而
复始．则下列说法不正确的是（ ）
A．立春和立冬的晷长相同
B．立夏和立秋的晷长相同
C．与夏至的晷长相差最大的是冬至的晷长
D．与春分的晷长相差最大的是秋分的晷长
注：“相差”是指差的绝对值
6．点 P 在曲线y2 =4x上，过 P 分别作直线x=−1及y=x+3的垂线，垂足分别为 G，H，
则 PG + PH 的最小值为（ ）
3 2 3 2
A． B．2 2 C． +1 D． 2+2
2 2
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7．“x+sinx(cid:33)0”是“x−sinx(cid:33)0”的（ ）
A．充分必要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
8．以 Ox 为始边作钝角 α，角 α 的终边与单位圆交于点P(x，y )，将角 α 的终边顺时针旋
1 1
π
转 得到角β．角β的终边与单位圆相交于点Q(x，y )，则x −x 的取值范围为（ ）
3 2 2 2 1
3 1 1 3 1 1
A．(− ， ) B．( ， ) C．( ， 1) D．( ， 1]
2 2 2 2 2 2
9．若圆P 的半径为1，且经过坐标原点，过圆心P作圆(x−4)2+(y−3)2 =4的切线，切点
为Q，则 PQ 的最小值为（ ）
A． 3 B．2 3 C．2 D．4
10．气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃．现有甲乙
丙三地连续5天的日平均温度（都是正整数，单位：℃）的记录数据如下：
①甲地5个数据的中位数为26，众数为22；
②乙地5个数据的平均数为26，方差为5.2；
③丙地5个数据的中位数为26，平均数为26.4，极差为8.
则从气象意义上肯定进入夏季的地区是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
y2 x2
11．双曲线C： − =1的焦距是__________．
9 16
12．已知{a }是等差数列，{a +b }是公比为c的等比数列，a =1，b =0，a =5，则数
n n n 1 1 3
列{a }的前10项和为__________，数列{b }的前10项和为__________（用c表示）．
n n
13．已知△AOB为等腰直角三角形，OA=1，OC为斜边的高．
（Ⅰ）若P为线段OC的中点，则AP(cid:152)OP=__________．
（Ⅱ）若P为线段OC上的动点，则AP(cid:152)OP的取值范围为__________．
14．不等式t2−at(cid:116)0对所有的a(cid:143)[−1， 1]都成立，则t的取值范围是__________．
15．在实数集R中定义一种运算“(cid:13)”，具有以下三条性质：
（1）对任意a(cid:143)R， 0(cid:13)a=a； （2）对任意a，b(cid:143)R，a(cid:13)b=b(cid:13)a；
（3）对任意a，b，c(cid:143)R， (a(cid:13)b)(cid:13)c=c(cid:13)(ab)+(a(cid:13)c)+(b(cid:13)c)−2c．
给出下列四个结论：
①2(cid:13)(0(cid:13)2)=0； ②(2(cid:13)0)(cid:13)(2(cid:13)0)=8；
③对任意a，b，c(cid:143)R，a(cid:13)(b(cid:13)c)=b(cid:13)(c(cid:13)a)；
④存在a，b，c(cid:143)R， (a+b)(cid:13)c(cid:122)(a(cid:13)c)+(b(cid:13)c)．
其中，所有正确结论的序号是__________．
注：本题全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
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三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（本小题 13 分）如图，三棱柱ABC−ABC 中，AB⊥平面BBCC，点 E 是棱CC 的
1 1 1 1 1 1
中点，已知AB =BC =CC=2，BE= 5．
1 1 1 1 1 1 A A 1
（Ⅰ）求证：BB⊥平面ABC ；
1
（Ⅱ）求二面角A−EB −A 的余弦值．
1 1
B
B
1
C E C
1
π
17．（本小题13分）在△ABC中，sinA= 3sinB，C= ，再从条件①，条件②，条件③
6
这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在，求c的值及△ABC的面积．
条件①：c= 3b； 条件②：ac= 3； 条件③：csinA=3．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题14分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个
人执行任务，且每个人只派一次．每人工作时间均不超过10分钟，如果10分钟内不能
完成任务则撤出，再派下一个人；如果10分钟内已完成任务则不再派人．现在一共只
2 1 3
有甲乙丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为 p = ，p = ，p = ．假定
1 3 2 2 3 4
各人能否完成任务相互独立．
（Ⅰ）计划依次派甲乙丙执行任务，
①求能完成任务的概率；
②求派出人员数X 的分布列和数学期望E(X)．
（Ⅱ）欲使完成任务的概率尽可能大，且所取需派出人员数X 的数学期望尽可能小，你认
为应该按什么次序派出甲乙丙？（直接写出答案即可）
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19．（本小题15分）已知函数 f(x)=2x3−3ax2+2.
