第3章　§3.4　函数中的构造问题[培优课]_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）_学生版在此文件夹_学生用书Word版文档_大一轮复习讲义

§3.4 函数中的构造问题 函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题出现，同构法构造函数也 在解答题中出现，通过已知等式或不等式的结构特征，构造新函数，解决比较大小、解不等 式、恒成立等问题． 题型一 导数型构造函数 命题点1 利用f(x)与x构造 例1 (2023·苏州质检)已知函数f(x)在R上满足f(x)＝f(－x)，且当x∈(－∞，0]时，f(x)＋ xf′(x)<0成立，若a＝20.6·f(20.6)，b＝ln 2·f(ln 2)，c＝log ·f ，则a，b，c的大小关系是( ) 2 A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．c>a>b 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)； (2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 跟踪训练1 (2023·重庆模拟)已知定义域为{x|x≠0}的偶函数f(x)，其导函数为f′(x)，对任 意正实数x满足xf′(x)>2f(x)且f(1)＝0，则不等式f(x)<0的解集是( ) A．(－∞，1) B．(－1,1) C．(－∞，0)∪(0,1) D．(－1,0)∪(0,1) 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点2 利用f(x)与ex构造 例2 (2022·蚌埠质检)已知可导函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x∈R，都有f′(x)－ f(x)<1，且f(0)＝2 022，则不等式f(x)＋1>2 023ex的解集为( ) A．(－∞，0) B．(0，＋∞) C. D．(－∞，1) 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 (1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)； (2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝. 跟踪训练2 (2023·南昌模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f′(x)>0，且有f(3)＝3，则f(x)>3e3－x的解集为________． 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 命题点3 利用f(x)与sin x，cos x构造 例3 已知偶函数f(x)的定义域为，其导函数为f′(x)，当02b B．a<2b C．a>b2 D．a0，若在(1，＋∞)上存在x使得不等式ex－x≤xa－aln x成立，则 a的最小值为________． 听课记录：______________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 思维升华 指对同构，经常使用的变换形式有两种，一种是将x变成ln ex然后构造函数；另 一种是将x变成eln x然后构造函数． 跟踪训练4 (1)(多选)(2023·泰州模拟)已知α，β均为锐角，且α＋β－>sin β－cos α，则( )A．sin α>sin β B．cos α>cos β C．cos αcos β (2)(2023·南京模拟)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若aeae B．b>ea C．ab