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§2.12 函数模型的应用
考试要求 1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”
“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，
了解函数模型在社会生活中的广泛应用．
知识梳理
1．三种函数模型的性质
函数
y＝ax(a>1) y＝log x(a>1) y＝xn(n>0)
a
性质
在(0，＋∞)
单调递增 单调递增 单调递增
上的增减性
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
随x的增大逐渐表现 随x的增大逐渐表现为 随n值的变化而各有
图象的变化
为与 平行 与 平行 不同
2．常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blog x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
a
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．( )
(2)某商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若九折出售，则
每件还能获利．( )
(3)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xa(a>0)和y＝
log x(a>1)的增长速度．( )
a
(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．( )教材改编题
1．当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是( )
A．y＝5x B．y＝log x
5
C．y＝x5 D．y＝5x
2．在某个物理实验中，测量得到变量x和变量y的几组数据，如下表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y －0.99 －0.01 0.98 2.00
则对x，y最适合的函数模型是( )
A．y＝2x B．y＝x2－1
C．y＝2x－2 D．y＝log x
2
3．某超市的某种商品的日利润y(单位：元)与该商品的当日售价x(单位：元)之间的关系为y
＝－＋12x－210，那么该商品的日利润最大时，当日售价为________元．
题型一 用函数图象刻画变化过程
例1 (1)(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，
该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用 1单位某药
物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是( )
A．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用
B．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒
C．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用
D．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒
(2)根据一组试验数据画出的散点图如图所示．
现有如下5个函数模型：①y＝0.6x－0.12；②y＝2x－2.02；③y＝2x－5.4x＋6；④y＝
log x；⑤y＝x＋1.84.请从中选择一个函数模型，使它能近似地反映这些数据的规律，应选
2
________．(填序号)听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函
数图象．
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是
否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
跟踪训练1 如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P
沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是
下图中的( )
题型二 已知函数模型的实际问题
例2 (1)(2021·全国甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．
通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V
满足L＝5＋lg V．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数
据约为(≈1.259)( )
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
(2)(2022·莆田质检)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(单
位：mg/L)与时间t(单位：h)间的关系为P＝P·e－kt，其中P，k是正的常数．如果2 h后还剩
0 0
下90%的污染物，5 h后还剩下30%的污染物，那么8 h后还剩下________%的污染物．
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
跟踪训练2 (1)(多选)(2023·德州模拟)在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传
染的人数．假设某种传染病的基本传染数为R，1个感染者在每个传染期会接触到N个新人，
0
这N个人中有V个人接种过疫苗，那么1个感染者传染人数为(N－V)．已知某种传染病在某
地的基本传染数R ＝4，为了使1个感染者传染人数不超过1，则该地疫苗的接种率不可能
0
为( )
A．45% B．55% C．65% D．75%
(2)牛顿曾经提出了在常温环境下的温度冷却模型 θ＝θ ＋(θ －θ)e－kt(t为时间，单位：分钟，
0 1 0
θ 为环境温度，θ 为物体初始温度，θ为冷却后温度)，假设一杯开水温度θ ＝100 ℃，环境
0 1 1
温度θ ＝20 ℃，常数k＝0.2，大约经过_______分钟水温降为40 ℃(参考数据：ln 2≈0.7)(
0
)
A．10 B．9 C．8 D．7
题型三 构造函数模型的实际问题
例3 智能辅助驾驶已开始得到初步应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与障碍
物之间的距离，并结合车速转化为所需时间，当此距离等于报警距离时就开始报警，等于危
险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t 与人的反应时间t ，系
0 1
统反应时间 t ，制动时间 t ，相应的距离分别为 d ，d ，d ，d ，如图所示．当车速为
2 3 0 1 2 3
v(米/秒)，且0