（Ⅰ）若a=0，求过曲线y= f(x)上一点(−1， 0)的切线方程；
（Ⅱ）若0<a<3， f(x)在区间[0， 1]的最大值为M，最小值为m，求M −m的最小值．
x2 y2
20．（本小题15分）已知椭圆C： + =1(a(cid:33)b(cid:33)0)的左右顶点分别为A，B，上顶点为
a2 b2
2 2
T，离心率为 ，AT(cid:152)TB=8．点 M，N 为椭圆 C 上异于 A，B 的两点，直线 AM，
3
BN相交于点P．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
9
（Ⅱ）若点P在直线x= 上，求证：直线MN过定点．
2
21．（本小题 15 分）已知m，n，k 为正整数，n(cid:116)4，k(cid:116)3，A 是由m(cid:152)n个不超过k的正整
数组成的m行n列的数表，其第i行第 j列为x ，1(cid:100)i(cid:100)m，1(cid:100) j(cid:100)n，满足：
i,j
①对任意1(cid:100)i(cid:100)m，2(cid:100) j(cid:100)n−1，均有x ，x ，x 互不相等；
i,j−1 i,j i,j+1
②对任意1(cid:100)i(cid:100)m，不存在1(cid:100)a(cid:31)b(cid:31)c(cid:31)d (cid:100)n，使得x =x 且x =x ；
i,a i,c i,b i,d
③当m(cid:116)2时，对任意1(cid:100)i(cid:31) j(cid:100)m，存在1(cid:100)k(cid:100)n，使得x (cid:122)x ．
i,k j,k
记S (m，n)为所有这样的数表构成的集合．
k
（Ⅰ）写出S (2， 4)中的一个元素；
3
（Ⅱ）若S (m，n)(cid:122)(cid:135)，则当n最大时，求m的最大值；
4
（Ⅲ）从问题（一）问题（二）中选择一个作答．如选择问题（一），本题满分改为14分．
(cid:94) (cid:96)
问题（一）：求集合 S (m，n)m(cid:143)N*，n(cid:143)N*，n(cid:116)4 的元素个数．
4
问题（二）：求集合S (3， 21)的元素个数．
11
注：如果选择问题（一）和问题（二）分别解答，按第一个解答计分．
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数学参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）C （2）A （3）C （4）A （5） D
（6）B （7）A （8）D （9）B （10）D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
(cid:173)−90，当c=1时，
(cid:176)
（11）10 （12）100 (cid:174) 1−c10
(cid:176)−100+ ，当c(cid:122)0，1时
(cid:175) 1−c
1 1
（13）− [− ， 0] （14）(−(cid:102)， −1] {0} [1， +(cid:102))
8 8
（15）②③④
注：第14题仅漏掉“0”的得3分．
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
1
解：（Ⅰ）依题意，在△BC E中，BC =2，BE= 5，CE= CC=1，
1 1 1 1 1 1 2 1
所以BC2+CE2 =BE2．
1 1 1 1
所以(cid:145)BCE=90 ．
1 1
又因为三棱柱ABC−ABC 中，四边形BBCC为平行四边形，
1 1 1 1 1
所以四边形BBCC为矩形．
1 1 z
所以B 1 B⊥BC． …………… 2分 A A 1
因为AB⊥平面BBCC，BB (cid:141)平面BBCC，
1 1 1 1 1
所以BB⊥ AB．
1
又因为AB，BC(cid:141)平面ABC，AB BC=B，
B
所以BB⊥平面ABC ． …………… 4分 B y
1 1
