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§3.5 利用导数研究恒(能)成立问题
考试要求 恒(能)成立问题是高考的常考考点，其中不等式的恒(能)成立问题经常与导数及
其几何意义、函数、方程等相交汇，综合考查学生分析问题、解决问题的能力，一般作为压
轴题出现，试题难度略大．
题型一 分离参数求参数范围
例1 已知函数f(x)＝ex－ax－1.
(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间与极值；
(2)若f(x)≤x2在[0，＋∞)上有解，求实数a的取值范围．
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思维升华 分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
(1)分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
(2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x) ；
max
a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x) ；
min
a≥f(x)能成立⇔a≥f(x) ；
min
a≤f(x)能成立⇔a≤f(x) .
max
跟踪训练1 (2023·苏州质检)已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的极值；
(2)若存在x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求实数a的取值范围．
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题型二 等价转化求参数范围
例2 (2023·柳州模拟)已知函数f(x)＝ax－ln x.
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若x＝1为函数f(x)的极值点，当x∈[e，＋∞)时，不等式x[f(x)－x＋1]≤m(e－x)恒成立，
求实数m的取值范围．
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思维升华 根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．
跟踪训练2 (2023·宝鸡模拟)已知函数f(x)＝ex＋aln(－x)＋1，f′(x)是其导函数，其中a∈R.
(1)若f(x)在(－∞，0)上单调递减，求a的取值范围；
(2)若不等式f(x)≤f′(x)对∀x∈(－∞，0)恒成立，求a的取值范围．
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题型三 双变量的恒(能)成立问题
例3 (2023·石家庄质检)已知函数f(x)＝ax2ln x与g(x)＝x2－bx.
(1)若f(x)与g(x)在x＝1处有相同的切线，求a，b，并证明f(x)≥g(x)；
(2)若对∀x∈[1，e]，都∃b∈使f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围．
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思维升华 “双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行
等价变换，常见的等价转换有
(1)∀x，x∈D，f(x)>g(x)⇔f(x) >g(x) .
1 2 1 2 min max
(2)∀x∈D，∃x∈D，f(x)>g(x)⇔f(x) >g(x) .
1 1 2 2 1 2 min min
(3)∃x∈D，∀x∈D，f(x)>g(x)⇔f(x) >g(x) .
1 1 2 2 1 2 max max
跟踪训练3 已知函数f(x)＝(x∈R)，a为正实数．
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若∀x，x∈[0,4]，不等式|f(x)－f(x)|<1恒成立，求实数a的取值范围．
1 2 1 2
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