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§2.8 对数与对数函数
考试要求 1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常
用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与
特殊点.3.了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)互为反函数．
a
知识梳理
1．对数的概念
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作 ，
其中 叫做对数的底数， 叫做真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作 .
以e为底的对数叫做自然对数，记作 .
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：log 1＝ ，log a＝ ， ＝ (a>0，且a≠1，
a a
N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①log (MN)＝ ；
a
②log ＝ ；
a
③log Mn＝ (n∈R)．
a
(3)对数换底公式：log b＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
a
3．对数函数的图象与性质
a>1 01时， ； 当x>1时， ；
质 当00，且a≠1)与对数函数 (a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图
象关于直线 对称．
常用结论
1．log b·log a＝1， ＝log b.
a b a
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
a
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若M＝N，则log M＝log N.( )
a a
(2)函数y＝log 2x(a>0，且a≠1)是对数函数．( )
a
(3)对数函数y＝log x(a>0，且a≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( )
a
(4)函数y＝log x与y＝ 的图象重合．( )
2
教材改编题
1．若函数f(x)＝log (x＋1)的定义域是[0,1]，则函数f(x)的值域为( )
2
A．[0,1] B．(0,1)
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
2．函数y＝log (x－2)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．
a
3．eln 2＋＝________.
题型一 对数式的运算
例1 (1)若2a＝5b＝10，则＋的值是( )
A．－1 B. C. D．1
(2)计算：log 35＋ －log －log 14＝________.
5 5 5
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 解决对数运算问题的常用方法
(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．
(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及
变形应用．
跟踪训练1 (1)(2022·保定模拟)已知2a＝3，b＝log 5，则4a－3b＝________.
8
(2)(lg 5)2＋lg 2lg 5＋lg 4－log 4×log 3＝________.
3 2
题型二 对数函数的图象及应用
例2 (1)已知函数f(x)＝log (2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系
a
是( )
A．00且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)＝ax与g(x)＝
的图象可能是( )
(2)(2023·濮阳模拟)已知a>0且a≠1，函数y＝ax的图象如图所示，则函数f(x)＝log (－x＋1)
a的部分图象大致为( )
题型三 对数函数的性质及应用
命题点1 比较对数式的大小
例3 (2023·武汉质检)已知a＝log 0.5，b＝log π，c＝log 3，则a，b，c的大小关系是( )
3 3 4
A．a0，且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
a a
听课记录：______________________________________________________________
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命题点3 对数函数的性质及应用
例5 (2023·郑州模拟)设函数f(x)＝ln|x＋3|＋ln|x－3|，则f(x)( )
A．是偶函数，且在(－∞，－3)上单调递减
B．是奇函数，且在(－3,3)上单调递减
C．是奇函数，且在(3，＋∞)上单调递增
D．是偶函数，且在(－3,3)上单调递增
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一
是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．
跟踪训练3 (1)(2023·开封模拟)已知函数f(x)＝log (6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上单调递减，
a
则实数a的取值范围是( )
A．(1,3] B．(1,3)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
(2)(2022·惠州模拟)若函数 f(x)＝log (a>0，且 a≠1)有最小值，则实数 a 的取值范围是
a
________．