（Ⅱ）因为AB⊥平面BB 1 C 1 C，BC(cid:141)平面BB 1 C 1 C ， x C E C 1
所以AB⊥BC ．
如图建立空间直角坐标系B−xyz， …………… 5分
则A(0， 0， 2)，E(2， 1， 0)，B(0， 2， 0)，A(0， 2， 2)，BE=(2，−1， 0)，
1 1 1
BA=(0，−2， 2)，BA =(0， 0， 2)． …………… 7分
1 1 1
设平面AEB 的法向量为n=(x，y，z)，则
1
(cid:173) (cid:176)n(cid:152)BE=0， (cid:173) 2x−y=0，
(cid:174) 1 即(cid:174)
(cid:176)(cid:175)n(cid:152)B
1
A=0， (cid:175)−2y+2z=0．
令x=1，则y=2，z=2．
于是n=(1， 2， 2)． …………… 9分
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设平面AEB 的法向量为m=(x，y，z)，则
1 1
(cid:173) (cid:176)m(cid:152)BE=0， (cid:173)2x−y=0，
(cid:174) 1 即(cid:174)
(cid:176)(cid:175)m(cid:152)B
1
A
1
=0， (cid:175) 2z=0．
令x=1，则y=2，z=0．
于是m=(1， 2， 0)． ……………11分
n(cid:152)m 5 5
所以cos(cid:162)n,m(cid:178)= = = ．
n m 3 5 3
5
由题知二面角A−EB −A 为锐角，所以其余弦值为 ． ……………13分
1 1
3
（17）（共13分）
解：法一 选择条件②． …………… 1分
a b
因为在△ABC中，sinA= 3sinB， = ，
sinA sinB
所以a= 3b． …………… 4分
π
又因为C= ，
6
所以由余弦定理，
3
c= a2+b2−2abcosC = 3b2+b2−2 3b2 =b(cid:33)0， …………… 7分
2
又因为ac= 3，
所以 3b2 = 3，b=1或−1(舍)．
所以a= 3，c=1． ……………10分
1 1 π 3
所以△ABC的面积为S = absinC= 3sin = ． ……………13分
2 2 6 4
法二 选择条件③． …………… 1分
a c π
因为在△ABC中，csinA=3， = ，C= ，
sinA sinC 6
csinA 3
所以a= = =6． …………… 4分
sinC π
sin
6
a b
因为在△ABC中，sinA= 3sinB， = ，
sinA sinB
a
所以b= =2 3． …………… 7分
3
所以由余弦定理，
3
c= a2+b2−2abcosC = 36+12−2(cid:117)6(cid:117)2 3(cid:117) =2 3，……………10分
2
1 1 1
所以△ABC的面积为S = absinC= (cid:117)6(cid:117)2 3(cid:117) =3 3．……………13分
2 2 2
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（18）（共14分）
解：（Ⅰ）设“计划依次派出甲乙丙，能完成任务”为事件A． …………… 1分
2 1 3
因为甲乙丙各自能完成任务的概率分别为p = ，p = ，p = ，
1 3 2 2 3 4
各人能否完成任务相互独立．
23
所以P(A)= p +(1− p )p +(1− p )(1− p )p = ． …………… 4分
1 1 2 1 2 3 24
23
或 P(A) =1−(1−p ) (1−p ) (1−p ) = . …………… 4分
1 2 3 24
依题意，X 的所有可能取值为1， 2， 3．
2 1 1
P(X =1)= p = ， P(X =2)=(1− p )p = ， P(X =3)=(1− p )(1− p )= ．
1 3 1 2 6 1 2 6
所以X 的分布列为
X 1 2 3
2 1 1
P
3 6 6
2 1 1 3
