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§2.3 函数的奇偶性、周期性
考试要求 1.了解函数奇偶性的含义，了解函数的周期性及其几何意义.2.会依据函数的性
质进行简单的应用．
知识梳理
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
一般地，设函数f(x)的定义域为D，
偶函数 如果∀x∈D，都有－x∈D，且 关于 对称
，那么函数f(x)就叫做偶函数
一般地，设函数f(x)的定义域为D，
奇函数 如果∀x∈D，都有－x∈D，且 关于 对称
，那么函数f(x)就叫做奇函数
2.周期性
(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个
x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做
这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数，那么这个
就叫做f(x)的最小正周期．
常用结论
1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具
有相反的单调性．
2．函数周期性常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.( )
(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数．( )
(3)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数．( )(4)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈N*)也是函数的一个周期．( )
教材改编题
1．若偶函数f(x)在区间[－2，－1]上单调递减，则函数f(x)在区间[1,2]上( )
A．单调递增，且有最小值f(1)
B．单调递增，且有最大值f(1)
C．单调递减，且有最小值f(2)
D．单调递减，且有最大值f(2)
2．已知函数y＝f(x)是奇函数，且当x>0时，有f(x)＝x＋2x，则f(－2)＝________.
3．已知函数f(x)是定义在R上的周期为4的奇函数，若f(1)＝1，则f(2 023)＝________.
题型一 函数奇偶性的判断
例1 (多选)下列命题中正确的是( )
A．奇函数的图象一定过坐标原点
B．函数y＝xsin x是偶函数
C．函数y＝|x＋1|－|x－1|是奇函数
D．函数y＝是奇函数
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件
(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的
等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝sin x，g(x)＝ex＋e－x，则下列结论正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
B．|f(x)|g(x)是奇函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
题型二 函数奇偶性的应用
命题点1 利用奇偶性求值(解析式)
例2 (1)(2023·福州模拟)已知函数f(x)＝为偶函数，则2a＋b等于( )
A．3 B. C．－ D．－
(2)(2023·吕梁模拟)已知函数f(x)为定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝2x＋x－1，则
当x<0时，f(x)等于( )
A．2－x－x－1 B．2－x＋x＋1C．－2－x－x－1 D．－2－x＋x＋1
听课记录：______________________________________________________________
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命题点2 利用奇偶性解不等式
例3 函数f(x)是定义域为R的奇函数，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0.则不等式>0
的解集为( )
A．(－2,2)
B．(－∞，0)∪(0,2)
C．(2，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性
转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．
(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．
跟踪训练2 (1)已知函数f(x)＝sin x＋x3＋＋3，若f(a)＝1，则f(－a)等于( )
A．1 B．3 C．4 D．5
(2)已知函数f(x)＝log (|x|＋1)，若f(log x)<f(2)，则实数x的取值范围是( )
2 2
A．(1,4) B.∪(4，＋∞)
C.∪(1,4) D.
(3)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.
题型三 函数的周期性
例4 (1)若定义在R上的偶函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当1≤x≤2时，f(x)＝x－1，则f
的值等于( )
A. B. C. D．－
(2)设f(x)是定义在R上周期为4的偶函数，且当x∈[0,2]时，f(x)＝log (x＋1)，则函数f(x)在
2
[2,4]上的解析式为____________________．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 (1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周
期．
(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已
知区间上，进而解决问题．
跟踪训练3 (多选)已知定义在R上的偶函数f(x)，其周期为4，当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－2，
则( )A．f(2 023)＝0
B．f(x)的值域为[－1,2]
C．f(x)在[4,6]上单调递减
D．f(x)在[－6,6]上有8个零点
