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§7.7 向量法求空间角
考试要求 能用向量法解决异面直线、直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解
决这一类问题的程序，体会向量法在研究空间角问题中的作用．
知识梳理
1．异面直线所成的角
若异面直线 l ，l 所成的角为 θ，其方向向量分别是 u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
1 2
.
2．直线与平面所成的角
如图，直线AB与平面α相交于点B，设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向
量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝＝ .
3．平面与平面的夹角
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角
称为平面α与平面β的夹角．
若平面α，β的法向量分别是n 和n ，则平面α与平面β的夹角即为向量n 和n 的夹角或其
1 2 1 2
补角．设平面α与平面β的夹角为θ，则cos θ＝|cos〈n，n〉|＝ .
1 2
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．( )
(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．( )
(3)两异面直线所成角的范围是，直线与平面所成角的范围是.( )
(4)直线的方向向量为u，平面的法向量为n，则线面角θ满足sin θ＝cos〈u，n〉．( )
教材改编题1．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos 〈m，n〉＝－，则
直线l与平面α所成的角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
2．已知直线l 的方向向量s ＝(1,0,1)与直线l 的方向向量s ＝(－1,2，－2)，则直线l 和l 所
1 1 2 2 1 2
成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
3．平面α的一个法向量为m＝(1,2，－2)，平面β的一个法向量为n＝(2,2,1)，则平面α与
平面β夹角的正切值为( )
A. B. C. D.
题型一 异面直线所成的角
例1 (1)若正四棱柱ABCD－ABC D 的体积为，AB＝1，则直线AB 与CD 所成的角为(
1 1 1 1 1 1
)
A．30° B．45° C．60° D．90°
(2)(2022·杭州模拟)如图，已知圆锥CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圆O的直径，
点D在 上，且∠AOD＝2∠BOD，则异面直线AD与BC所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
听课记录：______________________________________________________________
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思维升华 用向量法求异面直线所成的角的一般步骤
(1)建立空间直角坐标系．
(2)用坐标表示两异面直线的方向向量．
(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值．
(4)注意两异面直线所成角的范围是，即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦
值的绝对值．
跟踪训练1 (1)有公共边的△ABC和△BCD均为等边三角形，且所在平面互相垂直，则异
面直线AB和CD所成角的余弦值为________．
(2)如图所示，在棱长为 2 的正方体 ABCD－ABC D 中，E 是棱 CC 的中点，AF＝
1 1 1 1 1λAD(0<λ<1)，若异面直线DE和AF所成角的余弦值为，则λ的值为______．
1 1
题型二 直线与平面所成的角
例2 (12分)(2022·全国甲卷)在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC
＝CB＝1，AB＝2，DP＝.
(1)证明：BD⊥PA；[切入点：由等腰梯形ABCD的性质求BD长]
(2)求PD与平面PAB所成的角的正弦值．[关键点：建立空间直角坐标系求法向量]思维升华 利用空间向量求线面角的解题步骤
跟踪训练2 如图，在六面体PACBD中，△PAB是等边三角形，平面PAB与平面ABD所成
角为30°，PC＝AB＝AD＝BD＝AC＝BC＝4.
(1)证明：AB⊥PD；
(2)若点E为线段BD上一动点，求直线CE与平面PAB所成角的正切值的最大值．
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题型三 平面与平面的夹角
例3 (2023·泰安模拟)如图，在五面体ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，ED∥AC，且AC
＝BC＝2ED＝2，DC＝DB＝.
(1)求证：平面ABE⊥平面ABC；
(2)求平面ABE与平面BEC夹角的余弦值．
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思维升华 利用空间向量计算平面与平面夹角大小的常用方法
(1)找法向量：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到平面与
平面夹角的大小．
(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的
两个向量，然后通过这两个向量的夹角可得到平面与平面夹角的大小．
跟踪训练3 (2022·贵阳模拟)如图，AC，BD为圆柱OO′底面⊙O的两条直径，PA为圆柱
OO′的一条母线，且AP＝AC.
(1)证明：AB⊥PD；
(2)若∠AOD＝，求平面DPC与平面PCB夹角的正弦值．
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