故X 的期望E(X)=1(cid:117) +2(cid:117) +3(cid:117) = ． ……………10分
3 6 6 2
（Ⅱ）依次派出丙甲乙． ……………14分
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）当a=0时， f(x)=2x3+2，x(cid:143)R．
所以 f(cid:99)(x)=6x2．
设切点为(t， 2t3+2)，
所以切线方程为y=6t2(x−t)+2t3+2． …………… 3分
当切线过(−1， 0)时，6t2(−1−t)+2t3+2=0，
所以3t2(−1−t)+(t+1)(t2−t+1)=−(t+1)(2t2+t−1)=−(t+1)2(2t−1)=0，
1
所以t=−1或 ．
2
3 3
所求切线方程为y=6x+6或y= x+ ． …………… 6分
2 2
（Ⅱ）因为 f(x)=2x3−3ax2+2，0<a<3，x(cid:143)R，
所以 f(cid:99)(x)=6x2−6ax=6x(x−a)．
令 f(cid:99)(x)=0，得x=0或a．
x (−(cid:102)， 0) 0 (0，a) a (a， +(cid:102))
f(cid:99)(x) + 0 − 0 +
f(x)
所以 f(x)的单调递增区间为(−(cid:102)， 0)和(a， +(cid:102))，
单调递减区间为(0，a)． ……………10分
102人大附中2020-2021学年度高三年级数学练习
① 当1(cid:100)a(cid:31)3时， f(x)在[0， 1]上单调递减．
所以依题意，M = f(0)=2，m= f(1)=4−3a．
所以，M −m=3a−2(cid:143)[1， 7)． ……………11分
② 当0(cid:31)a(cid:31)1时， f(x)在[0， a]上单调递减，在[a， 1]上单调递增．
又因为 f(0)=2， f(1)=4−3a， f(a)=−a3+2．
2
（1） 当 (cid:100)a(cid:31)1时，4−3a(cid:100)2，
3
8
所以M = f(0)，m= f(a)，M −m=a3(cid:143)[ ， 1)．
27
……………12分
2
（2） 当0(cid:31)a(cid:31) 时，4−3a(cid:33)2，
3
所以M = f(1)，m= f(a)，M −m=a3−3a+2．
2
设g(x)=x3−3x+2，当0(cid:31)x(cid:31) 时，g(cid:99)(x)=3x2−3(cid:31)0．
3
2
所以g(x)在(0， )单调递减．
3
2 8
又因为g(0)=2，g( )= ，
3 27
8
所以M −m=g(a)(cid:143)( ， 2)． ……………14分
27
2 8
所以，当且仅当a= 时，M −m取得最小值 ． ……………15分
3 27
（20）（共15分）
解：（Ⅰ）依题意，A(−a， 0)，B(a， 0)，T(0， b)，AT =(a，b)，TB=(a， −b)，
(cid:173)c 2 2
(cid:176) = ，
a 3 (cid:173)a=3，
(cid:176)
(cid:176) (cid:176)
(cid:174)a2−b2 =8， 解得(cid:174)b=1，
(cid:176) (cid:176)
(cid:176)
a2 =b2+c2， (cid:175)c=2 2．
(cid:176) (cid:175)a(cid:33)b(cid:33)0，
x2
所以椭圆C的方程为 + y2 =1． …………… 5分
9
（Ⅱ）设M(x，y )，N(x，y )，则x2+9y2 =9，x (cid:122)(cid:114)3，y (cid:122)0（i=1， 2）．
1 1 2 2 i i i i
…………… 6分
① 当直线MN 垂直于y轴时，
由对称性，直线AM ，BN 交于y轴，不合题意，舍．…………… 7分
② 当直线MN 不垂直于y轴时，设其方程为x=ty+m．
(cid:173)(cid:176)x=ty+m，
联立(cid:174) 得(t2+9)y2+2tmy+m2−9=0． …………… 9分
