文档内容
第二十四章 数据的分析
24.4 数据的分组
【素养目标】
1.能够通过计算和比较不同分组方案的组内离差平方和与组间离差平方和，选择最优分
组方案.
2.经历数据分组的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分组的方法.
3.感受数据分组在实际生活中的应用价值，增强学习数学的兴趣和自信心.
重点：知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分组的方法.
难点：对组内离差平方和最小分组方式的理解.
【复习导入】
问题：什么是离差平方和？
【合作探究】
探究点：对数据进行分组
问题：一家公司向社会招聘一名员工，所有应聘者先统一参加笔试，然后根据笔试成
绩确定一部分应聘者进入面试.将10名应聘者的笔试成绩（百分制）按从小到大的顺序
排列如下：58 64 68 75 76 83 85 89 90 92
你认为哪一部分应聘者应当进入面试？
分析：（1）应当选择笔试成绩好的应聘者进入面试.那么笔试成绩怎样才算好呢？
（2）从公司确定面试应聘者的角度看，把笔试成绩相对接近的分到同一组，是一种较
合理的做法.
（3）怎么刻画组内笔试成绩差异的大小呢？哪种分法能使笔试成绩好和差两组的组内
差异最小？
概念引入：一般地，设有n个数据x ，x ，···，x ，其平均数记为x，则离差平方和为
1 2 n
第 1 页d2＝（x －x）2＋（x －x）2＋…＋（x －x）2.如果把这组数据分为两组，前 m（m＜
1 2 n
n）个数据为一组，后（n－m）个数据为一组，它们的平均数分别记为x 和x ，离差平
1 2
方和分别为
d2＝（x －x ）2＋（x －x ）2＋···＋（x －x ）2，
1 1 1 2 1 m 1
d2＝（x －x ）2＋（x －x ）2＋···＋（x －x）2，
2 m＋1 2 m＋2 2 n
那么，d2＝
概念引入：其中d2 ＋d2 称为组内离差平方和，表示两个组内数据的离散程度；记d2
＝
1 2 12
m（x －x）2＋（n－m）（x －x）2，d2 是m个第一组数据平均数、（n－m）个第二
1 2 12
组数据平均数关于总体数据平均数的离差平方和，称为组间离差平方和，表示两个组
间的差异.根据组内离差平方和最小的原则进行分组时，由于 d2不变，既可以按d2＋d2
1 2
最小来分组，也可以按d2
最大来分组.
12
归纳总结：数据分组的步骤：
①数据排序：从小到大排列原始数据；
②确定切割点：在排序后数据的间隔处分组[n个数据有（n－1）个间隔]；
③计算比较：对每个切割点计算组内离差平方和，选择组内离差平方和最小对应的分
组.
[典例精析]
第 2 页例1 10个城市某月的每日最高温度的平均数（简称平均高温）如表所示.
城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明
平均高温/℃ 3 3 －3 －11 10 21 22 12 9 17
根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这10个城市分为两组.
[练一练]
1. 某田径队10名运动员跳远的最好成绩如下：
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
成绩/m 5.85 6.13 6.11 6.01 5.91 6.19 5.81 5.84 6.22 5.98
教练组拟根据这组数据将队员分为两组进行分层训练，应当如何划分呢？
当堂反馈
第 3 页1.已知一组数据：3， 10， 1， 20.
（1）将数据从小到大排序为： ；
（2）按“第一个间隔”分组（即切割点在数字 和 之间），计算组内离差平方
和为 ；
（3）按“第二个间隔”分组（即切割点在数字 和 之间），计算组内离差平方
和为 ；
（4）按“第三个间隔”分组（即切割点在数字 和 之间），计算组内离差平方
和为 ；
（5）按“第 个间隔”分组，组内离差平方和最小.
2.已知6名学生的成绩为 70， 75， 80， 85， 90， 95（单位：分）.
将数据分为两组，使组内离差平方和最小化（即组内成绩差异最小），计算最小组内
离差平方和（保留 1 位小数）.
参考答案
【复习导入】
问题：我们把（x －x）2＋（x －x）2＋…＋（x －x）2
1 2 n
第 4 页叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和，记作 d2.
【合作探究】
探究点：对数据进行分组
问题：分析：（1）可以有不同的标准.例如，前三名或85分及以上等.
（2）笔试成绩可以根据组内差异最小的原则进行分组.将笔试成绩按从小到大的顺序排
列，使相互最接近的笔试成绩都挨在了一起.因此，要使分组后的组内差异最小，只需
在已排序数据的基础上寻找分组方法.