(cid:176)(cid:175)x2+9y2 =9，
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−2tm m2−9
依题意，t2+9(cid:122)0，(cid:39)(cid:33)0，y + y = ，y y = (cid:122)0．
1 2 t2+9 1 2 t2+9
所以m(cid:122)(cid:114)3．
因为A(−3， 0)，B(3， 0)，
y y
所以直线AM 方程为y= 1 (x+3)，直线BN 方程为y= 2 (x−3)．
x +3 x −3
1 2
9
依题意，设P( ，p)，因为P为直线AM ，BN 的交点，
2
y 9 y 9
所以 1 ( +3)= p= 2 ( −3)． ……………11分
x +3 2 x −3 2
1 2
5y y y (x +3) y (x +3) x +3
所以 1 = 2 = 2 2 = 2 2 = 2 ．
x +3 x −3 x 2−9 −9y 2 −9y
1 2 2 2 2
所以45y y +xx +3(x +x )+9=0．
1 2 1 2 1 2
所以45y y +(ty +m)(ty +m)+3(ty +m+ty +m)+9=0．
1 2 1 2 1 2
所以(t2+45)y y +t(m+3)(y +y )+(m+3)2 =0．
1 2 1 2
m2−9 −2tm
所以(t2+45) +t(m+3) +(m+3)2 =0． ……………13分
t2+9 t2+9
因为m(cid:122)(cid:114)3，所以(t2+45)(m−3)−2t2m+(m+3)(t2+9)=0．
所以54m−108=0，m=2，直线MN 方程为x=ty+2．
所以直线MN 过定点(2， 0)． ……………15分
（21）（共15分）
(cid:167)a b c a(cid:183)
解：（Ⅰ）答案不唯一， (cid:168) (cid:184) 中(a b c)，(d e f)为(1 2 3)的不同排
(cid:169)d e f d(cid:185)
(cid:167)1 2 3 1(cid:183)
列即可，例如
(cid:168) (cid:184)
． …………… 4分
(cid:169)1 3 2 1(cid:185)
（Ⅱ）依题意，设表B(cid:143)S (m，n)，设(a b c d)为(1 2 3 4)的某个排列，
4
设B某行为X =(x x … x )，x (cid:143){1， 2， 3， 4} (i=1， 2， … ，n)．
1 2 n i
一．当B=(a b c d b a)时，B(cid:143)S (1， 6)，所以n=6符合题意．
4
二．当n(cid:116)6时，由①设X =(a b c x … x )，x =a或d ．
4 n 4
1． 当X =(a b c a … x )时，
n
由①x，x (cid:122)a，故由②x =x =d，与①矛盾．
5 6 5 6
2． 当X =(a b c d … x )时，由①x =a或b．
n 5
（1）当X =(a b c d a … x )时，
n
由②x =a，与①矛盾．
6
（2）当X =(a b c d b … x )时，
n
由①x (cid:122)b，故由②x =a．
6 6
假若n(cid:116)7，则由②x =a，与①矛盾．
7
104人大附中2020-2021学年度高三年级数学练习
综上，n的最大值为6． …………… 8分
且当n=6时，X =(a b c d b a)，这样的X 共A4 =24个．
4
由③，当n最大时，m的最大值为24． ……………10分
（Ⅲ）选择问题（一）．
若表B(cid:143)S (m，n)，设(a b c d)为(1 2 3 4)的某个排列，
4
一．当n=4时，
由（Ⅱ）X =(a b c d)或(a b c a)．
这样的X 共A4+Α3 =48个．
4 4
所以m=1， 2， … ， 48时，S (m， 4)(cid:122)(cid:135)；m(cid:33)48时，S (m， 4)=(cid:135)．
4 4
二．当n=5时，
由（Ⅱ）X =(a b c a d)或(a b c d a)或(a b c d b)．
这样的X 共A4(cid:117)3=72个．
4
所以m=1， 2， … ， 72时，S (m， 5)(cid:122)(cid:135)；m(cid:33)72时，S (m， 5)=(cid:135)．
4 4
三．当n=6时，
由（Ⅱ）X =(a b c d b a)，这样的X 共A4 =24个．
4
所以m=1， 2， … ， 24时，S (m， 6)(cid:122)(cid:135)；m(cid:33)24时，S (m， 6)=(cid:135)．
4 4
四．当n(cid:116)7时，
由（Ⅱ）S (m，n)=(cid:135)．
4
(cid:94) (cid:96)
综上，集合 S (m，n)m(cid:143)N*，n(cid:143)N*，n(cid:116)4 的元素个数为
4
48+72+24+1=145．
……………14分
（Ⅲ）选择问题（二）．
若Y =(y y … y )满足②，则将Y 删除若干项仍满足②．
1 2 n
设Y =(y y … y )(cid:143)S (1， n)，y (cid:143){1， 2， …， k} (i=1， 2， … ，n)．
1 2 n k i
一．当k =3时，假若n(cid:116)5，设(a b c)为(1 2 3)的某个排列，
设Y =(a b c y … y )，则由①y =a，由①②，y 无解，矛盾．
4 n 4 5
所以n(cid:100)4=2k−2．
二．假设存在n，使得n(cid:116)2k−1，设满足此条件的最小的k为u．
所以Y =(y y … y )(cid:143)S (1， n)，n(cid:116)2u−1．
1 2 n u
由一，u(cid:116)4．
若Z(cid:143)S (1， v)，则v(cid:100)2(u−1)−2=2u−4(cid:100)n−3．
u−1
不妨设y (i=1， 2， … ，n)中，u出现的次数m最小．
i
1． 当m=0时，Y =(y y … y )(cid:143)S (1， n)，矛盾．
1 2 n u−1
2． 当m=1时，设y =u，
t
（1）当t=1或n时，将Y 去掉y 这一项得Z ，
t
则Z(cid:143)S (1， n−1)，矛盾．
u−1
105人大附中2020-2021学年度高三年级数学练习
（2）当t=2时，将Y 去掉前两项得Z ，则Z(cid:143)S (1， n−2)，矛盾．
u−1
当t=n−1时，同理将Y 去掉后两项得Z(cid:143)S (1， n−2)，矛盾．
u−1
（3）当t(cid:122)1， 2，n−1，n时，记Y =(… e f u g h …)．
若e(cid:122)g且 f (cid:122)h，将Y 去掉u这一项得Z ，
则Z(cid:143)S (1， n−1)，矛盾．
u−1
若e=g且 f (cid:122)h，将Y 去掉u，g这两项得Z ，
则Z(cid:143)S (1， n−2)，矛盾．
u−1
若e(cid:122)g且 f =h，将Y 去掉 f ，u这两项得Z ，
则Z(cid:143)S (1， n−2)，矛盾．
u−1
若e=g且 f =h，由②，矛盾．
3． 当m(cid:116)2时，y (i=1， 2，…，n)中，1，2，…，u均至少出现2次．
i
因为Y =(y y … y )(cid:143)S (1， n)，
1 2 n u
由①，前两个1之间必有其它数，不妨设为2．
由②，所有的2均在这两个1之间．
同理，不妨设所有的 3 全在前两个 2 之间，所有的 4 全在前两个 3
之间，……
这与y (cid:100)u (i=1， 2， … ，n)矛盾．
i
4． 综上，假设不成立，必有n(cid:100)2k−2．
三．从S (3， 21)中任取一行W ，则W(cid:143)S (1， 21)．
11 11
因为2(cid:117)11−2=20(cid:31)21，所以W 不存在，S (3， 21)=(cid:135)．
11
所以S (3， 21)的元素个数为0． ……………15分
11
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