可以发现，10个笔试成绩按顺序排列形成9个间隔，如图所示.
58 ｜ 64 ｜ 68 ｜ 75 ｜ 76 ｜ 83 ｜ 85 ｜ 89 ｜ 90 ｜ 92
每个间隔都可以把笔试成绩分成好和差两组，共有9种分法.
（3）在前面的学习中，我们知道，离差平方和可以刻画一组数据的离散程度.下面我们
利用离差平方和刻画组内数据的离散程度，进而对数据进行分组.
概念引入：
d2＝（x －x）2＋（x －x）2＋···＋（x －x）2
1 2 n
＝（x －x ＋x －x）2＋（x －x ＋x －x）2＋···＋（x －x ＋x －x）2＋（x －x ＋
1 1 1 2 1 1 m 1 1 m＋1 2
x －x）2＋（x －x ＋x －x）2＋···＋（x －x ＋x －x）2
2 m＋2 2 2 n 2 2
＝（x －x ）2＋（x －x ）2＋···＋（x －x ）2＋（x －x ）2＋（x －x ）2＋···＋
1 1 2 1 m 1 m＋1 2 m＋2 2
（x －x ）2＋m（x －x）2＋（n－m）（x －x）2
n 2 1 2
＝d2 ＋d2 ＋m（x －x）2＋（n－m）（x －x）2.
1 2 1 2
这样，根据组内离差平方和最小的原则，能使笔试成绩相差较小的应聘者分在同一组.
利用计算器或信息技术工具，可以计算出图中的9种分法的组内离差平方和（结果保
留小数点后一位），如表所示.
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第1个间隔 0 799.6 799.6
第2个间隔 18 503.5 521.5
第3个间隔 50.7 271.4 322.1
第4个间隔 152.8 170.8 323.6
第5个间隔 228.8 54.8 283.6
第6个间隔 411.3 26 437.3
第7个间隔 587.4 4.7 592.1
第8个间隔 819.5 2 821.5
第9个间隔 1026.2 0 1026.2
观察最后一列组内离差平方和可以发现，当按第5个间隔分组时，组内离差平方和最
小，因此，按组内离差平方和最小的分法为{58，64，68，75，76}和{83，85，89，
90，92}.
[典例精析]
例1解：将表中的数据按从小到大排列，可得
－11 －3 3 3 9 10 12 17 21 22
将它们分成两组共有 9 种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方
和(结果保留小数点后一位)，如表所示.
分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和
第1个间隔 0 584.2 584.2
第2个间隔 32 380.9 412.9
第3个间隔 98.7 285.7 384.4
第4个间隔 132 158.8 290.8
第5个间隔 228.8 113.2 342
第6个间隔 308.8 62 370.8
第 5 页第7个间隔 397.4 14 411.4
第8个间隔 562 0. 5 562.5
第9个间隔 789.6 0 789.6
观察最后一列组内离差平方和可以发现，当第 4 个间隔分组时，组内离差平方和最小，
因此，按组内离差平方和最小的分法为{北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨}
和{上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}.
[练一练]
1. 解：将上述 10 名运动员跳远的最好成绩的数据从小到大排列，得 5.81，5.84，
5.85，5.91，5.98，6.01，6.11，6.13，6.19，6.22.
将它们分成两组共有 9 种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方
和(结果保留小数点后一位)，如表所示.
分组情况 组内离差平方和
第一组1个，第二组9个 0.163 8
第一组2个，第二组8个 0.125 1
第一组3个，第二组7个 0.079 8
第一组4个，第二组6个 0.051 0
第一组5个，第二组5个 0.044 8
第一组6个，第二组4个 0.040 7
第一组7个，第二组3个 0.074 8
第一组8个，第二组2个 0.106 1
第一组9个，第二组1个 0.154 7
计算结果表明，将排序后的前 6 个数据分为一组，后 4 个数据分为另一组， 可以
使组内离差平方和最小. 即应将编号为 ①④⑤⑦⑧⑩的运动员分为一组， 其他运动
员为另一组进行分层训练.通过数据也可以看到，这样的分组是合理的.
当堂反馈
1.（1） 1，3，10，20 ；
（2） 1 3 ， 146 ；
（3） 3 10 ， 52 ；
134
（4） 10 20 ， ；
3
（5） 三 .
2.解：最小组内离差平方和为 100.0，对应切割点在80 和 85 之间，数据分组为
{70，75，80} 和 {85，90，95}.
第 6 页
